数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)
新教材适用2023_2024学年高中数学第一章数列5数学归纳法课后训练北师大版选择性必修第二册
5 数学归纳法课后训练巩固提升1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步应验证().A.当n=1时,不等式成立B.当n=2时,不等式成立C.当n=3时,不等式成立D.当n=4时,不等式成立n的最小值为3,所以第一步应验证当n=3时,不等式成立,故选C.2.已知f(n)=1n +1n+1+1n+2+…+1n2,则().A.f(n)共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=12+13+14f(n)的最后一项的分母为n2,故f(2)=12+13+122,排除选项A,选项C.又f(n)=1n+0+1n+1+…+1n+(n2-n),所以f(n)的项数为n2-n+1.故选D.3.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1),从n=k到n=k+1,左边需要增乘的代数式为().A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1n=k时,等式左边为(k+1)(k+2)·…·(k+k),而当n=k+1时,等式左边为(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)·(k+3)·…·(k+k+2),前边少了一项(k+1),后边多了两项(k+k+1)(k+k+2),故增乘的代数式为(k+k+1)(k+k+2)k+1=2(2k+1).4.用数学归纳法证明1+12+13+…+12n-1<n(n∈N+且n>1)时,从n=k到n=k+1时,左端增加了项.n=k时左端有2k-1项,而当n=k+1时左端有2k+1-1项,所以左端增加2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2×2k-2k=2k项.k5.用数学归纳法证明122+132+…+1(n+1)2>12−1n+2(n∈N+).假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.132+…+1(k+1)2+1(k+2)2>12−1k+36.用数学归纳法证明“当n∈N+时,求证:1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”时,当n=1时,原式为;从n=k到n=k+1时需增添的项是.n=1时,原式应加到25×1-1=24,所以原式为1+2+22+23+24.从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+…+25(k+1)-1.+2+22+23+2425k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+47.用数学归纳法证明122+132+142+…+1n2<1-1n(n≥2,n∈N+).当n=2时,左边=122=14,右边=1-12=12.因为4<12,所以不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即122+132+142+…+1k2<1-1k,则当n=k+1时,122+132+142+…+1k2+1(k+1)2<1-1k+1(k+1)2=1-(k+1)2-kk(k+1)2=1-k2+k+1k(k+1)2<1-k(k+1)k(k+1)2=1-1k+1.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.。
第6章 数列与数学归纳法(6.4-6.8)
6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）． 当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1． 等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）．A ． n 为任何正整数时都成立B ． 仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2． 用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 ．4． 若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为 ． 5． 若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6． 利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证 ． 7． 数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 ． 8． 用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9． 用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=； （2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++； （3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10． 在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】 解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ， 证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。
数学练习题数列与数学归纳法练习题
数学练习题数列与数学归纳法练习题数学练习题：数列与数学归纳法练习题一、选择题1. 若数列 { an } 满足 a1 = 3 ，且an = an−1 + 2 ( n ≥ 2 ) ，则数列{ an } 的前 6 项和为：A) 33 B) 36 C) 39 D) 422. 对于数列 { an } ，若 a1 = 2 ，且 an+1 = an + 3 ，则数列 { an } 的通项公式为：A) an = n + 1 B) an = 2n + 1 C) an = 2n + 2 D) an = n + 23. 数列 { an } 的通项公式为 an = 2n + 1 ，则数列 { an } 的前 n 项和为：A) n(n+1) B) n(n+1)/2 C) n(n-1)/2 D) n(n-1)4. 若数列 { an } 满足 a1 = 1 ，且 an = a(n-1) + 2n ，则数列 { an } 的前 3 项和为：A) 18 B) 21 C) 24 D) 27二、填空题1. 若数列 { an } 满足 a1 = 1 ，且an = 2an−1 ，则数列 { an } 的通项公式为 _______。
2. 若数列 { an } 满足 a1 = 1 ，且an = (n+1)an−1 ，则数列 { an } 的通项公式为 _______。
3. 对于数列 { an } ，若 a1 = 3 ，且 an+1 = (n+2)an ，则数列 { an } 的通项公式为 _______。
4. 数列 { an } 的通项公式为 an = 3n + 1 ，则数列 { an } 的前 5 项和为 _______。
三、解答题1. 给定数列 { an } 的递推关系式为an = an−1 + 3 ，其中 a1 = 1 ，求数列 { an } 的前 5 项和。
解答：根据递推关系式可得：a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10a5 = a4 + 3 = 10 + 3 = 13因此，数列的前 5 项和为 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。
专题06 数列与数学归纳法【解析版】
专题6.数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ． D ．【答案】D 【解析】对于A ，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，，A 正确； 对于B ，由题意可知，，1212b S a a ==+， ∴，，，． ∴，．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得，B 正确； 对于C ，， 当时，，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，，．当时，，∴即24280b b b ->；当时，，∴即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________． 【答案】 【解析】 因为，所以． 即． 故答案为：.3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设，由于， 所以， 故1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ . 所以 .由于10,1d b >=，所以，所以. 即，.4．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q . 由，()5435a a a =-，可得d =1. 从而的通项公式为. 由，又q ≠0，可得，解得q =2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有， 和 ① 由①得 ②由①②得， 由于， 从而得：. 因此，.所以，数列的前2n 项和为.5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足24320,8a a a +==． （1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）100480S =. 【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）由于，所以 对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则1617314b b b ====，即有个； 对应的区间分别为：，则3233635b b b ====，即有个； 对应的区间分别为：，则64651006b b b ====，即有个.