10秒出答案的巧学方法：最小值原理法
高中数学巧学巧解大全
高中数学巧学巧解大全第一部分 高中数学活题巧解方法总论一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上， ∴化简可得，又点是上的任一点， 且不与点和点重合，则，即， ∴中点的轨迹方程为（）. 【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m。
过点A ),(t s P 2x y =2+=x y 2,1=-=B A x x AB )25,21(Q PQ M ),(y x 225,221ty s x +=+=252,212-=-=y t x s P C 2)212(252-=-x y 8112+-=x x y P L A B 22121<-<-x 4541<<-x M 8112+-=x x y 4541<<-x作直线0=-yx的垂线，垂足为N，试求AMN∆的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x yB x y，由已知得到120y y≠，且22111x y-=，22221x y-=，（1）垂线AN的方程为：11y y x x-=-+，由11y y x xx y-=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x yN++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x yx xmx yy y+⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x ymxy xmy⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y-=可得11(33)(33)2x y x ym m--+-=即2212()39x ym--=为重心G所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:xyC=的焦点为F，动点P在直线02:=--yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0(1-F和)3,0(2F为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OBOAOM+=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
求最小值的方法
求最小值的方法
首先，我们来介绍一种常见的方法——导数法。
对于一个实数域上的函数，我们可以通过求解其导数为零的点来找到其极值点。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行求解：
1. 首先，我们需要求出函数的导数；
2. 然后，我们将导数方程等于零，并解出方程得到临界点；
3. 最后，我们将临界点代入原函数中，求出对应的函数值，从而找到最小值点。
除了导数法，我们还可以使用二分法来求解最小值。
二分法是一种迭代求解的方法，其基本思想是通过不断缩小区间范围来逼近最小值点。
具体步骤如下：
1. 首先，我们需要确定一个初始的区间范围，该区间内包含了最小值点；
2. 然后，我们将该区间进行二分，得到两个子区间；
3. 接下来，我们需要比较两个子区间的函数值，然后选择函数
值较小的子区间作为新的搜索范围；
4. 最后，我们不断重复上述步骤，直到区间范围足够小，我们
就可以得到最小值点的近似解。
除了导数法和二分法，我们还可以使用拉格朗日乘数法来求解
最小值。
拉格朗日乘数法是一种约束条件下的极值求解方法，适用
于带有约束条件的优化问题。
具体步骤如下：
1. 首先，我们需要将原始函数和约束条件构造成拉格朗日函数；
2. 然后，我们需要求解拉格朗日函数的梯度，并令其等于零，
得到一组方程；
3. 最后，我们将方程组代入原始函数中，求解出最小值点。
综上所述，我们介绍了几种常见的求最小值的方法，包括导数法、二分法和拉格朗日乘数法。
在实际问题中，我们可以根据具体
情况选择合适的方法来求解最小值，从而得到最优解。
希望以上内
容对你有所帮助！。
初中最小值问题解法
初中最小值问题解法篇一：初中最小值问题是指给定一组数，要求从中找出最小的数的问题。
