四川省遂宁市高三二诊数学(文科)-含答案
四川省遂宁市第二中学2020届高三上学期高考模拟(二)数学(文)试卷 Word版含答案
数学试题(文科)（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1.设集合{}2|+20A x x x =-<，{}3|log 0B x x =<，则A B =U （ ）（A ） (2,1)- （B ） (0,1) （C ）(,1)-∞（D ）(1,1)-2.已知i 是虚数单位，复数212i z i=+，则复数z 的虚部为（ ）（A ） 25i （B ） 25 （C ） 15i - （D ）15-3.已知向量()2,1a =r，()2,sin 1b α=-r ，()2,cos c α=-r ，若()a b c +∥r r r ，则tan α的值为（ ） （A ）2 （B ）12（C ）12-（D ）2-4.已知6sin()4πα-=，则sin 2α的值为（ ） （A ）13（B ）23 （C ） 3（D ）355.函数()()32ln1f x x x x =++-的图象大致为( )6.田忌与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜的概率为( )（A ）23 （B ）34 （C ）45 （D ）567.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如FEDCBA()102mod4=．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） （A ）20（B ） 21 （C ） 22（D ）238.某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ）km 处. （A ）4 （B ） 5 （C ） 6 （D ）79.若直线1y kx =-与圆22:220C x y x y +--=相交于,A B 两点，且ABC △的面积为1，则k =( )（A ）34（B ）1- （C ）12- （D ） 3210.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a c b << （B ）a b c << （C ） b c a << （D ）c a b <<11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()122,0,2,0F F -，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若2OP =，且212PF PF a ⋅=，则该椭圆的离心率为（ ）（A ）34（B 3（C ） 12（D ）22 12. 如图，正四棱锥E ABCD -与F ABCD -的顶点,E F 恰为正方体上、下底面的中心，点,,,A B C D 分别在正方体四个侧面上，若正方体棱长为2，现有以下结论： ①正四棱锥E ABCD -与F ABCD -全等；②当,,,A B C D 分别为四个侧面的中心时，异面直线AE 与DF 所成角为60︒；③当,,,A B C D 分别为四个侧面的中心时，正四棱锥E ABCD -31-；④八面体EABCDF 的体积的取值范围为48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.则正确的结论的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ） 4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.已知实数,x y 满足220220x y x y y x +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为________．14.已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点，且11AF BF =，则AB =________．15.在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC=__________． 16.已知函数()11x f x e a x =+-+在()1,-+∞有零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 为递减数列，且24732a a =，()2125n n n a a a +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．18. （本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的3组数据中有且仅有两组数据来自相邻两天的概率；（Ⅱ）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y 关于温差x 的线性回归方程$$ˆy bxa =+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒∆为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点,E M 分别为,PD PC 的中点． （Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求以,,,B M E D 四点为顶点的四面体的体积．20. （本小题满分12分）抛物线28x y =的焦点为F ，过点(1,2)P 的直线l 交抛物线于,M N 两点（,M N 不为抛物线的顶点），过,M N 分别作抛物线的切线12,l l 与x 轴的交于,B C ，12,l l 交点为A . （Ⅰ）求证：FB AB ⊥；（Ⅱ）求证：当l 变化时，点A 在一条定直线上.21.(本小题满分12分) 已知函数1()ln 21f x x x xλλλ-=-++-. （Ⅰ）求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若01x <≤时，()0f x ≥，求λ的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
四川省遂宁等八市联考2021届高三第二次诊断考试数学文科试题
四川省遂宁等八市联考2021届高三第二次诊断考试数学文科试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){}410A x x x =+-≤，{}2B x x =<，则AB =（ ） A ．{}22x x -<<B ．{}21x x -<≤C ．{}24x x -<≤D ．{}42x x -≤< 2．复数()()1223i i +-的共轭复数是（ ）A ．8i +B ．8i -C ．4i -+D ．8i -+ 3．若1cos 5α=，α为锐角.则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．10B ．110+C ．10D ．1104．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若218a =，580S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．222n +B ．222n -C ．20n -D ．()21n n - 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，设M 为线段BC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．1A M BD ⊥B ．1//A M 平面11CCD D C ．11A M AB ⊥ D ．1A M ⊥平面11ABC D6．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 7．已知过点()0,2的直线l 与圆心为C 的圆()()222110x y -+-=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，直线l 的方程为（ ）A ．220x y -+=B ．220x y -+=或220x y +-=C ．0x =D ．0x =或220x y +-= 8．函数()e ln 2x f x x =--的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．现从甲、乙等6人中随机抽取2人到幸福社区参加义务劳动，则甲、乙仅有1人被抽到的概率为（ ）A ．25B ．715C ．815D ．3510．若过抛物线C ：24y x =的焦点且斜率为2的直线与C 交于A ，B 两点，则线段AB的长为（ ）A ．3.B ．4C ．5D ．611．已知1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 12．若()()e 1ln 0,0x a x ax a x ≥-+>>，则a 的最大值为（ ）A ．e 4B ．e 2C ．eD ．2e二、填空题13．已知向量(),2a t =，()2,1b =-，且()a b b -⊥，则t =______.14．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若1296a a +=，316a =，则4S 的值为______.15．设球的半径为34，该球的内接圆锥(顶点在球面上，底面为某平面与球的截面)的体积为V ，则V 的最大值为___________.三、双空题16．函数()()()sin cos 0,0f x A x x b A ωωω=++>>的最大值为3，最小值为1-，图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.则b =___________，ω=___________.四、解答题17．某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务.现统计了前8天每天(用1t =，2，…，8表示)的接种人数y (单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，求y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)；（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人. 参考数据：12.25y =，()82142i i tt =-=∑，()()8170i i i y y t t =--=∑.参考公式：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…，(),n n t y ，回归方程ˆˆˆya bt =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()81821ˆi i i i i t t y y b t t ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC的面积ABC S =a 的取值范围.19．在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A ，D ，E ，F 四点共面，//AF 面CDE .（1）求证：//BF 面CDE ；（2）若3AD DE ==，1AF =，EF =AD ⊥平面CDE .20．设函数()()e 1,xf x ax b a b =--+∈R . （1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ≥，求+a b 的最大值.21．如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，k =（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2,sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l：2,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与曲线2C ，1C 的交点从上到下依次为P ，M ，N ，Q ，求PM NQ +的值.23．设函数()2f x x x t =+--.（1）当1t =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若对于任意实数x ，不等式()22f x t t ≤+恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．D【分析】 根据不等式的解法，求得集合{}41A x x =-≤≤，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式()()410x x +-≤，解得41x -≤≤，即{}41A x x =-≤≤， 又因为{}22B x x =-<<，所以{}42A B x x ⋃=-≤<.故选：D.2．B【分析】根据复数的运算法则求得()()12238i i i +-=+，结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得()()12238i i i +-=+，所以其共轭复数是8i -.故选：B.3．A【分析】利用三角函数的基本关系式，求得sin α的值，再利用两角差的余弦公式，即可求解.【详解】由1cos 5α=，α为锐角，可得sin α=，则ππcos cos cos 66αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭π11sin sin 6525210α=⨯+=. 故选：A.4．B【分析】 根据等差数列的通项和求和公式，由218a =，580S =，列式可求得首项和公差，即可得解.【详解】设公差为d ，则215118,51080,a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩ 解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩ 所以()()2012222n a n n =+-⨯-=-，故选：B.5．C【分析】对于A ，假设1A M BD ⊥，可以推出自相矛盾的结论//AM AC ，故A 不正确；对于B ，假设1//A M 平面11CC D D ，可以推出自相矛盾的结论11//A M A B ，故B 不正确；对于C ，通过证明1AB ⊥平面1A BM 可以推出11A M AB ⊥，故C 正确；对于D ，假设1A M ⊥平面11ABC D ，可以推出自相矛盾的结论11//A M A D ，故D 不正确.【详解】如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，对于A ，假设1A M BD ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又111A A A M A =，所以BD ⊥平面1A AM ，所以BD AM ⊥，而BD AC ⊥，所以//AM AC ，显然不正确，所以假设不成立，故A 不正确；对于B ，假设1//A M 平面11CC D D ，因为平面11A MCD 平面111CC D D CD =，1A M 平面11CC D D ，所以11//A M CD ，因为11//A B CD ，所以11//A M A B ，显然不正确，所以假设不成立，故B 不正确；对于C ，因为MB ⊥平面11ABB A ，所以1MB AB ⊥，又11A B AB ⊥，1A BBM B =，所以1AB ⊥平面1A BM ，所以11A M AB ⊥，故C 正确；对于D ，假设1A M ⊥平面11ABC D ，因为11A D AD ⊥，1A D AB ⊥，且1AB AD A =，所以1A D ⊥平面11ABC D ，所以11//A M A D ，显然不成立，所以假设不成立，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：掌握空间直线、平面的位置关系、直线与平面平行、垂直的判定和性质是解题关键.6．