21.2.1直接开平方解一元二次方程
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
九年级上册数学21.2 解一元二次方程 直接开平方法
21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴b a＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。
21.2.1.1直接开平方解一元二次方程
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4
(2). χ2=0 (3). χ2+1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ 的一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
21.2.1 直接开平方法 解一元二次方程
回顾
1、一元二次方程定义：
等号两边都是整式，只含 有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是2 （二次）的 方程，叫做一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
方程无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。
自主学习
第1,2题
对照以上方法，你认为怎样解方程（χ+1）2=4
解：直接开平方，得 x+1=±2
∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1=1，χ2=－3
思考：
如何解以下方程
（1）χ2+6x+9=4 （2） 3（2－χ）2－27=0
如果我们把χ2=4， χ2=0， χ2+1=0变形 为χ2=p呢？
直接开平方法解一元二次方程导学案
21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程知识点梳理 ：解一元二次方程- - -直接开平方法形如x 2＝p 或（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用 的方法解一元二次方程．◆如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得 ；◆如果方程能化成（nx+m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么 ． ◎◎◎注意事项：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ①降次的实质是由一个二次方程转化为 个一元一次方程． ①方法是根据 的意义开平方．知识点训练：知识点1：解形如x 2＝p （p ≥0）的一元二次方程1．方程 12x 2﹣2＝0的根为（ ）A ．x ＝±1B ．x ＝±2C ．x ＝±√2D ．x ＝±2√22．方程9x 2﹣16＝0的根是 ． 3．解下列方程：（1）x 2﹣3＝5； （2）3x 2﹣1＝26； （3）12x 2﹣8＝0．4．已知x ＝3是一元二次方程x 2﹣p ＝0的一个根，求p 的值和方程的另一根．知识点2：解形如（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程5．一元二次方程（x+1）2＝4的解为 ．6．若关于x 的一元二次方程ax 2+k ＝0的一个根为1，则方程a （x ﹣1）2+k ＝0的解为 ． 7．解下列方程：（1）3（x ﹣1）2＝12； （2）2（x ﹣1）2=18． （3）14（3x+1）2＝64知识点提升训练：【●基础题●】1．如果2是方程x 2﹣c ＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．±√22．方程（x ﹣1）2＝0的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣13．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是．4．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是．5．已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0），若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A．n≠0B．m、n异号或n＝0C．n是m的整数倍D．m、n同号6．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的长．【●提升题●】7．若关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则关于x 的一元二次方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解是．8．若（x2+y2﹣5）2＝64，则x2+y2等于（）A．13 B．13或﹣3 C．﹣3 D．以上都不对9．解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2−8x+16=510．已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【●拓展题●】11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下；a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（1）√3◎√2=．（2）若（m+2）◎（m﹣3）＝24，求m的值．。
21.2.1 解一元二次方程-配方法
x1 a ,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
2、把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
思维拓展
2 1、把方程x -3x+p=0配方得到
(x+m)2=
1 2
(1)求常数p，m的值；
(2)求方程的解。
2、若: x y 4 x 6 y 13 0,
2 2
则x _____ -8
y
理论迁移
1、将代数式x2+6x+2化成(x+p)2+q的形式 为 (x+3)2-7 。 2、比较大小：
6x ≤ x2+9．（填“＞”、“＜”、“≥”、 3、若代数式2x2-6x+b可化为2(x-a)2-1，则 a+b的值是 5 。
课堂小结
1、一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方
根的定义，可解得
例题精讲
例1 用配方法解下列方程：
(1) x2 - 8x ＋1 =0
(2) 2x2 +1=3x (3) 3x2-6x+4=0
教材P42
2、 3
归纳总结
解一元二次方程的基本思路：
二次方程
降次
一次方程
把原方程变为(mx+n)2＝P的形式(其中m、 n、P是常数）。
当P≥0时，两边同时开平方，这样原方 程就转化为两个一元一次方程。 当P<0时，原方程的解又如何？
ห้องสมุดไป่ตู้
把一元二次方程的左边配成一个完全 平方式,然后用直接开平方法求解,这种 解一元二次方程的方法叫做配方法.
21.2.1配方法(第1课时)教案
以根据平方根的意义直接开平方求解，而无论是消元还是降次，都是转化思想的体现，把不
会的向一直的知识转化，调动已学的知识思考通过什么方式进行转化，转化思想不仅仅用在
数学上，在日常生活的解决问题上也会给同学们以启迪.
2.如果方程能化成 或 （ ）的形式，那么可得x= 或
注意：
1.根据平方根的定义开平方，不要漏掉负的平方根.
2移项要变号.
作
业
1.教科书习题21.2.1 P6练习题.
