第4讲 倒角模型(教师版)
倒圆角和倒斜角ppt课件
工程图中，经常要绘制圆角和斜角，用户可 分别利用FILLET和CHAMFER命令创建这些几何特征。
倒圆角
倒
圆角是利用指定半径的圆弧光滑地连接两个对象，操作的对
象包括直线、多段线、样条线、圆和圆弧等。对于多段线可
一次将多段线的所有顶点都光滑地过渡 。
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
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主要内容
1 倒圆角的方法 2 倒斜角的方法
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
打开素材文件“4-7.dwg”，如左图所示，用FILLET命令将 左图修改为右图。
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倒斜角
倒
斜角是用一条斜线连接两个对象，倒角时既可以输入每条边的倒角距离，
也可以指定某条边上，如左图所示，用CHAMFER命令将左图修改为右
图。
第4讲.全等三角形的经典模型(二).培优
等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）OFEC BA A F COBEDHABCDO EO GFE CB A“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出∠EOB 的度数.【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型NM C B A B N CN∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△ ∴BF =EC ∠=∠AEC ABF又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数.【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论．【分析】 这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证．【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形∴AC CM =，BC CN = 60ACM BCN ∠=∠=° ∴∠=∠ACN MCB在ACN △和MCB △中典题精练OHG DFE CB ADNMCBA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC MC ACN MCB CN CB ∴ACN MCB △≌△（SAS ） ∴AN BM =⑵ 将ACM △绕点C 旋转如图：⑶ 在⑵的情况，结论AN BM =仍然成立．证明：∵60BCM NCA ∠=∠=°，CA CM =，CN CB =． ∴CAN CMB △≌△（SAS ），∴AN MB =．⑷ 如图，延长MA 交BN 于D ，则ABD △为等边三角形． 证明：∵60CAM BAD ABD ∠=∠=∠=°． ∴ABD △是等边三角形．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【解析】 90∠=BAC °，390∴∠+∠=DAC °90⊥∴∠=︒AD BC ADC 90∴∠+∠=︒C DAC 3∴∠=∠C43152∠=∠+∠∠=∠+∠C ，BF 是ABC ∠的角平分线 12∴∠=∠ 45∴∠=∠∴=AE AF【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ．典题精练题型二：双垂+角平分线模型ENMD CBA NMD CBA 求证：AF CG =．【分析】 要证AF CG =，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．【解析】 作EH AB ⊥于H∵12∠=∠，90ACB ∠=°∴EC EH =（角平分线定理） 又∵CD AB ⊥ ∴3A ∠=∠∵431∠=∠+∠，52A ∠=∠+∠ ∴45∠=∠ ∴CE CG = ∴CG EH =又∵GF AB ∥，90∠=∠=AHE FGC ° ∴A CFG ∠=∠∴CFG EAH △≌△（AAS ） ∴=CF EA ，∴-=-CF EF EA EF ， ∴CE AF = ∴AF CG =【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.【解析】 延长ND 到E 使DE BM =∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =AB在ADE △和ABM △ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD AB ADE B DE BM ∴ADE ABM △≌△∴AM =AE ∠=∠BAM DAE典题精练题型三：半角模型54321HG FE DCBA54321G FE DCBADHFECBA∵45MAN ∠=︒ ∴45∠+∠=︒BAM NAD ∴45∠=∠=︒MAN EAN在AMN △和AEN △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩MA EA MAN EAN AN AN ∴AMN AEN △≌△ ∴MN =EN∴DE +DN =BM +DN=MN【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【解析】 延长FD 到H ，使DH =BE ，易证ABE ADH △≌△， 再证AEF AHF △≌△1122∴∠=∠=∠=∠EAF FAH EAH BAD【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.【解析】 ⑴如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC=MN ．⑵猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ． BD=CD 且120BDC ∠=．∴ 30=∠=∠DCB DBC ． 又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ECD ∠=∠=∠=． 