解决初中最小值问题的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。
一种方法是遍历法。
遍历法是指从第一个数开始，逐个与后面的数进行比较，找出其中最小的数。
具体步骤如下：1. 假设给定一组数为a[1], a[2], ..., a[n]，其中n为数的个数。
2. 初始化一个变量min为a[1]。
3. 从第二个数开始，依次与min进行比较，如果比min小，则将该数赋值给min。
4. 遍历完所有数后，min就是最小的数。
另一种方法是排序法。
排序法是指将给定的一组数按照大小进行排序，然后取最小的数即可。
具体步骤如下：1. 假设给定一组数为a[1], a[2], ..., a[n]，其中n为数的个数。
2. 使用常用的排序算法（如冒泡排序、选择排序等），对这组数进行排序。
3. 排序后，第一个数即为最小的数。
这两种方法各有优缺点。
遍历法简单直观，但需要逐个比较所有的数，时间复杂度较高；排序法的时间复杂度较低，但需要额外的排序操作。
总而言之，初中最小值问题可以通过遍历法或排序法来解决。
具体使用哪种方法可以根据实际情况和需求来选择。
篇二：初中最小值问题解法在初中数学中，我们经常会遇到求解一组数中的最小值的问题。
这类问题可以通过一些简单而有效的方法来解决。
一种常见的方法是遍历法。
我们首先将给定的一组数列出来，然后从中选取一个数作为当前的最小值，然后遍历其他的数与当前最小值进行比较。
如果当前的数比最小值还要小，那么就将当前数设为新的最小值。
继续进行遍历，直到所有的数都比较完为止。
最后所得到的最小值就是我们要求解的答案。
另一种方法是利用排序的思想。
我们可以将给定的一组数从小到大进行排序，然后选取排序后的第一个数作为最小值。
由于这个数是排序后的最小值，所以它也是原始数列中的最小值。
这种方法的优点是简单直观，但缺点是需要进行排序操作，如果数的个数很多，那么这个过程可能会比较耗时。
初中求最小值五种方法
初中求最小值五种方法
嘿，小伙伴们！咱今天就来唠唠初中求最小值的五种超棒方法！
第一种方法就是咱常见的配方法呀！好比说给出一个式子x²+6x+5，
咱就可以通过配方变成(x+3)²-4，这样就能轻松找到最小值啦！这多神奇呀！
第二种呢，是利用不等式哦，就像给调皮的数值套上一个紧箍咒！比如说x+y≥2√xy ，用这个来解决问题那叫一个厉害！
第三种得说说几何法啦，哇塞，就像是在图形的世界里找宝藏呢！比如说求一个三角形中某条边上的最小值，通过图形的特点就能发现啦！
第四种是函数法，它就像一把万能钥匙，能打开各种最小值的大门呐！像那种给出一个函数表达式让你求最小值，用这方法准没错！
第五种是换元法呀，就好像玩变装游戏一样，把复杂的式子变得简单，然后找到最小值，酷不酷？
总之呀，这五种方法各有各的妙处，学会它们可太有用啦！以后遇到求最小值的题，那都不是事儿！咱就可以轻松解决，笑傲数学江湖啦！。
浅谈数学中考有关最小值问题的解法
浅谈数学中考有关最小值问题的解法在数学中考试题中，常见到一类求最大值或最小值的问题，这类题在选择题、填空题、解答题的压轴题中都有涉及，学生得分率较低。
通常是学生初看题目就感到无处下手，胡乱写个答案，或者干脆放弃。
其实，这类题无论背景多么繁杂，其所用知识点都是最基本的。
就拿求最小值来说，在与图形有关的题目中，所用知识点无非是“两点之间的所有连线中，线段最短。
”或“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
”一般来说，学生头脑中只要有这两个关于最短的公理，遇到具体题目，能在化归思想的指导下进行有效转化，此类题便不难求解。
本文拟从历年来各省市的几个中考试题说起，浅谈这类试题的求解思路。
1 两个定点和一条定直线，一个动点问题例1：（北师大版七年级下册第七章《简单的轴对称图形》课后问题解决）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站建在何处才能使从A，B到它的距离之和最短？问题1：若居民区A，B分布于街道两侧时，奶站应建在何处？问题2：若居民区A，B分布于街道同侧时，奶站应建在何处？分析：问题1，如图1，直接用线段公理。
问题2，则要转化为问题1的情形，即把A、B转化为在直线L的异侧。
此时，只需作点A或点B关于直线L的对称点即可。
如图2，若居民区A，B分布于街道同侧时，则作点A关于直线l的对称点A`，连接A`B交直线L于点P，则奶站应建在P处。
