浙教版九年级上册第三章圆的基本性质 专题：圆内接四边形与正多边形

专题：圆内接四边形与正多边形一．选择1. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD的度数是（）A.120°B.130°C.140°D.150°2. 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点.若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.130°3. 如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）cmA． 6cm B． 12cm C． 6cm D． 4cm4. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A.1B.C.4-2D.3-45. 已知⊙的半径为1,以它的内接正三角形,正方形,正六边形的边心距为三边作三角形,则()A. 这个三角形是锐角三角形B. 这个三角形是直角三角形C. 这个三角形是钝角三角形D. 不能构成三角形6. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A. B. C. D.7. 如图,六边形 ABCDEF内接于⊙O,则∠A+∠C+∠E的值为( ）A.90°B.180°C.270D.3608. 如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）A.16B.12C.8D.69. 如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A.55°B.60°C.65°D.70°10. 如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，则∠A等于( )A. α+βB.C. 180°﹣α﹣βD.11. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（）.A.3B.4C.D.2+12. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是弧EB的中点，则下列结论不成立的是( )A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE13. 如图，平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ、A′B′C′D′E′F′G′H′I′J′，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合，则∠BAJ′的度数为（）A.96°B.108°C.118°D.126°14. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，P是上一点，则∠CPD的度数是（）A.30°B.36°C.45°D.72°15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF，CF，若∠EDC=135°，CF=2，则AE2+BE2的值为（）A.8 B.12 C.16 D.20二．填空题16. 如图，⊙C经过正六边形ABCDEF的顶点A，E，则所对的圆周角∠APE等于____.17. 如图，点A，B，C，D都在⊙O中，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的面积是____.18.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=12，则CD=_____．19. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是的内接多边形，则 ______ ．20. 小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为____cm.21. 如图，边长为4的正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，CD与PN交于点H，则HN的长为____.三．解答题22. 如图，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于点M.求证：AM=DC+CM.23. 如图，BD，CE是△ABC的两条高，F和G分别是DE和BC的中点，O是△ABC的外心．求证：AO∥FG．24. 已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E.（1）当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠CBE=∠BAC.（2）当∠BAC为钝角时，如图2，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.25. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．（1）求∠E的度数；（2）连接OD、OE，当∠DOE=90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．26. 如图①，正方形ABCD内接于⊙O，E为上任意一点，连接DE，AE.（1）求∠AED的度数；（2）如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF.若AF=1，AE=4，求DE的长.27. 如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.（1）若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.28. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）.（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；（2）若∠A=90°，=.求证：PB-PD=PC.29. 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．乙同学：我知道，边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=____，请简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由．（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等．（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n （n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．30. 如图1、图2、图3、…，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是____，图3中∠MON的度数是____；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.参考答案1. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：连接OD，∵BC=DC，∴=，∴∠BOC=∠COD=130°，∴∠BOD=360°-2×130°=100°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°-∠BCD=180°-50°=130°.故选B.【解题方法提示】分析题目先根据题意画出辅助线，如图，连接OD，此时你有思路吗？根据圆心角、弧、弦的关系由BC=DC得，则∠BOC=∠COD=130°，再利用周角定义计算出∠BOD=100°；再根据圆周角定理得到∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数.2. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：∵AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°.∵∠BOC=40°，OC=OB，∴∠ABC=(180°-40°)÷2=70°，∴∠D=180°-70°=110°.故选B.