2019年甘肃省高考一诊文科数学答案

2019年甘肃省第一次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. A
2. C
3. C
4. B
5. A
6. D ．
7.C
8.B
9.A 10.B 11.D 12. C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.8 14. 12
15. 50 16. 16
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分. 17.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则 323d a a =−=， 因为，所以2411314a a a d a d +=+++=11a =，
所以{}n a 的通项公式为. ……………………………6分
32n a n =−（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为，由（1）得 即 q 244,16.b b =⎧⎨
=⎩1314,
16.b q b q =⎧⎪⎨=⎪⎩解得或
……………………………8分
12,2.b q =⎧⎨=⎩12,
2.
b q =−⎧⎨
=−⎩所以7717(1)2(12)=254112b q S q −−==−−或771721(2)(1)=
8112b q S q ⎡⎤−−−−⎣⎦6==−−+. …12分 18.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）根据直方图数据，有2(20.20.2)1a a a ×++++=，
解得． ……………………………2分 0.025a =设所选样本中产品的平均长度为X ，
图中从左到右六组的频率分别为，，，，，． 0.050.10.20.40.20.05则200.05220.1240.2260.4280.2300.05X =×+×+×+×+×+×=25.5（cm ）． 根据样本估计总体原理，因此估计这批产品的平均增长长度值为25.5cm ．
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……………6分
（Ⅱ）根据直方图可知，样本中优质产品有120(0.10020.0252)30××+×=，列联表如下表所示： A 试验区
B 试验区
合计
优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120
……………………8分 可得2
2
120(10302060)10.310.82870503090
K ×−×=
≈×××<． ……………………10分 所以，没有99.9％的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系． …………12分 19. （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）取的中点PD E ，连接AE ，
EM ，因为M 为棱的中点，所以 PC //EM CD ，且1
=2
EM CD .又因为
//AB CD ，2AB =,,
4CD =所以//EM AB ,=EM AB ,所以四
边形ABME 是平行四边形, 所以,//BM AE BM ⊄平面,PAD AE ⊂平面,
所以平面. ………………………6分 PAD //BM PAD （Ⅱ）取AD 的中点F ,连接，则BF BF
AD ⊥
，又PD ⊥底面，所以
，，所以ABCD PD BF ⊥
PD AD D ∩=BF ⊥平面PAD ， ……………………9分
由（1）知平面，故//BM PAD M 点到平面的距离等于PAD B 点到平面的距离PAD BF ,由2,60,AB AD DAB ==∠=°得
BF =M 点到平面的距离PAD . ………………………………12分
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20.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得22
1()1,⎧
⎪=⎪⎩
解得2,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ………………………………………5分
（Ⅱ）设直线l 的方程
为y kx =+代入椭圆C 的方程2
214x y +=，整理
得22(14)40k x x +++=，
k 的值应满足0Δ>，即，所以24-10k >1
2k >，或12
k <−. ① ……………7分
设点，，则11(,)A x y 22(,)B x
y 122
14x x k
+=−
+，1224
14x x k =+，
又212121212(()y y kx kx k x x x x ==+++2.
若坐标原点O 在以为直径的圆内，则AB 0OA OB ⋅<JJJ G JJJ G
, ……………………9分
所以12
12121221))20((x x y y k x x x x =++++<，
即224(1)(214k k +⋅
++<+0
, 解得k k <>
② 由①②得,k
的取值范围是(,−∞∪+∞). ……………………12分
21.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）因为2()ln f x x x x =−，所以()2ln 1f x x x ′=−−.(1)1f ′=,又,即切线斜率，切点为(1，所以曲线(1)1f =1k =,1)()y f x =在点处的切线方程为
. ……………………5分
(1,(1))f 0−=x y （Ⅱ）令22
()()ln ,(1+)22
x x g x f x x x x =−=−∈∞，，则()1ln g x x x ′=−−. …………7分
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令， 则()1ln h x x x =−−l l
()1=x h x x x
−′=−. 当(1
+)∈∞，x 时，()0h x ′>, 函数在上单调递增,故()h x (1+)∞，()(1)0h x h >=, 从而当(1+)x ∈∞，时，()(1)0g x g ′′>=,即函数
()g x 在上单调递增,故(1+)∞，1()(1)2g x g >=, 因此2
()2
x f x k −>在(1上恒成立,必须+)∞，
1
2k ≤
.所以实数的取值范围是k 1(,2⎤−∞⎥⎦
. ……………………12分 （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。

按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22.（本题满分10分）
解：（Ⅰ）直线的参数方程为1C 3+cos 4
2sin
4x t y t π⎧
=⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩
， (其中t 为参数），
消去参数可得. 10x y −−=曲线的极坐标方程为2C 2
4cos sin θ
ρθ
=
，即2sin 4cos ρθ=θ，化为24(0)y x y =≠. ）………………………………………………5分
（Ⅱ）过点与直线垂直的直线的参数方程为3,2P （1
C 3,22
x y ==+⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
（t 为参数）， 代入24y x =
，可得2160t +−=， 所以，
1216t t =−所以1216PM PN t t ⋅==. ……………………10分
23.（本题满分10分）
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（Ⅰ）133,21()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ⎧
−<⎪⎪
⎪
++=−+−=+⎨⎪
−>⎪⎪⎩
≤≤， ……………………2分
当1
2
x <
时，由，解得336x −≥1x −≤； 当1
22
x ≤≤时，不成立； 16x +≥当时，由33，解得．
2x >6x −≥3x ≥所以不等式的解集为()(21)6f x f x ++≥[)(,1]3,−∞−+∞∪．……………………5分
（Ⅱ）因为1,0)a b a b +=>（
，
9=． 对于任意，x ∈R 41
()()f x m f x a b
−−−+≤
恒成立等价于：对任意， x ∈R 229x m x −−−−−≤，即max 229x m x ⎡−−−−−⎤⎣⎦≤．
因为()222(2)=4x m x x m x m −−−−−−−−+−−≤．
所以，
94m −+≤≤9所以． ……………………10分
135m −≤≤ 第一次诊断文科数学答案
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