复变函数6.3 辐角原理及其应用
复变函数 课程教学大纲
复变函教课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：信息与计算科学本科专业课程代码：15E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：数学分析，高等代数后续课程：毕业综合训练二、课程性质与任务复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。
这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。
开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。
三、教学目的与要求通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
四、教学内容与安排第一章复数与复变函数（6学时）1.1复数复数域,复数的乘辕与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点第二章解析函数（10学时）2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。
第三章复变函数积分（10学时）3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。
3.4解析函数与调和函数的关系，解析函数的定义，调和函数的定义。
第四章解析函数的塞级数表示法（10学时）4.1复级数的基本性质，复数项级数的定义、收敛性，一致收敛的复函数项级数，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。
4.2'幕级数，Abel定理，和函数的解析性。
三角函数的幅角与辐角利用幅角与辐角解决三角函数问题的方法与技巧
三角函数的幅角与辐角利用幅角与辐角解决三角函数问题的方法与技巧三角函数是数学中的重要概念，在解决各类几何和物理问题中经常出现。
在理解和应用三角函数时，了解幅角和辐角的概念以及如何利用它们解决问题是很重要的。
幅角是指以正余弦函数作为一周期的函数时，某一点到与之相对应的起始点所形成的角度。
在单位圆中，该起始点通常是圆的原点，并且幅角可以通过三角函数的x、y坐标来确定。
对于一个给定的角度θ，幅角可以通过tan(θ) = y/x来计算出来。
幅角的范围是从0到2π，表示一个完整的周期。
辐角是指当一个特定的角度表示在平面直角坐标系中时，所形成的角度。
辐角通常表示为一个弧度值，正弧度在数学中定义为逆时针旋转而负弧度定义为顺时针旋转。
辐角的范围通常是从-π到π，表示半个周期。
对于特定的三角函数问题，我们可以利用幅角和辐角来解决。
以下是一些方法和技巧可以帮助我们在解决问题时应用幅角和辐角：1. 利用幅角解决三角函数等式：当给定一个三角函数等式时，我们可以将等式两边的函数值用幅角表示，并比较它们的实部和虚部。
通过对比实部和虚部，我们可以得到一些关于角度的等式，从而解决问题。
2. 利用幅角化简复杂的三角函数表达式：有时候我们会遇到复杂的三角函数表达式，难以计算或者简化。
通过将幅角转化为特定的角度范围（如[0, 2π]或[-π, π]），我们可以将三角函数表达式转化为更简单的形式，从而方便计算和分析。
3. 利用辐角在平面坐标系中解决几何问题：当涉及到几何问题时，我们可以将辐角从单位圆转化为在平面直角坐标系中进行计算。
通过将辐角转化为特定的弧度值，并结合坐标系的旋转和平移操作，我们可以更直观地解决几何问题。
4. 利用幅角和辐角求解三角函数的解集：在求解三角函数的解集时，我们可以利用幅角和辐角的周期性属性，得到一组满足特定条件的角度。
通过考虑幅角的周期性和辐角的范围，我们可以得到三角函数的解集。
综上所述，幅角和辐角是我们在解决三角函数问题时非常重要的概念。
(完整)《复变函数》练习题
(完整)《复变函数》练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)《复变函数》练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
高二数学三角函数的幅角与辐角
高二数学三角函数的幅角与辐角三角函数是数学中的重要分支，掌握好三角函数的幅角与辐角概念对于高中数学学习至关重要。
本文将介绍三角函数的幅角与辐角的概念及其在解题中的应用。
一、幅角的定义及性质在复数的幅角中，我们可以将其用三角函数来表示。
幅角的定义是指一个复数与正实轴之间的夹角，在数学中一般用θ 来表示。
根据幅角的定义，可以得到以下性质：1. 幅角的范围为 (-π, π]，即从负半轴到正半轴，包含负半轴但不包含正半轴。
2. 幅角相差2π 的复数表示同一个点，即幅角相差2π 的复数代表同一个有向角。
二、辐角的定义及性质与幅角相对应的是辐角的概念。
辐角是指在二维平面上，从横轴正方向逆时针旋转到与向量所在直线重合的角度。
辐角通常用α 来表示。
与幅角相对应，我们可以得到以下性质：1. 辐角的范围是[0, 2π)，即从横轴正方向出发逆时针旋转到第一象限的角度。
2. 辐角相差2π 的复数表示同一个点。