在MBD △与ECD △中：BM CE MBD ECD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MBD △≌ECD △(SAS ) ． ∴DM=DE , BDM CDE ∠=∠ ∴60EDN BDC MDN ∠=∠-∠=在△MDN 与△EDN 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴MDN EDN △≌△(SAS) ∴MN NE NC BM ==+第04讲精讲：典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究； 【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若ABC ∆与ADE ∆旋转全等，则必有ABD ∆与ACE ∆为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形ABD ∆与ACE ∆共顶角顶点，则必有ABC ∆与ADE ∆旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；图1EDC BA图2EDC BA【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；ENM DC BA图3EDCBA 图4E D CB A FG 图5ED CB A如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，ABC ∆与ADE ∆仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：BC 与DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；图9E图10图11【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：︒=∠=∠=∠=∠60CAE BAD COE BOD ； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（ABC ∆≌ADE ∆；AHD ∆≌AGB ∆；AGC ∆≌AHE ∆）图12图13图14结论4：如图15，连接GH ，可得AGH ∆为等边三角形；（由结论3可得AH AG =）图15NM O 图16EDC BA 结论5：BE GH ∥；（由结论4可得︒=∠=∠60BAD AGH ） 结论6：连接AO ，可得AO 平分BOE ∠；（如图16，分别作BC AM ⊥、DE AN ⊥，AM 与AN 分别是全等三角形ABC ∆与ADE ∆对应边BC 和DE 上的高，故相等）SFEDCBA MP N MH GFE DCBA N M DCBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD=AB ，AE=AC ，则下列正确的是（ ）A. ABD ACE △≌△B. ADF AES △≌△C. BMF CMS △≌△D. ADC ABE △≌△【解析】 D【练习2】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数． 【解析】 先证ABG AFC △≌△ 可得BG =CF ，∠=∠ACF AGB∵∠=∠NPG APC∴108∠=∠=︒GNC GAC题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习3】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC ,垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对 【解析】 A题型三 半角模型 巩固练习【练习4】 如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ． 【解析】 6【练习5】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且复习巩固F E DCBAFD BAE H GD CBA FDEGCB A12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【解析】 证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．∵180B ADC +=︒∠∠，180ADF ADC +=︒∠∠， ∴B ADF =∠∠． ∵AB AD =，∴ABG ADF △≌△．∴BAG DAF =∠∠，AG AF =．∴12BAG EAD DAF EAD EAF BAD +=+==∠∠∠∠∠∠．∴GAE EAF =∠∠． ∵AE AE =，∴AEG AEF △≌△． ∴EG EF =∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．训练1. 如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在AB 同侧作等边ACD △和等边BCE △，AE 交DC 于G 点，DB 交CE 于H 点，求证：GH AB ∥．【分析】 本题中，ACD △与BCE △是等边三角形，因此AC CD =，BC CE =，60ACD ECB ∠=∠=°，因为A 、C 、B 在同一条直线上，故60DCE ∠=°．这样可以得到ACE DCB △≌△，AEC DBC ∠=∠，故可以得到CEG CBH △≌△，则GC HC =，60CGH CHG ∠=∠=°，所以60ACG CGH ∠=∠=°，故GH AB ∥．【解析】 ∵ACD △和BCE △是等边三角形（已知）∴AC CD =，BC CE =（等边三角形的各边都相等）思维拓展训练(选讲)A B C DH QNM60ACD BCE ∠=∠=°（等边三角形的每个角都等于60°） ∵180ACD DCE BCE ∠+∠+∠=°∴60DCE ∠=°，120ACE DCB ∠=∠=°．在ACE △和DCB △中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC DC ACE DCB CE CB∴ACE DCB △≌△（SAS ）∴AEC DBC ∠=∠（全等三角形的对应角相等）在BCH △和ECG △中，60∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCH ECG BC CE CBH CEG °∴BCH ECG △≌△（ASA ）∴CH CG =（全等三角形的对应边相等） ∴CGH CHG ∠=∠（等边对等角）∵180GCH GHC CGH ∠+∠+∠=°（三角形内角和定理） ∴60GHC CGH ∠=∠=°．