B【分析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，结合判定条件，即可求解.【详解】执行循环结构的程序框图，可得：运行第1次，2log 3T =，2k =；运行第2次，232log 3log 4log 42T =⋅==，3k =；运行第3次，2342log 3log 4log 5log 5T =⋅⋅=，此时满足判定条件，输出4k =. 故选：B.7．A【分析】分析得出圆心C 到直线l 的距离为d =，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线l 的方程.【详解】圆()()222110x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径为r =，由CA CB ⊥，且CA CB ==所以，ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形， 所以，点C 到直线l 的距离为cos 455d r ==若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为0x =，此时点C 到直线l 的距离为2，不合乎题意；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，则有d ==()220k -=，解得2k =， 所以直线l 的方程为22y x =+.故选：A.【点睛】易错点点睛：本题利用直线与圆相交求直线的方程，在求解过定点的直线的方程时，要注意对直线斜率是否存在进行分类讨论，以防漏解.8．D【分析】易知()f x 是偶函数，结合导数判断单调性与极值点范围即可得结果．【详解】由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数，排除A ；当0x >时，()e ln 2x f x x =--，则()1e x f x x'=-，可知()f x '在()0,∞+上单调递增， 且121e 202f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f '=->，则存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 且0x 是()f x 在()0,∞+上唯一极小值点，故选：D ．9．C【分析】设甲乙外的4人分别为A ，B ，C ，D ，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】设甲乙外的4人分别为A ，B ，C ，D ，则从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有（甲，乙），（甲，A ），（甲，B ），（甲，C ），（甲，D ），（乙，A ），（乙，B ），（乙，C ），（乙，D ），(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),B C ，(),B D ，(),C D ，共15个，其中符合条件的有（甲，A ），（甲，B ），（甲，C ），（甲，D ），（乙，A ），（乙，B ），（乙，C ），（乙，D ），共8个， 由古典摡型的概率计算公式，可得所求的概率为815. 故选：C. 10．C 【分析】求出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，根据韦达定理得到12x x +，再根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】抛物线C ：24y x =的焦点(1,0)F 所以直线AB 的方程为22y x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 由2224y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并整理得2310x x -+=， 所以123x x +=，1225AB x x =++=. 故选：C. 11．A 【分析】设1AF t =，据双曲线的定义可用t 表示22AF BF ，，作2F H AB H ⊥=，构造直角三角形可计算得t ，并用勾股定理列出了)()2222c a -=，进而可求e .【详解】设1AF t =，则222AF t a BF =+=， 从而14BF t a =+，进而4BA a =.过2F 作2F H AB H ⊥=，则2AH a =.如图：在12Rt F F H △中，22sin30F H c c =︒=，122cos F H c AF θ==；在2Rt AF H △中，)()2222c a -=，即2224c a =，所以e =故选：A 【点睛】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于,,a b c 的齐次等式，再化为e 的等式可求；（3）此题的关键是作2F H AB H ⊥=得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立,,a b c 的齐次等式. 12．C 【分析】首先对e ln x x ax ax +≥+进行变形，即e ln e ln x x ax ax +≥+，由于同构， 可构造函数()()ln 0f x x x x =+>，知()f x 在()0,∞+上单调递增，原不等式转化为()()e xf f ax ≥，根据单调性的性质可得e xax ≥，再进行参变分离e x a x≤，求出函数e xx最值， 即可得解.【详解】原不等式化为e ln x x ax ax +≥+，即e ln e ln x x ax ax +≥+， 令()()ln 0f x x x x =+>，知()f x 在()0,∞+上单调递增， 原不等式转化为()()exf f ax ≥，所以e xax ≥，即e xa x ≤，设()e x u x x =，则()()2e 1x x u x x-'=， 当01x <<时，()0u x '<，()u x 单调递减；当1x >时，()0u x '>，()u x 单调递增，故当1x =时()u x 取得最小值()1e u =， 所以a 的最大值为e . 故选：C. 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式相关问题，考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题.本题关键有：（1）找到所给不等式的同构特征，同构特征是解题的关键； （2）构造函数，并求所构造函数的单调性； （3）参变分离，转为恒成立问题. 13．32-【分析】求出a b -的坐标，由向量垂直得数量积为0，列出关于t 的方程，解出即可. 【详解】()2,1a b t -=+，由()a b b -⊥，得()0a b b -⋅=，则()2210t -++=，解得32t =-， 故答案为：32-. 14．120 【分析】由题设条件列出方程组，求得公比q ，进而求得4a ，利用41234S a a a a =+++，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1296a a +=，316a =，所以11219616a a q a q +=⎧⎨=⎩，可得2610q q --=，解得12q =，13q =-（舍去），所以438a a q ==， 所以4123496168120S a a a a =+++=++=. 故答案为：120 15．π6【分析】利用圆锥与球的轴截面进行计算，得到V 关于圆锥的高的函数关系式，再利用导数知识可求得结果. 【详解】依题意可知，圆锥与球的轴截面如图：设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，则2223344h r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2232r h h =-，所以21π3V r h =23133π0322h h h ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 求导可得()()2πV h h h'=-，当01h <<时，()0V h '>，当312h <<时，()0V h '<， 于是()V h 在()0,1上单调递增，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以当1h =时，体积取得最大值为π6. 故答案为：π616．1 12【分析】化简函数()sin 4f x x b πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数() f x 的最值，求得,A b ，根据函数的最小正周期的公式，求得ω的值. 【详解】由函数()()sin cos sin 4f x A x x b x b πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭(0A >，0>ω)，因为函数() f x 的最大值为3，最小值为1-，所以31b b +=+=-⎪⎩，解得1A b ==，即()π2sin 14f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数() f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以函数() f x 的最小正周期为4π，所以2142ωπ==π. 故答案：1；12. 17．（1）ˆ 1.67 4.75y t =+；（2）第10天接种人数预报值2145人，预计从第13天开始，接种人数会突破2500人. 【分析】（1）利用公式ˆb，代入样本中心，求得ˆa ，即可求得y 关于t 的回归方程； （2）由（1）中的回归方程，分别代入12t =和13t =，求得预报值，即可求解. 【详解】（1）由题意，得1(12345678) 4.58t =⨯+++++++=， ()()()81821705ˆ 1.667423ii i ii tty y btt==--===≈-∑∑， ˆˆ12.25 1.667 4.5 4.75ay bt =-=-⨯≈， 所以y 关于t 的回归方程为ˆ 1.67 4.75yt =+. （2）第10天接种人数ˆy的预报值ˆ 1.6710 4.7521.45y =⨯+=，第10天接种人数的预报值为2145人.当12t =时，ˆy的预报值ˆ 1.6712 4.7524.79y =⨯+=； 当13t =时，ˆy的预报值ˆ 1.6713 4.7526.4625y =⨯+=>， 故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人. 18．（1）π3；（2）[)4,+∞. 【分析】（1）由条件和正弦定理化简得到2cos sin sin 0A C C -=，求得1cos 2A =，即可求解； （2）由（1）和三角形的面积公式，求得16bc =，结合余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为22cos b c a C -=，由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=， 所以2cos sin sin 0A C C -=，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以，π3A =. （2）由（1）知π3A =，所以11πsin sin 223ABC S bc A bc ====△16bc =， 由余弦定理得22222π2cos 2cos3a b c bc A b c bc =+-=+- 22216b c bc bc bc bc =+-≥-==，当且仅当4b c ==时取等号，所以216a ≥， 因为0a >，所以a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由面面平行的判定定理得到面//ABF 面CDE ，则可得结论.（2）在线段ED 上取点G ，使得2EG =，利用勾股定理得到FG EG ⊥，即AD ED ⊥ 又AD DC ⊥，可得AD ⊥平面CDE . 【详解】（1）由ABCD 是正方形，可知//AB DC ， 而AB ⊄面CDE 所以//AB 面CDE ， 又//AF 面CDE ，AB AF A =，所以面//ABF 面CDE ， 又BF ⊂面ABF ， 所以//BF 面CDE .（2）因为//AF 面CDE ，AF ⊂面ADEF ， 面CDE ⋂面ADEF DE =，所以//AF DE . 如图，在线段ED 上取点G ，使得2EG =， 于是1DG AF ==，而//AF DG 所以ADGF 是平行四边形.所以3FG AD ==，又EF =于是222EF EG FG =+，即FG EG ⊥，则AD ED ⊥. 因为ABCD 是正方形，有AD DC ⊥， 而DCDE D =，所以AD ⊥平面CDE .20．（1）(),e +∞；（2）1e +. 【分析】（1）若1b =，()e x f x ax =-，由()e xf x a '=-，分0a ≤和0a >进行讨论即可得解；（2）由题()e xf x a '=-，可得()f x 的单调性，再分类讨论0a <和0a =以及0a >三种情况讨论函数的极值点，利用()0f x ≥恒成立，构造函数即可得解. 【详解】（1）当1b =时，()e x f x ax =-.则()e xf x a '=-，若0a ≤，()0f x '>，()f x 单调递增，不合题意. 若0a >，由()0f x '=得ln x a =.0ln x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增， 此时，所以()f x 的极小值为()ln ln eln ln af a a a a a a =-=-，()f x 有两个零点，则ln 0a a a -<，即ln 1a >，所以e a >，故a 的取值范围是()e,+∞.（2）由题()e xf x a '=-，若0a <，()0f x '>，()f x 单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，此时存在0x ，使得()00f x <，不符合题意. 若0a =，由()0f x ≥，知10b -≥，即1b ≤，满足1a b +≤.若0a >，由()0f x '=得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，则()f x 在ln x a =时极小值，即()ln ln 10f a a a a b =--+≥， 所以ln 1b a a a ≤-+，则2ln 1a b a a a +≤-+. 令()()2ln 10g a a a a a =-+>，则()1ln g a a '=-，当0e a <<时，()0g a '>，()g a 单调递增；当e a >时，()0g a '<，()g a 单调递减. 所以，当e a =时，()g a 取得最大值，即()e 2e elne 1e 1g =-+=+. 所以+a b 的最大值为1e +. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想解决函数问题，要求较高的计算能力和逻辑思维能力，属于较难题.本题关键有： （1）掌握利用导数研究函数的单调性和最值； （2）掌握利用分类讨论研究函数相关问题. 