三、幅角与辐角的转换在具体的计算中，我们经常需要进行幅角与辐角之间的转换。
幅角与辐角之间的转换可以通过以下公式来实现：1. 幅角θ = 辐角α (mod 2π)，即幅角与辐角相等，当两者模2π 后相等。
2. 辐角α = 幅角θ + k × 2π，其中 k 为整数，表示辐角与幅角之间的差距。
四、幅角与辐角在解题中的应用幅角与辐角在解题中常常用于计算角度、求解方程等方面。
以解三角方程为例，我们可以利用幅角与辐角的知识来求解。
例如，对于方程sinθ = 1/2，我们可以利用sinθ = 1/2 的图像在单位圆上求解。
根据sinθ = y 的定义，我们可以得到两个解：θ = π/6 和θ =5π/6。
这两个解即为幅角，我们可以通过转换公式将其转换为辐角来表示。
除了解三角方程外，在解决三角函数图像变换、复数运算等问题时，幅角与辐角的概念也起到了重要的作用。
综上所述，高二数学中的三角函数的幅角与辐角是相互关联的。
幅角是复数与正实轴之间的夹角，辐角是二维平面上从横轴正方向旋转到向量所在直线的角度。
复变函数-幅角原理及其应用
f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一方面
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
dCdz来自[lnf(z)]dz
1
arg P iy n
y( Z )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。
例4 证明多项式 g(z) z4 3z+1 的全部4个零点都位 于 z 2 内。 例5 证明: 满足条件 at | a0 | | a1 | L | at1 | | at1 | | an|
4
8
在自动控制中，一些技术的稳定性归结为要求常系 数线性微分方程解的稳定性，而这类问题要求该方 程的特征多项式
P z a0zn a1zn1 L an
高考数学知识点速记留数定理与辐角原理
高考数学知识点速记留数定理与辐角原理在高考数学的众多知识点中，留数定理与辐角原理无疑是较为复杂和抽象的部分。
但只要我们掌握了其核心概念和方法，就能在解题中如鱼得水。
首先，我们来了解一下什么是留数。
留数是复变函数中的一个重要概念。
对于一个在孤立奇点处解析的函数，其留数可以通过特定的公式计算得出。
留数在计算复变函数的积分时有着极其重要的作用。
留数定理则是联系函数在孤立奇点处的留数与沿闭合曲线的积分之间的重要定理。
简单来说，如果我们有一个在某个区域内除了有限个孤立奇点外处处解析的函数，那么沿该区域内的一条闭合曲线的积分，就等于函数在这些孤立奇点处的留数之和乘以2πi 。
这个定理为我们计算一些复杂的积分提供了非常有效的方法。
为了更好地理解留数定理，我们来看一个例子。
假设我们要求函数f(z) ＝ 1 ／（z^2 ＋ 1) 在｜z| ＝ 2 上的积分。
首先，我们需要求出函数的孤立奇点。
通过求解方程 z^2 ＋ 1 ＝ 0 ，得到 z ＝ ±i 。
接下来，计算这两个奇点处的留数。
对于 z ＝ i ，留数为 1 ／（2i) ；对于 z ＝i ，留数为－1 ／（2i) 。
然后根据留数定理，沿｜z| ＝ 2 的积分就等于2πi × 1 ／（2i) 1 ／（2i) ＝ 0 。
接下来，我们再谈谈辐角原理。
辐角原理主要涉及到函数的零点和极点与函数沿闭合曲线的辐角变化之间的关系。
具体来说，如果函数 f(z) 在某个区域内除了有限个零点和极点外处处解析，并且闭合曲线 C 不经过这些零点和极点，那么函数 f(z) 沿 C的辐角变化等于2π乘以函数在 C 内部的零点个数减去极点个数。
比如说，对于函数 f(z) ＝（z 1)（z 2) ／（z 3)（z 4) ，我们要计算它沿｜z| ＝ 5 的辐角变化。
首先求出函数的零点为 z ＝ 1 和 z ＝ 2 ，极点为 z ＝ 3 和 z ＝ 4 。
然后判断这些点与｜z| ＝ 5 的关系，发现它们都在｜z| ＝ 5 的内部。
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
（2）设 b 为 f(z)的 m 阶极点，则 b 必为函数 的一阶极点，并且
3
3.（定理 对数留数定理）：设 C 是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在 C 的内部是亚纯的； （2）f(z)在 C 上解析且不为零。 则有
注 1：当条件更改为：（1）f 在 Int(C)+C 上解析；（2）C 上有 f≠0，有 ，即
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
复数辐角运算
复数辐角运算一、引言复数在数学、工程和科学中具有广泛的应用。
复数辐角运算作为复数运算的一个重要部分，对于理解复数的本质和应用具有重要意义。
本文将详细介绍复数辐角运算的基本概念、性质和应用。
二、复数辐角运算的基本概念复数辐角是复平面上一个向量与正实轴之间的夹角，通常表示为θ。
在数学中，我们使用三角函数来表示这个角度，即cosθ = a/c和sinθ = b/c，其中a 和b分别是复数的实部和虚部，c是复数的模长。
