数的由来和发展――从自然数到有理数
从自然数到有理数详解课件
有理数的性质
有理数具有加法、减法、乘法和除法的封闭性，以及有序 性。
有理数具有加法、减法、乘法和除法的封闭性，即两个有 理数的和、差、积和商仍然是有理数。此外，有理数还具 有有序性，即可以比较大小和确定大小关系。例如， 3/2>1，-2<0等。
有理数的表示方法
有理数可以用分数情势、小数情势和比例情势表示。
有理数减法的性质
减去一个数等于加上这个数的相 反数。
有理数的乘法运算
1 2
有理数的乘法运算规则
正数乘以正数得正数，正数乘以负数得负数，负 数乘以正数得负数，负数乘以负数得正数。
举例
$2 times 3 = 6$，$-5 times 4 = -20$，$(-2) times (-5) = 10$。
3
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目 录
• 自然数 • 有理数的定义 • 有理数的运算 • 有理数与实数的关系 • 特殊的有理数
01
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自然数
自然数的定义
01
02
03
自然数的定义
自然数就是非负整数，即 用数码0，1，2，3， 4……所表示的数。
自然数的起源
自然数概念最早源自人类 对数量的认识，随着人类 文明的发展，自然数的范 围也不断扩大。
符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
举例
02
$(-5) + (-3) = -8$，$3 + (-5) = -2$，$(-7) + 7 = 0$。
有理数加法的交换律和结合律
03
交换两个有理数的位置，和不变；结合任意三个有理数，不影
响它们的和。
有理数的减法算
数的起源与发展
数的起源与发展一、数的起源数的起源可以追溯到人类社会的早期。
在原始社会中，人们开始使用手指、手掌和脚趾等身体部位来表示数量。
这种表示数量的方法被称为自然计数法。
随着社会的发展，人们开始使用物体来代表数量，比如使用石头、木棍等来计数。
这种计数方法被称为物体计数法。
随着时间的推移，人们逐渐意识到需要更高效、更精确的计数方法。
于是，人们开始使用符号来表示数量。
最早的数符是古代巴比伦人发明的楔形文字，用来记录商业交易和土地面积。
古埃及人则使用简单的符号来表示数量。
这些符号的发展为后来的数字系统奠定了基础。
二、数的发展1. 古代数学古代数学的发展可以追溯到古埃及、古巴比伦、古印度和古希腊等文明。
这些文明中的数学家们开始研究几何学、代数学和算术学等数学分支。
在古埃及，人们使用简单的分数和整数来解决实际问题，比如计算土地面积和建筑物的高度。
古巴比伦人则发展了一种复杂的计算方法，称为巴比伦数学，其中包括了对分数、平方根和立方根的研究。
古印度数学家发展了一套完整的数学体系，包括了对无穷大和无穷小的研究，以及对三角函数和代数方程的研究。
古希腊数学家则以几何学为主，发展了一套严谨的几何学体系，其中最著名的是欧几里德的《几何原本》。
2. 中世纪数学在中世纪，数学的发展受到了宗教和哲学的限制。
然而，一些数学家仍然在这个时期做出了重要的贡献。
阿拉伯数学家在中世纪将印度的数学体系引入欧洲，包括了对十进制计数系统和代数学的研究。
他们还发展了代数方程的解法，为后来的代数学奠定了基础。
3. 文艺复兴以后的数学文艺复兴时期，数学开始重获发展的机会。
伽利略和笛卡尔等数学家的出现推动了数学的进一步发展。
伽利略通过观测和实验建立了力学的基础，而笛卡尔则发展了解析几何学，将几何学与代数学相结合。
随着时间的推移，数学的发展越来越迅速。
牛顿和莱布尼茨的微积分学开创了新的数学分支，为物理学和工程学的发展做出了重要贡献。
高斯和欧拉等数学家则在代数学和数论等领域做出了重要的发现。
数的起源与发展
数的起源与发展一、数的起源数的起源可以追溯到人类文明的初期。
在人类的生活中，对于数量的认知和计数是非常重要的。
最早的人类社会使用的是自然数，即1、2、3、4……。
这些自然数是用来表示物体的个数或者事物的数量。
人们通过观察和计数来认识世界，这种认知和计数的过程逐渐形成为了数的概念。
二、数的发展1. 古代数学在古代，数学的发展主要集中在古埃及、古希腊、古印度和古中国等地。
古埃及人使用简单的计数方法，他们发明了一种叫做“记数绳”的工具来匡助计数。
古希腊人则更加注重数的理论研究，他们提出了许多数学定理和公式。
古印度的数学发展也非常活跃，他们发明了“零”的概念，并且进行了大量的数学研究。
古中国的数学发展也非常独特，中国古代数学家发明了算筹和算盘等计算工具，并且提出了不少重要的数学理论。
2. 中世纪数学中世纪数学的发展主要集中在欧洲。
在这个时期，数学的发展受到了宗教和哲学的影响。
许多数学家致力于研究几何学和代数学。
其中最著名的数学家是欧几里得，他的《几何原本》对于几何学的发展起到了重要的推动作用。
3. 近代数学近代数学的发展主要集中在17世纪到19世纪。