21．（1（2）为定值5. 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，由题意再将0FA FB ⋅=坐标化，得到222001x y a +=-，将20x ，20y，k =a . （2）设直线AD 方程，代入椭圆C ，利用韦达定理及直线斜率的关系，求得D 坐标及E 坐标，代入斜率公式求得直线DE 的斜率，可得结论. 【详解】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a=⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，所以()231a a =>，故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：00x x y y +=C ：2233x y +=，得(2002200310x x y y y y ⎡⎤⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 而220033x y +=，即()22000050y x y y y +--=，从而D y =.同理BE：00x x y y =E y =从而5E D E D y y y y +=-.于是0000000055E D DE E D E DE D y y y k kx x x y y -====⋅=-.所以DE ，BC 的斜率之比为定值5. 【点睛】方法点睛：第二问设而求点法：当直线与曲线的两个交点坐标中，已知一个点的坐标，求另一点坐标时，常用此方法. 22．（1）1C ：()22322x y -+=，2C ：24y x =；（2）. 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=对曲线1C 的参数方程进行化简可得曲线1C 的普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可求出曲线2C 的直角坐标方程； （2）将直线l 的参数方程代入曲线2C的方程，化简得2160t --=，解出方程的两根1t =2t =1212PQ t t t t =+=-=，同理可求出3434MN t t t t =+=-=PQ ，利用圆的几何性质求出MN ，从而可求出PM NQ +的值【详解】解析：（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，得()22322x y -+=. 曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，有22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2 4y x =. （2）法一：将2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线2C的方程得，24222⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2160t --=.由于(()2416960∆=--⨯-=>.故可设1t ，2t是方程2160t --=的两个不同的实根，所以1t =2t =，由t的几何意义得，1212PQ t t t t =+=-=.同理将2,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线1C 的方程得，232t =，解得两根为3t =，4t =.所以3434MN t t t t =+=-=故PM NQ PQ MN +=-==.法二：直线l 的普通方程为2y x =-，将直线l 与曲线2C 的方程联立，得22,4,y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，整理得2840x x -+=.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x +=，124x x =.所以12PQ x =-==而曲线1C 是以()2,0为圆心，2 显然点()12,0C 在直线l ：2y x =-上，所以22MN =⨯=故PM NQ PQ MN +=-==.【点睛】关键点点睛：本小题主要考查直线､圆的参数方程与普通方程互化，抛物线的极坐标方程与直角坐标方程互化.直线与圆，直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解､逻辑推理等数学能力；考查数形结合等数学思想，解题的关键是利用直线参数方程的几何意义求出弦长.23．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(][),21,-∞-⋃+∞. 【分析】（1）()2f x >等价于212x x +-->，然后分2,21,1x x x <--≤≤>三种情况去绝对值解不等式；（2）由于()()()222f x x x t x x t t =+--≤+--=+，所以()22f x t t ≤+转化为222t t t +≤+，即22222t t t t t --≤+≤+，从而可求出实数t 的取值范围【详解】解析：（1）当1t =时，()21f x x x =+--，则()2f x >等价于212x x +--> 即2,212,x x x <-⎧⎨--+->⎩或21,212,x x x -≤≤⎧⎨++->⎩或1,212,x x x >⎧⎨+-+>⎩解得12x >， 故原不等式的解集为12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. （2）由()()()222f x x x t x x t t =+--≤+--=+.所以()f x 的最大值为2t +.所以对于任意实数x ，不等式()22f x t t ≤+恒成立等价于222t t t +≤+恒成立. 即22222t t t t t --≤+≤+，解得2t ≤-或1t ≥.故t 的取值范围为(][),21,-∞-⋃+∞.。
2020届四川省遂宁市高三二诊数学(文)试题(解析版)
2020届四川省遂宁市高三二诊数学（文）试题一、单选题1．已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R I ð（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】利用函数定义域，化简集合A ，利用集合交集、补集的运算，即得解 【详解】由题意得集合|A x y ⎧==⎨⎩(,2)=-∞， 所以[2,)R A =+∞ð， 故(){2,3}R AB ⋂=ð． 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题2．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为12z i =，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】Q 221sin cos 3322z i i ππ=-+=--，12i z ∴=，则z 在复平面内对应的点的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题. 3．“1x >”是“2log 0x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】2log 01x x >∴>∴Q “1x >”是“2log 0x >”的充要条件，选C.4．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π， 图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π，所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.6．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点C 时，z 取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3)-为顶点的三角形及其内部，如下图表示：当目标函数经过点()2,3C 时，z 取得最大值，最大值为7.故选：C. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题.7．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值.【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+.因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】C【解析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．2 B 3C ．2D ．3【答案】B【解析】设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--，联立方程，求得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由16PF OP =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()ay x c b=--， 由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率==ce a故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．11．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦【答案】C【解析】由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x--'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，进而得出结论. 【详解】解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解， 即2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件．故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．12．已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③【答案】B【解析】由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线，进而判断第三个结论. 【详解】解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以③不正确．故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题．二、填空题13．已知平面向量(),2a m =r ，()1,3b =r ，且()b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与b r的夹角的大小为________． 【答案】4π 【解析】由()b a b ⊥-r r r ，解得4m =，进而求出2cos ,2a b =r r .【详解】解：因为()b a b ⊥-r r r，所以()()1,31,1130m m ⋅--=--=，解得4m =，所以22224,21,32cos ,24213a b ⋅==+⋅+r r ，所以向量a r 与b r 的夹角的大小为4π．都答案为：4π. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．【答案】30【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 【详解】根据直方图知第二组的频率是0.040100.4⨯=，则样本容量是802000.4=， 又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+⨯=， 则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530⨯=． 故答案为：30 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题. 15．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且344ππα<<，则cos α=__________． 【答案】210-【解析】试题分析：因344ππα<<,故,所以，,应填2-【考点】三角变换及运用．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】构造2()()g x f x x =-，先利用定义判断()g x 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化2(2)(1)321f x f x x x -->+-为(2)(1)g x g x >-，结合奇偶性，单调性求解不等式即可. 【详解】令2()()g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，()()20g x f x x ''=-<，则()g x 在(0,)+∞上递减，于是在(,0)-∞上递增．由2(2)(1)321f x f x x x -->+-得22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---， 即(2)(1)g x g x >-， 于是(|2|)(|1|)g x g x >-， 则|2||1|x x <-， 解得113x -<<． 故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了200人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：()1是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？()2若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了6人发放价值100元的购物券．若在获得了100元购物券的6人中随机抽取2人赠其纪念品，求获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】()1有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；()2815. 【解析】()1由题得2505.556 5.0249K =≈>，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有15个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有8个，进而求出获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率. 【详解】解析：()1由题得()222004040804050 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．()2获得了100元购物券的6人中男顾客有2人，记为1A ，2A ；女顾客有4人，记为1B ，2B ，3B ，4B ．从中随机抽取2人，所有基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()34,B B ，共15个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，共8个．