等积模型教师版
教师风采大赛课题：相似三角形中等积式的证明技巧(教师版)
教学内容概要证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。
一，直接寻找相似三角形等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：DC2=DE⋅DF证明：△DCE与△DCF相似二，等量代换法等积式先转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。
【例2】如图在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP2=PE⋅PF联结PC，可证明PC=PB，证明△PCE与△PCF相似三，等比代换法当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。
【例3】如图，△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC 延长线于H，求证：DF2=FG⋅FH先证明△AFD与△BFD相似，得到等积式DF2=AF⋅BF，再证明△AFH与△BFG相似【练习】1、如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）AB⋅AC=AD⋅BC （2）DE2=DB⋅CE（2）用AD与AE替换DE，证明△ABD与△ACE相似2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证：（1）△BEM ∽△BFC （2）CF2=FB⋅ME（1）先证明△ABE与△BCF全等，得到∠E=∠F，可证相似（2）用BE替换CF，证明△CBF与△BME相似3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC 求证：（1）AF=CE （2）BF2=EF⋅AF（1）证明△ABF与△ACE全等（2）用（1）中结论替换AF为CE，再替换BF=AE，证明△AEF与△ACE相似4、已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD（1）求证：△AGE ≌ △DAB （2）延长BD 交AE 于点M ，求证：BG 2=ME ⋅AE（1）SAS（2）BG=CD=DE ，证明△MED 与△ADE 相似5、如图，在△ABC 中，正方形EFGH 内接于△ABC ，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且FB AE EF ⋅=2（1）求证：∠C=90° （2）求证：AH ⋅CG=AE ⋅FB（1）证明△AEH 与△BFG 相似，可得∠A 与∠B 互余（2）可证△HCG 与△BFG 相似，可得FB ：CG=BG ：HG=BG ：GF ，即证明△AHE 与△BFG 相似即可6、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：FD2=FC FB联结AF，替换FD，证明△FCA与△AFB相似7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M、N分别在边AC、BC上，将△MCN沿直线MN折叠，点C 落在AB边上的点P，过点A作AD\\BC交CP的延长线于D求证：（1）∠D=∠PMN （2）PA：PB=MC：CN（1）△MCE与△ACD相似可证角等（或利用等角的余角相等）（2）替换等比式PA：PB=AD：BC，由BC=AC再替换相等线段，证明△ADC与△CNM相似8、已知在△BAC中，AD是角平分线，AE是外角平分线，交BC的延长线于点E，T为DE的中点求证：TE2=BT⋅CT可证∠DAE=90°，即T是直角三角形斜边中点，可得AT=DT=TE，即证△ABT与△ACT相似9、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，EG⊥BC，L是AF的中点，求证：CD2=EG⋅DL 联结EL，ED，将CD替换成DE，证明△DEG与△DEL相似。
2014年五年级暑假第10讲-等积变形与鸟头模型(教师版)
第十讲等积变形与鸟头模型三、鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A例题1【提高】【精英】（1）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米。
【分析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米。
（2）如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分别表示四个小四边形的面积。
试比较13S S +与24S S +的大小。
OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BAOS 4S 3S 2S 1H GFEDC B A【分析】如右图，连接AO 、BO 、CO 、DO ，则可判断出，每条边与O 点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于13S S +、24S S +这两个不同的组合，所以可知1324S S S S +=+。
例题2【提高】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
EEBA【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH 、CH 。
∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△。
同理，BFH CFH S S =△△，S =SCGH DGH，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)。
【精英】如图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是________2cm 。
小学奥数几何篇 五大模型——等积变换和共角定理(附答案)
等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。
例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。
小学奥数几何模型——等积模型
三角形等积模型例1、△ABC 中，将BC 边四等分，已知△ABC 的面积是20平方厘米，求△ABD 的面积练1、△ABC 中，将BC 边五等分，已知△ABC 的面积是30平方厘米，求△ACD 的面积练2、△ABC 中，BD ＝37DC ，已知△ABD 的面积是60平方厘米，求△ABC 的面积。
练3、下面每幅图都是由两个边长不相等的正方形组成的，求出阴影部分的面积。
例2、△ABC 中，BD ＝34DC ，E 是AB 中点，已知△ABC 的面积是42平方厘米。
(1)求△ABD 的面积。
(2)求△ADE 的面积。
练1、△ABC 中，将AB 边三等分，BC 边四等分，△ABC 的面积是240平方厘米，求△BDE 的面积。
练2、△ABC 中，将AB 边三等分，BC 边五等分，△BDE 的面积是△ABC 的几分之几？练3、△ABC 中，将BC 边三等分，AC 边五等分。
已知△ABC 的面积是300平方厘米，求△BDE 的面积。
练4、△ABC 中，BD ＝2DC ，AE ＝ED ，BF ＝3FE ，△ABC 的面积是36，求△AFE 的面积。
例3、△ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求△ABC的面积。
练1、△ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且AB＝3BE，已知四边形EDCA的面积是35，求△ABC的面积。
练2、如图，AD＝DB，AE＝EF＝FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，求△ABC的面积。
练3、如图，△ABC中，BC边五等分，连结AD并将它三等分，再连结BE将它4等分。
已知△ABF的面积是24平方厘米，求△ABC的面积。
例4、如图，长方形ABCD的面积是60平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积练1、图中E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是AD边上任一点。
如果正方形的边长是6，求阴影部分的面积。
【精品】五年级下册数学竞赛第7讲 等积模型与等分法 北师大版
B 第7讲 等积模型与等分法知识导航：等分法是指把一个图形分成若干相等的部分，从而达到求一个部分的面积的效果。
通常分为整体等分和局部等分1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（1）或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比（2）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。
例题精讲：例1：如下图，在三角形ABC 中，DC BC 3=，EC AC 3=。
三角形DEC 的面积是3平方厘米。
问：三角形ABC 的面积是多少？练习1：如下图：E 是BC 上靠近C 的三等分点，且AD ED 2=。
三角形ABC 的面积是36平方厘米。
求三角形BDE 的面积。
练习2：正方形ABCD 的面积为32，E 、F 、G 为BC 边上四等份点，M 、N 、P 为对角线AC 上的四等分点，计算NPG ∆的面积。
例2：三角形ABC 的面积是36平方厘米，AE=DE ，BC=5BD,求阴影部分的面积。
EC D BA214266D C B A练习1：BD=2CD,AE=DE,将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 的面积是15平方厘米，求阴影部分的面积。
A练习2：如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形 DBE 的面积是多少？．例3：如图，一个长方形的面积被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积如图所示，求阴影部分的面积。
