数学模拟考试试题
2024年中考数学模拟考试卷(含参考答案)
2024年中考数学模拟考试卷(含参考答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意）1．2024的倒数是（）A．﹣2024B．12024C．2024 D．120242．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣43．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥2C．x≥﹣2D．x≤24．下列运算正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．a2⋅a3＝a6D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣15．如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°6．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣87．每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（）A．B．C．D．8．已知点A（﹣4，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y19．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，将正方形沿直线AN折叠，点B 落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E，则BE的长为（）A．B．C．D．10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．分解因式：a3﹣4ab2＝．12．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是．13．已知关于的x方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m 的值．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的有．①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点，点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若图象过（﹣1，0），则方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．15．如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n∁n D n的面积是．三．解答题17．（1）计算：；（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．18．为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为．（2）补全条形统计图；（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为．（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？19．为响应国家东西部协作战略，烟台对口协作重庆巫山，采购巫山恋橙助力乡村振兴．巫山恋橙主要有纽荷尔和默科特两个品种，已知1箱纽荷尔价格比1箱默科特少20元，300元购买纽荷尔的箱数与400元购买默科特的箱数相同．（1）纽荷尔和默科特每箱分别是多少元？（2）我市动员市民采购两种巫山恋橙，据统计，市民响应积极，预计共购买两种隥子150箱，且购买纽荷尔的数量不少于默科特的2倍，请你求出购买总费用的最大值．20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与函数的图象交于点A （4，a）和点B．（1）求n的值；（2）若x＞0，根据图象直接写出当时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若△POQ 的面积为1，求点P的坐标．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．22．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别交于点E，F，直线与抛物线有唯一交点G．（1）求抛物线和直线的解析式．（2）点H为抛物线对称轴上的动点，且到B，G的距离之和最小时，求点H的坐标，并求△HBG内切圆的半径．（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点K，使△KBC的面积最大？如果存在，求出△KBC的最大面积，如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（各小题的四个选项中，只有一项符合题意）11．2024的倒数是（）A．﹣2024B．12024C．2024 D．12024【解答】解：2024的倒数是1 2024故选：D．2．下列计算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2 C．a2•a3＝a6D．（a﹣2）2＝a2﹣4【解答】解：A.2x与3y不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，故本选项符合题意；C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；D．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故本选项不合题意．故选：B．3．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥2C．x≥﹣2D．x≤2【解答】解：∵3x﹣6≥0∴x≥2故选：B．4．下列运算正确的是（）A．B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14C．a2⋅a3＝a6D．（a﹣1）2＝a2﹣2a﹣1【解答】解：A．+无法合并，故此选项不合题意；B．|3.14﹣π|＝π﹣3.14，故此选项符合题意；C．a2⋅a3＝a5，故此选项不合题意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项不合题意；故选：B．5．如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360°B．300°C．270°D．180°【解答】解：如图，过点P作P A∥a，则a∥b∥P A∴∠3+∠NP A＝180°，∠1+∠MP A＝180°∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．6．若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣8【解答】解：∵x＝2是方程ax﹣b＝3的解∴2a﹣b＝3∴4a﹣2b＝6∴4a﹣2b+1＝7故选：A．7．每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程）∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3∴两人恰好选择同一课程的概率＝．故选：A．8．已知点A（﹣4，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函数∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大又∵点A（﹣4，y1），B（2，y2），C（3，y3）∴点A在第二象限内，点B、点C在第四象限内∴y1＞0，y2＜0，y3＜0又∵2＜4∴y2＜y3∴y2＜y3＜y1故选：C．9．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，将正方形沿直线AN折叠，点B落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E，则BE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，连接MN∵边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O∴AD＝AB＝BC＝2∴∵将正方形沿直线AN折叠，点B落在对角线上的点M处，折痕AN交BD于点E ∴∠AMN＝∠ABN＝90°，MN＝BN，AM＝AB＝2∴∵∠ACB＝45°∴∠MNC＝45°∴∴∵AD∥BN∴△ADE∽△NBE∴，即解得．故选：B．10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝75°则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°∴∠DBH＝∠DPB＝135°又∵∠PDB＝∠BDH∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x∴CE＝x由CE+DE＝CD知x+x＝1解得x＝∴QD＝x＝∵BD＝∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝则DQ：BQ＝：≠1：2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°∴∠PDQ＝30°又∵∠CPD＝75°∴∠DPQ＝∠DQP＝75°∴DP＝DQ＝∴S△BDP＝BD•PD sin∠BDP＝×××＝，故④正确；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．分解因式：a3﹣4ab2＝a（a+2b）（a﹣2b）．【解答】解：a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．12．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，其中点A（2，1），则位似中心的坐标是（4，2）．【解答】解：如图所示：位似中心的坐标是（4，2）故答案为：（4，2）．13．已知关于的x方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m 的值 1.2．【解答】解：∵关于x方程（m﹣1）x2﹣＝0的有两个实数根∴解得：0≤m≤2且m≠1．故答案为：1.2．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的有①③④．①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点，点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若图象过（﹣1，0），则方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．【解答】解：∵∴4a+b＝0故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2∴另一个交点为（5，0）∵抛物线开口向下∴当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝2，C（5，0）在抛物线上∴点（﹣1，y3）与C（5，y3）关于对称轴x＝2对称∵，在对称轴的左侧，抛物线开口向下，y随x的增大而增大∴y1＜y3＜y2故③正确；若图象过（﹣1，0），即抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）方程a（x+1）（x﹣5）＝0的两根为x＝﹣1或x＝5过y＝﹣3作x轴的平行线，直线y＝﹣3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根∵x1＜x2，抛物线与x轴交点为（﹣1，0），（5，0）∴依据函数图象可知：x1＜﹣1＜5＜x2故④正确故答案为：①③④．