§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释
§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释解析
P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k
k
k!
e .
即
C p 1 p
k n k
np
n很大, p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
二项分布、泊松分布、正态分布的联系
二项分布、泊松分布、正态分布的联系二项分布、泊松分布和正态分布是统计学中常见的三种分布类型。
它们在不同的领域和应用中被广泛使用，包括生物学、物理学、经济学和工程学等。
虽然它们各自有不同的特征和应用，但是它们之间也存在联系和相互影响，本文将探讨这些联系。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，表示在一系列独立的试验中成功次数的概率分布。
它的特征是每个试验的结果只有两种可能，成功或失败，而且每个试验的成功概率是固定的。
对于一个二项分布来说，它的概率密度函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，n表示试验次数，p表示每次试验的成功概率，k表示成功的次数，C(n,k)表示组合数，表示从n个试验中选k个试验成功的组合数。
二项分布在实际应用中非常常见，例如在制造业中检验产品的合格率、在市场调查中统计消费者的购买意愿等。
通过计算二项分布可以得到试验中成功的概率，从而做出相应的决策。
二、泊松分布泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间或空间内发生某一事件的次数。
它的特征是事件的发生是随机的，而且事件发生的概率在时间或空间上是均匀分布的。
对于一个泊松分布来说，它的概率密度函数可以表示为：P(X=k)=e^(-λ)(λ^k)/k!其中，λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数，k 表示事件发生的次数。
泊松分布在实际应用中也非常常见，例如在交通流量的研究中、在疾病流行的研究中等。
通过计算泊松分布可以得到事件发生的概率，从而做出相应的决策。
三、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也称为高斯分布。
它的特征是在自然界中非常常见，例如身高、体重、温度等。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x)=1/σ√(2π) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示分布的平均值，σ表示分布的标准差。
正态分布在实际应用中也非常常见，例如在统计样本的分布中、在财务分析中等。
通过计算正态分布可以得到分布的概率密度，从而做出相应的决策。
二项分布、泊松分布、伽马分布
一、二项分布二项分布是一个离散型概率分布，在一系列独立的重复的是/非试验中，每次试验只有两种可能的结果，例如成功与失败。
如果每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，那么进行n次独立重复试验后，成功k次的概率可以用二项分布来描述。
1.1 二项分布的概率密度函数设X表示n次重复试验中成功的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，即从n中选取k个的组合数，计算公式为C(n,k) = n!/(k!*(n-k)!).1.2 二项分布的期望和方差二项分布的期望和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p).1.3 二项分布的特点二项分布的特点是其概率分布函数在图像上呈现出左侧低、右侧高的倾斜形态。
当试验次数n较大时，二项分布近似于正态分布。
二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间（或单位面积、体积等）内随机事件发生次数的概率分布，常用于描述单位时间内独立随机事件发生次数的概率。
2.1 泊松分布的概率密度函数设X表示单位时间内随机事件发生的次数，其概率质量函数可以用以下公式表示：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中λ表示单位时间内随机事件的平均发生次数。
2.2 泊松分布的特点泊松分布的特点是其概率密度函数在大部分取值区间内值较小，且随着随机事件发生次数增多而减小。
在实际应用中，泊松分布常用于描述稀有事件的发生概率，例如单位时间内交通事故的发生次数、单位面积内颗粒的沉积数等。
三、伽马分布伽马分布是一种连续型概率分布，常用于描述随机事件的持续时间或等待时间的概率分布。
3.1 伽马分布的概率密度函数伽马分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x|α,β) = ( β^α * x^(α-1) * e^(-βx) ) / Γ(α)其中α和β为伽马分布的两个参数，Γ(α)表示Γ函数，x≥0。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布
二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验的次数为n。
二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。
泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。
它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。