练习1：如图，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20 平方米。
其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米DFC D F E B C D F E B C D E练习2：下图中的数字分别表示两个长方形与一个直角三角形的面积，求阴影部分的直角三角形S 的面积例4：正方形内接于一个等腰直角三角形。
已知正方形面积为72平方厘米，求三角形的面积。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)07 三角形中的重要模型-等积模型(教师版)
·专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、 ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:∵CG GF【答案】14.4【分析】连接BF ,,ADF BDF S S a S ABC S 的面积可表示为【详解】解：连接∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE ，S 2ABC BDC S S 3322ABC ABE S S 即3189.2a a解得【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC ，连接DA 含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB ，连接FD ，积为3S ，则3S（用含a 的代数式表示）；∵延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC ，AE 12ACD AED ECD S S S ，ACD ABC S ，22ECD ABC S S a ，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S ，22S S a ，2BFD S a ，3ECD EFA S S S S ∵点E 是线段AD 的中点，1BCE ABC S ．∥，连接AE、BE 作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
六大几何模型.等积变形(动图版)(课堂PPT)
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
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结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
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例：图中正方形GCEF的面积为8,求三角形GAE的面积？
3 等积变形模型实际应用中，常用的3个结论：
A
D
B
C
A
D
BE
C
A
B
D
C
3
结论一的典型应用： 夹在一组平行线间的两个三角形若同底，则面积相同。
A
D
B
C
主要应用场景：正方形、长方形、平形四边行、梯形等
4
结论一的应用： 例：正方形ABCD与正方形GCEF,且正方形ABCD的边长为10cm,求三角形BDF 的面积是多少平方厘米？
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例：图中正方形GCEF的面积为8,求三角形GCEF的面积为8,求三角形GAE的面积？
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巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？ 巩固2：已知正方形ABCD的边长为10，正方形BEFG的边长为6，求阴影部分面积？
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巩固1：三角形ABH的面积为6，求阴影部分面积？ 答案：6
六大几何模型详解和例题
作者：Flora和一只叫81的肥猫
六大几何模型
等积变形 一半模型
1
鸟头模型
2
蝴蝶模型
3
燕尾模型
4
相似模型
5
6
2
01 等积变形模型
1
等积变形 习题
2 等积变形模型说明： 等积变形中的“积”指的是面积，三角形作为最基本图形，任何直线型图形都 可分解成若干个三角形，等积变形里主要研究的是三角形面积变换。
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第4讲：等积变形(教师版)
第4讲 等积变形（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。
1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1:如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？A B EC答案：三角形BDE的面积是4 D解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型因为AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面积：三角形BCE面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE的面积为2，又因为BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE的面积=1：1，所以三角形CDE的面积是2，所以三角形BDE的面积是4.例2：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？GFHEC答案：50平方厘米解析:连接CF.则C F∥BD。
则三角形BCD与三角形BDF就是这两条平行线之间的等积模型。
因为他们有一条公共的底边BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。
所以面积相等，而三角形BDC的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。
例3：图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。
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等积变形模型
【典型例题】
例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？
【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
【典型例题】
例1将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？
【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
例2：如图，在梯形 A B C D中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
M P
Q
N O
例3：正方形A B C D和正方形C E F G，且正方形 A B C D边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
A D
G F
H
B C E
【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
例5：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=
32
BC ，求阴影部分的面积。
巩固1：如图所示，BD=3
2
BC ，AE=ED ，若三角形ABC 的面积是14平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
A F
E
B
A
F
E
B
巩固2：如图，三角形ABC 的面积为40平方厘米，AE=DE ，DC=2DB ，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
巩固3：如图，三角形ABC 的面积是12平方厘米，EC=2AE ，F 是AD 的中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
例6：如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米。
巩固：如图，正方形的边长分别是10厘米、6厘米，求阴影部分的面积。
A
A
例7：如图，已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米，四边形EFGH 的面积是12平方厘米，求空白部分的面积。
巩固：如图，长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH 的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积。
A D
A D
练习题
1、如图，在平行四边形ABCD 中，三角形ABP 的面积为15，三角形PBC 的面积为34，求阴影部分的面积是多少？
2、如图，ABCD 是正方形，EDGF 是长方形，CD=4厘米，DG=5厘米，求宽DE 。
3、如图，在长方形ABCD 中，三角形ABP 的面积为12，三角形PBC 的面积为21，求阴影部分的面积是多少。
B
F G E D
C B
A B
A
4、如图，长方形被分为四个三角形，其中一个三角形占长方形面积的21%，另一个的面积为87平方厘米，求长方形的面积。
5、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD的长。
6、如图，在正方形ABCD中，AB=8厘米，AF=10厘米，求DE的长。
87
21%
A
E
D
C
B
A
F
E
D
C B。