在这个时期，数学的发展进入了一个新的阶段。
众多数学家提出了许多重要的数学理论和公式。
其中最重要的数学家是牛顿和莱布尼兹，他们发明了微积分学，并且提出了微分和积分的概念。
这个时期的数学也涉及到了概率论、数论和数学分析等领域。
4. 现代数学现代数学的发展主要集中在20世纪以后。
在这个时期，数学的发展进入了一个新的高峰。
许多数学家提出了许多重要的数学理论和公式。
其中最重要的数学家是哥德尔、图灵、费马和黎曼等人。
他们的工作对于数学的发展起到了重要的推动作用。
现代数学涉及到了几何学、代数学、数论、概率论、数学分析和拓扑学等多个领域。
总结：数的起源可以追溯到人类文明的初期，数的发展经历了古代数学、中世纪数学、近代数学和现代数学等多个阶段。
数的发展是人类认知世界的过程，也是数学科学发展的历程。
数的发展历史和分类
数的发展历史和分类一、数的发展历史数的概念是人类文明发展的重要组成部分，它伴随着人类社会的进步而不断演变和发展。
数的发展历史可以追溯到古代。
1. 古代数的概念最早的数的概念可以追溯到古代的文明社会，如古埃及、古希腊、古印度等。
古代人们使用数来计数、测量和解决实际问题。
例如，古埃及人使用符号来表示不同的数，他们开创了一种被称为“埃及分数”的数表示方法。
古希腊人则发展了几何学，推动了数的发展。
2. 阿拉伯数字的出现阿拉伯数字是现代数学中使用最广泛的数字系统，它最早出现在印度，然后传入阿拉伯世界，并在欧洲得到广泛应用。
阿拉伯数字的特点是使用十个数字0-9，通过不同位置的排列来表示不同的数值。
这种数字系统的出现，极大地简化了数的表示和计算，对数学的发展起到了重要的推动作用。
3. 数学的发展与应用随着数的概念的不断发展，数学逐渐成为一门独立的学科，并在各个领域得到广泛应用。
数学的发展可以追溯到古希腊的几何学、古印度的代数学、古代中国的算术学等。
在这些领域中，人们提出了许多重要的数学理论和方法，为后来的数学研究奠定了基础。
二、数的分类数可以根据不同的性质和特点进行分类，下面将介绍几种常见的数的分类方法。
1. 自然数和整数自然数是最基本的数，它是用来计数的数，包括0和正整数。
自然数的表示方法简单明了，它们按照顺序排列，可以无限延伸。
整数是自然数的扩展，它包括0、正整数和负整数。
整数的表示方法是通过正负号来表示数的正负性。
2. 有理数和无理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
有理数可以用分数形式或小数形式表示，例如，1/2、-3/4、1.5等。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们的小数形式是无限不循环的，例如，π、√2等。
3. 实数和虚数实数是可以在数轴上表示的数，包括有理数和无理数。
实数可以用有限小数或无限循环小数表示。
虚数是不能在数轴上表示的数，它们由实数与虚数单位i相乘得到，例如，2i、-3i等。
数的由来和发展――从自然数到有理数
数的由来和发展——从自然数到有理数原始社会时，先人用小石子检查放牧回来的羊的只数；用结绳的方法统计猎物的个数；用在木头上刻道的方法记录打鱼的数目等等。
这些原始的计数方法表示：人类很早就产生了一一对应的思想，于是产生了像１、２、３、４、５这样的自然数。
在自然数的符号表示方面，古罗马的数字相当特别，此刻很多老式挂钟上还经常使用它们。
罗马数字的符号一共只有 7 个，分别是：I（代表 1）、 V（代表 5）、 X（代表 10）、 L（代表 50）、C 代表 100）、D（代表 500）、 M（代表 1，000）。
这 7 个符号地点上无论如何变化，它所代表的数字都是不变的。
如：1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如：III表示 3；XXX表示 30。
2．xx 左减：一个代表大数字的符号右侧附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如 VI 表示 6，DC表示 600。
一个代表大数字的符号左侧附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如 IV 表示 4，XL表示 40，VD 表示 495。
3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一倍。
与古罗马不一样，其余国家和地域的人民广泛认可十位进制的记数符号，即1、2、3、4、5、6、7、8、9，碰到零就用黑点？表示，比方 6708，就能够表示为 67？8。
以后这个表示零的？，渐渐变为了 0。
以后人们发现，不过能表示自然数是远远不可以的，比方说：假如分派猎获物时， 5 个人分 4 件东西，每一个人该得多少呢？于是分数就产生了。
自然数、分数和零，通称为算术数。
自然数也称为正整数。
跟着社会的发展，人们又发现好多半量拥有相反的意义，比方增添和减少、行进和退后、上涨和降落、向东和向西。
