高一函数的单调性-基础练习题含答案教学文案
高一上学期《函数单调性的证明》练习题
高一上学期《函数单调性的证明》练习题LT高一上学期《函数单调性的证明》练习题1．函数y=f（x）对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，当x＞0时，f （x）＞1，且f（3）=4，则（）A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3 B．f（x）在R上是增函数，且f（1）=3 C．f（x）在R上是减函数，且f（1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2 2．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（x）＜0（x＞0）．试判断F（x）=在（0，+∞）上的单调性并给出证明过程．3．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f（x）=在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第2页（共16页）4．已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f （x）＜0，f（1）=﹣．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．5．函数f（x）对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（Ⅰ）求证：f（x）是R 上的增函数；（Ⅱ）若f（﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第3页（共16页）高一上学期《函数单调性的证明》练习题第4页（共16页）高一上学期《函数单调性的证明》练习题第5页（共16页）（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；（3）解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．10．定义在R上的函数 y=f（x）对任意的x，y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f （y）﹣2，且当x＞0时，f（x）＞2（1）求f（0）的值；（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；（3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第6页（共16页）11．已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x）•f（y）=f（x+y）．（1）求f（0）的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；（2）设当x＜0时，都有f（x）＞f（0），证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第7页（共16页）高一上学期《函数单调性的证明》练习题第8页（共16页）高一《函数单调性的证明》练习题参考答案与试题解析1．函数y=f （x ）对于任意x 、y ∈R ，有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1，当x ＞0时，f （x ）＞1，且f （3）=4，则（ ）A ．f （x ）在R 上是减函数，且f （1）=3B ．f （x ）在R 上是增函数，且f （1）=3C ．f （x ）在R 上是减函数，且f （1）=2D ．f （x ）在R 上是增函数，且f （1）=2【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由f （3）=f （1）+f （2）﹣1=f （1）+f （1）+f （1）﹣1﹣1=4，解出f （1）．【解答】解：设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2+x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣1﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1＞1﹣1=0，即f （x 1）＞f （x 2）， ∴f （x ）为增函数．又∵f （3）=f （1）+f （2）﹣1=f （1）+f （1）+f （1）﹣1﹣1=3f （1）﹣2=4，∴f （1）=2．故选：D ．2．已知函数y=f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （x ）＜0（x ＞0）．试判断F （x ）=在（0，+∞） 上的单调性并给出证明过程．【分析】首先，设x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，然后根据函数f （x ）的单调性进行证明即可．【解答】解：函数F （x ）=为（0，+∞）上减函数，证明如下：任设x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，∵y=f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∴f （x 1）＜f （x 2），f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，高一上学期《函数单调性的证明》练习题第9页（共16页）F （x 1）﹣F （x 2）=﹣=，∵f （x 1）＜f （x 2），∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，∵f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，∴f （x 1）•f（x 2）＞0，∴F （x 1）﹣F （x 2）＞0， 即F （x 1）＞F （x 2），则F （x ）为（0，+∞）上的减函数．3．已知函数y=f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （x ）＜0（x ＞0），试判断f （x ）=在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．