所以获得纪念品的2人中仅有1人是女顾客的概率815P =． 【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．18．已知等差数列{}n a 满足11a =，公差0d >，等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，35b a =．()1求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ()2若数列{}n c 满足3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】()121n a n =-，13n n b -=；()23nn S =.【解析】()1由11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列，所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =.进而求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =，当2n …时，由3121123n n n c c c c a b b bb ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n c c c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=，可得123n n c -=⋅，进而求出前n 项和n S ． 【详解】解：()1由题意知，11a =，公差0d >，有1，1d +，14d +成等比数列， 所以()()21114d d +=⨯+，解得2d =． 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．数列{}n b 的公比3q =，其通项公式13n n b -=．()2当1n =时，由121c a b =，所以13c =．当2n ≥时，由3121123n n n c c c c a b b b b ++++⋅⋅⋅+=，31121231n n n cc c c a b b b b --+++⋅⋅⋅+=， 两式相减得1nn n nc a a b +=-，所以123n n c -=⋅．故13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩所以{}n c 的前n 项和231323232323n n S -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()131332313n n-⎡⎤⨯-⎢⎥=+=-⎢⎥⎣⎦，2n ≥．又1n =时，1113S a ==，也符合上式，故3nn S =.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．()1求证：平面PBC ⊥平面PBE ；()2是否存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAED PFB V V --=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】()1证明见解析；()2 2.【解析】()1利用面面垂直的判定定理证明即可；()2由PF FC λ=u u u r u u u r，知()1FC PC λ+=，所以可得出D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=，因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=，继而得出λ的值. 【详解】解：()1证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点，所以PE AD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒， 所以ABD △是正三角形，所以BE AD ⊥，而BE PE E ⋂=， 所以AD ⊥平面PBE ． 又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ．()2由PF FC λ=u u u r u u u r ，知()1FC PC λ+=．所以，111222B PAE P ADB P BCD F BCD V V V V λ----+===， D PFB P BDC F BDC F BCD V V V V λ----=-=．因此，34B PAE D PFB V V --=的充要条件是1324λλ+=， 所以，2λ=．即存在满足()0PF FC λλ=>u u u r u u u r 的点F ，使得34B PAE D PFB V V --=，此时2λ=．【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题．20．已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A在椭圆C 上，点B 在直线y =上的点，且OA OB ⊥．()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切； ()2求AOB V 面积的最小值．【答案】()1证明见解析；()2 1.【解析】()1由题意可得椭圆C 的方程为2212x y +=，由点B 在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，分类讨论当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆221x y +=相切；()2由()1知，AOB V 的面积为112S OA OB =⋅… 【详解】解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=．由点B在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0时，OA =OB =，于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212x y +=联立得()22122k x +=，所以22212Ax k =+，222212A k y k =+，从而2222212k OA k+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B在y =上，故x =， 从而2222OB k =+，于是22111OAOB+=．此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切． 综上，直线AB 与圆221x y +=相切．()2由()1知，AOB V 的面积为2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥，上式中，当且仅当0k =等号成立， 所以AOB V 面积的最小值为1． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．21．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x …时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）[1,)e -+∞.【解析】（1）对()f x 求导，令()ln 1xg x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=，即得证；（2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00110x a x ++-…时，转化()n 20mi 0001()f x f x x x a x ==++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解.【详解】（1）由题意()ln 1xf x e x a '=-+-，令()ln 1xg x e x a =-+-，则1()xg x e x'=-，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->，1202g '⎛⎫=<⎪⎝⎭， 所以，存在0112t <<使得()00g t '=，即0010te t -=．所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数， 当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数，故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．故00x t =，于是有0010x e x -=，即001x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．（2）由（1）知，()ln 1xf x e x a '=-+-的最小值为0011x a x ++-，①当00110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()020min 0000001()ln xf x f x e x x x a x x a x ==-+=++， 2000000011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…， 由（1）中0112x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()1f x >． 故0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…满足题意． ②当00110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x xf x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（） 若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数， 所以()f x 的最小值为()2f x ．注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…， 所以201x <…，即210x -≥，又()()()22222222222222ln ln ln 11xxxxf x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+()()22111x x e =--+，而210x e ->，所以()()221111xx e --+>，即()21f x >．由于在0112x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=， 所以201x x >>，所以由（）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭…满足条件． 综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞． 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，且AOB V 为正三角形．（1）求点A ，B 的极坐标；（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值． 【答案】（1）A 2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，B 2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）12+【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C 的方程，可得点M在以12Q ⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上，所以||BM 的最大值为1||2BQ +，即得解. 【详解】（1）因为点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，AOB V 为正三角形，所以点A 在曲线(0)6πθρ=>上．又因为点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上， 所以点A 的极坐标是2,6π⎛⎫⎪⎝⎭， 从而，点B 的极坐标是2,6π⎛⎫-⎪⎝⎭．（2）由（1）可知，点A的直角坐标为，B的直角坐标为1)- 设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C的方程，有1cos ,211sin ,22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即点M在以122Q ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上．||BQ == 所以||BM的最大值为11||22BQ += 【点睛】本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 23．已知函数()|21|f x x =+． （1）解不等式：()(2)6f x f x +-…； （2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【答案】（1）{|12}x x -剟； （2）见解析. 【解析】（1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x af x a+--+…，222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可.【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-， 于是原不等式化为|21||23|6x x ++-…，若21x <-，则21(23)6x x ----…，解得112x -<-…； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-…，解得1322x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-…，解得322x <…．第 21 页 共 21 页 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+…． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…， 于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.。