所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.一、单选题1．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（ ） A ．2016 B ．1528 C ．1504 D ．992【答案】C 【解析】因为， 所以，，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为 故选：C2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】已知为等比数列，，且， 满足，则S 3＝8． 故选：A ．3．（2020·浙江高三期中）在数列中，，对任意的，，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】因为对任意的，都有，所以令，则112+=⋅=n n n a a a a ， 因为，所以，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得n =5， 故选：C4．（2020·浙江杭州市·高一期末）设公差为d 的等差数列的前n 项和，若4228S S =+，则（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】因为4228S S =+， 所以， 所以， 即， 解得， 故选：B.5．（2019·浙江高二学业考试）已知数列是是正项等比数列，且，则的值不可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】数列是是正项等比数列，且，根据题意，数列是正项等比数列，设其公比为，则， 则且，求得，故的值不可能是， 故选．6．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等差数列的公差为正数，为常数，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 ，, 令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得 等差数列，，即()2111t t -=++，解得 则公差，所以. 故选：A7．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知数列满足，()11i i a a i +=+∈N ，则的值不可能是（ ） A ．2 B ．4 C ．10 D ．14【答案】B 【解析】由得()2221121i i i i a a a a +=+=++， 则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以，又，所以21200211a a a =++=，则，因为()11i i a a i +=+∈N ，，则，所以，则或，所以或；则或，所以或；则或或，所以或或；则或或，所以或或；……， 以此类推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21， 所以所有可能取的值为，，，，，，，，，，； 则所有可能取的值为，，，，，，，，，，， 即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B.8．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。
数列性质总结与练习(含答案)
a1 1 q n 1 q
a1 a1q n a1 a 1 q n A A B n A ' B n A ' ，系数和常数项是互为相 1 q 1 q 1 q
反数的类指数函数，底数为公比 q (2) 对任何 m，n N ，在等比数列 {an } 中，有 an amqnm ，特别的，当 m=1 时，便得到等比数列的通项
a a ； , , a, aq, aq 2 …（公比为 q ，中间项用 a 表示） 2 q q
8．等比数列的性质
(1) 当 q 1 时 ①等比数列通项公式 an a1q 比q ②前 n 项和 Sn
n 1
a1 n q A B n A B 0 是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公 q
首项： a1 ；公比： q
推广： an amqnm ， 3．等比中项
从而得 q n m
a an 或 q nm n am am
（1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： A ab 或 A ab
2
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列 an 是等比数列 an 2 an1 an1 4．等比数列的前 n 项和 Sn 公式： (1) 当 q 1 时， Sn na1 (2) 当 q 1 时， S n
5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N )
an 是等差数列．
（2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． （3）数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k , b 是常数）。 （4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) 7．提醒： （1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差，可设为…， a 2d , a d , a, a d , a 2d …（公差为 d ） ； ③偶数个数成等差，可设为…， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（注意；公差为 2 d ） 8．等差数列的性质： （1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公
数列求和汇总例题与答案)
数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn例1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。
解：2222222212345699100-+-+-+--+()()()()2222222221436510099=-+-+-++-()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+3711199=+++＋由等差数列的求和公式得()50503199S 50502＋＝＝ 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例3求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴S ＝44.52、求和：222222222222222101109293832921101++++++++++四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x解:原式=()nxx x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++n y y y 1112 =()yy y xx x n n1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =nn n n y y y x x x --+--++1111 练习：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n a a S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题一、选择题：1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ．C ．D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x 3、下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+． (D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．4、用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)25、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（ ） (A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ． (B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直． (C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交． (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．6、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）12)1(3++-=n nn a nn 12)3()1(++-=n n n a n n121)1()1(2--+-=n n a nn 12)2()1(++-=n n n a nn ⋯--,924,715,58,1A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－209、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a--+115 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 二、填空题：11、9、由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABCV V '''--=12、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是_______。