为了表示这样的量，又产生了负数。
正整数、负整数和零，统称为整数。
假如再加上正分数和负分数，就统称为有理数。
有了这些数字表示法，人们计算起来感觉方便多了。
第一讲, 数的发展
第一讲数的发展一，自然数的产生1.1 数的起源恩格斯指出：“数学是以人的需要产生的。
”数是原始人类根据生活的直接需要，在长期的实践中逐步形成的。
在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树、……之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性。
同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应。
这种为一定物群所共有的抽象性质，就是数。
数的概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。
当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的。
最早可能是手指计数，一只手上的五个指头可以被现成地用来表示五个以内事物的集合。
两只手上的指头合在一起，不超过10个元素集合就有办法表示。
正如亚里士多德早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学事实的结果。
因此，虽然在历史上手指计数即用5或10的计数实践比二或三的计数出现要晚，但五进制和十进制却几乎一律地取代了二进制、三进制等。
1.2数的表示方法（1）结绳与书契当指头不敷运用时，就出现了结绳记数和刻痕记数。
结绳记数成为人类早期表示记数的方法图1.1：台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。
图1.2：日本琉球群岛的结绳“书契”，就是刻划。
“书”是划痕，“契”是刻痕。
例如，在青海，1974年至1978年出土一批带刻痕的骨片，是新石器时代末期用于记事、记数的实物。
（2）文字记数新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。
例如，在西安半坡人的遗址（距今约5000~6000年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号：（五）、（六）、（七）、（八）、（十）、（二十）。
商代的甲骨文“金文”的十进制。
自然数到有理数的发展过程
自然数到有理数的发展过程一、自然数的概念自然数是最早出现的数的概念，它包括了0和正整数，用来表示物体的数量。
自然数的概念最早由人类在生活中的计数行为中形成，它是人类认识数的起点。
二、整数的引入随着人类社会的发展，人们发现在生活中还经常涉及到负数的概念，比如负债、亏损等。
为了能够更好地描述这些情况，整数的概念应运而生。
整数包括了自然数及其相反数，可以表示正负的数量关系。
三、有理数的出现在解决一些实际问题时，人们发现了一些自然数和整数无法完全表示的数，比如2除以3得到的结果。
这时，有理数的概念被引入。
有理数包括了可以表示为两个整数之比的数，其中分子和分母都是整数。
四、有理数的性质有理数具有一些重要的性质，比如加法封闭性、乘法封闭性、可逆性等。
有理数的加法、减法、乘法和除法运算都可以在有理数集合内进行，结果仍然是有理数。
五、有理数的运算有理数的运算可以通过分数的加减乘除来进行。
加法和乘法都有交换律和结合律，而减法和除法则没有交换律和结合律。
六、有理数的应用有理数在生活中有着广泛的应用，比如在温度计中，正数表示高温，负数表示低温；在金融领域，有理数用来表示资产和负债的关系；在物理学中，有理数用来表示速度、加速度等概念。
七、有理数的局限性尽管有理数在数学和现实生活中有着广泛的应用，但它依然存在一些局限性。
例如，无理数无法用有限个整数之比表示，而有些实际问题中需要用到无理数的概念。
八、无理数的引入为了解决有理数无法完全表示的问题，无理数的概念被引入。
无理数是指不能表示为两个整数之比的数，它包括了无限不循环小数和无限循环小数。
九、实数的出现实数是自然数、整数、有理数和无理数的集合，它包括了所有的数。
实数的引入是为了能够完整地描述数的概念，它是数学中最为广泛应用的概念之一。
总结：自然数是数的最早概念，整数的引入丰富了数的概念，有理数的出现解决了无法用整数表示的数的问题，无理数的引入进一步完善了数的概念，最终形成了实数的概念。
数的发展史
数的发展史来源：海韵互联提到数，大家都不陌生。
小学期间我们学习了自然数和正分数；在初一学习了负数以后，解决了在正有理数不够减的问题，数的范围扩充为有理数；在初二又学习了无理数，解决了开方开不尽的矛盾，数的范围进一步扩充为实数；在高中，我们为了解方程的需要又引入了虚数单位i，数系最终达到复数系。
实际上，时至今日数系已构造得非常的完备和缜密。