四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．2. i 为虚数单位，复数z 满足，则下列说法正确的是（ ）A．B．C ．z的虚部为－D ．z 在复平面内对应的点在第三象限3. 已知正实数，满足，则（ ）A．B．C．D ．，大小不确定4. 已知，为椭圆的左，右焦点，E 上一点P 满足，的平分线交x 轴于点Q ，则（ ）A．B．C．D．5. 下列说法正确的是（ ）A ．已知一组数据的方差为10，则的方差为12B．已知变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是C．已知随机变量服从正态分布，若，则D．已知随机变量服从二项分布，若，则6. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．7. 为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下列推断正确的是（ ）A ．这200名学生阅读量的平均数大于25本B ．这200名学生阅读量的中位数一定在区间内C ．这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内D ．这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题(高频考点版)四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题(高频考点版)三、填空题四、解答题8. 在三棱锥中，，，且，则（ ）A．当为等边三角形时，，B．当，时，平面平面C ．的周长等于的周长D．三棱锥体积最大为9.函数的部分图象如图所示，则的值是______．10. 已知函数是偶函数，则实数为___________.11. 若，则_______；_______.12.已知幂函数的图像过点，则___________.13. 化简：．14.设复数是方程的一个根．(1)求；(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．15. 已知角的终边经过点（），且．（1）求的值；（2）求的值．16. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的取值范围.。
四川遂宁市高中2021届高三下学期第二次诊断性考试数学文试题word版含答案
四川遂宁市高中2021届高三下学期其次次诊断性考试数学文试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2021•遂宁模拟）已知集合A=，B={x|（x+3）（2x﹣1）≤0}，则A∩B=（）A．B．C．，∵A=，∴A∩B=，故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2021•遂宁模拟）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的听力成果（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，7 D．8，7【考点】：茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：依据茎叶图与题意，求出x、y的值，即可．【解析】：解：依据茎叶图知，甲组数据是9，15，10+x，21，27；∵它的众数为l5，∴x=5；同理，依据茎叶图知乙组数据是9，13，10+y，18，27，∵它的中位数为17，∴y=7．故x、y的值分别为：5，7．【点评】：本题考查茎叶图的应用问题，解题时利用茎叶图供应的数据，求出x、y的值，即可解答问题，是基础题．3．（5分）（2021•遂宁模拟）已知复数z满足：zi=2+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解：由zi=2+i ，得，∴z的虚部是﹣2．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．（5分）（2021•遂宁模拟）为了得到函数y=sin3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象（）A．向右平移个单位长B．向右平移个单位长C．向左平移个单位长D．向左平移个单位长【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则推断选项即可．【解析】：解：函数y=sin3x+cos3x=sin（3x+），故只需将函数y=sin（3x+）的图象向右平移个单位，得到y=sin=sin3x的图象．故选：A．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本学问的考查．5．（5分）（2021•遂宁模拟）设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：简易规律．【分析】：依据充分条件和必要条件的定义进行推断即可．【解析】：解：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a=﹣2，b=1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据不等式的关系是解决本题的关键．6．（5分）（2021•遂宁模拟）已知向量，若，则实数λ=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2【考点】：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面对量及应用．【分析】：由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解析】：解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】：本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．（5分）（2021•遂宁模拟）在区间上随机选取一个数M，不变执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N﹣2的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型；程序框图．【专题】：计算题；概率与统计；算法和程序框图．【分析】：计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足推断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解析】：解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足推断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足推断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足推断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足推断框条件，输出n：N=3．在区间上随机选取一个数M，长度为5，M≤1，长度为3，所以所求概率为，故选：C【点评】：本题考查循环结构的应用，留意循环的结果的计算，考查计算力量，考查概率的计算，确定N的值是关键．8．（5分）（2021•遂宁模拟）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．4+2B．2+C．2+2D．4+【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，画出几何体的直观图，求出各个面的面积，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，该几何体的直观图如下图所示：由三视图可得：CD=AD=1，SD=BD=2，SD⊥底面ABC，故S△ABC=S△ASC=2，由勾股定理可得：SA=SC=AB=AC=，SB=2，故△SAB和△SBC均是以2为底，以为高的等腰三角形，故S△SAB=S△SBC =，故该几何体的表面积为4+2，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．9．（5分）（2021•遂宁模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|=40，则|HF|=（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】：抛物线的简洁性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先求MN的垂直平分线，求出MN的垂直平分线交x轴于H的坐标，进而求得|HF|=|MN|，即可得出结论．【解析】：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），弦MN的中点为M′（x0，y0），则∴MN的垂直平分线为y﹣y0=﹣（x﹣x0）令y=0，则x H=x0+p∴|HF|=x0+∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p∴|HF|=|MN|=20，故选：D．【点评】：本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，考查同学的计算力量，比较基础．10．（5分）（2021•遂宁模拟）函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足：（1）f（x）在D上为单调函数；（2）存在区间⊆D，使得f（x）在上的值域为，则称函数f（x）为“取半函数”．若f（x）=log c（c x+t）（c＞0，且c≠1）为“取半函数”，则t的取值范围是（）A．（﹣，）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【考点】：对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据复合函数的单调性，先推断函数f（x）的单调性，然后依据条件建立方程组，转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论．【解析】：解：若c＞1，则函数y=c x+t为增函数，y=log c x，为增函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若0＜c＜1，则函数y=c x+t为减函数，y=log c x，为减函数，∴函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，综上：函数f（x）=log c（c x+t）为增函数，若函数f（x）=log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是函数f（x）为“取半函数”．，所以a，b是方程log c（c x+t）=，两个不等实根，即a，b是方程c x +t=c两个不等实根，化简得出：c x+t=0，可以转化为：m2﹣m+t=0有2个不等正数根．所以求解得出：0故选：B．【点评】：本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题，推断函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，有肯定的难度．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．（5分）（2021•遂宁模拟）圆心在原点且与直线y=2﹣x 相切的圆的方程为x2+y2=2．【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解析】：解：圆心到直线的距离：r==，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=2．【点评】：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．12．（5分）（2021•遂宁模拟）已知偶函数f（x）在=；（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin2x=，x∈R．则：sinx∈，当sinx=时，函数f（x）的最大值为．【点评】：本题考查的学问要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．17．（12分）（2021•遂宁模拟）某学校有男老师45名，女老师15名，依据分层抽样的方法组建了一个4人的学科攻关小组．（1）求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数；（2）经过一个月的学习、争辩，这个学科攻关小组打算选出2名老师做某项试验，方法是先从小组里选出1名老师做试验，该老师做完后，再从小组内剩下的老师中选1名做试验，求选出的2名老师中恰有1名女老师的概率．【考点】：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）依据分层抽样的按比例抽取的方法，男女老师抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的2名老师的基本大事数，有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a 1，b），（a2，b），（a3，b），共6种；再算出恰有1名女老师大事大事数，两者比值即为所求概率．【解析】：解：（1）由题意知，该校共有老师60名，故某老师被抽到的概率为=．设该学科攻关小组中男老师的人数为x，则，解得x=3，所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为3，1．（2）由（1）知，该3名男老师和1名女老师分别记为a1，a2，a3，b，则选取2名老师的基本大事有：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中恰有1名女老师的基本大事有3种，所以选出的2名老师中恰有1名女老师的概率为P==．【点评】：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法，是一道简洁的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估量的方法，属基础题．18．（12分）（2021•遂宁模拟）如图，ABCD为梯形，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=a，PD=a，E为BC中点（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【考点】：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结BD，由已知得BC⊥DE，BC⊥PD，从而BC⊥平面PDE，由此能证明平面PBC⊥平面PDE．（Ⅱ）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，从而△AOB∽△COD，AB=DC，进而△CPA中，AO=AC，由PF=，得OF∥PA，由此得到当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结BD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=a，DA=，所以BD=DC=2a，E为BC中点，所以BC⊥DE，…（3分）又由于PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD，由于DE∩PD=D，…（4分），所以BC⊥平面PDE，…（5分）由于BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDE．…（6分）（Ⅱ）解：当点F位于PC三分之一分点（靠近P点）时，PA∥平面BDF，…（7分）连结AC，BD交于O点，AB∥CD，所以△AOB∽△COD，AB=DC，所以△CPA中，AO=AC，…（10分）而PF=，所以OF∥PA，…（11分）而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF，所以PA∥平面BDF．