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数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.4. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求)1(lim -∞→n b n n ．5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的6. （1（27. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有n n pa p S p -=⋅-)1(（p 为大于1的常数），并记nn n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .（1）求n a ； （2）比较)1(+n f 与)(21n f pp ⋅+的大小*∈N n ； （3）求证：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足263521,10a a a a ⋅=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是()()11lg312n S n n n n =+--。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n b 是等比数列；（3）设n n n c a b =，试问数列{}n c 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。
9. 设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠(1) 求证:是等比数列;若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((231,11≥∈==+-n N n b f b a b n n 求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列,求n b .10. 已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；11. 组13T =-（1（2（312. 23010S （Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
13. 设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x n x f -=,[n a x ∈]1+n a满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根。
（1）试写出)(1x f y =，并求出2a ；（2）求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式；（3）设n n n a a a a a S 14321)1(--++-+-= ，求n S 。
14.2的等(Ⅰ15. A 口)时，在B （1)的关（2）n S16. 已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4.（1）求λ的值；（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；（3）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2n T 与S n 的大小.17. 定义：若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，12a =，且2122n nn a a a +=+，其中n 为正整数． (1)设21n n b a =+，证明：数列{}n b 是“平方递推数列”，且数列{lg }n b 为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列” {}n b 的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++，求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式；(3)记21log n n a n c T +=，求数列{}n c 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值．18.C 2 （ A C （19. （1 （220. 已知数列{a n }中，a 11=，a a a n n n =+--111（n ＝2，3，4，…） （I ）求a a 23、的值；（II ）证明当n ＝2，3，4，…时，2132n a n n -<≤-21. 已知等差数列{an }中，a S n38=，是其前n项的和且S20610=（I）求数列{an}的通项公式。
（II）若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来的顺②11a…1(24. 已知f(x)=log2(x+m),m∈R（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。
25. 已知等差数列{a n }的公差d>0.S n 是它的前n 项和，又441S 与661S 的等比中项是117+a ，441S 与661S 的等差中项是6，求a n 。
26. {a 3，…，}n b27. x 轴设1x （I （（答案：1. 解：①由条件可得11112P a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,代入2(0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=②12n n S a a a =+++ ∴1111()2n n n n P S a ++++；代入曲线2(0)y x y =≥并整理得2113142n n n S a a ++=-,∴于是当*2,n n N ≥∈时,221113131()()4242n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+⋅-*1120,(2,)3n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去）；2123a a ∴-=,故 *12()3n n a a n N +-=∈ ∴所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列, 23n a n =。
2. 2221n n ab + （因为0,n n a b >1n n b +，从而当1n b -，代入式（1）得1n n b b b -=+是等差数列．（223,a b ==从而111111221...21223111n n S n n n n ⎢⎥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3. 解：（Ⅰ）11186,265666224n a d a d a d a n d+=⎧⎪⇒==⎨⋅+=⎪⎩∴=+（Ⅱ）2211(1)1)(24)12n n b n a n n n n ===-+++++（， 121111111123344512n n T b b b n n =+++=-+-+-++-++， =1122n -+ 而1122n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是递增数列 ， 1111236n T T ∴≥=-=≥16. 4. （1而 ∴ ∴ （ ∴ 为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ， ∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．5. (Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1=23na += a n 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n =23，即a 1 = a n =23(Ⅱ)研究a n +1－a n =23n a +－231-+n a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---2323211n n n n a a a a (n ≥2)注意到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-232321n n a a >0 因此，可以得出：a n +1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a n －2，…，a 2－a 1有相同的符号7’(6. （1令∵t f ('∴另令t g 2t∴g(t)在),1(+∞上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴tt 11ln -> 综上得xx x x 11ln 11<+<+ （2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得112111ln 23ln 12ln 13121-+++<-+++<+++n n n n即得11211ln 13121-+++<<+++n n7. (1)易求得nn p a =（2）nn n n n nn n n p p p S a C a C a C n f -⋅+⋅-=⋅⋅++⋅+⋅+=11)21(2121)(2211 作差比较易得：)(21)1(n f pp n f +<+ （3由（∑-=-⎥⎦⎤+∴12112)21n i n p p f 再证f f )1( 而(1-)(211)21)(1(211)21(12(n f p p p p p p p p f nn n n =-+-=-⋅+⋅-=∴同理：)(2)22()2(n f n f f >-+，)(2)32()3(n f n f f >-+，……，)(2)1()12(n f f n f >+-以上各式相加得：[])()12(2)12()2()1(2n f n n f f f ->-+++即)()12()(121n f n i f n i ->∑-=.8. （1）263510a a a a +=+=，又2621a a ⋅=2637a a =⎧∴⎨=⎩ 或 2673a a =⎧⎨=⎩若2673a a =⎧⎨=⎩，则9n a n =-，101a =-与0n a >矛盾；（2） （3）1kk c c -≥⎩∴数列{}n c 有最大项，最大项是78998110c c ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭。