等积模型教师版
教师风采大赛课题：相似三角形中等积式的证明技巧(教师版)
教学内容概要证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。
一，直接寻找相似三角形等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：DC2=DE⋅DF证明：△DCE与△DCF相似二，等量代换法等积式先转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。
【例2】如图在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP2=PE⋅PF联结PC，可证明PC=PB，证明△PCE与△PCF相似三，等比代换法当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。
【例3】如图，△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC 延长线于H，求证：DF2=FG⋅FH先证明△AFD与△BFD相似，得到等积式DF2=AF⋅BF，再证明△AFH与△BFG相似【练习】1、如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）AB⋅AC=AD⋅BC （2）DE2=DB⋅CE（2）用AD与AE替换DE，证明△ABD与△ACE相似2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证：（1）△BEM ∽△BFC （2）CF2=FB⋅ME（1）先证明△ABE与△BCF全等，得到∠E=∠F，可证相似（2）用BE替换CF，证明△CBF与△BME相似3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC 求证：（1）AF=CE （2）BF2=EF⋅AF（1）证明△ABF与△ACE全等（2）用（1）中结论替换AF为CE，再替换BF=AE，证明△AEF与△ACE相似4、已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD（1）求证：△AGE ≌ △DAB （2）延长BD 交AE 于点M ，求证：BG 2=ME ⋅AE（1）SAS（2）BG=CD=DE ，证明△MED 与△ADE 相似5、如图，在△ABC 中，正方形EFGH 内接于△ABC ，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且FB AE EF ⋅=2（1）求证：∠C=90° （2）求证：AH ⋅CG=AE ⋅FB（1）证明△AEH 与△BFG 相似，可得∠A 与∠B 互余（2）可证△HCG 与△BFG 相似，可得FB ：CG=BG ：HG=BG ：GF ，即证明△AHE 与△BFG 相似即可6、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：FD2=FC FB联结AF，替换FD，证明△FCA与△AFB相似7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M、N分别在边AC、BC上，将△MCN沿直线MN折叠，点C 落在AB边上的点P，过点A作AD\\BC交CP的延长线于D求证：（1）∠D=∠PMN （2）PA：PB=MC：CN（1）△MCE与△ACD相似可证角等（或利用等角的余角相等）（2）替换等比式PA：PB=AD：BC，由BC=AC再替换相等线段，证明△ADC与△CNM相似8、已知在△BAC中，AD是角平分线，AE是外角平分线，交BC的延长线于点E，T为DE的中点求证：TE2=BT⋅CT可证∠DAE=90°，即T是直角三角形斜边中点，可得AT=DT=TE，即证△ABT与△ACT相似9、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，EG⊥BC，L是AF的中点，求证：CD2=EG⋅DL 联结EL，ED，将CD替换成DE，证明△DEG与△DEL相似。
2014年五年级暑假第10讲-等积变形与鸟头模型(教师版)
第十讲等积变形与鸟头模型三、鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A例题1【提高】【精英】（1）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是________平方厘米。
【分析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米。
（2）如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分别表示四个小四边形的面积。
试比较13S S +与24S S +的大小。
OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BAOS 4S 3S 2S 1H GFEDC B A【分析】如右图，连接AO 、BO 、CO 、DO ，则可判断出，每条边与O 点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于13S S +、24S S +这两个不同的组合，所以可知1324S S S S +=+。
例题2【提高】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。
EEBA【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH 、CH 。
∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△。
同理，BFH CFH S S =△△，S =SCGH DGH，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)。
【精英】如图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是________2cm 。
六年级等积变换刘军辉
教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T (等积变换) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：等积变换模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；baS2S1DCBA如左图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCDS S=△△；反之，如果ACD BCDS S=△△，则可知直线AB平行于CD．④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、同步题型分析题型1：等积变换的基本应用。
例1：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA AB CD E【解析】连接BE．∵3EC AE=∴3ABC ABES S=又∵5AB AD=∴515ADE ABE ABCS S S=÷=÷，∴1515ABC ADES S==．例2：如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC的面积.【解】根据定理：ABCBED∆∆=3211⨯⨯=61，所以四边形ACDE的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。
题型2：等积变换的能力提升。
例1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEFS=⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．例2：长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H12EFGB S =边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积． P DCBAA B C D(P )PDC BA【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．检测题3：如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。
第十六讲 等积变换模型 直线形计算一分析
直线形计算一等积变换模型（1） 等底等高的两个三角形面积相等；（2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比）AB 为公共边，所以21::ABCABD ss h h ∆∆=1h 为公共的高，所以12::BD DC s s=（3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。
底和高均不同，所以()21::)(ABDCDE BD DC h ss h ∆∆=⨯⨯比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）1．如下图，四边形ABCD 是直角梯形。
其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三角形ADE 、四边形DEBF 、三角形CDF 的面积相等，请问阴影三角形DEF 的面积是多少？2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如下图所示（单位：平方米），请问：剩下一块的面积应该是多少平方米？3．如下图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？4．如下图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍．三角形ABC的面积是36平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？5．如下图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点．三角形AED的面积是多少平方厘米？6．如下图所示，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？7．如下图所示，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD 边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？8．如下图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形面积的5倍。
