高中数学解题常用方法：换元法

知识点练习一、填空题1. 求函数的解析式：（1）已知，则．（2）已知，则．2. 设实数，，，满足，则的取值范围是．3. 已知函数，则的解析式为．4. 若函数，则的解析式为．5. 函数满足，则．6. 函数的值域是．7. 已知，则．8. 若，则的解析式为．9. 方程的解是．10. 对于问题："已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式 "，给出如下一种解法：参解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为．11. 设，则函数的值域是．12. 为正实数，且，则的最大值为．13. 函数，其中，则其值域为．14. 已知的三边长，，满足，，则的取值范围为．15. 如图，矩形中，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．16. 正方形的四个顶点分别是、、、，点在正方形内，且点到各边的距离的平方和为，并与直线的距离最短，则点坐标是．17. 在三角形中，，，，点，分别在边，上，且，则的最大值为．18. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为．19. 已知，，满足则的最大值为．20. 已知正数满足：，，则的取值范围是．二、解答题21. 已知，则．已知，则．22. 求下列函数的值域(1) ；(2)23. 求函数的最小值．24. 函数，求在上的最小值．25. 若有最大值和最小值，求实数，的值．26. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，，．其中为毎吨煤的价格，为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水．(1)如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；(2)如果每百度电价不低于元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？27. 已知点是圆上任意一点．(1)求点到直线的距离的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值．28. 已知函数有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点．29. 已知，求．30. 若函数且在上的最大值为，求的值．31. 已知实数满足，求的最小值．32. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程．33. 一动圆与圆：外切，与圆：内切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设过圆心的直线：与轨迹相交于，两点，请问（为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．34. 函数，．(1)若，求的最大值；(2)设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为，求的表达式．35. 已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于，两点，且，(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．36. 知函数，实数，满足，设，．(1)当函数的定义域为时，求的值域；(2)求函数关系式，并求函数的定义域；(3)求的取值范围．37. 已知，，且，求证：．38. 已知函数的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数的一个解析式；(2)根据（1）的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．39. 已知函数在处取得极值．(1)求的值；(2)当时，求证：．40. 已知椭圆，过作互相垂直的两直线，，分别与椭圆交于，两点．(1)若直线经过点，求线段的长；(2)求面积的最大值．答案第一部分1 （1）；（2）234567891011121314151617181920第二部分21 ；22 (1) 设，则，且．于是．由，得的值域为．(2) 令，则，．所以．因为，所以．所以原函数的值域为．23 设，所以因为当时，函数递增，所以，函数的最小值为24 令，则．，，，即在上的最小值为．25 ．令，，则，的对称轴为．①当时，函数在为减函数，，，解得：，．②当时，函数在为增函数，，，，．③当时，．（i）当时，．解得：，与矛盾；（ii）当时，．解得：，与矛盾．综合上述：，或，．26 (1) 依题意，得，即．(2) 由，得．不妨令，则，则．因为，所以，即．所以当时，，此时．答：每吨煤的最高价为元．27 (1) 圆心到直线的距离为．所以点到直线的距离的最大值为，最小值为．(2) 设，则直线与圆有公共点．所以．所以．所以，．即的最大值为．最小值为．(3) 设，则直线与圆有公共点，所以．所以．所以，．即的最大值为，最小值为．28 因为有且仅有一个零点，所以方程仅有一个实根．设，则方程仅有一个正根．当时，即，当时，；时，（不合题意，舍去），所以，解得，符合题意．当时，即或时，方程有两正或两负根，即有两个零点或没有零点，此时不适合题意．综上，时，有唯一零点，且该零点为．29 设，则，所以所以30 令，则，该二次函数在上是增函数．①若，，故当时，，解得（舍去）．②若，，故当时，．所以或（舍去）．综上可得或．31 可将改写为，令，可得，，，则．因为，所以，当时，，所以的最小值为．32 (1) 设椭圆的方程为（）．由题意，得所以所求椭圆的方程为．(2) 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去，得．由直线与椭圆相交于两点，得，解得．设，，则，．原点 到直线 的距离为 ．所以．令 ，则． 当且仅当，即 时，． 此时从而直线 的方程为．33 (1) 设动圆圆心为 ，半径为 ．由题意，得 ， ， 所以 ．由椭圆定义知 在以 ， 为焦点的椭圆上，且 ， ， 所以 ． 于是动圆圆心 的轨迹 的方程为．(2)如图，设 内切圆 的半径为 ，与直线 的切点为 ，则三角形 的面积当 最大时， 也最大， 内切圆的面积也最大． 设 ， ，则．由得 ， 解得，．所以．令 ，则，且 ，从而．令，则．当时，，在上单调递增，则有，从而，即当，时，有最大值，即得，这时所求内切圆的面积为，所以存在直线：，的内切圆的面积最大值为．34 (1) 令，，则，所以等价于求，的最大值．因为，的图象的对称轴为，结合函数图象可知故的最大值为．(2) 令，则，由恒成立可得，，．因为，所以，而，所以，即，所以．又时，，所以，结合可知二次函数的图象的顶点坐标为，所以，，所以．35 (1) 设椭圆方程为，由焦点坐标可得．由，可得，解得故椭圆方程为．(2) 设，，设的内切圆的径，则的周长为，．因此最大，就最大．由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，得则令，则，则当且仅当，时，，所以，这时所求内切圆面积的最大值为．36 (1) 若，令，在上为增函数，，，所以的值域为．(2) 实数，满足，则则，而，，所以，．由题意，，则，所以．又，即，所以，当且仅当时取等号．综上所述，的定义域为．(3)令，，在上恒成立，所以在上单调递增．又，，所以，所以．37 ，可设，则，，又，且，而指数函数是减函数，所以，即注：式“ ”当，时成立．同理，并结合式，得（当且仅当或时取“ ”）38 (1) 的最小正周期为，由，得．又由解得由，即，解得，所以．(2) 由的周期为及，得．令，由，得．如图所示，若在上有两个不同的解，则，所以方程当时恰好有两个不同的解，则，因此，实数的取值范围是．39 (1) 由已知，得．由在处取得极值，得，即，解得．经验证，得适合题意．(2) 由（1）知，．令，则．令，则．令，则．当时，，则函数在上为增函数；当时，，则函数在上为减函数，所以，即对任意，恒成立，即．由，得当时，由得．当时，以代换式中的，得．当时，，由得，，所以，从而函数在上为增函数，于是，当时，，即当时，．再由，得，则函数在上为增函数，所以当时，，即当时，，因此．40 (1) 不妨设的方程为，则的方程为．由得，从而．同理可得．直线的斜率为．由点斜式，得的方程为，即，从而直线过定点．又因为直线过，所以直线的方程为．由得．由弦长公式，得(2) 由（1），得，．由弦长公式，得于是令，则当且仅当时，面积的最大值为．。