∴60ACG CGH ∠=∠=°（等量代换） ∴GH AB ∥（内错角相等，两直线平行）训练2. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.【解析】 ⑴在CD 上取一点Q ，使DQ =BM先证AMB AQD △≌△可得AM =AQ再证AMN AQN △≌△∴MN =NQ∴DN DQ DN BM NQ MN -=-==⑵可证△ANH ≌△AND ，∴AH=AD=AB训练3. 如图，在Rt ABC △中，锐角ACB ∠的平分线交对边于E ，又交斜边的高AD 于O ，过O引OF BC ∥，交AB 于F ，请问AE 与BF 相等吗？理由是什么？A B M C H N DDOEOO 12ABCD E F FEDCBA21543G O54321G FE DC BA【解析】 相等．理由如下：如图，过E 作EG BC ⊥于G ∵EC 平分ACB ∠，∴12∠=∠ ∵90EAC ∠=°，AD BC ⊥∴1490∠+∠=°，2390∠+∠=° ∴34∠=∠ ∵35∠=∠， ∴45∠=∠ ∴AE AO =∵EC 平分ACB ∠，EA AC ⊥，EG BC ⊥ ∴EA EG =，∴AO EG =，∵FO BC ∥∴AFO B ∠=∠，90BDA FOA ∠=∠=° ∴BEG FAO ∠=∠∴AFO EBG △≌△（AAS ） ∴AF BE =∴AF EF BE EF -=- ∴AE BF =．训练4. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.测试1. 如图，等腰直角△ADB 与等腰直角△AEC 共点于A ，连接BE 、CD ，则线段BE 、CD具有什么样的数量关系和位置关系【解析】 先证明ABE ADC △≌△∴BE =CD ，再类似例1倒角即可得到BE ⊥CD课后测N M DBA测试2. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.N M DA第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。
第二章 角外角四大模型(1)(1)
第二章角外角四大模型(1)(1)第二章角外角四大模型本章将介绍角外角四大模型，包括模型的定义、特点和应用等内容。
通过研究本章，读者将对角外角四大模型有一个更全面的了解。
1. 模型一1.1 定义模型一是一种用于分析角外角关系的工具。
它通过比较角内角和角外角的大小关系，来解析和验证角外角四大定理。
1.2 特点模型一具有以下特点：- 简单易懂，可以直观地展示角内角和角外角之间的关系；- 可以应用于各种角的情况，包括锐角、直角和钝角；- 可以帮助我们理解和证明角外角四大定理。
1.3 应用模型一在几何学中有广泛的应用，主要用于以下方面：- 证明和解析角外角四大定理；- 求解与角外角相关的几何问题；- 帮助学生理解和掌握角外角的概念。
2. 模型二2.1 定义模型二是一种基于角外角的数学模型。
它通过数值计算和绘图分析，来研究和解决与角外角相关的问题。
2.2 特点模型二具有以下特点：- 数值计算精确，可以得到角外角的具体数值；- 绘图分析直观，可以清晰地展示角外角的关系；- 可以应用于各种复杂角的情况，包括多角形和三维角。
2.3 应用模型二在数学研究和实际问题中有广泛的应用，主要用于以下方面：- 研究和验证角外角的数学性质；- 解决与角外角相关的数学问题；- 支持其他模型和方法的应用和发展。
3. 模型三3.1 定义模型三是一种几何模型，用于描述角外角的空间关系。
它通过几何图形的构建和推导，来研究和解决与角外角相关的空间问题。
3.2 特点模型三具有以下特点：- 几何图形直观，可以帮助我们理解角外角的空间关系；- 推导过程严谨，可以用于证明和推广角外角的性质；- 可以应用于三维几何和立体图形的研究。
3.3 应用模型三在几何学和物理学中有广泛的应用，主要用于以下方面：- 解决与角外角相关的几何和物理问题；- 推广和应用角外角的空间性质；- 支持三维几何和立体图形的研究和发展。
4. 模型四4.1 定义模型四是一种统计模型，用于分析角外角的分布和变化规律。
苏教版七年级数学下册三角形倒角专练冲刺学案设计（无答案）
苏教版七年级数学下册三⾓形倒⾓专练冲刺学案设计（⽆答案）三⾓形倒⾓专练必备⽅法：1.三⾓形内⾓和180°2.三⾓形外⾓定理必备技巧：设元必备法宝：9 种基本模型模型在⼿，思路我有！上课之前的你：上课之后的你：-----掌握它，满分不再是问题O(∩_∩)O第1页（共9页）题型⼀：常规倒⾓1. 如图， ?ABC 中， AD 是⾼， AE 、 BF 是⾓平分线，它们相交于点O ，∠BAC = 60? ，∠C = 50? ，则∠DAC = ∠BOA =．2. 如图，在?ABC 中， EF / / B C ，∠ACG 是?ABC 的外⾓，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，若∠1 = 150? ，∠2 = 110? ，则∠3 = ?．3. 如图，在第 1 个?ABA 1 中，∠B = 40? ，∠BAA 1 = ∠BA 1 A ，在 A 1 B 上取⼀点C ，延长 AA 1 到 A 2 ，使得在第 2 个△ A 1CA 2 中，∠A 1CA 2 = ∠A 1 A 2C ；在 A 2C 上取⼀点 D ，延长 A 1 A 2 到 A 3 ，使得在第 3 个△ A 2 DA 3 中，∠A 2 DA 3 = ∠A 2 A 3 D ；，按此做法进⾏下去，第 3 个三⾓形中以 A 3 为顶点的内⾓的度数为；第 n个三⾓形中以 A n 为顶点的内⾓的度数为．4. ?ABC 中，∠C = 80? ，点 D 、 E 分别是?ABC 边 AC 、 BC 上的点，点 P 是⼀动点，令∠PDA = ∠1 ，∠PEB = ∠2 ，∠DPE = ∠α．（1）若点 P 在边 AB 上，且∠α= 50? ，如图 1，则∠1 + ∠2 = ?；（2）若点 P 在边 AB 上运动，如图 2 所⽰，则∠α、∠1 、∠2 之间的关系为．（3）若点 P 运动到边 AB 的延长线上，如图 3，则∠α、∠1 、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由5.