【分析】首先，设x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，然后，比较大小，从而得到结论．【解答】解：函数为（0，+∞）上增函数，证明如下：任设x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，∵y=f （x ）在（0，+∞）上为减函数，∴f （x 1）＞f （x 2），f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，=，∵f （x 1）＞f （x 2），∴f （x 2）﹣f （x 1）＜0，∵f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，∴f （x 1）•f（x 2）＞0，∴g （x 1）﹣g （x 2）＜0，∴为（0，+∞）上的增函数．4．已知函数f （x ）对任意x ，y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且当x ＞0时，f高一上学期《函数单调性的证明》练习题第10页（共16页）（x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求f （0）；（2）求证：f （x ）在R 上是减函数；（3）求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．【分析】（1）令x=y=0⇒f （0）=0；（2）令y=﹣x 即可证得f （﹣x ）=﹣f （x ），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f （x ）是R 上的减函数；（3）利用f （x ）在R 上是减函数可知f （x ）在[﹣3，3]上也是减函数，易求f （3）=﹣2，从而可求得f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）令x=y=0，则f （0）=0；（2）令y=﹣x ，则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0，又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，由定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．（3）∵f （x ）在R 上是减函数，∴f （x ）在[﹣3，3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f （1）=f （1）+f （1）+f （1）=3×（﹣）=﹣2，由f （﹣x ）=﹣f （x ）可得f （﹣3）=﹣f （3）=2，故f （x ）在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．5．函数f （x ）对任意a ，b ∈R ，有f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1，且当x ＞0时，f （x ）＞1．（Ⅰ）求证：f （x ）是R 上的增函数；（Ⅱ）若f （﹣4）=5，解不等式f （3m 2﹣m ﹣3）＜2．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第11页（共16页）【分析】（Ⅰ）设实数x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，利用已知可得f （x 2﹣x 1）＞1．再利用已知可得f （x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1＞1+f （x 1）﹣1=f （x 1）即可；（Ⅱ）令a=b=﹣2，以及a=b=﹣1，解得f （﹣2）=3，f （﹣1）=2，不等式f （3m 2﹣m ﹣3）＜2．化为f （3m 2﹣m ﹣3）＜f （﹣1），由（1）可得：f （x ）在R 上是增函数．可得3m 2﹣m ﹣3＜﹣1，解得即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＞1，∴f （x 2﹣x 1）＞1．又函数f （x ）对任意a ，b ∈R 都有f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1，∴f （x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1＞1+f （x 1）﹣1=f （x 1），∴f （x 2）＞f （x 1），∴f （x ）在R 上是增函数；（Ⅱ）令a=b=﹣2，则f （﹣2﹣2）=f （﹣2）+f （﹣2）﹣1=5，解得f （﹣2）=3， 再令a=b=﹣1，则f （﹣1﹣1）=f （﹣1）+f （﹣1）﹣1=3，解得f （﹣1）=2．不等式f （3m 2﹣m ﹣3）＜2．化为f （3m 2﹣m ﹣3）＜f （﹣1）．由（1）可得：f （x ）在R 上是增函数．∴3m 2﹣m ﹣3＜﹣1，解得﹣＜m ＜1．∴不等式f （3m 2﹣m ﹣3）＜2的解集为（﹣，1）．6．函数f （x ）对任意的a ，b ∈R ，都有f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1，并且当x ＞0时，f （x ）＞1．（1）求证：f （x ）是R 上的增函数；（2）若f （4）=5，解不等式f （3m 2﹣m ﹣2）＜3．【分析】（1）先任取x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0．由当x ＞0时，f （x ）＞1．得到f （x 2﹣x 1）＞1，再对f （x 2）按照f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1变形得到结论．（2）由f （4）=f （2）+f （2）﹣1求得f （2）=3，再将f （3m 2﹣m ﹣2）＜3转化为f （3m 2﹣m ﹣2）＜f （2），由（1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：（1）证明：任取x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第12页（共16页）∴f （x 2﹣x 1）＞1．∴f （x 2）=f[x 1+（x 2﹣x 1）]=f （x 1）+f （x 2﹣x 1）﹣1＞f （x 1）， ∴f （x ）是R 上的增函数．