均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。
在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。
均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。
指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。
它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。
指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。
指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。
它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。
正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。
二项式分布和泊松分布
二项式分布和泊松分布二项式分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在不同的应用场景中具有重要的意义。
本文将分别介绍二项式分布和泊松分布的概念、特点以及应用，并通过实例来说明它们的实际意义。
一、二项式分布二项式分布描述了在n次独立重复实验中成功次数的概率分布。
其中，每次实验只有两个可能的结果：成功或失败。
成功的概率记为p，失败的概率记为q=1-p。
用X表示在n次实验中成功的次数，则X服从二项式分布B(n,p)。
二项式分布的特点是：每次实验之间相互独立，实验结果只有两种可能，成功和失败的概率不变。
二项式分布的应用场景很广泛。
例如，在工程质量控制中，可以使用二项式分布来计算在一批产品中不合格品的数量；在医学研究中，可以使用二项式分布来计算某种疾病在人群中的患病率。
例如，某公司生产的产品合格率为90%，现在从该公司的产品中随机抽取10个进行质量检测，问有几个产品合格的概率是多少？这个问题可以使用二项式分布来解决。
假设成功事件为产品合格，失败事件为产品不合格，成功概率为p=0.9，失败概率为q=0.1。
那么在10次实验中，成功的次数X服从二项式分布B(10,0.9)。
我们可以使用概率计算公式来计算出有几个产品合格的概率。
二、泊松分布泊松分布是描述在一段固定时间或空间内，事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在单位时间或单位空间内发生的次数。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内平均发生的事件次数。
泊松分布的特点是：事件之间独立，事件在单位时间或单位空间内平均发生率不变。
泊松分布在实际应用中有很多场景。
例如，在电话交换机的研究中，可以使用泊松分布来描述单位时间内通话请求的数量；在网络流量分析中，可以使用泊松分布来描述单位时间内收到的数据包数量。
例如，某个餐厅在一小时内平均接待10个客人，问在下一个小时内接待超过15个客人的概率是多少？这个问题可以使用泊松分布来解决。
假设事件为接待客人，单位时间内平均接待的客人数为λ=10。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布与泊松分布的应用
在物理学中，泊松分布 也被用于描述放射性衰 变的期望值，例如式为：DX = λ
方差可以用来衡量随机事件的波 动程度
添加标题
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方差的计算需要考虑随机事件的 概率和频率
在泊松分布中，方差与期望值λ相 等
适用场景的对比
计算成功次数
定义：二项分布是描述在n次独立 重复的伯努利试验中成功次数的 概率分布。
公式：X~B(n,p)，其中X表示成 功次数，n表示试验次数，p表示 每次试验成功的概率。
添加标题
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添加标题
应用场景：例如，在n次抛硬币试 验中，计算正面朝上的次数。
泊松分布与二项分布的关系：当n 很大，p很小，且np=λ（λ为常 数）时，二项分布近似于泊松分 布。
泊松分布的应用范 围广泛，包括物理 学、生物学、医学 、经济学等领域。
在实际应用中，泊 松分布可以通过数 学公式和概率图来 描述随机事件的概 率分布情况。
计算随机事件的概率
泊松分布适用于 描述单位时间内 随机事件的概率 分布情况
泊松分布的参数 λ表示单位时间 内随机事件的平 均发生率
通过泊松分布， 可以计算出随机 事件发生的具体 概率
注意事项：当n很大或者p很小时，二项分布可能会呈现出泊松分布的特性
与泊松分布的关系：当n充分大且p充分小时，二项分布近似于泊松分布
描述随机事件的概率模型
泊松分布适用于在 一定时间内随机事 件的概率分布，如 单位时间内随机事 件发生的次数。
泊松分布在二项分 布的基础上，考虑 了随机事件的独立 性和成功概率，从 而更准确地描述随 机事件。
二项分布与泊松分布在参数取值范围上也有所不 同，二项分布的参数p取值范围为0<p<1，而泊 松分布的参数λ可以取任意正值。
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例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
X ~ B 3, 0.4 . 于是，所求概率为 P X 1 1 P X 0
0 1 C3 0.40 0.63 0.784 .
8
例2.8 设随机变量X服从参数为 项分布，已知 P X 1 解 由
n, p 的二
19 求 P X 2 . , 27
若离散型随机变量X的概率分布由式（2.5）和
(2.4)给出，则称X服从参数为 n, M , N 的超几何
分布. 记作 X ~ H n, M , N .