15．如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O的路径长为．【解答】解：如图点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝＝故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n∁n D n的面积是（）n﹣1．【解答】解：∵直线l为正比例函数y＝x的图象∴∠D1OA1＝45°∴D1A1＝OA1＝1∴正方形A1B1C1D1的面积＝1＝（）1﹣1由勾股定理得，OD1＝，D1A2＝∴A2B2＝A2O＝∴正方形A2B2C2D2的面积＝＝（）2﹣1同理，A3D3＝OA3＝∴正方形A3B3C3D3的面积＝＝（）3﹣1…由规律可知，正方形A n B n∁n D n的面积＝（）n﹣1故答案为：（）n﹣1．三．解答题17．（1）计算：；（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+2+2＝4；（2）由①得：x≤1由②得：x＞﹣1∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1则不等式组的整数解为0，1．18．为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为50．（2）补全条形统计图；（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为213°．（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为：30÷60%＝50；故答案为：50；（2）满足欲望的人数有：50×12%＝6（人）其他的人数有：50×8%＝4（人）补全统计图如下：（3）“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：360°×60%＝216°；故答案为：216°；（4）2800×（60%+20%）＝2240（例）答：估计所有3000例欺凌事件中有2240例事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的．19．为响应国家东西部协作战略，烟台对口协作重庆巫山，采购巫山恋橙助力乡村振兴．巫山恋橙主要有纽荷尔和默科特两个品种，已知1箱纽荷尔价格比1箱默科特少20元，300元购买纽荷尔的箱数与400元购买默科特的箱数相同．（1）纽荷尔和默科特每箱分别是多少元？（2）我市动员市民采购两种巫山恋橙，据统计，市民响应积极，预计共购买两种隥子150箱，且购买纽荷尔的数量不少于默科特的2倍，请你求出购买总费用的最大值．【解答】解：（1）设纽荷尔每箱a元，则默科特每箱（a+20）元由题意得：＝解得：a＝60经检验，a＝60是原分式方程的解∴a+20＝80答：纽荷尔每箱60元，默科特每箱80元；（2）设购买纽荷尔x箱，则购买默科特（150﹣x）箱，所需费用为w元由题意得：w＝60x+10（150﹣x）＝﹣20x+12000∵x≥2（150﹣x）∴x≥100∵﹣20＜0∴w随x的增大而减小∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝﹣20×100+12000＝10000答：购买总费用的最大值为10000元．20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与函数的图象交于点A （4，a）和点B．（1）求n的值；（2）若x＞0，根据图象直接写出当时x的取值范围；（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若△POQ 的面积为1，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5的图象与过点A（4，a）∴a＝﹣4+5＝1∴点A（4，1）∵点A在反比例函数的图象上∴n＝4×1＝4；（2）由，解得或∴B（1，4）∴若x＞0，当时x的取值范围是1＜x＜4；（3）设P（x，﹣x+5），则Q（x，）∴PQ＝﹣x+5﹣∵△POQ的面积为1∴＝1，即整理得x2﹣5x+6＝0解得x＝2或3∴P点的坐标为（2，3）或（3，2）．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径．（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长．【解答】解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且CE为⊙O的直径∴CE⊥AB∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC又∵OE＝OC∴OD∥EB∴OD⊥CE；（2）连接EF∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC＝90°∵CE⊥AB∴∠BEC＝90°．∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°∴∠BEF＝∠ECF∴tan∠BEF＝tan∠ECF∴又∵DF＝1，BD＝DC＝3∴BF＝2，FC＝4∴EF＝2∵∠EFC＝90°∴∠BFE＝90°由勾股定理，得∵EF∥AD∴∴．22．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝﹣2x+b与x轴、y轴分别交于点E，F，直线与抛物线有唯一交点G．（1）求抛物线和直线的解析式．（2）点H为抛物线对称轴上的动点，且到B，G的距离之和最小时，求点H的坐标，并求△HBG内切圆的半径．（3）在第一象限内的抛物线上是否存在点K，使△KBC的面积最大？如果存在，求出△KBC的最大面积，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+3得：0＝a﹣2+3解得a＝﹣1∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵直线y＝﹣2x+b与抛物线有唯一交点G∴﹣x2+2x+3＝﹣2x+b有两个相等的实数解即x2﹣4x+b﹣3＝0有两个相等的实数解∴Δ＝0，即16﹣4（b﹣3）＝0解得b＝7∴直线的解析式为y＝﹣2x+7；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3∴B（3，0）∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝＝1由得：∴G（2，3）∵点H为抛物线对称轴上的点∴HB＝HA∴HB+HG＝HA+HG∴当G，H，A共线时，HB+HG最小，最小值即为AG的长度；如图：由A（﹣1，0），G（2，3）可得直线AG解析式为y＝x+1在y＝x+1中，令x＝1得y＝2∴H（1，2）；∴OH＝OA＝2∴△AOH是等腰直角三角形∴∠AHO＝45°由对称性可得∠BHO＝45°∴∠GHB＝90°，即△GHB是直角三角形∵G（2，3），H（1，2），B（3，0）∴HG＝，BG＝，BH＝2设△HBG内切圆的半径为r∴2S△BHG＝BH•HG＝（HG+BG+BH）•r∴r＝＝∴△HBG内切圆的半径为；（3）存在点K，使△KBC的面积最大，理由如下：过K作KQ∥y轴交BC于Q，如图：设K（m，﹣m2+2m+3）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3∴C（0，3）由B（3，0），C（0，3）可得y＝﹣x+3∴Q（m，﹣m+3）∴KQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m∴S△KBC＝×（﹣m2+3m）×3＝﹣（m﹣）2+∴当m＝时，S△KBC取最大值∴△KBC的最大面积是．。
安徽“小高考”2024届模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1.复数的虚部是（ ）A ．5B．C．D．2. 已知角终边上点坐标为，则（ ）A．B．C．D．3. 设集合，，，则（ ）A．B．C．D．4.（ ）A．B ．C．D ．5.已知函数（a ，b 为常数，且，）的图象经过点，，下列四个结论：①；②；③函数仅有一个零点；④若不等式在时恒成立，则实数m 的取值范围为．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④6. 若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是A．B．C．D．7. 已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（）A．B．C．D．8. 如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m 行、第n 列的数，则下列说法正确的是（ ）234567…35791112…4710131619…5913172125…6111212631…71319253137……………………A．B．C．D．安徽“小高考”2024届模拟考试数学试题安徽“小高考”2024届模拟考试数学试题三、填空题四、解答题9. 下列命题中正确的是（ ）A ．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的分位数是7.5B ．样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C．已知随机变量，则D ．已知经验回归方程，则y 与x 具有负线性相关关系10. 某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法错误的是（）A ．30岁以上人群拥有汽车的人数为720B ．40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多C ．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少D ．40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18～30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多11. 已知a ，b 为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ）A ．，，B．，，C ．，，D ．，，12. 下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．13. 已知，则______.14.若实数满足，则称为函数与 的“关联数”.若与在实数集上有且只有3个“关联数”，则实数的取值范围为__________.15. 将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有种不同的放法，则在的展开式中，含项的系数为______．16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离等于1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，为中点，直线，分别与圆：相切于点，，求的最小值．17. 如图，在三棱柱中，，，，.（1）证明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.18. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值.19. 已知椭圆：经过点，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.20. 如图，已知椭圆的离心率为，直线与圆交于M，N两点，．(1)求椭圆E的方程；(2)A，B为椭圆E的上、下顶点，过点A作直线交圆O于点P，交椭圆E于点Q（P，Q位于y轴的右侧），直线BP，BQ的斜率分别记为，，试用k表示，并求当时，△面积的取值范围．21. 已知函数是大于0的常数，记曲线在点处的切线为在轴上的截距为.(1)若函数，求的单调区间；(2)当时，求的取值范围.。