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C ，点E 在AB 边上，且∠ADE =1∠EDC ，∠BED =110?，3则∠A = ?．6.探究与发现：如图①，在?ABC 中，∠B =∠C = 45?，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE =∠AED ，连接DE ．（1）当∠BAD = 60?时，求∠CDE 的度数；（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．（3）深⼊探究：如图②，若∠B =∠C ，但∠C ≠ 45?，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．7.如图，AE 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，求证：∠1 =∠2 ．题型⼆：与翻折相关的倒⾓1.如图，在?ABC 中，点D 是BC 边上的⼀点，∠B = 50?，∠BAD = 30?，将?ABD 沿AD 折叠得到?AED ，AE 与BC 交于点F ，求∠AFC 的度数；求∠EDF 的度数.2.问题1现有⼀张?ABC 纸⽚，点D 、E 分别是?ABC 边上两点，若沿直线DE 折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使A 点落在CE 上，则∠1 与∠A 的数量关系是研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1 +∠2 和∠A 的数量关系是研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1 、∠2 和∠A 的数量关系，并说明理由．问题2研究（4）：将问题1 推⼴，如图④，将四边形ABCD 纸⽚沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1 +∠2 与∠A 、∠B 之间的数量关系是．3 ．如图所⽰，把⼀个三⾓形纸⽚ABC 的三个顶⾓向内折叠之后(3 个顶点不重合），图中∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5 +∠6 =?．题型三：与模型相关的倒⾓1．如图，把⼀个三⾓尺的直⾓顶点D 放置在?ABC 内，使它的两条直⾓边DE ，DF 分别经过点B ，C ，如果∠A = 30?，则∠ABD +∠ACD =．2．如图，∠1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5 +∠6 +∠7= ．3.如图，已知?ABC 中，∠A = 60?，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于点F ，∠FBC 、∠FCB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为．4.如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 、CF 交于G ，若∠BDC =150?，∠BGC =120?，则∠A =．5.问题情景如图1，?ABC 中，有⼀块直⾓三⾓板PMN 放置在?ABC 上(P 点在?ABC 内），使三⾓板PMN 的两条直⾓边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C ．试问∠ABP 与∠ACP 是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A = 50?，则∠ABC +∠ACB = ?度，∠PBC +∠PCB = ?度，∠ABP +∠ACP = ?度；（2）类⽐探索：请探究∠ABP +∠ACP 与∠A 的关系．（3）类⽐延伸：如图2，改变直⾓三⾓板PMN 的位置；使P 点在?ABC 外，三⾓板PMN 的两条直⾓边PM 、PN 仍然分别经过点B 和点C ，（2）中的结论是否仍然成⽴？若不成⽴，请直接写出你的结论．6.直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OM 上运动（点B 不与点O 重合）．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的⾓平分线，①当∠ABO = 60?时，求∠AEB 的度数；②点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的⼤⼩是否会发⽣变化？若发⽣变化，请说明变化的情况：若不发⽣变化，试求出∠AEB 的⼤⼩；（2）如图2，延长BA ⾄G ，已知∠BAO 、∠OAG 的⾓平分线与∠BOQ 的⾓平分线所在的直线分别相交于 E 、F ，在?AEF 中，4，请直接写出∠ABO 的度数．7.如图1，在?ABC 中，CD 、CE 分别是?ABC 的⾼和⾓平分线，∠BAC =α，∠B =β(α>β) ．（1）若∠BAC = 70?，∠B = 40?，求∠DCE 的度数；（2）若∠BAC =α，∠B =β(α>β) ，则∠DCE = ?（⽤α、β的代数式表⽰）；（3）若将?ABC 换成钝⾓三⾓形，如图2，其他条件不变，试⽤α、β的代数式表⽰∠DCE 的度数并说明理由；（4 ）如图3 ，若CE 是?ABC 外⾓∠ACF∠DCE = ?．（直接写出结果）的平分线，交BA 延长线于点 E ．且α-β= 30?，则8.探究⼀：我们知道，三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和．那么，三⾓形的⼀个内⾓与它不相邻的两个外⾓的和之间存在何种数量关系呢？如图甲，∠FDC 、∠ECD 为?ADC 的两个外⾓，则∠A 与∠FDC +∠ECD 的数量关系．探究⼆：三⾓形的⼀个内⾓与另两个内⾓的平分线所夹的钝⾓之间有何种关系？如图⼄，在?ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，则∠P 与∠A 的数量关系．探究三：若将?ADC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图丙，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，则∠P 与∠A +∠B 的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 呢？