浙教版九年级上第三章圆的基本性质复习课

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第3章圆的基本性质总复习课件 2024--2025学年浙教版九年级数学上册

∠ CAD ＝25°，则α＝
50° .
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第4题
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考点三
垂径定理及其逆定理
5. （2022·安徽）已知☉ O 的半径为7， AB 是☉ O 的弦，点 P 在弦 AB
上，且 PA ＝4， PB ＝6，则 OP 的长为（ D ）
A. 14
△ ACD ，△ BCD ，△ ABD
写出来：
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第2题
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考点二
3.
图形的旋转
3
（2023·荆州）如图，直线 y ＝－ x ＋3分别与 x 轴、 y 轴交于点 A ，
2
B ，将△ OAB 绕点 A 按顺时针方向旋转90°得到△ CAD ，则点 B 的对应
第8题
∴ CF ＝ AC ＝10.∴ △ ACF 是等腰三角形
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考点五
圆内接四边形
9. （教材P97课内练习第1题变式）如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB

第三章圆第2课时复习教案(浙教版九年级上)

第三章圆复习（第2课时）教学目标(一)教学知识点1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．(二)能力训练要求1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．4．平行投影与中心投影5．三视图的画法6．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．(三)情感与价值观要求1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点探索各种位置关系及切线的性质．教学方法学生自己交流总结法．教具准备投影片五张：教学过程Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B 的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R 三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，∵OD＝3，PD＝4，∴OP5＝r．所以点P在圆上．同理可知OR5，OQ5．所以点R在圆内，点Q在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝12AB，OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，求AD的长．2．如图(2)，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠CAE＝∠B，你认为AE与⊙O相切吗？为什么？分析：1．由⊙O与AC相切可知OE⊥AC，又∠C＝90°，所以△AOE∽△ABC，则对应边成比例，OA OEBA BC=．求出半径和OA后，由OA－OD＝AD，就求出了AD．2．根据切线的判定，要求AE与⊙O相切，需求∠BAE＝90°，由AB为⊙O的直径得∠ACB＝90°，则∠BAC＋∠B＝90°，所以∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴由勾股定理得AB＝15．∵⊙O切AC于点E，连接OE，∴OE⊥AC．∴OE∥BC．∴△OAE∽△BAC．∴OA OEAB BC=，即AB OE OEAB BC-=．∴15159OE OE-=．∴OE＝458∴AD＝AB－2OD＝AB－2OE＝15－458×2＝154．2．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠CAB＋∠B＝90°．∴∠CAE＝∠B，∴∠CAB＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE．∵BA为⊙O的直径，∴AE与⊙O相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d＞R＋r时，两圆外离；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．(投影片E)设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．四、平行投影与中心投影五、三视图的画法与要求Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DE 12 BC)Ⅳ．课时小结本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．Ⅴ．课后作业复习题 B组、C组Ⅵ．活动与探究如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O的半径OD或OE、OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S△ABC＝S△OAB＋S △OBC＋S△OCA，从中可求出半径．解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、OD分别是三角形各边上过切点的半径．∴S△OAB＝12AB·OF，S△OBC＝12BC·OD，S△OCA＝12CA·OE．∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，∴12AC·BC＝12AB·OF＋12BC·OD＋12CA·OE．∵OD＝OE＝OF，∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．∴OD＝2．∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝12×12×5－π·22＝30－4π．。