理由：在直线L上取异于点P的任意一点P`，连接AP`，A`P`，由对称性易得：AP`=A`P`在ΔA`P`B中，P`A+P`B=A`P`+P`B>A`B（A`B=PA+PB）。
因此PA+PB 最短。
这个在定直线上找一点使它到该直线同侧两定点距离之和最短的问题可作为求解最短类问题的题根，以下各题可看作是对其进行的一系列衍生。
学生在这一系列变化中寻找规律，发现“变”中的“不变”，从而找到该系列问题的根本解决办法，达到“解一题，通一类”的目的，下面我们共同探究在不同背景下此类问题的解法。
小学综合算式拓展思维用加减乘除做出最大值和最小值
小学综合算式拓展思维用加减乘除做出最大值和最小值在小学数学学习中，综合算式是一个重要的内容之一。
通过加减乘除等基本运算符号的灵活运用，我们可以拓展思维，解决各种问题，包括求最大值和最小值。
本文将介绍在小学综合算式中如何用加减乘除来做出最大值和最小值。
在解决问题时，我们首先要理解什么是最大值和最小值。
最大值就是一组数中最大的数，而最小值则是一组数中最小的数。
通过和其他数进行比较，我们可以找出最大值和最小值。
在拓展思维时，我们需要注意以下几个要点：1. 了解运算符的作用：加法可以使数的值增大，减法可以使数的值减小，乘法可以使数的值增大或减小，除法可以使数的值增大或减小。
运用这些运算符，我们可以实现数值的变化。
2. 灵活运用进位和借位：在加法和减法中，进位和借位是非常重要的。
对于加法，进位使得数变大；对于减法，借位使得数变小。
利用进位和借位，我们可以适当增加或减少数的值。
3. 注重数的顺序：数的顺序对于最后的结果有很大影响。
如果要找最大值，应该把较大的数放在前面；如果要找最小值，应该把较小的数放在前面。
通过调整数的顺序，我们可以得到不同的结果。
下面我们通过一些例子来具体说明。
例子1：用加法求最大值和最小值问题：小明有10元钱，他要买三个玩具车，每个玩具车的价格分别是5元、3元和2元。
他想知道他还剩下多少钱和他能不能再买一个最贵的玩具车。
解析：首先，我们计算小明买三个玩具车的总价：5 + 3 + 2 = 10。
因此，小明刚好花光了全部的钱购买三个玩具车。
这时，我们可以得到最大值和最小值：最大值是3个玩具车的总价10元，最小值是0元（因为小明已经花光了所有的钱）。
例子2：用减法求最大值和最小值问题：一个数字比27少15，最大值和最小值分别是多少？解析：我们让这个数字为x，可以写出等式 x - 15 = 27。
为了找到最大值和最小值，我们需要确定x的值。
首先，我们可以通过加法将等式转化为：x = 27 + 15，计算结果为42。
最小值求法-概述说明以及解释
最小值求法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述最小值求法是数学和计算机科学中一个重要的概念，用于寻找给定数据集或函数中的最小值。
在实际问题的解决过程中，我们经常需要找到最小值来确定最优的解或最佳的选择。
最小值的定义很直观，它表示某个数据集或函数中具有最小数值的元素或点。
最小值求法是通过系统性的方法或算法来寻找最小值的过程，常用于数据分析、优化问题和机器学习等领域。
本篇文章将介绍最小值的定义和意义，并探讨常见的最小值求法，旨在使读者对最小值求法有一个全面的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
接下来的章节将详细介绍最小值的定义和意义，以及常见的最小值求法，同时对最小值求法的应用做一总结，并展望其未来的发展。
通过阅读本文，读者将能够深入了解最小值求法的核心概念和应用场景，进而在实际问题中运用它们解决难题。
在第1.2部分中，我们将详细介绍文章的结构，以帮助读者理解文章的整体框架和逻辑。
在第1.3部分，我们将强调本文的目的，以确保读者能够明确阅读本文的收获和目标。
通过阅读本文，读者将能够深入了解最小值求法，并为自己在数学和计算机科学领域中的学习和研究提供一个坚实的基础。
无论是在学术研究还是实际问题的解决中，最小值求法都将起到重要的作用，为我们提供了一种方法来寻找最优解或最佳的选择。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍最小值的定义和意义，为读者提供对最小值求法的基本了解。
其次，将详细探讨常见的最小值求法，包括数值计算、算法和统计学等方面的方法。
最后，笔者将总结最小值求法的应用领域，并展望其未来发展趋势。