…（12分）【点评】：本题考查面面垂直的证明，考查线面平行时点的位置的确定与证明，考查同学的空间想象力量、规律推理力量和运算求解力量，是中档题．19．（12分）（2021•遂宁模拟）已知数列{a n}为等差数列，其中a1=1，a7=13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n =，T n为数列{b n}的前n项和，当不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立时，求实数λ的取值范围．【考点】：数列的求和；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的通项公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n；（2）由（1）化简b n =，利用裂项相消法求出T n，代入不等式λT n＜n+8分别出λ，利用基本不等式求出式子的最小值，再由对于n∈N*恒成立求出实数λ的取值范围．【解析】：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a7=13，∴a1+6d=13，解得d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1…（5分）（2）由（1）得，b n ==（），∴T n==（1﹣）=…（8分）要使不等式λT n＜n+8（n∈N*）恒成立，只需不等式=+17恒成马上可…（10分）∵，当且仅当时，即n=2取等号，∴λ＜25…（12分）【点评】：本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（13分）（2021•遂宁模拟）已知定点A（﹣2，0），F（1，0），定直线l：x=4，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的．设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N 两点．（1）求C的方程；（2）试推断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化简即可得出；（2）设DE的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．利用根与系数的关系只要证明=0即可．【解析】：解：（1）设P（x，y）为E 上任意一点，依题意有=，化为．（2）设DE的方程为x=ty+1，联立，化为（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则，t1t2=．由A（﹣2，0），可得直线AD的方程为y=，点M，同理可得N．∴======9﹣9=0．∴以线段MN为直径的圆恒过定点F．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、两点之间的距离公式，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（14分）（2021•遂宁模拟）已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxe x（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），g′（x）为g（x）的导函数，且g′（0）=1，（1）求k的值；（2）对任意x＞0，证明：f（x）＜g（x）；（3）若对全部的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【考点】：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求导，再代入值计算即可；（2）构造函数G（x），依据函数的单调性，即可证明；（3）构造函数令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求导，再分类争辩，即可求出a的取值范围．【解析】：解：（1）g'（x）=k（x+1）e x所以g'（0）=k=1…（3分）（2）证明：令G（x）=e x﹣x﹣1，G′（x）=e x﹣1，当x∈（0，+∞），G′（x）＞0，所以当x∈（0，+∞）时G（x）单调递增，从而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；所以e x＞x+1＞0⇒x＞ln（x+1）＞0，∴xe x＞（x+1）ln（x+1），所以当x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；…（8分）（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，则h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，所以x=e a﹣1﹣1＜0，从而对全部x＞0，h′（x）＞0；h（x）在…（14分）【点评】：本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围，属于中档题．。
四川省高考数学二诊试卷文科含答案解析
2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i 为虚数单位，那么复数 =〔〕A ．+ i B ． ﹣ iC ．﹣+iD ．﹣ ﹣i2．集合A={x|x 2+4≤5x ，x ∈R}，B={y|y ＞2}，那么A ∩B=〔〕 ．〔2，+∞〕 B ．〔4，+∞〕 C ．〔2，4] D ．[2，4] 3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm 〕、体重〔kg 〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R 2， 那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C ．身高为170cm 的学生体重一定为 D ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg．等差数列 n }的前n 项和为S n ，假设S 10 ，那么 3+a 8 〔〕4{a =55 a=A ．5B ．C ．10D ．115．设a=〔 〕 ，b=〔 〕 ，c=ln ，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b6．执行如下图的程序框图，那么输出 b 的值为〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．167．将函数f 〔x 〕= sinx+cosx 的图象向右平移后得到函数 g 〔x 〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k 的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣39．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元D．元11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么?=．．假设等比数列n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+++=．14{a=615．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有〔填写所有正确命题的编号〕．16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m=．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分4-4：坐标系与参数方程].选修[（22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i为虚数单位，那么复=〔〕数A．+ i B．﹣i C．﹣+iD．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．应选：B．2．集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，那么A∩B=〔〕A．〔2，+∞〕B．〔4，+∞〕C．〔2，4] D．[2，4]【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，A∩B={x|2＜x≤4}=〔2，4]．应选C．3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm〕、体重〔kg〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2，那么以下说法正确的选项是〔〕A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C．身高为170cm的学生体重一定为D．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，计算x=170时的即可预测结果，计算身高每增加时体重约增加×．【解答】解：根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确；x=170时，×170﹣，预测身高为170cm的学生体重为，C错误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加×，D错误．应选：B．．等差数列n}的前n项和为S n，假设S10，那么3+a8〔〕4{a=55a=A．5 B．C．10 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5〔a3+a8〕，由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n的前n项和为S n，S10}=55，∴S10=〔3+a8〕=55，==5a解得a3+a8．=11应选：D．5．设a=〔〕，b=〔〕，c=ln，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比拟．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=〔〕＜b=〔〕=，c=ln＜ln1=0，b＞a＞c．应选：B．6．执行如下图的程序框图，那么输出b的值为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，应选：D．7．将函数f〔x〕= sinx+cosx的图象向右平移后得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】将函数化简，通过向右平移后得到函数g〔x〕的图象，根据正弦函数的对称轴方程即可求解．【解答】解：函数f〔x〕= sinx+cosx=2sin〔x+〕，图象向右平移后得：2sin〔x﹣+〕=2sin〔x﹣〕=g〔x〕，由x﹣=k，k∈Z，可得：x=k，当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=．应选D．8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心〔1，﹣2〕，假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．应选：A．9．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】此题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．应选：A．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元【考点】由三视图求面积、体积．D．元【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造本钱约为=×240≈元．应选：C．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备B设备2 43 1假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是由约束条件画出可行域，如下图的阴影局部由，结合图象可知，在A处取得最大值，由可得A〔50，100〕，此时××100=50万元，应选：C．12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，f〔t〕=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f〔t〕=2在1，∞〕有2个解，[+，当x＜0时，根据函数恒过点〔0，3〕，分类讨论，即可求出当k＞0时，f〔t〕=2时有3个解，问题得以解决．【解答】解：函数f〔x〕为“复合5解“，∴f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，∴f〔t〕=2，∵当x＞0时，f〔x〕= =，∴f〔x〕=，当0＜x＜1时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x＞1时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，∴f〔x〕min=f〔1〕=1，∴t≥1，∴f〔t〕=2在[1，+∞〕有2个解，当x≤0时，f〔x〕=kx+3，函数f〔x〕恒过点〔0，3〕，当k≤0时，f〔x〕≥f〔0〕=3，t≥3f〔3〕=＞2，∴f〔t〕=2在[3，+∞〕上无解，当k＞0时，f〔x〕≤f〔0〕=3，∴f〔t〕=2，在〔0，3]上有2个解，在〔∞，0]上有1个解，综上所述f〔f〔x〕〕=2在k＞0时，有5个解，应选：D二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么? = 32．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，那么? =| |?| |?cosA=5×8×=32．故答案为：32．n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+﹣．14．假设等比数列{a=6++=1【考点】数列的求和．【分析】等比数列{a n2a3﹣a11221=6a1}的公比为，且=6，可得a〔﹣〕，解得．可∴得a n=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=6，a1〔22﹣1〕=6，解得a1=2．a n=2n．那么+ + + =+ + ==1﹣．故答案为：1﹣．15．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有②④〔填写所有正确命题的编号〕．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′中D，′对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m= 1或﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F〔，0〕，设A〔x，y〕，由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+=x+=，那么x=2，那么y=±2，那么A〔2，2〕或A〔2，﹣2〕，当A点坐标〔2，2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，即=，解得：m=1，同理A点坐标〔2，﹣2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，﹣1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，=，解得：m=﹣1，故m为1或﹣1，故答案为：1或﹣1．