湖北省2024届高中毕业生四月模拟考试 数学试题(含解析)
2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．祝考试顺利注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()1,2a =- ，()34b =-, ，()32c =,，则()2a b c +⋅ 等于（）A ．()15,12-B ．0C ．3-D ．11-2．已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[)3,+∞D ．(⎤⎦3．下面四个数中，最大的是（）A ．ln3B ．()ln ln3C ．1ln3D ．()2ln34．数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（,N m n *∈）则，9a =（）A ．9B ．1C ．8D ．455．复数212a iz i-=+（a ∈R ）在复平面上对应的点不可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A ．B ．C ．D．7．能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A ．228B ．210C ．240D ．2388．抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ=，()01PD PB λλ=<< ．过,A B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQ S S = ，则λ=（）A．2B ．23C．3D ．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A ．0B ．4C ．8D ．1610．已知函数()()ππ0,,22f x x t t ωϕωϕ⎛⎫++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则（）A ．πω=B ．5π3ω=C ．()19f =D ．()91f =-11．如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A ．该三棱台的体积最小值为74B ．2DH =C ．111128E ADH ABC A B C V --=D ．EH ∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出函数()ln 2e xx xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：．13．两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ ，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=．14．双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15．数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S ．16．已知椭圆2212:1x C y a+=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+17．空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足//PQ α，P Q n⊥且PQ m ⊥，（i ）求直线m ，n 与平面α的夹角之和；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d ．18．已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．19．欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数)(n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(,)M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y均为正整数），(1)求(6)ϕ和(15)ϕ；(2)现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足(,())1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有1,)1(a M x a -=，证明：若n x X ∈，则([(,)],)c d x M M x n n =；(3)设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又11(,)e c M x n =，22(,)e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值．1．C【分析】先求出2a b +的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可【详解】因为()1,2a =- ，()34b =-,，所以2(1,2)2(3,4)(5,6)a b +=-+-=-，因为()32c =,，所以()253623a b c +⋅=-⨯+⨯=-，故选：C 2．B【分析】由绝对值三角不等式求得[)3,A =+∞，然后由解析式有意义求得(B =，再由交集运算可得.【详解】由()()12123x x x x -++≥--+=，当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时，等号成立，得[)3,A =+∞；由2100x ->得x <，即(B =.所以A B ⎡⋂=⎣.故选：B 3．D【分析】先根据对数函数单调性求得1<ln32<，然后可判断最大项.【详解】因为2lne<ln3ln e <，即1<ln32<，所以()ln ln3ln 21<<，11ln3<，故B ，C 错误；又()()2ln3ln3ln31ln30-=->，所以()2ln3ln3>.故选：D 4．B【分析】根据题意，令1m =，得到111n n S S S +-==，等差数列{}n S 是等差数列，求得n S n =，结合998a S S =-，即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的首项为1，且n m n m S S S ++=，令1m =，可得11n n S S S ++=，即111n n S S S +-==，所以数列{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(1)1n S n n =+-⨯=，则9981a S S =-=.故选：B.5．A【分析】先利用复数代数形式乘除运算法则求出复数z ，由此能求出结果.【详解】()()()()()2124212422121212555a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-，当4a >时，4220,055a a -+>-<，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限；当24a -<<时，4220,055a a -+<-<，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第三象限；当2a <-时，4220,055a a -+<->，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限；当2a =-或4a =时，405a -=或2205a +-=，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在坐标轴上，不属于任何象限.故复数42255a a z i -+=-对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭不可能位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数在复平面上对应的点所在象限的判断，考查复数代数形式乘除运算法则及复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．A【分析】根据0x <时的单调性可排除BC ；再由奇偶性可排除D.【详解】()()1121e e 2ln ,0e e ln e e 2ln ,0x x x xx x x x f x x x x ⎧---<⎪=--=⎨⎪-->⎩，因为当0x <时，()1e ,e ,2ln x x y y y x ==-=--都为增函数，所以，()1e e 2ln ,0x x y x x =---<单调递增，故B ，C 错误；又因为()()12e eln xxf x x f x ---=--≠-，所以()f x 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D 错误.故选：A 7．A【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，所以3的倍数的三位数有：3332111311233433343332(A A A A )(C C C A C C A )228++-+-=个.故选：A.8．D【分析】由题意可得AB ∥CD ，取弦AB ，CD 的中点分别为,M N ，设直线AB 的方程为：y kx m =+代抛物线，由韦达定理可得Mx k =，2M y k m =+，N x k =，从而得P 在直线MN 上，根据切线方程可得Q x k =，作出图象，可得Q y m =-，2(1)22P k m y λλ--=，再根据23ABP ABQS S = 求解即可.