在引言中，我们会概述本文的主要内容和目的，为读者提供一个整体的认识。
接下来的正文中，我们将系统性地介绍最小值的定义和意义，以帮助读者理解最小值求法的重要性。
在这一部分，我们将从理论角度出发，深入解释最小值的概念和其在实际问题中的应用价值。
随后，我们将详细探讨常见的最小值求法。
这一部分将涵盖数值计算、算法和统计学等多个领域的方法。
求最小值的方法
求最小值的方法
在数学中，求最小值是一个常见的问题，它涉及到了许多不同的方法和技巧。
在本文中，我们将讨论一些常见的求最小值的方法，包括微积分、优化理论和凸优化等。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和解决求最小值的问题。
首先，微积分是求最小值的重要工具之一。
微积分通过对函数的导数进行分析，可以找到函数的极值点，从而求得函数的最小值。
在微积分中，我们可以利用导数的零点和拐点来确定函数的极值点，进而求得最小值。
通过微积分的方法，我们可以快速而准确地求得函数的最小值，这在实际问题中具有重要的应用价值。
其次，优化理论也是求最小值的重要方法之一。
优化理论通过建立数学模型，
利用最优化算法来求解函数的最小值。
在优化理论中，我们可以利用梯度下降、牛顿法等算法来寻找函数的最小值点，从而得到最小值。
优化理论在工程、经济学和管理学等领域有着广泛的应用，它为我们提供了一种高效而灵活的求最小值的方法。
另外，凸优化也是一个重要的求最小值的方法。
凸优化通过对凸函数进行分析，可以得到函数的最小值。
在凸优化中，我们可以利用凸函数的性质，通过一些简单而有效的算法来求得函数的最小值。
凸优化在信号处理、机器学习和控制系统等领域有着重要的应用，它为我们提供了一种直观而有效的求最小值的方法。
综上所述，求最小值涉及到了许多不同的方法和技巧，包括微积分、优化理论
和凸优化等。
通过学习这些方法，我们可以更好地理解和解决求最小值的问题。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来求解最小值，从而得到满意的结果。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
巧学物理最小值原理法
巧学物理：最小值原理法在物理规律中存在着许多最小值问题，如物体受三个力作用而平衡，其中一个力是恒力，第二个力的方向保持不变，当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小；在杠杆平衡问题中，当其他力及其力臂恒定时，当某个力的力臂最大时，对应的这个力也是最小的；除重力外其他力对物体做功为零，机械能可以是最小；电场力不做功时电势能也许是最小，这样的规律被称为最小值原理。
【调研1】如图所示，在绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，当拉力F有最小值时，F与水平方向的夹角β应是( )A．0 B.π/2 C．α D．2α〖巧解〗由题图可知当F与倾斜绳子垂直时具有最小值，所以β=α.答案为C。
【调研2】如图所示，一质量为m、带电量为q的小球用细线系住，线的一端固定在O点，若在空间加上匀强电场，平衡时线与竖直方向成60o，则电场强度的最小值为( )A.mg/2qB.3mg/2qC.2mg/qD. mg/q〖巧解〗此题为电场和重力场的物体平衡问题。
在三力平衡中若已知一个力大小方向不变，一个力方向不变，求另外一个力时有最小值。
对球受力分析可知当电场力与绳拉力方向垂直时，电场强度最小，qE=mg sin60o,得E=32mgq，选B。
【调研3】如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则( )A．当30β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sinmgαB．当60β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为cosmgαC．当60β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sinmgαD．当90β︒＝时，挡板AO所受压力最小，最小值为sinmgαOm60o〖巧解〗以球为研究对象，球受三个力作用：重力（恒力）、斜面的支持力N1F（方向不变）、挡板的支持力F N2（大小方向都在变化），当F N2与N1F垂直时，即β=90o时，F N2最小，最小值N2min sinF mg＝由牛顿第三定律知，挡板AO所受压力最小，D 项正确．