2018-2019学年浙教版九年级上册期末复习-圆的基本性质教案

2018-2019学年浙教版九年级上册期末复习-圆的基本性质教案一、教学目标1.了解圆的定义，能够正确使用圆的相关术语。

2.掌握圆心角、圆周角的概念及计算方法。

3.理解切线和弦的概念以及切线定理。

4.能够应用所学知识解决与圆有关的问题。

二、教学重点1.圆心角、圆周角的概念及计算方法。

2.切线和弦的概念以及切线定理的应用。

三、教学内容1. 圆的定义与相关术语•圆：由平面上所有到定点的距离等于定长的点构成的图形。

•圆心：圆上所有点到圆心的距离相等。

•半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，长度为r。

•直径：连接圆上两点并经过圆心的线段，长度为d=2r。

•弧：在圆上，两个点间的部分。

•弦：在圆上，两个点间的线段。

•弦长：弦的长度。

2. 圆心角与圆周角•圆心角：以圆心为顶点，所对圆上弧的角。

•圆心角的度数：以半径为半径的圆心角度数为1度。

•圆心角的弧度：以半径为半径的圆心角弧度为1弧度。

•圆周角：以圆上两点为端点的角，所对圆弧为整个圆。

3. 圆周角的计算方法•如果知道圆上弧所对的圆心角度数，则圆周角的弧度等于弧度。

•如果知道圆上弧所对的圆心角弧度，则圆周角的度数等于度。

4. 切线和弦•切线：与圆相切且只与圆有一个交点的直线。

•弦：圆上两点的线段。

5. 切线定理•定理一：一条直线与一个圆相切，那么这条直线的切点与圆心之间的连线垂直于直线。

•定理二：一条直线与一个圆相切，那么这条直线的切点与圆心之间的连线是这条直线的垂线。

•定理三：两条切线的切点若在圆上，则这两条切线互相垂直。

四、教学过程1. 引入教师将一只圆盘放在黑板上，然后问学生：你们知道这是一种什么特殊的图形吗？请回答。

2. 学习圆的定义与相关术语教师出示圆的定义并解释，然后带领学生一起说出相关术语的名称及定义。

3. 学习圆心角与圆周角教师出示圆心角与圆周角的定义，展示示例并讲解计算方法。

4. 学习切线和弦教师出示切线和弦的定义，展示示例并讲解。

5. 学习切线定理教师出示切线定理的三个定理，并讲解每个定理的含义与应用。

浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)则 r PA ===【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF =．在Rt △DFO 中，OF OD ＝OA ＝3，∴DF ===(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．【答案】65°.【解析】连结OD ，则∠D OB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）N MO C BA（第3题）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、图形的旋转4．如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是，旋转了 .【思路点拨】确定图形的旋转时，首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心，对应点连线的夹角即为旋转角.【答案】X，180°.【解析】解：观察图形中Z点对应点的位置是图A绕旋转中心X按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X；180°．【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，对应点的连线是否过旋转中心，对应点连线的夹角为旋转角．类型四、圆中有关的计算5．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【答案】D．【解析】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2．设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ AB 的长为120481803ππ⨯=(m)．∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O 作OC ⊥AB 于D ，交于C ，∵ OC ⊥AB ，∴.由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm ，则.在Rt △BOD 中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

浙教版九年级上第3章圆的基本性质单元复习课件

A.24 4 C.32 8 B.32 4 D.16
4.如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长. 解： ∵E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC， 1 ∴ AD AC 4cm ， 2 ∵OD=OE－DE=(OE－2)cm，OA=OE，
∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，即OA2=(OE－2)2＋42，又知OA=OE，解得：OE=5， ∴OD=OE－DE=3cm.
1. 下列说法中，正确的是（ C ） A.三点确定一个圆
B.长度相等的弧是等弧
C. 任意一个三角形只有一个外接圆 D.三角形的外心到三角形的三边距离相等 2.给出下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆. 其中错误说法的个数是（ B ） A.1 B.2 C.3 D.4
C.
D.
3.3 垂径定理
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧. 2.推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
3.弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点. 4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离.
1.(2015遂宁)如图，在半径为5cm的⊙O中，弦 B ） AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(2015大庆)在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦所对圆心角的大小为（D ） A.30° B.45° C.60° D.90° 3.(2015广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是（ B ） A.CE=DE C. BC BD B.AE=OE D. △OCE≌△ODE

圆的基本性质复习课及课后反思

圆的基本性质复习课及课后反思第三章圆的基本性质（复习课）及课后反思⼀、学情与教材分析：学⽣普遍对学习不感兴趣，为了使⼤部分学⽣都能有所收获，还是应把重点放在基础上。