【详解】解：由PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<，可知AB ∥CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为,M N ，设直线AB 的方程为：y kx m =+，代入22x y =，得2220x kx m --=，则2A B x x k +=，2A B x x m =-，所以M x k =，2M M y kx m k m =+=+，同理可得N x k =，由抛物线的几何意义可知点P 在直线MN 上，所以P x k =，因为22x y =，所以212y x =，y x '=，所以物线在A 处的切线为1:()A A A l y y x x x -=-，即2()2AA A x y x x x -=-，212A A y x x x =-，即A A x x y y=+同理可得物线在B 处的切线为221:2B B l y x x x =-，即B B x x y y =+,由221212A A B By x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22A B A B x x x k x x y m +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，综上，M N P Q x x x x k ====，Q y m =-,所以,,,M N P Q 四点共线，且所在直线平行于y 轴，由PC PA λ=，得)((,),C P C P A P A P x x y y x x y y λ-=---，则(1)C A P x x x λλ=+-，(1)C A P y y y λλ=+-，又22C C x y =，所以有2[(1)]22(1)A P A P x x y y λλλλ+-=+-，又22A A x y =，化简得222(1)20P A A p P x x y x y λλλ-+--=，同理有222(1)20P B B p P x x y x y λλλ-+--=，由两式知直线AB 的方程为：222(1)20P p P x x y x y λλλ-+--=，因为P x k =，所以222(1)20P kx y k y λλλ-+--=，又直线AB 过点2(,)M k k m +，代入得2(1)22P k my λλ--=，2222()3(1)22ABP M P ABQM Q k m S y y PM S QM y y mk m m k λλ+--====-+---- ，整理得222360k m k m λλ--++=，即()()23120k m λ-+=，由题可得0Q y m =-<，所以0m >，所以130λ-=，解得13λ=.故选：D.【点睛】关键点睛：涉及直线与圆锥曲线的问题，作出图象，结合韦达定理求解.9．ACD【分析】根据平行六面体的性质考察矩形个数的可能情况即可.【详解】平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0,2,4,6，所以各个表面的直角个数之和可能为0,8,16,24.故选：ACD 10．BC【分析】确定(1t ∈，Z t ∈，故0=t 或1t =，当0=t 时，不满足单调性，排除；当1t =时，计算0ϕ=，5π3ω=，代入计算得到答案．【详解】(0)1f t ϕ=+=，故(1t ∈-，33(sin()044f t ωϕ=++=，故[t ∈，故(1t ∈-，Z t ∈，故0=t 或1t =，当0=t 时，sin ϕ=，ππ22ϕ-<<，故π4ϕ=，π()4f x x ω=+，0ω>，()f x 有最小正零点34，*3ππ,N 44k k ω+=∈，*4ππ,N 33k k ω=-∈，914222T ≥-=，故2π1T ω=≥，2πω≤，故πω=，π())4f x x =+，当9(4,)2x ∈，π17π19ππ(,)444x +∈，函数不单调，排除；当1t =时，sin 0ϕ=，ππ22ϕ-<<，故0ϕ=，3sin()4ω=35π2π44k ω=+或37π2π44k ω=+，85ππ,N 33k k ω=+∈或87ππ,N 33k k ω=+∈，914222T ≥-=，故21T πω=≥，2ωπ≤，故5π3ω=，5π()sin()13f x x =+，验证满足条件，此时(9)11f =+=．综上，AD 错误，BC 正确.故选：BC ．11．BD【分析】根据题意可得点A 的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定A 的坐标范围，设三棱台的高为h ，由三棱台的体积最大值确定h 的范围，从而可判断A ；建立空间直角坐标系，根据两点之间的距离公式求解,DH EH 的取值范围，从而可判断B ，D ；将三棱台补成三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断C.【详解】由4AC AB +=，2BC =，可得点A 的轨迹为椭圆，如图则椭圆方程为22143x y +=，由于1b c =>=则090BAC ︒<∠<︒，又因为ABC 为锐角三角形，则090ABC ︒<∠<︒且090ACB ︒<∠<︒，所以32A y <≤01A x ≤<，所以()max 122ABC S =⨯= 1122BC B C ==，所以14A B C ABC S S '''= 设A B C S S '''= ，则4ABC S S =△，设三棱台的高为h ，则(11117433ABC A B C V h S S hS -=++=，因为该三棱台的体积最大值为6，max 4S =，所以max 2h =，由于,S h 无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A 不正确；对于三棱台111ABC A B C -有侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，则如图，以H 为原点，在平面ABC 上作Hx ⊥面11BCC B ，在面11BCC B 作Hz ⊥面ABC ，则()()()11110,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,,,0,22H B C B h C h ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,0A x y ，则1,,22x y A h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,,442x y h D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,44x y E h -⎛⎫⎪⎝⎭，所以HD =，由于[)0,1x ∈，(]0,2h ∈，所以48HD ⎛∈ ⎝⎭，又248⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 可能正确；同理3,82EH ⎛=⎝⎦，又3448⎛⎫⎛⎤⊆ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故D 可能正确；如图，将三棱台补成三棱锥-P ABC ，设点C 到平面PAH 的距离为d ，则11177774778443ABC A B C P ABC P ACH D ACH D ACH C ADH ADH V V V V V V dS ------===⋅=== ，又11124E ADH C ADH C ADH V V V ---==，所以111128E ADH ABC A B C V V --=，故C 一定正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查空间几何与平面解析几何综合运用，解决本题中的问题涉及的思路有：（1）根据椭圆的定义确定动点A 的轨迹，利用解析几何的性质缩小点A 坐标范围；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式确定线段长的取值范围；（3）体积关系的建立，需将三棱台补成三棱锥，由三棱锥的体积转换特点分析体积比例.12．2221ln2e ex y -=+--（答案不唯一）【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切点坐标即可得切线方程.【详解】()ln 2e x x x f x x =--，0x >，则()1112e x x f x x-'=--，取切点为()()2,2f ，则斜率为()221121122e 2ek f -=--='=，又()222222ln21ln22e ef =--=--，则切线方程为：()2211ln22e ey x -++=-，即2221ln2e e x y -=+--.故答案为：2221ln2e ex y -=+--（答案不唯一）13．0.86##4350【分析】利用期望和方差的性质可得210,4Y N σ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，然后由对称性即可求解.【详解】因为23X Y +=，所以142X Y +=-，因为()100.14P X +≤=，所以()4200.14P Y -≤=，即()20.14P Y ≥=又1322Y X =-+，所以()()13022E Y E X =-+=，()()21144D Y D X σ==，所以210,4Y N σ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()()()202121210.140.86P Y P Y P Y P Y +>=>-=-<-=->=-=.故答案为：0.8614．2【分析】先根据几何关系证明点E 必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.【详解】记1AF 与渐近线OB 的交点为H ，根据题意，作图如下：2tan bBOF a∠=，()20,πBOF ∠∈，故2cos a BOF c∠==；则在△2BOF 中，设OB x =，又2BF c =，由余弦定理可得2222cos 2x c c aBOF cx c+-∠==，解得2x a =，即2OB a =；在△BOE 中，1cos 22OE a BOE OBa ∠===，又()0,πBOE ∠∈，故π3BOE ∠=；又左焦点(),0c -到直线by xa=的距离d b ==，即1F H b =，又1OF c =，故OH a ==，则H 在圆O 上，即1AF 与圆O 相切；显然AHO AEO ≅ ，则AOH EOA ∠=∠，又πAOH EOA BOE ∠+∠+∠=，又π3BOE ∠=，故可得π3AOH ∠=，根据对称性，1π26BOy AOH ∠=∠=，故2π3BOF ∠=，故2,,O E F 三点共线，E 点是唯一的，根据题意，E 必为双曲线右顶点；此时显然有πtan 3b a ==2c a ==.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够1AF 与渐近线垂直，以及2BF c =，确定点E 的位置，进而求解离心率.15．(1)2441n a n n =-+(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得2118n n n n a a a a +++-=-+，即可得到{}1n n a a +-为等差数列，即可得到18n n a a n +-=，再利用累加法计算可得；（2）由（1）可得()21n b n =±-，由10n n b b +<，得到n b 与2n b +同号，再对1b 分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则()181n n a a n --=-，()1282n n a a n ---=-，L ，3282a a -=⨯，218a a -=，所以()()()2111181218442n n n a a n n n +---=++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以()24412n a n n n =-+≥；而11a =符合该式，故2441n a n n =-+.（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-；当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，当11b =时，()11n n S n -=-⋅；当11b =-时，()1nn S n =-⋅.16．(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）根据离心率相等可得221a b =，然后求出直线1BA 和2BA 的斜率，利用斜率即可得证；（2）联立直线和椭圆方程求出,P Q 的坐标，从而可得PQ 的中点坐标，根据（1）中结论可得2PQ BC =，利用导数即可求解.