复数辐角运算主要包括求辐角、加法辐角、减法辐角、乘法辐角和除法辐角等。
这些运算可以通过三角函数的性质和复数的性质进行计算。
例如，乘法辐角可以通过乘法分配律进行计算，除法辐角可以通过倒数和共轭复数的性质进行计算。
三、复数辐角运算的性质1.辐角具有周期性，即θ + 2πk = θ，其中k是整数。
这是因为正弦和余弦函数具有周期性，因此它们的角度也具有周期性。
这个性质在复数运算中非常重要，因为它意味着在进行辐角运算时，我们不需要考虑除整数倍的2π以外的任何角度。
2.辐角具有奇偶性，即奇数次幂的辐角与原辐角相同，偶数次幂的辐角是原辐角的两倍。
这个性质说明，在计算复数幂的辐角时，我们可以通过将指数除以2来简化计算。
3.乘法和除法的辐角满足分配律和结合律，即(a+b)c=ac+bc和(ab)c=a(bc)，其中a、b、c是复数。
这些性质在复数运算中非常重要，因为它们可以帮助我们简化复杂的运算过程。
4.共轭复数的辐角是相反的，即如果z=r(cosθ+i sinθ)，那么z的共轭复数为ρ(-cosθ+i -sinθ)。
这个性质说明，在计算复数的乘法和除法时，我们可以使用共轭复数的性质来简化计算。
5.乘法的辐角满足交换律和结合律，即ab=ba和(ab)c=a(bc)。
这些性质在复数运算中非常重要，因为它们可以帮助我们简化复杂的运算过程。
6.除法的辐角满足倒数和共轭复数的性质，即z/a=(z×a)/a²和z/a=(z×a)/a ²。
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(6.27)
N ( f ,C ) P( f ,C ) c arg f ( z ) 2 .
∆Cargf(z)表示z 沿C之正向绕行 一周时argf(z)的 (6.28) 改变量
y w=f(z) O
2 i 1 f ( z ) f (z) dz
[
v x
2 i
2 i 1
| f ( z ) ( z ) || f ( z ) ( z ) | 0.
这样一来,这两个函数f(z)与 f(z)+(z)都满足定 理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是 由(6.28),下面只须证明 (6.30) c arg[ f ( z ) ( z )] c arg f ( z ). 由关系式
R
y ( ) arg( P ( iy )) n
6.3.3 儒歇(Rouche)定理
定理6.10 (儒歇(Rouche)定理) 设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件: (1)它们在C的内部均解析,且连续到C; (2)在C上, |f(z)|>|(z)| f(z)与 f(z)+(z) 在C内部有同样多的零点,即 N ( f , C ) N ( f , C ). 证 由假设f(z)与 f(z)+(z)在C内部解析, 且连续到C,在C上有| f(z)|>0,及
m
h '( z )
.
故b为
f ( z ) f (z)
的一级极点,且
f ( z ) 则 1 C f ( z ) dz N ( f , C ) P ( f , C ), (6.26) 有 2 i 式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零 点与极点的个数 特别注意几阶算几个.
(z) c arg 1 0. f (z)
推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0） 满足条件：|at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an| 则p(z)在单位圆|z|<1内有n-t个零点 证：令f(z)= atzn-t, (z)=a0zn+…+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +…+an 则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位 圆周 |z|=1上有： |f(z)|= |at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|(z)| 由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多 的零点，即为n-t个
定理如函数f(z)在D内单叶解析 6.11 则在D内f (z)≠0. 证: (反证法) 若有D的点z0使 f (z0)≠0,则z0必 为f(z)- f(z0)的一个n级零点(n≥2).由零点的孤立性, 故存在>0 ,使在圆周 C: |z-z0|=上: f(z)- f(z0)≠0, 在C的内部, f(z)- f(z0)及f /(z)无异于z0的零点. 命m表|f(z)- f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定 理即知,当0<|-a|<m时, f(z)- f(z0)-a在圆周C的内部 亦恰有n个零点.但这些零点无一为多重点,理由是 f /(z)在C内部除z0外无其他零点,而z0显然非 f(z)- f(z0)-a的零点.