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．【考点】余弦定理．【分析】〔1〕由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；2〕由二倍角余弦公式的变形化简sin2B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值．【解答】解：〔1〕因为sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=，所以sin〔A﹣〕﹣cos〔A﹣〕=，那么sinA﹣cosA﹣〔cosA+ sinA〕=，化简得cosA=，又0＜A＜π，那么A=；2〕因为sin2B+cos2C=1，所以sin2B+1﹣2sin2C=1，即sin2B=2sin2C，由正弦定理得，b2=2c2，那么b=c，又a=，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，那么5=2c2c2﹣2c2×，解得c=1，+那么b=c=．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？【考点】众数、中位数、平均数．【分析】〔1〕分别求出T1和T2的平均数，判断结论即可；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，分别求出P〔A〕和P〔B〕，比拟即可．【解答】解：〔1〕由题意得：T1的平均数为：=，同理，可得T2的平均数为：=，故，甲图书馆借书的平均等待时间是分钟，乙图书馆借书的平均等待时间是分钟；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔A〕=P〔T1≤3〕=P〔T1=1〕P〔T1=2〕P〔T1=3〕=++；++设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔B〕=P〔T2≤3〕=P〔T2=1〕P〔T2=2〕P〔T2=3〕=++，++故P〔B〕＞P〔A〕，由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过3分钟的概率更高一些，故在乙图书馆借更能满足该同学的要求．19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．〔2〕三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE，由此能求出三棱锥A﹣BDE的体积．【解答】解：〔1〕直线DE∥平面ABC．证明如下：VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC，AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，AC?平面ABC，DE?平面ABC，∴直线DE∥平面ABC．2〕VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，∴三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE=，∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=AC=，∴DE⊥VC，S△ADE△CDE==，=S∴三棱锥A﹣BDE的体积V A﹣BDE=V B﹣ADE===．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕由可得，解得a2，b2．〔Ⅱ〕设直线AB的方程：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k2+1〕x2+8ktx+〔4t2﹣8〕=0．△=16〔8k2﹣t2+2〕＞0，．写出直线PA、的方程，求出M、N坐标，由 =得〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕x1+x2〕+8t=0．把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．得t．【解答】解：〔Ⅰ〕由可得，解得a2=8，b2=2．∴椭圆的方程为：〔Ⅱ〕设直线AB的方程：．y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k21〕x28ktx〔4t2﹣8〕=0．+++△=16〔8k2﹣t22〕＞0，①+直线PA的方程，∴M〔0，〕同理N〔0，〕．由=得，〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕〔x1+x2〕+8t=0②把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．因为直线不过点P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2故直线l是否过定点Q〔0，﹣2〕21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax020．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔I〕令f′〔1〕=﹣1解出a，得出f〔x〕的解析式，在利用导数判断fx〕的单调性，得出最值；II〕令g′〔x〕=0有解且x0为g〔x〕的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h〔x〕=xf 〔x〕+1+ax2，判断h〔x〕的单调性即可得出结论．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=﹣2a，f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′〔1〕=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f〔x〕=lnx﹣2x，f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=，当0时，f′〔x〕＞0，当x时，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，]上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，f〔x〕的最大值为f〔〕=﹣1﹣ln2．〔II〕g〔x〕=lnx﹣2ax x2，g′〔x〕=x+﹣2a=，+令g′〔x〕=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕单调递增，∴g〔x〕无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′〔x〕=0有两解x1，x0，∵x0是g〔x〕的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′〔x0〕=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f〔x0〕+1+ax02=x0lnx0﹣，设h〔x〕=xlnx﹣，那么h′〔x〕=﹣x2++lnx，h″〔x〕=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″〔x〕＞0，当x时，h″〔x〕＜0，h′〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，h′〔x〕≤h′〔〕=ln＜0，h〔x〕在〔0，1〕上单调递减，∴h〔x0〕＞h〔1〕=0，即x0lnx0﹣＞0，x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，由此能求出点P的极坐标．【解答】解：〔1〕∵双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由〔Ⅰ〕知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为〔4cos〔〕，〕，即〔2，〕．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】〔1〕当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：〔1〕当a=﹣2时，不等式f〔x〕≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；2〕x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，∴|a﹣1|≤2a，∴．2021年4月5日。
四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题
四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){}320A x x x =+-≤，{}1B x x =≤，则A B =I ( ) A ．{}32x x -≤< B ．{}31x x -≤< C ．{}31x x -≤≤ D ．{}12x x <≤2．2i2i+=（ ） A ．1i 2-B ．11i 2-C ．1i 2+D ．31i 44-3．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm ）均在区间[]10,20内，按照[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm 的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（ ）A ．20B ．40C ．60D ．884．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos22sin 21αα+=，则tan α=（ ）A ．3B ．2C ．12D ．135．过直线l ：50x y +-=上的点作圆C ：()()22126x y -++=的切线，则切线段长的最小值为( )A B ．C D ．6．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）A ．11sin sin 2sin323=++y x x xB ．11sin sin 2sin 323y x x x =--C ．11sin cos 2cos323y x x x =++D ．11cos cos 2cos323y x x x =++7．已知函数()432386f x x x x =-+，则()f x （ ）A ．有2个极大值点B ．有1个极大值点和1个极小值点C ．有2个极小值点D ．有且仅有一个极值点8．将函数()cos f x x x =-的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到的图象对应的函数可以是( ) A ．2sin y x =B ．2cos y x =C ．2sin y x =-D ．2cos y x =-9．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形，2AB =，1AA =点1B 在底面ABCD 的射影为BC 中点H ，则点1C 到平面ABCD 的距离为( )A B C ．D ．310．已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A ．4B ．6C ．8D ．1011．在ABC V 中，2AB AC ==，BC =D 为BC 的中点，将ACD V 绕AD 旋转至APD ，使得BP P ABD -的外接球表面积为（ ）A B C ．5π D ．8π12．已知函数()1ex x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（ ） A ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知双曲线22:19x C y -=，则C 的离心率为___________.14．已知()1,2AB =u u u r，()2,AC t =u u u r ，1BC =u u u r ，则实数t =______.15．ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若()2cos cos a c B b C -=，且b =则ABC V 面积的最大值为___________.16．《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为O ，1O ，2O ，半径分别为R ，1r ，2r （其中12R r r >>），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，则12=r r ___________.三、解答题17．某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ (2)利用样本数据，在评价结果为“良好”的客户中，按照性别用分层抽样的方法抽取了6名客户.若从这6名客户中随机选择2名进行访谈，求所抽取的2名客户中至少有1名女性的概率. 附表及公式：其中()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.18．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足14n n n n c b a a +=+，求{}n c 的前n 项和n T . 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，H 为ABC V 的内心，直线AH 与BC 交于M ，PAB PAC ∠=∠，PCA PCB ∠=∠.(1)证明：平面PAM ⊥平面ABC ；(2)若AB BC ⊥，3PA AB ==，4BC =，求三棱锥M PAC -的体积.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过()0,1A ，83,55T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，M ，N 是椭圆E上异于T 的两动点，且MAT NAT ∠=∠，直线AM ，AN 的斜率均存在.并分别记为1k ，2k . (1)求证：12k k 为常数； (2)证明直线MN 过定点.21．已知函数()2e xf x a x=-有两个极值点1x 、2x .(1)求a 的取值范围；(2)若213x x ≥时，不等式12122x x x x λ+≥恒成立，求λ的最小值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2224sin 31ρθρ=-.(1)求C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B ，求AB . 23．设函数()2321f x x x =-++. (1)解不等式()6f x x ≤-；(2)令()f x 的最小值为T ，正数x ，y ，z 满足2x y z T ++=，证明：11281125x y z ++≥+++.。