【考点提示】本题考查圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质，分析题意，确定出四边形ABCD是⊙O的内接四边形是解题的切入点；【解题方法提示】由已知条件可知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则圆内接四边形的对角互补，因此要求∠D的度数，需求出∠ABC的度数；由OC=OB，∠BOC=40°，结合三角形内角和定理可求出∠ABC的度数，从而进一步求出∠D的度数.3. --------------------------------------------------------------------------答案：C【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．故答案为C【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．4. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：设EF=x.∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠FBE=45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴FB=x，∴BE=x.∵正方形ABCD的边长为4，∴BD=4.∵∠BAE=22.5°，∠BAD=90°，∴∠EAD=67.5°.∵∠EAD=67.5°，∠ADB=45°，∴∠AED=67.5°，∴AD=ED.∵AD=ED，AD=4，∴ED=4.∵BD=BE+ED，BD=4，BE=x，ED=4，∴x+4=4.解得x=4-2，即EF=4-2.故选C.【解题方法提示】分析题意，首先设EF=x，由正方形的性质即可得到∠ABC=90°，进而可得△EFB是等腰直角三角形，所以有BE= x；接下来根据正方形的边长为4，可得BD=4；结合角度间的关系可推出AD=ED=4，再根据BD=BE+ED，BD=4，BE=x，ED=4列方程求解即可.5. --------------------------------------------------------------------------B分别求半径为1的圆内接正三角形,正方形,正六边形的边心距,再利用勾股定理的逆定理判断．解：如图1,O为正三角形的中心,则OB=1,∠OBD=30°,则边心距OD= BO= ;如图2,O为正方形的中心,则OB=1,∠OBE=45°,则边心距OE= ;如图3,O为正六边形的中心,AB为边,则OA=1,∠OAB=60°,则边心距OH= ;∵OD 2+OE 2=OH 2,∴三角形是直角三角形．故选B．6. --------------------------------------------------------------------------【解答】解：如图1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°= ；如图2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°= ；如图3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°= ，则该三角形的三边分别为：、、，∵（）2+（）2=（）2，∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，∴该三角形的面积是 × × = ，故选：D．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．7. --------------------------------------------------------------------------答案：D8. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：△BCD与△BCF同底，其高的比为1:2，∵△BCD的面积为4，∴△BCF的面积为8.故选C.【考点提示】本题是关于正多边形与圆的题目，首先回想一下正六边形的性质有哪些；【解题方法提示】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为1:2；根据三角形的面积关系可知，△BCF的面积是△BCD面积的2倍，据此问题得解.9. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：连结BD，如图.∵点D是的中点，∴=，∴∠ABD=∠CBD.∵∠ABC=50°，∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=×50°=25°.∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°-25°=65°.故选C.10. --------------------------------------------------------------------------D【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A= ．故选D．【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．11. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，则四边形A′E′DB是矩形.∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′=120°，∴∠F′A′E′=30°，∴F′H=1，A′H=，∴A′E′=2.∵将它沿AB方向平移1个单位，∴A′B=1，∴阴影部分A′BCDE′F′的面积=S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD=2××2×1+1×2=4.故选B.【解题方法提示】连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，得到四边形A′E′DB是矩形；解直角三角形求出F′H，A′H，进而求得A′E′的值；最后根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论.12. --------------------------------------------------------------------------解：A、∵点C是弧EB的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B、∵点C是弧EB的中点∴BC=CE，本选项正确；C、∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D、AC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D13. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：∵两个图形为全等的正十边形∴CB′=AB′=AB=BC，∠ABC=∠AB′C==144°，∵CB′=AB′=AB=BC，∴四边形ABCB′为菱形，∵四边形ABC B′为菱形，∴∠BAB′=180°-144°=36°，∴∠BAJ′=∠B′AJ′-∠B′AB=144°-36°=108°.故选B.【解题方法提示】由正多边形的各边相等可得CB′=AB′=AB=BC，即四边形ABCB′为菱形，想想还能得到哪些性质?由正n边形每一个内角度数=，可得∠ABC=∠AB′C=144°；由∠BAB′=180°-144°=36°，结合∠B′AJ′=144°，即可求出∠BAJ′的度数，试试吧!14. --------------------------------------------------------------------------答案：B.解：∵正五边形内接于⊙O，∴的度数为72°.由圆周角定理的推论可知∠P=36°.故选B.15. --------------------------------------------------------------------------答案：C.解：连接BD、OC.∵四边形BEDC是⊙O的内接四边形，∠ACB=90°，∠EDC=135°，∴∠BED=90°，∠EBC=45°.圆内接四边形的对角互补在Rt△BED中，BE2=BD2-ED2.∵∠BED=90°，∴△AED是直角三角形.∵∠EDC=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=ED，∴BE2=BD2-AE2，∴AE2+BE2=BD2.勾股定理∵∠BED=90°，∴BD为⊙O的直径.