(z) c arg[ f ( z ) ( z )] c arg f ( z ) c arg 1 f (z)
(z) f ( z ) ( z ) f ( z ) 1 f (z)
(6.31)
根据条件(2), 当z沿C变动时
f '( z ) f (z)
g '( z ) g '( z ) n 在点a的邻域内解析, g(z) z a g( z) f '( z ) f '( z ) a必为 f ( z ) 的一级极点,且 Reas f ( z ) c1 n z
.
(2)如b为f(z)m级极点 在点b的去心邻域内有
推论2: n次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）
证 明 思 路
1.首先证明存在R>0，
无 方程在圆|z|<R内恰有n个根 ， 根
2.其次证明，对z0 |z0|=R0≥R， 均有|p(z0)|>0 1.令， f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ …+an=0 证 则当|z|=R时， |(z)|≤| a1zn-1|+ …+|an| 明 = | a1|Rn-1+ …+|an-1|R+|an| 取R>1 ≤( | a1|+ …+|an-1|+|an|) Rn-1 <|a0|Rn=|f(z)|
R R
lim R arg( P ( z )) lim R arg a0 z n (1 g( z ))
R R
lim R arg a0 z n lim R arg(1 g ( z )) n
R R
lim y ( R R ) arg( P ( iy )) n
dz
10
( z10 1) z 1
| z| 4
6.3.2 辐角原理
(1) C是一条周线 辅角 (2) f(z)在C内是亚纯的 原理 (3) f(z)在C上连续且不为零 特别说来,如f(z)在周线 C上及C之内部均解析, 且f(z)在C上不为零,则
N ( f ,C ) c arg f ( z ) 2 .
定理6.9 设C是一条围线,f(z)合条件: (1)f(z)在C内部除可能有极 即：f(z)在C内是亚纯的 点外是解析的; (2)可改为f(z)在C (2)f(z)在C上解析且不为零 上连续且不为零
证 由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只 有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内 部的不同零点,其阶数相应地为nk; bj (j=1,2,…,q)为 f(z)在C内的不同极点,其阶数相应地为mj,
即：N(p(z),C)=n
2.z0: |z0|=R0≥R，需证:|p(z0)|>0 |(z0)| | a1z0n-1|+ …+|an| = | a1|R0n-1+ …+|an-1|R0+|an|
( | a1|+ …+|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+(z0)| |f(z0)|-|(z0)|>0 p(z0)=a0z0n+ a1z0n-1+ …+an 0
有n个根 R
限定| a1|+ …+|an|≤|a0|R
所以只要取
| a1 | | a n | R max ,1 | a0 |
有:当|z|=R时,| f(z)|>|(z)|, f(z),(z)在|z|≤R上解析
N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n
f '( z ) 显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 f ( z ) 的奇点.
引理6.4 (1)设a为f(z)的n级零点(极点）, a必为函数
f ( z ) f (z)
的一级极点,且
(2)设b为f(z)的m级极点 必为函数
f ( z ) f (z)
f '( z ) Re s n z a f (z)
argf(z)=arg((z-1)(z-2)2(z-4)) argf(z)=arg(z-1)+arg (z-2)2+arg (z-4) =arg(z-1)+2arg (z-2)+arg (z-4) =6 y v |z|=3 |w+4|=3 |w+1|=3 |w+2|=3 w=z-2 w=z-1 w=z-4 O x O
ie
y ( )
CR x
R
N (P,CR )
R
C R arg( P ( z )) 2
0( R )
Ri
R
0 limC R arg( P ( z )) lim R arg( P ( z )) lim y ( R R ) arg( P ( iy ))
Re s
j 1 z b j
q
f ( z ) f (z)
nk ( m j ) N ( f , C ) P ( f , C )
k 1 j 1
例 计算积分
I z9 z 1
10 |z| 4
I
1
z9 z 1
10
10
|z| 4
dz
dz
1 10 2 i (10 0 ) 2 i
C
2 i
1
f ( z ) f (z)
C
dz
i 2 i
C arg f ( z )
C arg f ( z ) 2
例6.21 设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证 辐角原理
N(f(z),C)=3
6
2
C arg f ( z ) 2
| ( z ) f ( z ) | 1.
0
z
1
(z)
f (z)
0
arg