【调研4】如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( )A．mg B. 33mg C. 12mg D. 14mg〖巧解〗如图所示，对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力F CD=mg tan30o；对点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2=F CD=mg tan30o，F1方向一定，则当F3垂直于绳时，F3最小，由几何关系可知，F3=F2sin60o=12mg，答案为C。
求最小值的方法公式
求最小值的方法公式寻求最小值是数学中一项基本的任务，它在各个领域都有着广泛的应用。
无论是求函数最小值，还是在优化问题中找到最小值，都需要掌握一些求最小值的方法。
在这篇文章中，我们将会介绍一些最常见的求最小值的方法，并结合具体的例子，帮助读者更好地掌握这些方法。
一、导数法求最小值在求解函数最小值时，导数法是最基础也是最常用的方法之一。
通过求函数的导数，可以找到函数的极值点，从而得到函数的最小值。
具体步骤如下：1. 求函数的导数。
2. 解出导数为0的点，即为函数的极值点。
3. 在极值点及两端的函数值中，取最小值即为函数的最小值。
例如，对于函数$y=x^2+2x+1$来说，我们可以通过导数法求最小值。
首先，对其求导数：$$y'=2x+2$$其次，令导数等于0，求出$x$：$$2x+2=0$$$$x=-1$$因此，$x=-1$是函数的极值点。
接着，我们可以计算出$x$在极值点附近的函数值：$$y(-2)=9,y(-1.5)=7.75,y(-1.1)=6.81,y(-1.01)=6.83,y(-1)=6,y(-0.9)=5.19$$由此可见，函数在$x=-1$处取得最小值$y=6$。
二、牛顿法求最小值牛顿法是一种可以求解非线性优化问题的有效方法。
对于函数$f(x)$来说，其最小值的求解可以转化成求解方程$f'(x)=0$的根。
通过牛顿法，我们可以通过对函数的一阶和二阶导数的求解，逐步迭代地求出方程的根，从而得到函数的最小值。
具体步骤如下：1. 选取一个初始点$x_0$。
2. 计算出$f(x)$在$x_0$处的一阶和二阶导数值$f'(x_0)$和$f''(x_0)$。
3. 计算出牛顿法迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$中的$x_{n+1}$。
4. 将$x_{n+1}$作为下一次迭代的初始点，重新计算$f(x)$在$x_{n+1}$处的一阶和二阶导数值，重复步骤3和4，直至收敛到目标精度。
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10秒出答案的方法
(1)最小值原理法
巧法迷津
在物理规律中存在着许多最小值问题，如物体受三个力作用而平衡，其中一个力是恒力，第二个力的方向保持不变，当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小；在杠杆平衡问题中，当其他力及其力臂恒定时，当某个力的力臂最大时，对应的这个力也是最小的；除重力外其他力对物体做功为零，机械能可以是最小；电场力不做功时电势能也许是最小，这样的规律被称为最小值原理。
巧学调研
【调研1】如图所示，在绳下端挂一物体，用力F 拉物体使
悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡．保持α不变，当拉力F 有最小值时，F 与水平方向的夹角β应是( )
A ．0 B.π/2 C ．α D ．2α
〖巧解巧解〗〗
由题图可知当F 与倾斜绳子垂直时具有最小值，所以β=α.答案为C 。
【调研2】如图所示，一质量为m 、带电量为q 的小球用细线系住，线的一端固定在O 点，若在空间加上匀强电场，平衡时线与竖直方向成60o ，则电场强度的最小值为 ( )
A.mg /2q
mg /2q C. 2mg /q D. mg /q
〖巧解巧解〗〗此题为电场和重力场的物体平衡问题。
在三力平衡中若
已知一个力大小方向不变，一个力方向不变，求另外一个力时有最小值。