四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学(文)试题
一、单选题二、多选题1. 设集合，，则（ ）A ．B．C．D．2. 已知函数，若对任意实数x都成立，，且函数在区间上单调，则的值为（ ）A．B．C．D．3.已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ）A．B．C．D．4.若，，，，则a ，b ，c ，d 中最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d5.已知全集，若，则（ ）A．B．C．D．6. 已知函数的最小正周期是，将的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点，则关于函数的说法不正确的是（ ）A ． 是函数一条对称轴B ． 是函数一个对称中心C ．在区间上单调递增D ．在区间上单调递减7. 已知角是的一个内角，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1，且底面，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．9.年中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官网提供的数据，年年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（ ）四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题四川省遂宁市2023届高三第二次诊断性考试数学（文）试题三、填空题四、解答题A ．年国内生产总值年增长率最大B．年国内生产总值年增长率最大C ．这年国内生产总值年增长率不断减小D ．这年国内生产总值逐年增长10.在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转120°至处，则（）A．在旋转过程中，点运动的轨迹长度为B．点到平面的距离为C ．异面直线与所成的角为90°D ．直线与平面所成角的正弦值为11. 已知复数（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数在复平面内对应的点坐标为B ．的虚部为C．D．为纯虚数12. 已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（ ）A． .B．C．D．13. 已知向量，，则=______.14. 某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中选择3个科目进行研修．已知某班级a 名学生对科目的选择如表所示，则的一组值可以是______．科目国际金融统计学市场管理历史市场营销会计学人数2428141519b15. 已知△ABC 是边长为3的正三角形，点D 在边BC上，且，则______．16. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)求B；(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．17. 已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围.18. 已知双曲线（，）的左、右顶点分别为、，离心率为2，过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求证：为定值．19. 已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点．P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：分别交于M，N两个不同的点．(1)求椭圆C的方程：(2)设直线l与x轴交于R，若P，F，Q三点共线，求证：与相似．20. 已知椭圆的右焦点为，坐标原点为，椭圆的动弦过右焦点且不垂直于坐标轴，的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点.(1)证明：点在直线上：(2)当四边形是平行四边形时，求的面积.21. 如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．(1)求及线段的长；(2)求的面积．。
四川省遂宁市2022届高三第二次诊断性考试数学(文)试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知，则下列选项中错误的是（ ）A．B．C．D．2. “且”是“”成立的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分也非必要3. 定义矩阵运算，则（ ）A．B．C．D．4.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）A ．25B．C ．5D．5. 某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品.已知某同学的号码满足获得纪念品的条件，则他同时可以获得纪念品的概率是A ．0.016B ．0.032C ．0.064D ．0.1286.已知．若，则a ＝（ ）A ．2B．C．D．7. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 命题“”的否定是（ ）A．B．C．D．9. 在空间中， 设为两条不同的直线，为两个不同的平面（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则10. 已知实数x ，y满足则（ ）A ．的取值范围为B ．的取值范围为C．的取值范围为D ．的取值范围为11. 已知复数则（ ）A ．复数在复平面内对应的点在第三象限B ．复数的实部为四川省遂宁市2022届高三第二次诊断性考试数学（文）试题 (2)四川省遂宁市2022届高三第二次诊断性考试数学（文）试题 (2)三、填空题四、解答题C．D ．复数的虚部为12. 下列命题中，正确的命题有（ ）A ．已知随机变量服从二项分布，若，，则B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则D．若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过90分的概率为13. 设a 为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则__________，此时，曲线在原点处的切线方程为______________．14. 已知三棱锥P —ABC中，，，，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．15.是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形，则第个黄金三角形的腰长为________（写出关于表达式即可）.16.已知圆过点，且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程；(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.17. 某土特产超市为预估2022年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）[0，150）[150，300）[300，450）[450，600）[600，750）[750，900]人数101520152010(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关．不少于600元少于600元合计男40女18合计(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为P （每次抽奖互不影响，且P 的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数（元）的分布列并求其数学期望．附：参考公式和数据：附表：2.072 2.7063.841 6.6357.8790.1500.1000.0500.0100.00518. 2022年北京冬奥会防寒服中的“神奇内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员比赛服装的保暖材料.该“内芯”具有超轻超薄､湿态保暖､高蓬松度等特点，其研发是国家重点研发计划“科技冬奥”重点专项之一，填补了国内空白.为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度(单位：)的均值，并制成如下频率分布直方图：(1)估计该批保暖絮片纤维长度的平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)该批保暖絮片进入成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.请问该批保暖絮片是否合格？(若二次抽检纤维长度均值满足，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格).19. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点坐标为且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求过双曲线的右焦点且平行于渐近线的直线方程.20. 在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A的大小；(2)若，求的取值范围．21. 已知数列满足：，．(1)求证：数列和均为等比数列；(2)设，数列的前n项和为，求证：．。
2025届四川省遂宁市射洪县高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届四川省遂宁市射洪县高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 2．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．723．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12）D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 5．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A ．3224+ B ．3424+ C ．3226+ D ．3426+ 6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C ．32D ．347．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.8．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 10．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．6311．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠12．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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试 题 考 生 都 必 须 作 答 第 !!!% 题 为 选 考 题 考 生 依 据 要 求 作 答
一 必 考 题 共 *" 分
$(!!本 小 题 满 分 $! 分 "
某商场为改进服务质量%在进场购物的顾客中随机抽取了!""人进行问卷调 查!调 查后%就顾
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数学!文史类"试题 第 页!共页"
与抛物线 - 交于另一点4!给出以下判断+
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以 %4 为直径的圆与抛物线准线相切!
其 中 %所 有 正 确 判 断 的 序 号 是
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数学!文史类"试题 第! 页!共页"
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二 填 空 题 本 题 共 # 小 题 每 小 题 & 分 共 !" 分
0!第 四 象 限
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二组的频数 是 9"%则 成 绩 在 区 间 .9"%$"",的 学 生 人 数 是
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秘密 " 启用前 考试时间!"!"年#月$%日$&'""$('""
遂宁市高中级第二次诊断性考试
数!学文史类
考 试 时 间 $!" 分 钟 ! 试 卷 满 分 $&" 分 注意事项
$)答 卷 前 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 !)回答选择题时选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂 黑 如需 改 动用橡皮擦干净后再选涂其它答案 标 号 回 答 非 选 择 题 时将 答 案 写 在 答 题 卡 上 写 在 本 试 卷上无效 %)考 试 结 束 后 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回
个八卦图%包含乾*坤*震*巽*坎*离*艮*兑 八 卦 !每 一 卦 由 三 个 爻 组
成%其中& '表示一个阳爻%& '表 示 一 个 阴 爻"!若 从 含 有 两
个 及 以 上 阳 爻 的 卦 中 任 取 两 卦%这 两 卦 的 六 个 爻 中 恰 有 两 个 阴 爻 的
概率为
-!$%
.!$!
/!!%
$%!已 知 平 面 向 量+ !(%!"%+ !$%%"%且) !,"%则 向 量
与 的夹角的大小为!!!! $#!某中学举行了一次消防知识竞赛%将 参赛学 生 的成 绩进 行
整理后分为&组%绘 制 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图%记 图
中从左到右依次为第一*第二*第三*第四*第五组%已 知第
-!#,!%,$%"%$%!$
.!#"%$%!%%$
/!#$%!%%$
0!#!%%$
!!已知1为虚数单位%复数&+,213!%,1452!%%则& 在复平面内对应的点位于
-!第 一 象 限
.!第 二 象 限
%!&实 数 #$$'是 &657!#$"'的
-!充 分 不 必 要 条 件
/!第 三 象 限
客 &购 物 体 验 '的 满 意 度 统 计 如 下 +
满意
不满意
男
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#"
女
9"
#"
!$"是 否 有 :(=&> 的 把 握 认 为 顾 客 购 物 体 验 的 满 意 度 与 性 别 有 关 / !!"若在购物体验满意的问卷顾客中按照 性 别 分 层 抽 取 了 * 人 发 放 价 值 $"" 元 的 购 物 券!若