（2）∵f （4）=f （2）+f （2）﹣1=5，∴f （2）=3．∴f （3m 2﹣m ﹣2）＜3=f （2）．又由（1）的结论知，f （x ）是R 上的增函数，∴3m 2﹣m ﹣2＜2，3m 2﹣m ﹣4＜0，∴﹣1＜m ＜．7．函数f （x ）对任意的a 、b ∈R ，都有f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1，并且当x ＞0时，f （x ）＞1．（1）求证：f （x ）是R 上的增函数；（2）若f （2）=3，解不等式f （m ﹣2）＜3．【分析】（1）先任取x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0．由当x ＞0时，f （x ）＞1．得到f （x 2﹣x 1）＞1，再对f （x 2）按照f （a+b ）=f （a ）+f （b ）﹣1变形得到结论．（2）由f （2）=3，再将f （m ﹣2）＜3转化为f （m ﹣2）＜f （2），由（1）中的结论，利用单调性求解．【解答】解：（1）证明：任取x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0．∴f （x 2﹣x 1）＞1．∴f （x 2）=f[x 1+（x 2﹣x 1）]=f （x 1）+f （x 2﹣x 1）﹣1＞f （x 1），∴f （x ）是R 上的增函数．（2）∵f （2）=3．∴f （m ﹣2）＜3=f （2）．又由（1）的结论知，f （x ）是R 上的增函数，m ﹣2＜2，m ＜4高一上学期《函数单调性的证明》练习题第13页（共16页）∴解不等式f （m ﹣2）＜3的解集为：（﹣∞，4）．8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+1，②当x ＞0时，f （x ）＞﹣1；（Ⅰ）求：f （0）的值，并证明f （x ）在R 上是单调增函数；（Ⅱ）若f （1）=1，解关于x 的不等式；f （x 2+2x ）+f （1﹣x ）＞4．【分析】（Ⅰ）根据已知条件中，：①f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+1，②当x ＞0时，f （x ）＞﹣1；令x=y=0，即可求出f （0）的值，在R 上任取x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，根据f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]，结合已知条件，即可判断函数的单调性；（Ⅱ）若f （1）=1，则我们易将关于x 的不等式；f （x 2+2x ）+f （1﹣x ）＞4化为f （x 2+x+1）＞f （3），结合（I ）的结论，可将原不等式化为一个一元二次不等式，进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=0∵f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+1，∴f （0）=f （0）+f （0）+1∴f （0）=﹣1，在R 上任取x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，∵当x ＞0时，f （x ）＞﹣1， ∴f （x 1﹣x 2）＞﹣1则f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]，=f （x 1﹣x 2）+f （x 2）+1＞f （x 2），∴f （x ）在R 上是单调增函数．（Ⅱ）由f （1）=1得：f （2）=3，f （3）=5，则关于x 的不等式；f （x 2+2x ）+f （1﹣x ）＞4可化为 关于x 的不等式；f （x 2+2x ）+f （1﹣x ）+1＞5，即关于x 的不等式；f （x 2+x+1）＞f （3），由（Ⅰ）的结论知f （x ）在R 上是单调增函数，故x 2+x+1＞3，解得：x ＜﹣2或x ＞1，高一上学期《函数单调性的证明》练习题第14页（共16页）故原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．9．定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 、y ∈R ，满足条件：f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1，且当x ＞0时，f （x ）＞1．（1）求f （0）的值；（2）证明：函数f （x ）是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式f （2t 2﹣t ）＜1．【分析】（1）用赋值法分析：在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1中，令x=y=0可得：f （0）=f （0）+f （0）﹣1，解可得f （0）的值，即可得答案；（2）用定义法证明：设x 1＞x 2，则x 1=x 2+（x 1﹣x 2），且（x 1﹣x 2）＞0，结合题意可得f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]=f （x 2）+f （x 1﹣x 2）﹣1，作差可得f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1，分析可得f （x 1）﹣f （x 2）＞0，由增函数的定义即可得证明；（3）根据题意，结合函数的奇偶性与f （0）=1可得2t 2﹣t ＜0，解可得t 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣1中，令x=y=0可得：f （0）=f （0）+f （0）﹣1，解可得：f （0）=1，（2）证明：设x 1＞x 2，则x 1=x 2+（x 1﹣x 2），且x 1﹣x 2＞0，则有f （x 1）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]=f （x 2）+f （x 1﹣x 2）﹣1， 即f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1， 又由x 1﹣x 2＞0，则有f （x 1﹣x 2）＞1， 故有f （x 1）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）﹣1＞0， 即函数f （x ）为增函数；（3）根据题意，f （2t 2﹣t ）＜1， 又由f （0）=1且函数f （x ）为增函数， 则有2t 2﹣t ＜0， 解可得0＜t ＜．