对球受力分析可知当电场力与绳拉力方向垂直时，电场强度最小，qE =mg sin60o ,得E
，选B 。
【调研3】如图所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO 将球挡住，使球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则 ( )
A ．当30β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为sin mg α
B ．当60β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为cos mg α
C ．当60β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为sin mg α
D ．当90β°＝时，挡板AO 所受压力最小，最小值为sin mg α
O m
〖巧解巧解〗〗以球为研究对象，球受三个力作用：重力（恒力）、斜面的支持力N1F （方向不变）、挡板的支持力F N2（大小方向都在变化），当F N2与N1F 垂直时，即β=90o
时，F N2最小，最小值N2min sin F mg α＝由牛顿第三定律知，挡板AO 所受压力最小，D 项正确．
【调研4】如图所示，三根长度均为l 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l .现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加的力的最小值为 ( )
A ．mg
B. C. 12mg D. 14mg
〖巧解巧解〗〗如图所示，对C 点进行受力分析，由平衡条件可
知，绳CD 对C 点的拉力F CD =mg tan30o ；对点进行受力分
析，绳CD 对D 点的拉力F 2=F CD =mg tan30o ，F 1方向一定，则
当F 3垂直于绳时，F 3最小，由几何关系可知，F 3=F 2sin60o =
12
mg ，答案为C 。
【调研5】如图所示，在场强为E 的匀强电场中有一个质量为m 的带正电的
小球A 悬挂在绝缘细线上，当小球静止时，细线与竖直方向成30o 角，已知此时
电场方向恰好使小球受到的电场力最小，则小球所带的电荷量为 （ ）
A.mg
E B.3mg
E C.2mg
E D.2mg
E 〖巧解巧解〗〗由电场方向恰好使小球受到的电场力最小可知，电场强度E 的方向
与细线垂直，小球的受力情况如图所示，由平衡条件可得12mg =qE ，解得q =2mg E
,选项D 正确.
【调研6】将两个质量均为m 的小球a 、b 用绝缘细线相连,竖直
悬挂于O 点，其中球a 带正电、电荷量为q ，球b 不带电,现加一
电场强度方向平行竖直平面的匀强电场(没画出)，使整个装置处于
平衡状态,且绷紧的绝缘悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ=30o ，如图
所示,则所加匀强电场的电场强度大小可能为 （ ）
D
BD
A.4mg q
B.mg
q C.2mg q
〖巧解巧解〗〗本题考查带电体的平衡及图解法求极值等知识,意在考查考生的理解能力和用数学处理物理问题的能力。
取小球a 、b 为整体,则受重力2mg 、悬线拉力T 和电场力F 作用处于平衡，
当电场力与总重力垂直时，电场力最小，F 的最小值为2mg sin30o =mg ，由F =qE
知A 、C 、D 错，B 对。
巧学巧练
【巧练1】如图所示，A 、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B 球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A 、B 两球静止．由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动．已知OA 球的质量为m A ，B 球的质量为m B ，杆长为L .则：
(1)A 球机械能最小时，水平面对B 球的支持力为多大？
(2)若m
=m ，当A 球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？ 如图所示，在水平面上固定一个半圆形细管，在直径两端