【详解】（1）当1a >时，1C的离心率1e =，当01a <<时，1C的离心率1e =；当1b >时，2C的离心率2e =当01b <<时，2C的离心率2e =；因为a b ¹=，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10>>>a b ；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B xl y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此12BA BA ⊥.（2）由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B l 与2C 的方程22211x y a a x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421ax a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P a x a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==，记()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()24332431141a a a a af a a -+--+'=()()()()()426242224433114111a a a aa a a a+-++-+-==++，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∞∈+，因此()f a在a =且最大值为14f=，因此PQ 最大值为max2PQ ==.17．(2)（i ）证明见解析，（ii ）())012f d d =<<【分析】（1）设点C 到平面α的距离为h ，结合余弦定理、三角形，面积公式，基本不等式即可求得大值；（2）利用空间直线之间的位置关系、线面垂直的性质定理与判定定理确定线面夹角即可证明结论；再根据点到平面的距离，结合（1）中结论即可得答案.【详解】（1）设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设=CA b ，=CB a ，在ABC 中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为π3，且它们交于点C ，则π3ACB ∠=或2π3ABC ∠=，若π3ACB ∠=，则221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（1a b ==时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以CH =≤，所以点C 到平面α的距离h ≤若2π3ACB ∠=，同理可得最大值为12.综上，点C 到平面α距离的最大值为2.（2）（i ）证：如图，过点P 作直线//l n ，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又//PQ α且DB α⊂，于是//PQ DB ，又//l n ，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为P Q n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又,,l m P l m =⊂ 平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，因为PH ⊂平面PAD ，则PH BD ⊥，又,,AD BD D AD BD α=⊂ ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为π3，则直线m 与l 之间的夹角也为π3，则π3APD ∠=或2π3APD ∠=，于是2ππ3PAH PDH APD ∠+∠=-∠=，或π3PAH PDH ∠+∠=即直线m ，n 与平面α的夹角之和为2π3或π3；（ii ）因为BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又π3APD ∠=或2π3APD ∠=，由（1）问同法算得PH ≤PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<.18．(1)12a =(2)证明见解析【分析】（1）求导可得() 00f '=，再分0a ≤与0a >两种情况分析原函数的单调性，当0a >时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；（2）由（1）问的结论可知，21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x ¢>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,∞+上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令1>0x ，02x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x>，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪-++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.【点睛】方法点睛：（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.19．(1)(6)2ϕ=，(15)8ϕ=；(2)证明见解析；(3)201,)(x M a c n =.【分析】（1）利用欧拉函数)(n ϕ的定义直接求出(6)ϕ和(15)ϕ.（2）分析求出x 与n 不互质的数的个数，求得()()()11n p q ϕ=--，设(),M x p s =，(),M x q t =，结合二项式展开式证明()(),1n M x n ϕ=，再按0st ≠与0st =分类求证即得.（3）利用(,)M x y 的定义，记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，再探求数列{}k n 项数及递推关系即可求得答案.【详解】（1）6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8.（2）因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M xn ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p x kp s kp kp s kpss N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M x p M s p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M x p ϕ=，记()21n x N p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N xpq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；（i ）0st ≠时，记(),c M x n c =，则()()()()1,,,k n d dcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),d M c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（ii ）若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,d dc dc dc M c n M x n M k p n ==，又()11,dc M k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dc de q M c n M p k n pk M p q xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,d c M M x n n x⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：（3）因为12231e e =+，所以12231e e x x +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111k k k k k k k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k k n n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x nx ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
江苏省南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学试题(解析版)
南京市2024届高三年级第二次模拟考试数学2024.05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，x ＋3)．若a ∥b ，则x ＝A ．－6B ．－2C ．3D ．62．“0＜r ＜2”是“过点(1，0)有两条直线与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象，只要把函数y ＝sin2x 图象上所有的点A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为0－1数列，0－1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{P n }(P 1＝0，P 2＝1，P n ＋2＝2P n ＋1＋P n ，n ∈N *)中的奇数换成0，偶数换成1，得到0－1数列{a n }．记{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝A ．16B ．12C ．10D ．85．已知P (A )＝35，P (A ―B )＝15P (A |B )＝12，则P (B )＝A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆O 1O 2中，圆O 2的半径是圆O 1半径的2倍，且O 2恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为A ．3：4B ．1：2C ．3：8D ．3：107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，直线AF 1交C 于另一点B ，△ABF 2的内切圆与BF 2相切于点P ．若BP ＝F 1F 2，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜△ABC 中，若sin A ＝cos B ，则3tan B ＋tan C 的最小值为A ．2B ．5C ．6D ．43二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．已知z1，z2为共轭复数，则A．z12＝z22B．|z1|＝|z2|C．z1＋z2∈R D．z1z2∈R10．已知函数f(x)满足f(x)f(y)＝f(xy)＋|x|＋|y|，则A．f(0)＝1B．f(1)＝－1C．f(x)是偶函数D．f(x)是奇函数11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，点P在△A1BD内，则A．A1P∥平面B1CD1B．A1P⊥AC1C．PC1≥6AP D．AP＋PC1≥26三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为▲．13．在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，AD＝2，则四边形ABCD 的面积为▲．