19
分布列正则性验证：
k n k CM CN M p k n CN k k k n k C C M N M k n CN n CN n 1. CN
22
◆ 如果每抽一件产品放回后，再抽下一件 产品，如此有放回地随机地抽取n件，这是n重 伯努利试验，那么所抽的n件产品的次品数 X ~ M B n, p , 其中 p 表示次品率. N ◆ 如果产品数量足够多，不放回与放回抽 样对下一次抽到次品还是正品影响甚微．于 n 是，当Ｎ很大，而 较小时，超几何分布可用 N 二项分布去近似．即 k n k CM CN n k k k M Cn p 1 p . n CN 23
25
例2.15 某人独立重复地做一个试验，已知
前两次都失败的概率是前三次都失败的概率的2
倍，求每次试验成功的概率． 解 设每次试验成功的概率为 p, Ｘ表示首次 成功时的试验次数，则 X ~ G p . 从而 整理得
P X 2 2 P X 3 ,
P X 1 P X 2 2 P X 3 1 , 1 将(2.6)式代入，解得 p . 2
如果要计算
k n k n k
C p 1 p
k n k
n k
np
n很大 , p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为 np 的泊松分布的概率计算问题． 例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
26
几何分布的无记忆性： 设 X ~ G p , 则对
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 次试验结果，这就是无记忆性．
例2.14 设有一批产品，批量为1000件，假
定该批产品的次品率为1℅．若采用抽样方案 （150︱2），求接受这批产品为合格的概率．
解 此例中， N 1000 , M 1000 0.01 10,
n 150, 接受产品为合格的概率是
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2
k
k!
e
, k 0, 1, 2, ,
其中 0, 则称Ｘ服从参数为 记作 X ~ P .
的泊松分布，
11
分布列正则性验证：
pk
k 0 k 0
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1.
服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在： ◎服务系统在单位时间内来到的顾客数； ◎击中飞机的炮弹数； ◎大量螺钉中不合格品出现的次数； ◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数； ◎母鸡在一生中产蛋的只数．
16
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆，
设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率． 解 设X是每天内出现故障的出租汽车数，则
X ~ B 500, 0.01 ，
P X 10 P X k
k 0
k C 500 0.01k 0.99500 k k 0 10
12
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率． 解 P X 3 1 P X 3 1
2 k
P X k
k 0
2
1 1 对立事件公式 1 e 1 0.920 0.08. k 0 k !
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
查泊松分布 表（附表1）
13
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ B n, p ,
Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
P X k C p 1 p , k 那么可近似计算 P Y k e . 即 k!
19 3 P X 1 1 P X 0 1 1 p 27
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认
为新药有效的概率．
15
解
P X 3 C 0.1 0.9
k 3
10
10
k 10
k
10 k
1 1 e k 3 k !
二项分布的泊松
k
0.0803.
近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的． 如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
*六、几何分布
在一个每次成功概率为 p 的伯努利试验序列
中，用X表示首次成功时的试验次数，则X的所有
可能取值为1，2，…，其分布列为
P X k 1 p
k 1
p , k 1, 2, ,
称X服从参数为 p 的几何分布，记作 X ~ G p . 分布列正则性验证：
3
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X
P
或用公式表示为
0 1 p
k
1
p
1 k
P X k p (1 p )
0, F x 1 p, 1,
, k 0, 1 .
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布，其分布
x 0, 0 x 1， x 1.
超几何分布与抽样检验有密切的联系，下面 举一个计数抽样方案的例子．所谓计数抽样是对 产品的检验只分“好”与“次”两种情况，若在 一批 产品中随机抽取了n件产品，并规定若其中的次 品数≤c，则判定这批产品合格，否则判定不合 格，通常用 (n︱c)表示这个抽样方案．
20
制定一个计数抽样方案就是根据实际情况选 择合适n的和c．
§2.3几种重要的离 散型分布
1
一、单点分布
如果一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X 服从单点分布．显然，它的分布列为
PX C 1,
分布函数为
0, x C , F x 1, x C .
任何常数都可以看作是一个随机变量，并称
为常数值随机变量．
2
二、两点分布
如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则 称Ｘ服从两点分布． ◆新生婴儿是男还是女； 都可以用一 ◆一次抽样的结果是正品还是次品； 个服从两点 分布的随机 ◆掷一枚骰子是否掷出点2； 变量来描述 ◆一次投篮是否投中； ◆一次投标是否中标．
p 1 p
k 1 k k 1
k 1
p p 1. 1 1 p
24
每个 pk 1 p
k 1
p 恰好是几何级数
1 p
k 1
k 1
p 中的各项，这就是“几何分布”
这一名称的由来． 几何 分布 大量 存在 ◎ 某种产品的次品率为0.01，则首次检 查到次品的检查次数 X ~ G 0.01 ; ◎ 某投篮手的命中率为0.8，则首次投中 时的投篮次数 Y ~ G 0.8 .
P X m n, X n P X m
max 0, M n N k min M , n .