然而你是否知道，数系的形成和发展并非完全遵循上述演变过程，又是否知道人类智慧在此过程中经历的种种曲折和艰辛。
一、古代数字及计数法人类最初完全没有数量的概念。
而是在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。
比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。
捕获了3头，就放3块石子。
“结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。
《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。
东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。
结之多少，随物众寡”。
以结绳和书契记数的方法遍及世界各地。
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的，但是记数的符号却大不相同。
古代巴比伦人的数字用点来表示，五个点表示5，八个点表示8，九个点表示9，点太多，数不清时，发明了专用的计数符号，“<”表示10，“T”表示360等等；在中国，一二三四五六七八九十百千万这13个数字在甲骨文中就已经出现。
古罗马的数字相当进步。
罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。
它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数。
1、重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。
2、右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。
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数的由来和发展——从自然数到有理数
原始社会时，古人用小石子检查放牧归来的羊的只数；用结绳的方法统计猎物的个数；用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量等等。
这些原始的计数方法表明：
人类很早就产生了一一对应的思想，于是产生了像１、２、３、４、５这样的自然数。
在自然数的符号表示方面，古罗马的数字相当特别，现在许多老式挂钟上还常常使用它们。
罗马数字的符号一共只有7个，分别是：
I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1，000）。
这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。
如：
1．重复次数：
一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。
如：
III表示3；XXX表示30。
2．xx左减：
一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如VI表示6，DC表示600。
一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减去小数字的数目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。
3．上加横线：
在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一倍。
与古罗马不同，其他国家和地区的人民普遍认同十位进制的记数符号，即
1、2、
3、4、
5、6、
7、8、9，遇到零就用黑点？表示，比如6708，就可以表示为67？8。
后来这个表示零的？，逐渐变成了0。
后来人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的，比方说：
如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人该得多少呢？于是分数就产生了。
自然数、分数和零，通称为算术数。
自然数也称为正整数。
随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。
为了表示这样的量，又产生了负数。
正整数、负整数和零，统称为整数。
如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。
有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。
从自然数到有理数，只是数的发展的初级阶段。
有理数之后，依次还出现了无理数、实数、虚数这些数的概念。
这些数的发现、发展，是与各个历史阶段的劳动人民和一大批科学家所作出的努力是分不开的，他们的贡献，犹如一颗颗璀灿的明珠，将永远闪耀在人类文明的发展史上。