14．已知函数f(x)＝x3－ax＋1(a∈R)的两个极值点为x1，x2(x1＜x2)，记A(x1，f(x1))，C(x2，f(x2))．点B，D在f(x)的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴．若四边形ABCD为菱形，则a＝▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)某地5家超市春节期间的广告支出x(万元)与销售额y(万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程^y ＝^bx ＋^a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：^b ＝∑n i ＝1x i y i －n -x -y∑ni ＝1x i 2－n -x 2，^a ＝―y －^b ―x ．16．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ae x，其中a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＞0时，若f (x )在区间[0，a ]上的最小值为1e，求a 的值．17．(本小题满分15分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE，EF⊥平面ADE．(1)求证：AB∥CD；(2)若AB＝2AD＝2EF＝2，∠ADE＝∠CBF＝90°，点D到平面ABFE的距离为22，求二面角A－BF－C的大小．(第17题图)18．(本小题满分17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)与双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有公共的焦点F，且p＝4b．过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧)．(1)求E的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ(1|OP|＋1|OQ|)＝|1|AF|－1|BF||，求λ的取值范围．19．(本小题满分17分)已知数列{a n}的前n项和为S n．若对每一个n∈N*，有且仅有一个m∈N*，使得S m≤a n＜S m＋1，则称{a n}为“X数列”．记b n＝S m＋1－a n，n∈N*，称数列{b n}为{a n}的“余项数列”．(1)若{a n}的前四项依次为0，1，－1，1，试判断{a n}是否为“X数列”，并说明理由；(2)若S n＝2n，证明{a n}为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列{a n}为“X数列”，且{a n}的“余项数列”为等差数列，证明：S n≤(1＋2n－2)a1．。
2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题
2024届安徽省示范高中高三下学期第四次模拟考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-，(,n a b c =-，且//m n ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．2．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A B ．-C ．12 D ．12- 3．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A B ．1 C D ．24．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±5．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1 C ．2 D ．126．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．128．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.89．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =A ．1B 5C ．5D ．5510．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题(含答案)
福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试时间：120分钟满分：150分命题：高三集备组审核：高三集备组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，则等于A ．B ．C ．D ．或2．已知等差数列满足，则A ．B ．C ．D ．3．若函数是奇函数，则的值为A ．1B ．-1C ．D ．04．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是A．B ．C ．D ．5．没为单位向量，在方向上的投影向量为，则ABCD ．6．已知，则A ．B ．C ．D ．7．如图，设拋物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是{}{}2210,log 0A x x B x x =->=>∣∣A B ⋂{0}x x >∣{1}x x >∣{1}x x <-∣{1xx <-∣1}x >{}n a 12j 1010a a a a ++++= 11010a a +>11010a a +<3990a a +=5151a =(()ln f x ax =a 1±13122356,a b a b 12b -|2|a b -=311(),(),()552P A P AB P A B === ∣()P B =1525354524y x =F C y BCF ACFA．B ．C ．D ．8．在中，为内一点，，则A ．BCD ．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，下列结论正确的是A ．若，则B ．C ．若，则或D ．若且，则10．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数是3，众数为2；B．均值小于1，中位数为1；C ．均值为3，众数为4；D ．均值为2．11．已知，则A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为______.||1||1BF AF ++||1||1BF AF --22||1||1BF AF ++22||1||1BF AF --ABC 120,2,ACB BC AC D ︒∠==ABC ,120AD CD BDC ︒⊥∠=tan ACD ∠=12,z z 12z z =2212z z =1212z z z z -=-120z z =10z =20z =10z ≠12z z =2121z z =37.3C ︒37.3C ︒12212log ,log 2baa b ⎛⎫== ⎪⎝⎭22a ba b -+=+22b aa b -+=+121eba+>112eab->4π,36π64π13．的展开式中常数项为______．14．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码123456.45.55.04.83.8（1）求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,②样本相关系：③参考数据：16．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的值：17．（15分）如图，在三棱柱中，，E ，F 分别为的中点，且421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭ωπ||2ϕ<ππ32f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭ϕix iy i x i y y x y x ()()()121ˆˆ,niii n i i x x yy bay bx x x ==--==--∑∑ nx y r =5521170.6,6ii i i i x yy ====≈∑∑()ln(1)()f x ax x a =--∈R ()y f x =(0,(0))f ()0f x ≥a 111ABC A B C -1AC AB ==11,AC BB平面．（1）求棱BC 的长度；（2）若，且的面积，求二面角的正弦值．18．（17分）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于M ，N 两点.（1）若M ，N 都在双曲线的左支上，求面积的最小值．（2）是否存在轴上一点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“—数列”．（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“—数列"'；（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“—数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．EF ⊥11AA C C 111BB A B ⊥1A FC 1A FC S =11B A F C --F 221x y Γ-=：F ΓOMN x P PM PN P M {}()*N n a n ∈245321,440a a a a a a =-+={}n a M {}n b 111221,n n n b S b b +==-n S {}n b n {}n b m M {}()*n c n ∈N k k m ≤1k k k c b c +≤≤m2023-2024年高三数学校模拟考参考答案1-8BCCDADBB9．BCD10．BD11．AD12．13．4914．15．【详解】（1）由已知可得，，，（2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，，，所求经验回归方程为．（3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．16．【详解】（1）由，得，因为，所以曲线在点处的切线方程为；（2），①当时，，不符合题意．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭π61234535x ++++==522222216.4 5.5 5.0 4.8 3.8 5.112345555ii y x=++++===++++=∑555 5.90.986x x y y x y xyr ----===≈≈y x 0.98,r r ≈-y x ()()()551155222115 5.9ˆ0.59105iii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----====---∑∑∑∑ˆˆ 5.1(0.59)3 6.87ay bx =-=--⨯=ˆ0.59 6.87yx =-+8x =ˆ0.598 6.87 2.15y=-⨯+=2.15%()ln(1)f x ax x =--1()(1)1f x a x x'=+<-(0)0,(0)1f f a '==+()y f x =(0,(0))f (1)y a x =+11()(1)11ax a f x a x x x'-++=+=<--0a ≥(1)ln 20f a -=--<②当时，令，解得，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值；若恒成立，则，设，则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，所以，即的解为．