直径所对的圆周角是直角∵∠EBC=45°，∴∠EOC=90°，∠EFC=45°，∴△FOC是等腰直角三角形.等腰直角三角形的判定∵CF=2，∴OF=OC=2，即⊙O的半径为2，∴BD=4，∴AE2+BE2=BD2=16.勾股定理故选C.【解题方法提示】连接BD，由圆内接四边形的性质可得∠BED=90°，∠EBC=45°，在Rt△BED中，由勾股定理可得BE2=BD2-ED2，由圆的知识可知BD是⊙O的直径，则BD经过点O；由题目信息可得△AED是等腰直角三角形，则AE=ED，结合上步结论可得BE2=BD2-AE2，即AE2+BE2=BD2，问题转化为求BD的长；连接OC，由圆周角定理可得∠EOC=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠EFC=45°，则△FOC是等腰直角三角形，由CF的长可得OF的长，即得到圆的半径，进而可得直径BD的长，至此本题不难解答.16. --------------------------------------------------------------------------答案：30°.解：连接AC、EC，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD=∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D==120°，AB=BC，CD=DE，∴∠BCA=∠BAC=(180°-∠B)=30°，同理∠ECD=30°，∴∠ACE=∠BCD-∠BCA-∠ECD=60°，∴∠APE=∠ACE=30°.17. --------------------------------------------------------------------------答案：π.解：连接AC，∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，∴AC是直径，∴∠ADC=90°，∵AD=3，CD=2，∴AC==，∴⊙O的面积是π×()2=π.【考点提示】本题考查圆的相关知识，掌握圆周角定理是解题的关键；【解题方法提示】连接AC，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，根据圆周角定理可得到AC是直径；接下来根据勾股定理可得AC=，进而求解⊙O的面积.18. --------------------------------------------------------------------------第1空：5【解答】解：连接OA，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°，∠D=60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=30°，∴∠ABO=60°，∵BO=AO，∴△ABO是等边三角形，∴BO=AB=5，∴BD=10，∴CD=5，故答案为：5．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=30°，根据圆内接四边形对角互补可得∠D=60°，然后再证明△ABO是等边三角形，进而可得BO的长，从而可得DB长，然后可得CD长．19. --------------------------------------------------------------------------解：连接OA，五边形ABCDE是正五边形，，是正三角形，，，故答案为：．连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．20. --------------------------------------------------------------------------答案：8.解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得：∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°.∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为7cm，即PM=7cm，∴S△MPN=cm2.∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG=PM=cm，在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP==7cm.设OB=xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH=x，OH=x，∴PH=（5-x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2=(x)2+(5-x)2=49，解得x=8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．【考点提示】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键；【解题方法提示】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长；进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB=xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果.答案：2-2.解：在Rt△BCM中，∵AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°，∴∠BCM=30°，∴BM=BC=2，∴CM=2，∴AM=4+2=6.∵四边形AMNP是正方形，∴MN=MA=6，∴CN=MN-CM=6-2，∵∠BCD=120°，∴∠HCN=30°.∵∠M=∠N=90°，∴△BMC∽△HNC，∴，∴，∴HN=2-2.【解题方法提示】根据正方形和正六边形的性质结合已知可得AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°，则根据直角三角形的性质可得∠BCM=30°；由上步可得BM=BC=2，根据勾股定理可得CM=2，由AM=AB+BM得到AM的长，再根据正方形的性质得出MN的长；由CN=MN-CM可得出CN的长，由∠BCD=120°结合第一步可得∠HCN=30°，再结合∠M=∠N=90°可得△BMC∽△HNC；根据相似三角形的性质可得，据此得出HN的长.证明：在MA上截取ME=MC，连接BE.∵BM⊥AC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE.∵AB=BD，∴=，∴∠ADB=∠BAD.∵∠ADB=∠BCE，∴∠BCE=∠BAD.∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD.∵∠BAE=∠BDC，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=AE+EM=DC+CM.【重点难点】本题重点考查了圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.同时考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质.【辅助线提示】在MA上截取ME=MC，连接BE，根据垂直平分线的性质，那么有AM=DC+CM=DC+EM，此时就将问题转化为证明DC=AE；【解题方法提示】依据弦、弧的关系以及圆周角定理，可得∠ADB=∠BAD以及∠ADB=∠BCE，进行等量代换即可得∠BCE=∠BAD；再结合圆的内接四边形以及邻补角的性质，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，至此问题可解.23. --------------------------------------------------------------------------【解答】证明：如图，连接GD和GE．∵∠BDC=∠BEC=90°，BG=GC，∴，又∵DF=EF，∴GF⊥DE，延长OA交DE于H．∵∠BDC=∠BEC=90°∴B，C，E，D四点共圆，，即，又∵OA=OB，∴，∠EAH+∠AEH=90°，∴AD⊥DE，即OA⊥DE∴AO∥FG．【分析】根据∠BDC=∠BEC=90°，可判断出B，C，E，D四点共圆，然后利用同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半可得出，，，结合OA=OB可判断出OA⊥DE，继而可得出结论．