2.预习配方法解一元二次方程（第二课时），做《自主学习》P19 4.5.6.7题
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
教学
重点
理解开平方法的基本思想，会用开平方法解一元二次方程．
教学
难点
通过探究解方程的思路，得出解一元二次方程的基本思路——降次．
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
复
习
引
入
请同学们课前预习完成上述方程组，并思考下面的问题：
【问题1】解二元一次方程组和
三元一次方程组的基本思路是
什么？
【问题2】为什么要用这种思路？它体现了什么数学思想？
形状的盒子的全部外表面，你能
算出盒子的棱长吗？
【问题3】你会解方程 吗？
依据是什么？
【追问1】类似的，你能给出下列
方程的解吗？
（1）
（2）
（3）
（4）
【追问2】上述方程有什么共同点？
你能归纳一下这类方程解的情况
吗？
【探究2】对照上面解方程
的过程，你认为应该怎样解方程
人教部初三九年级数学上册 直接开平方解一元二次方程 名师教学PPT课件
解：系数化为1得x2 25 9
由平方根的意义得：
解：由平方根的意义得： 2x 1 3
x5 3
x1
5 3
,
x2
5 3
2x 1 3，或2x 1 3
x1
-1 2
3 ，x2
1 2
3
利用直接开平方法解下列方程
(3)、3(x 1)2 6 0
解：移项得 3(x 1)2 6 系数化为1得(x 1)2 2
人教版数学九年级上册第二十一章
21.2.1 解一元二次方程（1） ——直接开平方法
1、用直接开平方法解形如 x²=p(p≥0)或 (x+m)²=p(p≥0)的方程；
2、理解一元二次方程的解法——直接开 平方法；
3、体会一元二次方程“降次”──转化 的数学思想。
1、如果x2=a,则x叫做a的__平_方_根__; 2、如果x2=a（a≥0），则x=____; 3、如果x2=64，则x=_____.
开方得x 1 2
(4)、x2 4x 4 25
解：原方程整理得 (x 2)2 25
开方得x 2 5
x1 1 2, x2 1- 2
x1 7, x2 3
利用直接开平方法解下列方程 (5)、9x2 5 1
解：移项得 9x2 4
由平方根的意义得 原方程无实数根
直接开平方法 解一元二次方程
由平方根的意义得：
由平方根的意义得：
x 10
x 5
x1 10, x2 10
x1 5, x2 5
例1：利用直接开平方法解下列方程
(3)、4x2 100
思考：
解：两边同时 4得 x2 0的解是什么？
x2 25
x2 4呢？
由平方根的意义得：
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（当 p≥0 时）
平方根 的意义
降次
x p
2
x a 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4 (2). χ2－1=0
(1). χ2=25
(2). χ2－900=0
解：（1） χ2=25
（2）移项，得χ2=900
直接开平方，得 χ=±5
直接开平方，得 χ=±30
∴ χ1=5，χ2=－5
∴χ1=30 χ2=－30
例1：用开平方法解方程 9x2=4
解：两边同除以9，得 利用开平方法，得
x2 4 9
x2 3
所以，原方程的根是
2.方程(x-1)2=4的根是( ).
(A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ (x __1_)2
(2) x2 8x _4__2__ (x__4_)2
(3)
y2
5
y
（__52_）_2 _
(
y
5
__2 _)2
(4)
y2
1 2
x1 3, x2 5.
上面这种解法中，实质上 是把一个一元二次方程 “降次”，转化为两个一
元一次方程。
用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(x＋1)2=4 (3)(2x－3)2=7
(1) x1 3, x2 3
(2) x1 1, x2 3
(3)
x1
3
2
7 , x2
3 2
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
小练习
1．解方程：3x2+27=0得（ ）. (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的(平方根).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
7
2、利用直接开平方法解下列方程：
（1）（χ+1）2－4=0 （2） 12（2－χ）2－9=0
解方程：（x + 3）= 5．
x2－10x+25=9 变形为
x2－10x+16=0 变 形 为
这种方 程怎样 解？
的形式．（ａ为非负常数）
填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-；1
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=。-5
y
（__14_）_2
(
y
__14 _)2
它们之间有什么关系?
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
列方程10 6x2 1500
由此可得 x2 25
x 5，
即 x1 5，x2 5
这种解法叫做什么? 直接开平方法
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
2．推导求根公式
问题2 解方程 x2 = 25，依据是什么？ 解得 x1 = 5，x2 = - 5． 平方根的意义 请解下列方程： x2 = 3，2x2 - 8=0，x2 = 0，x2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5, x2=-0.5 ； (2)方程2x2=18的根是 x1=3, x2=-3； (3)方程(x+1)2=1的根是 x1=0, x2=-2 .
例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?
解：利用开平方法，得 可得
所以，原方程的根是
x 1 4 x 1 4
或x 1 4
一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
对于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用 开平方法求它的根。
当d>0时,方程有两个不相等的根：x1 d , x2 d
当d=0时,方程有两个相等的根： x1 x2 0
1、利用直接开平方法解下列方程:
x12 3, Nhomakorabeax2
2 3
.
例2：用开平方法解方程 3x2=-4
解：两边同除以3，得
x2 4 3
因为任何一个实数的平方根不可 能是负数，所以原方程没有实数根。
例3：用开平方法解方程 7x2+21=0
解：移项，得 7x2 21 两边同除以-7，得 x2 3
利用开平方法，得 x 3
所以，原方程的根是 x1 3, x2 3.
直接开平方法 解一元二次方程
1．创设情境，导入新知
你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元 一次方程组
一元二次方程
消元 一元一次方程
降次
思考：如何解一元二次方程．
问题1
一桶油漆可刷的面积为1500dm² ，李林用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，