如图丁则∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系．愉快的课后作业1．如图，?ABC 中，∠A = 40?∠B = 76? ，CE 平分∠ACB ，CD ⊥ AB 于点 D ，DF ⊥ CE 于点 F ，求∠CDF的度数．2．如图，∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H + ∠I + ∠J = ?? ．3. 如图，在折纸活动中，⼩明制作了⼀张?ABC 的纸⽚，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，将?ABC 沿着 DE 折叠压平， A 与A ' 重合，若∠A = 75? ，则∠1 + ∠2 =．4. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A + ∠B = 200? ，作∠ADC 、∠BCD 的平分线交于点O 1 称为第 1 次操作，作∠O 1DC 、∠O 1CD 的平分线交于点O 2 称为第 2 次操作，作∠O 2 DC 、∠O 2CD 的平分线交于点O 3 称为第 3 次操作，，则第 5 次操作后∠CO 5 D 的度数是．5．（1）如图 1 所⽰， ?ABC 中，∠ACB 的⾓平分线CF 与∠EAC 的⾓平分线 AD 的反向延长线交于点 F ；①若∠B = 90?则∠F = ?；②若∠B = a ，求∠F 的度数（⽤ a 表⽰）；（2）如图 2 所⽰，若点G 是CB 延长线上任意⼀动点，连接 AG ，∠AGB 与∠GAB 的⾓平分线交于点 H ，随着点G 的运动，∠F +∠H 的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．第9页（共9页）。
第4讲 倒角模型(学生版)
巩固1
如图，
，
，
，则
．
巩固2
如下图，
，
，
，则 的度数为
度．
巩固3 如图，
度．
巩固4
如图，点 和点 分在
的边 和 的延长线上， ， 分别平分
和
，若
，
，则 的大小是
．
巩固5
如图，点 是
两个内角平分线的交点，点 是
，则
的度数为（ ）
两个外角平分线的交点，如果
A.
B.
C.
D.
巩固6
如图，在
中，
交于点 ，依次类推，
，
与
的角平分线交于 ，
与
的角平分线交于点 ，则
与
的角平分线
的度数是
度．
巩固7
如图⑴， 、 是任意
的 、 的角平分线．
(1) 探求
与 的数量关系.
(2)
能等于 吗？说明理由.
(3) 当 为多少度时，
？
(4) 把图⑴中的
变成图⑵中的四边形
， 、 仍然是 ， 的平分线，猜想
与 、 有何数量关系？（只写出猜想结果，不写过程）
首先得到：当 时，如图 ，
，
当 时，如图 ，
，
如图 ，猜想
．
A
B
C
图
图
图
三、数学万花筒
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度 帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。 任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直 角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
；
的平
三角形中的倒角模型——飞镖模型、风筝模型以及翻角模型 学生版
初中几何专题01.三角形中的倒角模型--飞镖模型、风筝模型以及翻角模型一、模型简介近年来，各地中考数学中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉此类模型可以快速得到角的关系，求出所需的角，本专题就飞镖模型、风筝模型以及翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便同学们掌握。
模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②AB+AD>BC+CD。
条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=12(∠A+∠C)。
条件：如图3，线段AO平分∠DAB，线段CO平分∠BCD；结论：∠O=12(∠D-∠B)。
模型常用辅助线添加技巧1在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠E =72°，∠F=65°，则∠D的度数为()A.35°B.45°C.30°D.24°2封闭折线ABCDEFGA组成的“七角形”，其七个角∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G之和为()A.180°B.270°C.360°D.720°3请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1．∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，⋯大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．2、风筝模型(鹰爪模型)或角内翻模型图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
第4讲 倒角模型(教师版)
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析
根据三角形外角性质，可得：
，
，
，
，
∴
，
，
∴
又∵ 、 分别平分
、
∴
，
，
∴
，
∴
，
即
故选 ．
． ，
．
二、角平分线模型
知识总结
模型
图形
双内角分线模型
模型
图形
双外角分线模型
模型
图形
结论 结论 结论
一内一外角分线模型
注：角平分线模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
典型例题
例题4
的平分线相交于点 ，得 ；…，
于点 ，得
，则
．
的平分线交于点 ，得 的平分线与
；
的平
的平分线相交
A1
答案
解析 ∵ ∴
， 的角平分线与
角平分线交于点 ， ，
∴
．
∴依此类推得：
，
∴
．
故答案为：
．
…，
4 如图，已知射线
， 、 为 、 上两动点，
中
的平分线与
的外角
平分线所在的直线交于点 ，则 （ ）．
A.