请问：三角形ABE的边BE的长是多少？9．如下图，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米（阴影部分）。
小学数学几何五大模型教师版
几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。
例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。
例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。
专题 三角形中的重要模型-等积模型(老师版)
专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。
A ．4B ．3【答案】D【分析】利用三角形面积公式，【详解】解：∵BD 是ABC 边A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:CG GF=∴的面积为4，∴△ACG【答案】14.4【分析】连接BF ,据2BE CE =，可得建立方程3182a -=【详解】解：连接∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =，S∴2ABCBDCSS∴==3322ABCABESS ==即3189.2a a -=+解得【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题例5．（2023春·江西萍乡如图1，AD 是ABC=，连接DA (1)如图2，延长ABC的边BC到点D，使CD BC的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使则2S=（用含a的代数式表示）；=，连接FD，(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB则3S=（用含a的代数式表示）；延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE ∴12ACD AED ECD S S S ∆∆∆==，ACD ABC S ∆，22ECD ABC S S a ∆∆∴==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S ∆∆==22S S a ==2BFD S a ∆=，3ECD EFA S S S S ∆∆∴=++，理由如下：理由：∵点E 是线段AD 的中点，1BCEABCS =．C 作CE AB ∥，连接AE模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
【精品】五年级下册数学竞赛第7讲 等积模型与等分法 北师大版
B 第7讲 等积模型与等分法知识导航：等分法是指把一个图形分成若干相等的部分，从而达到求一个部分的面积的效果。
通常分为整体等分和局部等分1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（1）或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比（2）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。
例题精讲：例1：如下图，在三角形ABC 中，DC BC 3=，EC AC 3=。
三角形DEC 的面积是3平方厘米。
问：三角形ABC 的面积是多少？练习1：如下图：E 是BC 上靠近C 的三等分点，且AD ED 2=。
三角形ABC 的面积是36平方厘米。
求三角形BDE 的面积。
练习2：正方形ABCD 的面积为32，E 、F 、G 为BC 边上四等份点，M 、N 、P 为对角线AC 上的四等分点，计算NPG ∆的面积。
例2：三角形ABC 的面积是36平方厘米，AE=DE ，BC=5BD,求阴影部分的面积。
EC D BA214266D C B A练习1：BD=2CD,AE=DE,将BE 延长与AC 交于点F ，已知三角形ABC 的面积是15平方厘米，求阴影部分的面积。
A练习2：如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形 DBE 的面积是多少？．例3：如图，一个长方形的面积被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积如图所示，求阴影部分的面积。
练习1：如图，有 9 个小长方形，其中的 5 个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20 平方米。
其余 4 个长方形的面积分别是多少平方米DFC D F E B C D F E B C D E练习2：下图中的数字分别表示两个长方形与一个直角三角形的面积，求阴影部分的直角三角形S 的面积例4：正方形内接于一个等腰直角三角形。
已知正方形面积为72平方厘米，求三角形的面积。
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练--第4讲：等积变形(教师版)
第4讲 等积变形（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）1、三角形的面积=21底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。
2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。
3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。
4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。
1、灵活运用三角形和四边形的面积公式2、掌握三角形的等积变形技巧（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）例1:如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？A B EC答案：三角形BDE的面积是4 D解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型因为AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面积：三角形BCE面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE的面积为2，又因为BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE的面积=1：1，所以三角形CDE的面积是2，所以三角形BDE的面积是4.例2：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？GFHEC答案：50平方厘米解析:连接CF.则C F∥BD。
则三角形BCD与三角形BDF就是这两条平行线之间的等积模型。
因为他们有一条公共的底边BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。
所以面积相等，而三角形BDC的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。
例3：图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。
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等积变形模型
【典型例题】
例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分你能想到多少种
【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
【典型例题】
例 1 将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分你能想到多少种
【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
例 2：如图，在梯形 A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有 哪几对
M
P Q
N O 例 3：正方形 A B C D 和正方形 C E F G ，且正方形 A B C D 边长为 20 厘米，则 图中阴影面积为多少平方厘米
A
D
G F
H
B
C
E
【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
例5：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=32
BC ，求阴影部分的面积。
巩固1：如图所示，BD=32
BC ，AE=ED ，若三角形ABC 的面积是14平方厘米，则阴影部分的
面积是多少平方厘米
巩固2：如图，三角形ABC 的面积为40平方厘米，AE=DE ，DC=2DB ，则阴影部分的面积是
多少平方厘米 巩固3：如图，三角形ABC 的面积是12平方厘米，EC=2AE ，F 是AD 的中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米 例6：如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部
分的面积是多少平方厘米。
巩固：如图，正方形的边长分别是10厘米、6厘米，求阴影部分的面积。
例7：如图，已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米，四边形EFGH 的面积是12平方厘米，求空白部分的面积。
巩固：如图，长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH 的面积是3平方厘米，求阴
影部分的面积。
练习题
1、如图，在平行四边形ABCD 中，三角形ABP 的面积为15，三角形PBC 的面积为34，求阴
影部分的面积是多少
2、如图，ABCD 是正方形，EDGF 是长方形，CD=4厘米，DG=5厘米，求宽DE 。
3、如图，在长方形ABCD 中，三角形ABP 的面积为12，三角形PBC 的面积为
21，求阴影部分的面积是多少。
C A
F E
D B C A F
E D B C A
F E
D
B H
12F C
A G
E D B
H
12F C A
G E D
B A
F
E
D B P
34
15D C
A 21
12P B
A
4、如图，长方形被分为四个三角形，其中一个三角形占长方形面积的21%，另一个的面积为87平方厘米，求长方形的面积。
5、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD 的长。
6、如图，在正方形ABCD 中，AB=8厘米，AF=10厘米，求DE 的长。
87
21%
A
F
E
D
C
B。