10．定义在R 上的函数 y=f （x ） 对任意的x ，y ∈R ，满足条件：f （x+y ）=f （x ）+f高一上学期《函数单调性的证明》练习题第15页（共16页）（y ）﹣2，且当x ＞0时，f （x ）＞2（1）求f （0）的值；（2）证明：函数f （x ）是R 上的单调增函数；（3）解不等式f （2t 2﹣t ﹣3）﹣2＜0．【分析】（1）由题意 y=f （x ） 对任意的x ，y ∈R ，关系式成立，采用赋值法，可得f （0）的值；（2）利用定义证明其单调性．（3）利用单调性及f （0）的值，求解不等式即可．【解答】解：由题意：函数 y=f （x ）定义在R 上 对任意的x ，y ∈R 满足条件：f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2，∴令x=y0，由f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2，可得：f （0）=f （0）+f （0）﹣2， 解得：f （0）=2． 故f （0）的值为：2．（2）证明：设x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ， 则x 2﹣x 1＞0，由（1）可得f （x 2﹣x 1）＞2．因为对任意实数任意的x ，y ∈R ，都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）﹣2，所以f （x 2）=f （x 2﹣x 1+x 1）=f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣2＞f （x 1）所以函数f （x ）是R 上的单调增函数．（3）解：由（1）（2）可知函数f （x ）是R 上的单调增函数．且f （0）=2；不等式f （2t 2﹣t ﹣3）﹣2＜0，变形得f （2t 2﹣t ﹣3）＜2，转化为f （2t 2﹣t ﹣3）＜f （0）．故得：2t 2﹣t ﹣3＜0解得：，所以原不等式的解集是（﹣1，）．高一上学期《函数单调性的证明》练习题第16页（共16页）11．已知f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x ，y ∈R 都满足f （x ）•f（y ）=f （x+y ）．（1）求f （0）的值，并证明对任意的x ∈R ，有f （x ）＞0；（2）设当x ＜0时，都有f （x ）＞f （0），证明：f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数．【分析】（1）令x=y=0，代入f （x ）•f（y ）=f （x+y ）即可得到f （0）的方程，解之即可求得f （0），再有x=+，即可证得对任意的x ∈R ，有f （x ）＞0；（2）设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．【解答】解：（1）可得f （0）•f（0）=f （0）∵f （0）≠0∴f （0）=1又对于任意又，∴f （x ）＞0（2）设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=f[（x 1﹣x 2）+x 2]﹣f （x 2）=f （x 2）[f （x 1﹣x 2）﹣1]∵x 1﹣x 2＜0∴f （x 1﹣x 2）＞f （0）=1∴f （x 1﹣x 2）﹣1＞0对f （x 2）＞0∴f （x 2）f[（x 1﹣x 2）﹣1]＞0∴f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在R 上是减函数。
函数单调性的习题及答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x=是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x )∵x 2＞x 1≥1，x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数单调性练习(附 答案)
函数单调性一． 填空题 1. 函数()12x f x x -=+的单调递增区间是__________________. 2. 函数()232f x x x =-+的单调递减区间是__________________.3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是_________.5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.7. 已知()()()()23411a x a x f x xx --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上增函数，那么a 的取值范围是______.8. 函数()12||1f x x =+-的递增区间是______________.9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________.10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) 11. 已知函数()f x =[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .二． 选择题13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ ）A . ()12y x =- B . ()21y x =-+ C . 1xy x=- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（ ）A .a b <B . a b >C . a b <D . 0a b ≤<或0a b >≥15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( )A .增函数且最小值是5-B .增函数且最大值是5-C .减函数且最大值是5-D .减函数且最小值是5-16. 函数()f x =--------------------------------------------------------------------------（ ）A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减三． 