24. --------------------------------------------------------------------------解：（1）连接AD.∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.∵∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAC.（2）结论成立.理由如下：连接AD.∵AB为直径，∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，∴∠CAD=∠CBE，∴∠CBE=∠BAC.25. --------------------------------------------------------------------------解析（1）首先连接BD，由在⊙O的内接四边形ABCD中，∠C=120°，根据圆的内接四边形的性质，∠BAD的度数，又由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，则可求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；（2）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，继而求得答案．试题解析：（1）连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）连接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°，∴n==12．答案26. --------------------------------------------------------------------------解：（1）如图①，连接OA，OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°.（2）如图②，连接CF，CE，CA，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠CDE=∠ABF.∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC=∠CFA=90°.∵∠AED=∠ACD=45°，∠BFC=∠BAC=45°，∴∠DEC=∠BFC=135°.∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=.∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=(4-x)2+x2，解得x=或，∴DE=DH=或.【考点提示】本题是一道有关直径所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等的题目；【解题方法提示】所对的圆周角是∠AED，圆心角是∠AOD.∠DEC=∠AED+∠AEC.AC2=AD2+DC2=2AD2.在Rt△ADH中，利用勾股定理建立关于x的方程.27. --------------------------------------------------------------------------（1）证明：∵∠ADC是△DCE的一个外角，∠ABC是△BCF的一个外角，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF.∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.（2）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°.∵∠ADC=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°.∵在△ABE中，∠ABC=90°，∠E=42°，∴∠A=48°.（3）解：连接EF.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ECD=∠A.∵∠ECD是△CEF的一个外角，∴∠ECD=∠CEF+∠CFE.∵∠ECD=∠CEF+∠CFE，∠ECD=∠A，∴∠A=∠CEF+∠CFE.∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠AEB+∠AFD=180°，∠E=α，∠F=β，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°-.28. --------------------------------------------------------------------------解：（1）连接AC.∵∠D=90°，∴AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵∠BAC=∠BPC=30°，∴AC=2BC=6，所以⊙O的半径为3；（2）∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°.∵AC为⊙O直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形.∵=，∴AB=AD，∴矩形ABCD为正方形，∴BC=DC.在BP上截取BE=DP，连接CE，DP.∵BE=DP，∠CBP=∠PDC，BC=DC，∴△BCE≌△DCP，∴∠BCE=∠DCP，PC=CE，又∵∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴∠DCP+∠ECD=∠ECP=90°，∴△CPE为等腰直角三角形，∴PE=PC，∴PB-BE=PB-PD=PE=PC.29. --------------------------------------------------------------------------解：（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠ABC==108°，理由：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着，∠B对着，∴=，∴-=-，即=，∴BC=AE．同理可证其余各边都相等，∴五边形ABCDE是正五边形；（2）由图知∠AFC对，∵=，而∠DAF对的=+=+=，∴∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC，故图2中六边形各角相等；（3）由（1）、（2）可知，当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．（1）先根据多边形内角和定理求出正五边形的内角和，再求出各角的度数；根据同弧所对的圆周角相等，得出=，利用等式的性质，两边同时减去即可得到=根据同弧所对的弦相等，得出DC=AE；（2）由图知∠AFC对，由=，而∠DAF对的=+=+=，故可得出∠AFC=∠DAF．，同理可证，其余各角都等于∠AFC，由此即可得出结论；（3）根据（1）、（2）的证明即可得出结论．30. --------------------------------------------------------------------------解：（1）连结OB、OC.∵M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，∴OB、OC分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，∠ABC=∠ACB，∴∠OBM=∠OCN.∵等边△ABC内接于⊙O，∴∠BOC=120°.∵BM=CN，OC=OB，∠OBM=∠OCN，∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM=∠NOC，∴∠MON=∠BOC.∵∠BOC=120°，∠MON=∠BOC，∴∠MON=120°．（2）同（1）可得图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；（3）在图1中，∠MON==120°，在图2中，∠MON==90°，在图3中，∠MON==72°.故在正n边形中，∠MON的度数为.【解题方法提示】对于（1），连结OB、OC，可以得到∠OBM=∠OCN.结合已知条件，就能证得△OMB≌△ONC；根据全等三角形的性质推出∠BOM=∠NOC，于是有∠MON=∠BOC.结合∠BOC的度数，求出∠MON的度数；对于（2），运用（1）中同样的方法，还可求出图2以及图3中∠MON的度数；对于（3），根据（1）和（2）的结果找出规律，就能确定∠MON的度数与正多边形的边数的关系.。