【巧练3】如图所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线连悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角的大小θ=30o ，则F 的大小 （ ）
A
O A B b F θ
O
A
B
mg
C ．可能为mg
D ．不可能为mg
【巧练4】将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连后，再用细线悬挂于O 点，如图所示，用力F 拉小球b ，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa 与竖直方向的夹角保持θ=30o ，则F 达到最小值时Oa 线上的拉力大小为 （ ）
A
mg B ．mg C
mg D ．12
mg 【巧练5】 如图所示，顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平地面上，三条细绳结于O 点，一条绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P ，一条绳连接小球Q ．P 、Q 两物体处于静止状态．另一条绳OA 在外力F 的作用下使夹角θ<90o ．现缓慢改变绳OA 的方向至θ>90o ，且保持结点O 位置不变，整个装置始终处于静止状态．下列说法正确的是 ( )
A ．绳OA 的拉力一直增大
B ．斜面对物块P 的摩擦力的大小可能先减小后增大
C ．地面对斜面体有向右的摩擦力
D ．地面对斜面体的支持力大于物块P 和斜面体的重力之和 a b F θ
O
【巧练6】如图所示，斜面顶端固定有半径为R的轻质滑轮，用不可伸长的轻质细绳将半径为r的球P沿斜面缓慢拉升．不计各处摩擦，且R>r．设绳对球的拉力为F，斜面对球的支持力为N，则关于F和N的变化情况，下列说法正确的是( )
A．F一直增大，N一直减小
B．F一直增大，N先减小后增大
C．F一直减小，N保持不变
D．F一直减小，N一直增大
【巧练7】如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高．当线拉力最小时．推力F等于( )
A．mg sinαB．1
2mg sinαC．mg sin2αD．1
2
mg sin2α
此内容选自快速提高物理成绩的奇书——《巧学妙解王》高中物理一书，高中课程学习特别是孩子的高中物理课程学习，常常听学生抱怨：“上课听得懂，
练习也会做，可一考试就砸”，分析原因，不难发现：学校所发的复习用书大
多是课本知识的再现，安排的练习题所涉及的知识点比较单一，解题思路简单，解题方法很少，而考试题往往覆盖的知识点多，综合程度高，所用解题方法灵活；如果学生缺乏一定量的好的解题方法，产生上述抱怨就在情理之中.高中阶段，最难学的课程是物理，既要求学生有过硬的数学功底，还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。
据调查发现高中生中85%以上的学生恐惧物理，学习具有盲目性，物理解题方法不得当。
李老师经过近30年的教学研究积累，为解答学生学习物理难的这一难题，编著了《巧学妙解王》高中物理一书，李老师阅试题无数，感题目之无限，欲穷尽，难于登天；但题型之有限，与常教学之中，均精通一题型，可灭数千题，遂集吾教学之精华总结与此，盖学习不应苦而应“巧”，做题不应繁而应“妙”，寓于《巧学妙解王》一书，尔必将受益终生！
此书收集了许多很精彩的题目，提供了很多很好的巧学妙解的解题方法。
学习完这本书会使你感到学习高中物理变的其实很简单，只要掌握此书的讲解方法，大多高考题保证使你做到试题读完，在10秒内得到答案，使你的物理成绩突飞猛进！
李仲旭简介：
李仲旭，著名高级物理教师，资深高考阅卷教师，《试题调研》、《金考卷》特约撰稿人，中学学科网特约原创题撰稿名师，市统考命题专家，河南省教育专家，《巧学妙解王》编著者，编辑出版物理专著12部，发表论文80多篇，其中多媒体课件《游标卡尺》，《螺旋测微仪》等25篇发表于清华大学主办的具有学术期刊国家唯一多媒体电子刊物《中国多媒体教学学报》上。
40多篇作
品被人民教育出版社收录。
2012年第一个解读考试大纲之人。
可以百度“试题调研李仲旭”进行验证，2010年3月提出的取消高考加分项目，回归高考裸考，为何公众如此焦虑高考不公，刊登于中国青年报，后续被教育部采用，请百度搜索“高三物理教师李仲旭”即可查看。
巧学妙解王淘宝地址：。