解答题17. 试讨论函数()f x =在区间[]1,1-上的单调性．18. 已知函数()()211f x x =-（1） 用单调性定义证明：()f x 在(（2） 作出函数()f x 的大致图象.19. 已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．函数单调性(答案)一. 填空题 1. 函数()12x f x x -=+的单调递增区间是__________________.()(),2,2,-∞--+∞ 2. 函数()232f x x x =-+的单调递减区间是__________________.(]3,1,,22⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.[)2,+∞4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是_________. 增函数5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.减函数 增函数6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.()(]2,02,5-7. 已知()()()()23411a x a x f x xx --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上增函数，那么a 的取值范围是______.2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭8. 函数()12||1f x x =+-的递增区间是______________.()(),1,1,0-∞--9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________. ()(),22,-∞-+∞10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) > 11. 已知函数()f x =[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.02a <≤12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .[)3,+∞二. 选择题13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ C ）A . ()12y x =- B . ()21y x =-+ C . 1xy x=- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（C ）A .a b <B . a b >C . a b <D . 0a b ≤<或0a b >≥15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( A )A .增函数且最小值是5-B .增函数且最大值是5-C .减函数且最大值是5-D .减函数且最小值是5-16. 函数()f x =--------------------------------------------------------------------------（ B ）A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减三. 解答题17. 试讨论函数()f x =在区间[]1,1-上的单调性．.解： 设[]12,1,1x x ∈-，且12x x <．()()12f x f x -=2211x x ---==∵ x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴ 当210x x >>时，120x x +>，那么()()12f x f x >．当210x x >>时，120x x +<，那么()()12f x f x <．故()f x =[]1,0-上是增函数，在区间[]0,1上是减函数．18. 已知函数()()211f x x =-（3） 用单调性定义证明：()f x 在(-∞（4） 作出函数()f x 的大致图象. 解：（1）设121x x <<， ()()12f x f x -=所以()f x 在(),1-∞上为增函数19. 已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.解：设122x x <<，由()()()()221221121212121212120x a x a x x x x af x f x x x a x x x x x x x x ++---=-=-+=-<恒成立．即当122x x <<时，12x x a >恒成立．又124x x >，所以04a <≤．20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=，∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，即不等式的解集为⎛ ⎝⎭．。
函数单调性的习题及答案
函数的单调性（一）一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥310．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
苏教版必修一2.4数学函数概念的单调性(学案含答案).doc
2.4函数的单调性一、考点突破1. 如何求解函数的单调区间；2. 利用函数的单调性求参数的取值范围。
二、重难点提示重点：求函数的单调区间。
难点：1. 从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2. 带参函数的最值问题，如何对参数进行讨论。
增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数。
当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数。
图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的注意1. 如果函数)(xfy=在区间D上是单调递增函数或单调递减函数（两者只能居其一），那么就说函数)(xfy=在区间D上具有单调性。
2. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