本节课是以复习基本概念为主，让学⽣对本章知识形成⼀个完整的知识连。

⼆：教学⽬标:熟悉本章所有的定理。

三、教学重点：圆中有关的定理四、教学难点: 圆中有关的定理的应⽤五、教学过程：1、2、在⼀个平⾯内，线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径，以点O为圆⼼的圆，记作☉O，读作“圆O3、篮球是圆吗？–圆必须在⼀个平⾯内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆⼼画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆⼼分别有什么作⽤？–半径确定圆的⼤⼩；圆⼼确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆⾯”？–圆是⼀条封闭曲线圆周上的点与圆⼼有什么关系？4、点与圆的位置关系圆是到定点（圆⼼）的距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的内部是到圆⼼的距离⼩于半径的点的集合。

圆的外部是到圆⼼的距离⼤于半径的点的集合。

由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？5、圆的有关性质思考：确定⼀条直线的条件是什么？类⽐联想：是否也存在由⼏个点确定⼀个圆呢？讨论：经过⼀个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？6、经过三⾓形的三个顶点的圆叫做三⾓形的外接圆，外接圆的圆⼼叫做三⾓形的外⼼，三⾓形叫做圆的内接三⾓形。

7、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图，P为⊙O的弦BA延长线上⼀点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。

2020浙教版九年级数学上《圆的基本性质》章节知识点复习专题

- 1 -【文库独家】圆的基本性质章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图4图5- 2 -三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

浙教版数学九上课件第三章圆的基本性质复习(28张幻灯片)新

C E O B
A
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？ E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
圆的定义辨析
• 篮球是圆吗？
– 圆必须在一个平面内
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
– 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
• 圆是“圆周”还是“圆面”？
– 圆是一条封闭曲线
• 圆周上的点与圆心有什么关系？
点与圆的位置关系
• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 • 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r
如果用字母S表示扇形的面积，n表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r表示圆的半径，那么扇形的面积计算公式是
n r 得由弧长公式 l 180 1 s lr 2 圆锥的侧面积和全面积:S侧=
n s r 360
2
（1）
（2）
S全= rl r
rl
2
小结和同步作业:
• P89-93: • • 目标与评定
圆的有关性质
过三点的圆
思考：确定一条直线的条件是什么？

新浙教版数学九年级上册圆的基本性质复习

新浙教版数学九年级上册圆的基本性质复习主要知识点梳理：请先自主写出一下相关的知识点也可以写关键字圆的定义及其画法；对称性垂径定理及其逆定理:{五点}圆弧；圆心角和圆周角的关系：圆弧；圆心角；圆周角；弦；弦心距之间的关系：圆中如何找相等的角：{五种}圆的基本辅助线：精讲例题；提高知识点应用能力：1、下列判断中正确的是（）A 、平分弦的直线垂直于弦B 、平分弧的直线必平分这条弧所对的弦C 、弦的中垂线必平分弦所对的两条弧D 、平分弦的直线必平分弦所对的两条弧2、已知点A 、B ；且AB ＞4；画经过A 、B 两点且半径为2的圆有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个3、如图；AB 是⊙O 的直径；点C 、D 在⊙O 上；∠BOC ＝110°；AD ∥OC ；则∠AOD ＝（）A70° B 、60° C 、50° D 、40°4、如图；弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周；P 为弧AD 上任意一点；若AC ＝5；则四边形ACBP 周长的最大值是（）A 、15B 、20C 、2515+D 、5515+（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）5、如图；点A、B、C、D为圆O的四等分点；动点P从圆心O出发；沿O—C—D—O的路线作匀速运动；设运动时间为t秒；∠APB的度数为y度；则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A B C D6、如图；在Rt△ABC中；∠C＝90°；AB＝10；若以点C为圆心；CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D；则AC的长等于（）A、35 B、5 C、25 D、67、图示；AB是⊙O的直径；AD＝DE；AE与BD交于点C；则图中与∠ECB相等的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个8、如图；用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上；若四周下垂的最大长度相等；则桌布下垂的最大长度x为（）A、a)12(- B、a212-C、a422-D、a)22(-9、如图；水平地面上有一面积为302cmπ的扇形AOB；半径OA＝6cm；且OA与地面垂直；在没有滑动的情况下；将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止；则O点移动的距离为（）A、20cmB、24cmC、10πcmD、30πcm（第7题）（第8题）（第9题）10、如图；Rt△ABC中；∠ACB＝90°；∠CAB＝30°；BC＝2；O；H分别为边AB、AC的中点；将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△11BCA的位置；则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分的面积）为（）A 、38737-πB 、38734+πC 、πD 、334+π11、⊙O 是正三角形ABC 的外接圆；点P 是圆上异于A 、B 、C 的任意一点；则∠BPC 的度数为．12、如图；以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A 、B 两点；点P 的坐标为（4；2）；点A 的坐标为（32；0）；则点B 的坐标为．13、如图；量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合；其中量角器0刻度线的端点N 与点A 重合；射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转；CP 与量角器的半圆弧交于点E ；第18秒；点E 在量角器上对应的度数是度．（第12题）（第13题）（第14题）（第16题）14、如图；两正方形彼此相邻；且内接于半圆；若小正方形的面积为162cm ；则该半圆的半径为．15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面中有水部分水面宽312米；半径为12米；则积水部分面积为．16、如图；⊙O 是△ABC 的外接圆；且AB ＝AC ；点D 在弧BC 上运动；过点D 作DE ∥BC ；DE 交AB 的延长线于点E ；连结AD 、BD ．（1）求证：∠ADB ＝∠E ；（2）当AB ＝5；BC ＝6；求⊙O 的半径．17、在平面直角坐标系中；已知A （2；0）；B （3；1）；C （1；3）（1）将△ABC 沿x 轴负方向平移2个单位至△111C B A ；画图并写出1C 的坐标；（2）以1A 点为旋转中心；将△111C B A 逆时针方向旋转90°得△221C B A ；画图并写出2C 的坐标；（3）求在平移和旋转过程中线段BC 扫过的面积．重点综合认识：1.如图16；高A 城气象台测得台风中心在A 城正西300方向千米的B 处；以每小时10 3千米的速度向北偏东60度的BF 方向移动；距台风200中心千米的范围内是受到台风的区域。