第4讲 倒角模型
一、“飞镖”与“8字模型”
知识总结
模型
图形
结论
飞镖模型
∠BDC=∠A+∠B+∠C
模型
图形
结论
“8”字模型
∠A+∠B=∠C+∠D
【注】1．证明思路：构造三角形，利用三角形内角和定理证明； 2．飞镖模型、“8”字模型在大题中不可直接使用，必须证明后再用．
solidworks第4章 实体编辑
第4章实体编辑前面一章中介绍的是实体建模，而实体编辑就是在不改变基体特征主要形状的前提下，对已有的特征进行局部修饰的建模方法，本章就来介绍这一部分。
在SolidWorks中实体编辑主要包括圆角、倒角、孔、抽壳、圆顶、拔模以及特型特征等，本章将对这些特征的造型方法进行逐一介绍。
4.1 倒角特征倒角特征是机械加工过程中不可缺少的工艺，倒角特征是对边或角进行倒角。
在零件设计过程中，通常在锐利的零件边角处进行倒角处理，便于搬运、装配以及避免应力集中等。
4.1.1 距离倒角当需要在零件模型上生成距离倒角特征时，可按如下的操作步骤进行：（1）单击“特征”工具栏上的（倒角）按钮，或选择菜单栏中的“插入”|“特征”|“倒角”命令，此时会出现如图4-1所示的“倒角”PropertyManager设计树。
图4-1 “倒角”设计树（2）在“倒角”PropertyManager设计树中选择倒角类型，确定生成距离倒角的方式：“角度-距离”、“距离-距离”两种。
“角度-距离”选项：选择该选项后面板后会出现“距离”及“角度”参数项，利用“角度-距离”选现生成的倒角效果如图4-2所示。
距离"：应用到第一个所选的草图实体。
角度"：应用到从第一个草图实体开始的第二个草图实体。
图4-2 选择角度-距离类型生成倒角“距离-距离”选项：选择该选项后面板中会出现“距离1”或“距离1”及“距离2”参数项，利用“角度-距离”选现生成的倒角效果如图4-3所示。
距离1"：相等距离复选框被选择后，该选项表示应用到两个草图实体。
距离1"及距离2：相等距离复选框被消除后，距离1选项表示应用到第一个所选的草图实体。
距离2选项表示应用到第二个所选的草图实体。
图4-3 选择距离-距离类型生成倒角（3）单击“倒角参数”面板中图标右侧的显示框，然后在图形区域中选择实体（边线和面或顶点）。
（4）在下面对应的微调框中指定距离或角度值。
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知识总结
典型例题1
如图，
2
如图，
3
如图
1
如下图，已知2
如图
1
如图，在凹四边形
2
如图，3
如图，
知识总结典型例题
题型：三角形-外角角分线
如图所示，1如图，点两个外角平分线的交点，如果
2
3
如图，在
D.
如图，已知射线4
1
如图，
2
如图，
，
三、数学万花筒
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度
帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。
任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。
任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形
在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角形。
因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为
90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没有选择余地了。
任意锐角三角形内作高
任意钝角三角形内作高
既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三角形的内角和是都是180°。
这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明方法中的任意三角形有本质的不同。
四、巩固加油站
三角形>三角形及多边形>多边形>题型：不规则图形的多角求和
题型：三角形内角的应用
两个外角平分线的交点，如果
D.。