所以；17．【详解】（1）取中点，连接，分别为的中点，则且，又为三棱柱，且分别为的中点，则且，可得且，即四边形DEFB 为平行四边形，故，又平面，则平面，平面，可得，又为AC 的中点，则为等腰三角形，．（2）由（1）可知：，且，即，0a <()0f x '=11x a=+1,1x a ⎛⎫∈-∞+⎪⎝⎭()0,()f x f x '<1,1a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭11,1x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭()0,()f x f x '>11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11x a=+()f x 111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()0f x ≥1ln()0a a ++-≥()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<11()1x x x xϕ'+=+=(,1)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(,1)-∞-(1,0)x ∈-()0,()x x ϕϕ'<(1,0)-()(1)0x ϕϕ≤-=1ln()0a a ++-≥1a =-1a =-AC D ,ED BD ,D E 1,AC AC 1//DE AA 112DE AA =111ABC A B C - F 1BB 1//BF AA 112BF AA =//DE BF DE BF =//EF DB EF ⊥ 11AA C C DB ⊥11AA C C AC ⊂11AA C C DB AC ⊥D ABC 1BC AB ∴==1BC AB ==AC =222AB BC AC +=，则可得，且，平面平面，则，，由（1）知平面平面，则，又，则又，则，平面，平面，平面，则，且，可得，为直角三角形，则以为坐标原点，向量方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则，可得，AB BC ∴⊥EF DB ==1111A B B C⊥EF ⊥ 111,AAC C AC⊂11AA C C 1EF A C ⊥1111122A FCS AC EF AC ∴=⋅== 12A C =DB ⊥111,AAC C AA ⊂11AA C C 1DB AA ⊥11//AA BB 1DB BB ⊥11111,//BB A B AB A B ⊥ 1BB AB ⊥,,AB DB B AB DB ⋂=⊂ABC 1BB ∴⊥ABC AC ⊂ABC 1BB AC ⊥11//AA BB 1AA AC ⊥1AA C ∴ 1AA ==1B 11111,,B C B A B B 1B xyz -111(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),B A C C B F ⎛ ⎝110,,(1,A F A C ⎛=-=- ⎝设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，可得，，故二面角18．【详解】（1）设直线的方程为．由,由根与系数的关系可知①．此时．原点到直线的距离为，此时．由都在双曲线的左支上知，得，令，则，由于，所以当，即时，此时取最小值，则，当，即时，等号成立．1A FC 1(,,)n x y z = 111100n A F y z n A C x y ⎧=-=⎪⎨⎪=-+=⎩ 1y =1,x z =-=1(n =-11B A F 2(1,0,0)n =11B A F C --(0,π)θ∈121211|cos |212n n n n θ===⨯ sin θ∴==11B A F C --MN ()()1122,,,x my M x y N x y =-221x my x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()22110(1)m y m --+=≠±1212211y y y y m +==-()2221||1m MN m +===-O MN d =()222111||221OMNm S d MN m +===- ,M N ()121212220,01x x m y y x x m -+=+-=<=>-11m -<<21(10)m t t -=-≤<2221111144244OMNS t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(,1]t ∈-∞-11t=-1t =-OMN S ≥ 1t =-0m =（2）假设存在这样的定点．当直线的斜率不为0时，由（1）知②将①代入②可得,此时要想，得．即存在这样的定点满足题意．当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意．综上，存在满足题意．19．【详解】（1）设等比数列的公比为，所以由，得，解得，因此数列为“—数列”；（2）①因为，所以，(,0)P n ()()()()()()112212121212,,PM PN x n y x n y x n x n y y my n my n y y =--=--+=----+()()2212121))m y y m n y y n =+-++++ 2)PM PN n =++ PM PN 11=-n =12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2(1)(1)1PM PN n n n =+-=- P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭{}n a q 10,0a q ≠≠245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩{}n a M 1122n n n S b b +=-0n b ≠由得，则，由，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，因此，数列的通项公式为；②由①知，，因为数列为“—数列”，设公比为，所以，因为，所以，其中，当时，有；当时，有，设，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，取时，，即，令，则，令，则，1111,b S b ==212211b =-22b =1122n n n S b b +=-()112n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+={}n b {}n b ()*n b n n =∈N *,k b k k =∈N {}n c M q 11,0c q =>1k k k c b c +≤≤1k k q k q -≤≤1,2,3,,k m = 1k =1q ≥2,3,,k m = ln ln ln 1k kq k k ≤≤-ln ()(1)x f x x x =>21ln ()xf x x '-=(1,e)x ∈()0f x '>(e,)x ∈+∞()0f x '<()f x (1,e)(e,)+∞ln 2ln 8ln 9ln 32663=<=max ln 3()(3)3f k f ==q =1,2,3,4,5k =ln ln kq k…k k q ≤ln ()(1)1x g x x x =>-2211(1)ln 1ln ()(1)(1)x x xx x g x x x '----==--1()1ln h x x x =--22111()0xh x x x x'-=-=<故在上单调递减，则，即在上恒成立，即在上单调递减，则，即，因此所求的最大值不小于5，若，分别取，得，且，从而，且，所以不存在，因此所求的最大值小于6，故的最大值为5．()h x (1,)+∞()(1)1100h x h ≤=--=()0g x '<(1,)+∞()g x (1,)+∞min ln 5ln125ln 81ln 3()(5)412123g k g ===<=1ln ln 1k k q q k k -≤≤-m 6m ≥3,6k =33q ≤56q ≤15243q …15216q …q m m。
2024年山东省春季高考济南市第三次模拟考试数学试题
2024年山东省春季高考济南市第三次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}2．对于命题,p q 、若p q ∨⌝是假命题，则下列说法正确的是（ ） A ．p q 、都是真命题 B ．p q 、都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题3．在ΔABC 中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时，函数()f x 图象如图所示，则不等式()0f x ≤的解集为A ．[][]5,22,5--UB ．[][]2,02,5-UC ．[]22-,D ．[][]5,20,2--U5．如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）A ．31(02)2y x x =-≤≤ B ．331(02)22y x x =--≤≤ C ．31(02)2y x x =--≤≤ D ．11(02)y x x =--≤≤6．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A B O '''，若2O B ''=，那么原ABO V 的面积是（ ）A．1B C D ．7．已知0.150log 2,log 2a b ==，则21a b+=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．若数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，则6a 等于（ ） A ．10B ．11C ．12D ．139．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u u v u u u v B ．1344AB AC -u u uv u u u v C ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v10．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石11．在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．1012．设()tan π2α-=-，则()()()()sin πcos πsin πcos παααα-+-=+-+（ ）A ．3B ．13C ．1D ．1-13．设π3π44<<α，sin cos αα+=cos2=α（ ）A ．12-B ．12CD ．14．已知向量(,1),(1,2)a m b == ，且222||||||a b a b +=+r r r r ，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-215．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1257=+，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（ ）A ．121B ．221C ．321D ．42116．若直线1:20l x ay +-=与()22:2120l x a y ++-=平行，则两直线之间的距离为（ ）A B ．1 C D ．217．