3. 函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质。
【方法提炼】判断函数)(xfy=单调性的基本方法——定义法①设元，任取Dxx∈21,，且21xx<；②作差)()(21xfxf-；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差)()(21x f x f -的正负）； ⑤下结论。
（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）示例 已知a >0，函数f （x ）＝x ＋ax （x >0），证明函数f （x ）在（0，a ）上是减函数，在（a ，＋∞）上是增函数。
思路分析：可利用定义法讨论函数的单调性。
用定义法证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→确定符号→下结论。
答案：证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝)()(2211x ax x a x +-+＝x 1－x 2x 1x 2（x 1x 2－a ）。
当0<x 1<x 2<a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， ∴0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >，∴函数)(x f 在（0，a ）上是减函数。
必修一函数的单调性1(含答案)
函数（一）单调性一、 基础知识1、 增函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 叫做函数的增区间。
2、 减函数：设函数()f x 的定义域为I,如果对于I 内某个区间D 的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 叫做函数的减区间。
3、 单调性：如果函数()f x 在区间D 上式增函数或者减函数，那么就是函数()f x 在这一区间上具有单调性，区间D 叫做函数的单调区间。
4、 单调区间：指的是函数具有单调性的最大取值区间。
5、证明单调性的步骤：做差→变形→判号→得结论。
6、单调函数的组合：某两个单调函数在同一区间内的加减后所得函数单调性增函数+ 增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数—减函数=增函数，减函数—增函数=减函数奇函数⨯奇函数=偶函数，偶函数⨯偶函数=偶函数奇函数⨯偶函数=奇函数二、习题精练1、（1）证明函数2()f x x x =+在)+∞上递增 （2）证明函数2()f x x x=-在()0,+∞上递增。
2、（1）找出函数223y x x =-++的增区间 （2）找出223y x x =-++的减区间3、（1）函数[)2()485,f x x kx =--+∞在区间上单调递增，求实数k 的取值范围。
（2）函数[)2()485,f x x kx =--+∞的增区间为，求实数k 的取值范围。
4、（1）已知函数{22,12,1()x ax x ax x f x -+<+≥=是R 上的增函数，求a 的范围 （2）已知函数{2(4),2416,2()x a x x ax x f x -<+-≥=是R 上的增函数，求a 的范围5、求函数21y x =-6、 已知函数()y f x =在区间(0,)+∞单调递减，请填空。
(word完整版)高中数学函数的单调性练习题及其答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
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高一函数的单调性-基础练习题含答案
人教A 版高中数学必修一第一章 《1.3函数的基本性质》练习题1
1.3.1函数的单调性
[基础练习]
1．判断1)(2-=x x f 在（0，+∞）上是增函数还是减函数
2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，0）上是增函数还是减函数
3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A ）y=
x 1 （B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x 4． 函数y=
x
1-1的单调 递 区间为 5．证明函数 f （x ）=-2x +x 在（2
1，+∞）上为减函数
[巩固练习]
1．已知f （x ）=（2k+1）x+1在（-∞，+∞）上是减函数，则（ ）
（A ）k ＞21 （B ）k ＜21 （C ）k ＞-21 （D k ＜-2
1 2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ）
（A ）y=2x+1 （B ）y=32x +1 （C ）y=x
2 （D ） y=32x +x +1 3．若函数f （x ）=2x +2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上为增函数，则实数a 的
取值范围是 （ ）
（A ） a ≤ -3 （B ）a ≥-3 （C ）a ≤ 3 （D ）a ≥3
4．如果函数f （x ）是实数集R 上的增函数，a 是实数，则 （ ）
（A ）f （2a ）＞f （a+1） （B ）f （a ）＜ f （3a ）
（C ）f （2a +a ）＞f （2a ） （D ）f （2a -1）＜f （2a ）
5．函数y=1
1+x 的单调减区间为 6．函数y=1+x +x -2的增区间为 减区间为
7．证明：21)(x x f =
在（0，+∞）上是减函数
[能力提高]
1．证明函数x
x x f 1)(+
=在（0，1）上是减函数
2．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t 都有)5()5(t f t f -=+，那么f （—1），f （9），f （13）的大小关系是
3．若f （x ）是定义在[]1,1-上的减函数，f （x-1）＜f （2x -1），求x 的取值范围
答案
[基础练习]
1、增
2、增
3、B
4、减，()0,∞-和()+∞,0
5、略
[巩固练习]
1、D
2、C
3、A
4、D
5、()1,-∞-和()+∞-,1
6、[)+∞,2，
(]1,-∞- 7、略 [能力提高]
1、略
2、f(9)＜f(—1)＜f(13)
3、（0，1）。