浙教版初中九年级上册数学：第3章圆的基本性质复习课件

∴∠BON＝12∠AON＝12×60°＝30°，由对称性得∠B′ON＝∠BON＝30°， ∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°，又∵OA＝OB′， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′＝ 2OA＝ 2×1＝ 2，
即 PA＋PB 的最小值为 2。
【点悟】一般来说，在一条直线上确定一点，使其与该直线同侧两点的线段之和最小的方法是：先确定其中一点关于这条直线的对称点，再连结对称点与另一点，Hale Waihona Puke 得线段与这条直线的交点即为所求。
三角形。
解：如答图，作点A关于CD的对称点A′，连结 A′B，交CD于点P，连结AP，则PA＋PB最小，连结 OA，OA′，AA′.∵点A与A′关于CD对称，点A是
半圆上的一个三等分点，
∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，
∵点 B 是A︵D的中点，∴∠BOD＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′OD＋∠BOD＝90°，
＝30°，点B为劣弧AN的中点，P是直径
MN上一动点，则PA＋PB的最小值为
（）
A
图3－3
A. 2
B．1
C．2
D．2 2
–例2答图
【解析】作点B关于MN的对称点B′，连结AB′，则AB′与MN的交点即为PA＋PB取得最小值的点。连结OA，OB，OB′。 ∵∠AMN＝30°， ∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°。 ∵点B为劣弧AN的中点，
变式跟进4如图3－8，AC是汽车挡风玻璃前
的刮雨刷。如果AO＝65cm，CO＝15cm，当
刮雨刷AC绕点O旋转90°时，刮雨刷AC扫过
的面积为（ B ）
A.25πcm2
B.1000πcm2
C.25cm2