圆22(1)(1)4x y -++=上的点到直线34140x y +-=的距离的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．918．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．三棱锥F ABE -的体积为18D ．直线BC 与平面AEF 所成的角为45︒19．已知双曲线1C 过点(A ，且与双曲线222:31C x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的标准方程为（ ）A ．221124x y -=B ．221124y x -=C ．221155x y -=D ．221155y x -=20．函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．函数的周期是3π2B ．函数()y f x =的图象的过点C ．函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．当13π3π,62x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()1f x >二、填空题21．若函数2(1),0,()1,0,x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则((1))f f -=． 22．如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为.23．某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有种．24．已知变量,x y 满足线性约束条件202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则212x yz +⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为.25．已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，2V POF 为正三角形，则该椭圆的离心率为.三、解答题26．已知函数()mf x x x=+，且(1)2f =. (1)求m 的值;(2)判断函数()f x 在(1,)+∞上是增函数还是减函数，并证明. 27．已知等比数列{}n a 的各项皆为正数，且351,100a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求()123100lg a a a a ⋅⋅⋅⋅L 的值.28．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B ，C ，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B 地进行弹射实验，,C D 两地相距100m ，60BCD ∠=︒，在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚217秒，在C 地测得该仪器至最高点A 处的仰角为30︒．（已知声音的传播速度为340m/s ），求：(1)B ，C 两地间的距离； (2)这种仪器的垂直弹射高度AB ．29．如图所示，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90,BAD ADC ︒∠=∠=AB AD =11,2CD ==PD =(1)若点M 为PA 的中点，证明://AC 平面MDE ； (2)求异面直线PB 与CD 所成角的大小.30．如图所示，抛物线22(0)y px p =>的准线过点(2,3)-，(1)求抛物线的标准方程;(2)若角α为锐角，以角α为倾斜角的直线经过抛物线的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，作线段AB 的垂直平分线l 交x 轴于点P ，证明:||||cos 2α-FP FP 为定值，并求此定值.。
广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案
柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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2016年六月阶段性考试 九年级数学试题卷
本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟．
注意事项:
本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．
一、选择题(在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定
的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号. 本大题共15小题，每题3分，计45分) 1．在2-，1-，0，2这四个数中，最小的数是（ ）．
A.－2
B.1-
C.0
D.2
2．冰箱冷冻室的温度为-6℃，此时房屋内的温度为20℃，则房屋内的温度比冰箱冷冻室的温度高（ ）．
A.26℃
B.14℃
C.-26℃
D.-14℃
3．我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动，将数据34万用科学记数法表示，正确的是（ ）. A.0.34×10
5
B.3.4×105
C.34×105
D.340×105
4. 如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（ ）. A.轴对称性 B.用字母表示数 C.随机性 D.数形结合
5.一个圆锥体按如图所示摆放，它的主视图是（ ）.
6.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数均是8.9环，方差分别
是2222
0.55,0.65,0.50,0.45,s s s s ====乙甲丙丁则成绩最稳定的是（ ）．
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁 7.下列运算正确的是（ ）．
A.2x ·
63x x = B.x x x =÷56 C.6
42)(x x =- D.532x x x =+
8.下列式子中，x 的取值范围为x ≠3的是（ ）． A. x-3 B.
13x + C. 1
3
x - D.3x -
(A)
(B)(C)(D)题
第4题
9.按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径OA ＝3，圆心角∠AOB ＝120°，则弧AB 的长为（ ）.
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
10．如图，直线1l ∥2l ，1∠=35°，2∠=75°，则3∠等于（ ）．
A.55°
B.60°
C.65°
D.70° 11.正五边形的每个外角等于（ ）．
A.36︒
B.60︒
C.72︒
D.108︒ 12.下列说法正确的是（ ）．
A.若明天降水概率为50%，那么明天一定会降水
B.任意掷一枚均匀的1元硬币，一定是正面朝上
C.任意时刻打开电视，都正在播放动画片《喜洋洋》
D.本试卷共24小题
13.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（ ）． A.
51 B.52 C.53 D.5
4
14. 如图，矩形OAB C 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．如果将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转180°，旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为（ ）．
A. （2，1）
B. （－2，1）
C. （－2，－1）
D.（2，－1）
15
y=x
m 3
-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）．
(第10题)
l 1
第9题
图1
B
题) (D)
(C)
(B)
(A)-2-14
32-2-1432-2-14
32-2-14
320110
1010
二.解答题（共9小题，计75分）
16. (本题6分) 先将代数式1
1
)(2
+⨯
+x x x
化简，再从－1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值．
17．(本题6分) 解不等式组：135
432
x x x x +<+⎧⎨
>-⎩
18．(本题7分) 伍家区重视教育，办学条件日益改善，每所学校都配备了直饮水设备，直饮水设备接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃后停止加热，水温开始下降，此时水温y (℃)与开机后用时间x(min)成反比例关系．直至水温降至30℃，又自动开机加热．若在水温为30℃时，接通电源后， 水温y (℃)和时间x (min)的关系如图所示．
（1）求第一次开机加热多少分钟，水温达到100℃; (2) 求直饮水设备第二次开机加热的时间。
19．（本题7分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率． （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．
20．(本题8分) 如图，菱形ABCD 中，DF ⊥AB 交AC 于点E ，垂足为F ，EF=2，DE=4， (1)求BE 的长度 (2)求菱形ABCD 的面积。
21.(8分)如图，直线y=x+b （b ≠0）交坐标轴于A 、B 两点，交双曲线y=于点D ，从点D
分别作两坐标轴的垂线DC 、DE ，垂足分别为C 、E ，连接BC 、OD ． （1）当b=﹣1时，求出点D 坐标并判断四边形OBCD 的形状； （2）当b 为任意实数时（b ≠0）， ①求证：AD 平分∠CDE ； ②求AD •BD 的值．
E
F
C
D
22．(本题10分) 某市为了创建特大城市，不断改善环境，新修和改建了丁家坝森林公园、磨基山公园、城东公园、求雨台公园等园林绿化项目．2014年新修和改建公园的建设总费用共10亿元，其中新修公园费用比改造公园费用多50%，改造公园每亩的费用是新修公园每亩的费用的一半，改造公园的面积比新修公园的面积多500亩．
(1)求2014年新修公园的费用和面积；
(2)据相关部门测算，2015年和2016年每年改造公园的面积比上一年减少400亩，2016年新修和改建公园的建设总费用达到12.54亿元．若2014年至2016年改造公园每亩的费用和新修公园每亩的费用都不发生变化，求2015年、2016年新修公园的面积平均每年比上一年增长的百分数．
23．(本题11分) 四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．
（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．
①求∠E的度数；②求CE的长度；
（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；②若，求DP的长度．
24、如图，平行于x轴的直线AB与直线OB：y1=kx相交于点B，C为OB的中点，以C 为顶点的抛物线y2=x2+bx+经过点A、B，直线CD⊥x轴于点D．
（1）求点A的坐标及b的值；
（2）将抛物线平移，得到的抛物线y3经过点A、D，与直线OB交于点E、F，当x为何值时，|y3﹣y1|的值随x的增大而减小？
（3）将抛物线再次作适当的平移，得抛物线y4=（x﹣h）2，若2＜x≤m时，y4≤kx恒成立，求m的最大值．。