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练习3 练习
⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于经过坐标原点, 的坐标为（），M 点A、B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点， BMO=120° 一点，∠BMO=120°. (1)求证:AB为⊙O的直径. (1)求证求证:AB为的直径. (2)求⊙C的半径及圆心C的坐标. (2)求的半径及圆心C的坐标.
E D
练习4 练习
.我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫我们定义:顶点在圆外, 圆外角.如图, DPB是圆外角那么∠DPB的度数与是圆外角, 圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD弧AC的度数有什么关系的度数有什么关系? 它所夹的两段弧BD弧AC的度数有什么关系? (1)你的结论用文字表述为(不准出现字母和数学符号) (1)你的结论用文字表述为不准出现字母和数学符号) 你的结论用文字表述为( _______________________________________ 圆外角的度数等于它所夹的两段大弧与小弧的 __________________; 度数差的一半. 度数差的一半. (2)证明你的结论. (2)证明你的结论证明你的结论.
知识回顾
一、圆的周长公式二、圆的面积公式
C=2πr
S=πr2
n nπr 三、弧长的计算公式 l = 360 2πr = 180
四、扇形面积计算公式 n 1 2 s= πr 或 = lr s 360 2 五、大于半圆的弓形面积为 S弓形=S扇形+S△ 六、小于半圆的弓形面积为 S弓形=S扇形S△
3、扇形的面积是S，它的半径是，这个扇形的弧、扇形的面积是，它的半径是r， 2s 长是_____________ 长是； r 4 圆锥的母线为圆锥的母线为5cm，底面半径为，底面半径为3cm，则圆，锥的表面积为_______ 锥的表面积为 24πcm2
例１、已知：在RtΔABC, 已知： Δ
S
A
练习5 练习
BC为⊙O的直径,AD⊥BC于点D,P是弧AC上的一动点, BC为的直径,AD⊥BC于点于点D,P是弧上的一动点是弧AC上的一动点, 连结PB分别交、AC于点分别交AD 于点E 连结PB分别交AD、AC于点E，F。当弧PA=弧AB时求证：AE=BE；（1）当弧PA=弧AB时，求证：AE=BE；当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论。
的弦AB是的切线，例２、如图，⊙O1的弦是⊙O2的切线，且如图， AB∥ O1 O2，如果 ∥ 如果AB=12cm，求阴影部分的面积。，求阴影部分的面积。
A
． O2 O1
．
B
例3
. 已知圆锥底面半径为已知圆锥底面半径为10cm，母线长为，母线长为40cm.
（1）求它的侧面展开图的圆心角和全面积）求它的侧面展开图的圆心角和全面积. 出发，（2）若一甲虫从圆锥底面圆上一点 A出发，沿着）出发的中点B，圆锥侧面绕行到母线 SA的中点，它所走的最短的中点路程是多少？路程是多少？
球场上的情况是很复杂的，球员射门球场上的情况是很复杂的，常会选择较好的射门角度. 常会选择较好的射门角度.这就要两点各自对球门MN的张角看A、B两点各自对球门MN的张角的大小，当张角较小时，的大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员截住.因此, 被对方守门员截住.因此,只需比较 ∠MAN与∠MBN的大小. MAN与 MBN的大小的大小. 点及B点作一个⊙O,即过点B 过M、N点及B点作一个⊙O,即⊙O过点B、M、N，显然点A AM交圆交圆O 显然点A在⊙O外，设AM交圆O于C，则 MAN＜ MCN∠=MBN。因此，点射门较好。 ∠MAN＜∠MCN∠=MBN。因此，在B点射门较好。
2
1 1 = la °，那么这个扇形的、如果扇形的圆心角是３ ° 23 面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；面积等于这个扇形所在圆的面积的；
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2 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 3 ，这个扇、
形的圆心角的度数是_________°. 形的圆心角的度数是 240° ° °
练习1 练习
A、B、C是⊙O上三个点,连接弧AB和弧AC 上三个点,连接弧AB和弧和弧AC 的中点D 的中点D、E的弦交弦AB、AC于F、G，试的弦交弦AB、AC于判断△AFG的形状的形状. 判断△AFG的形状.
练习2 练习
在足球比赛场上, 在足球比赛场上,甲、乙两名对员互相配合向对方球门MN进攻当甲带球攻到球门前处时, 进攻, 球门MN进攻,当甲带球攻到球门前处时,乙已跟随冲到B 这里甲是选择自己攻门好, 冲到B点.这里甲是选择自己攻门好,还是迅速将球传给乙,让乙射门? M N 解: 传给乙,让乙射门?
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
S侧=S扇形
l h a r
S全=S侧+S底
= πra + πr
∠ C = 90 0 . AB = 13 cm , BC = 5 cm
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。求以为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。为轴旋转一周所得到的几何体的全面积
A
D
分析：分析：
C
B
以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。积就是求两个圆锥的侧面积。