复变函数-幅角原理及其应用
复变函数的应用
复变函数的应用数学与应用数学班数学是一门很抽象的学科，而复变函数更是如此，如果直接想象很难和实际联系起来。
经过两年的大学学习就目前学习的知识而言，感觉和复变函数联系比较紧密的是有两方面，一是电流方面；二是在信号方面。
我们日常中的电流都是交流三相的，而相位如果通过三角函数计算的话较为复杂和抽象，很多工程问题无法解决，引入虚数则较大简化了计算的过程，是很多工程问题迎刃而解。
可以通过RCL电路我们也用虚数去处理相角关系，但电感本身并不是虚的。
这是人为的定义，但这也在一定意义上揭示了虚数有可能存在的某些物理特征。
成功而且巧妙的解决了电流的相位问题。
我们打电话，发短信是通过电磁波传递信号，在信号方面也极大的应用了复变函数。
信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。
模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。
利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。
这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。
于是当我们要的信息得以传递。
所以，不管是我们使用家用电器，用手机问候远方的朋友，还是使用卫星电视观看电视剧，我们无时无刻不在接触着这位很抽象而无处不在的朋友——复变函数。
一、复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况,它的一般形式是：bia ，其中i是虚数单位。
多复分析是数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，它和单复变函数有着很强的渊源，但其特有的困难和复杂性，导致在研究的重点和方法上，都和单复变函数论有明显的区别.因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移.它广泛地使用着微分几何学、代数几何、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。
高等数学中的复变函数及其应用
高等数学中的复变函数及其应用1.引言高等数学是理工科学生必修的一门重要课程，其中的复变函数更是数学中一门非常重要的分支。
复变函数是用复数集作为自变量和因变量的函数，它们具有非常丰富的性质，在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
2.复数及其表示复数是由实数和虚数构成的数，它被表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，即i²=-1。
复数也可以用极坐标表示，即r(cosΘ + i sinΘ)，其中r是模长，Θ是辐角。
3.复变函数的定义与性质复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量函数，z=x+iy是复数。
虚部和实部也分别称为复变函数的虚部和实部。
复变函数的导数被称为复变函数的导函数，它定义为极限lim(z→0) (f(z+h)-f(z))/h，通过一系列运算可以证明：当复变函数f(z)可导时，它的导函数存在，且它一定满足柯西-黎曼方程（即实部的偏导数等于虚部的负偏导数），反之亦然。
4.柯西定理和柯西公式柯西定理是复分析中最基本的定理之一，它指出：如果在区域D内f(z)是可导的，则任何简单闭曲线C都满足∮ f(z)dz=0，其中∮表示对C积分。
柯西公式是柯西定理在更一般的场合下的推论，它指出：如果在区域D内f(z)是可导的，则对于D内C的内部点a，有f(a)=1/2πi ∮f(z)/(z-a) dz，其中∮表示对C积分。
5.解析函数解析函数是在一个区域内无处不可导的函数，它具有以下性质：（1）具有唯一性，即在一个区域内，如果两个函数在区域内的每个点都可导且导数相等，则这两个函数相等。
（2）可分离实部和虚部，即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是调和函数，即满足在区域内的拉普拉斯方程u(x,y)和v(x,y)的偏导数等于零。
（3）具有最大模原理，即如果f(z)是区域D内的解析函数，其在D的一部分上取得了最大值，则它必须在该区域的边界上取得最大值。
复变函数第四象限的点幅角
复变函数第四象限的点幅角复变函数第四象限的点幅角是复数在复平面中的位置和角度，是复数理论中的重要概念。
在复数理论中，复变函数是指将复数作为自变量的函数，其定义域和值域都是复数集合。
复数可以用直角坐标系中的点表示，也可以用极坐标系中的幅角表示。
在第四象限内的复数，其实部和虚部都是负数，表示在直角坐标系中位于第四象限的点。
复数可以表示为z = x + yi的形式，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位。
在复平面中，复数z对应于点(x, y)，并且可以用极坐标形式表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为幅角。
在第四象限内的复数，其幅角θ在π/2到π之间。
复变函数的第四象限的点幅角对于分析和理解复变函数的性质和行为具有重要意义。
在复平面内，复数的幅角决定了其在平面内的方向和位置，而模则决定了其到原点的距离。
通过分析复变函数在第四象限内的点幅角，可以帮助我们理解复变函数的奇偶性、周期性和对称性，对于绘制函数图像、求解方程和积分等具有重要作用。
在复变函数的研究中，第四象限的点幅角还可以引申出许多重要的概念和定理，例如复数的共轭、幂函数的性质、指数函数的图像等。
通过深入研究复变函数的第四象限的点幅角，可以更好地理解复数理论的内涵和复杂性，为解决实际问题提供有力的数学工具。
从个人的观点和理解来看，复变函数第四象限的点幅角是复数理论中的重要概念，对于理解和运用复变函数具有重要意义。
通过对复变函数第四象限的点幅角进行深入分析，可以更好地理解复数的性质和行为，为数学建模、信号处理和物理问题的求解提供有力支持。
在总结回顾本文内容时，需要强调复变函数第四象限的点幅角在复数理论中的重要性，以及对复数性质和行为的影响。
并且强调复变函数第四象限的点幅角对于解决实际问题具有重要意义，可以为数学建模、信号处理和物理问题的求解提供有力支持。
总结回顾时还要提到本文强调了对复变函数第四象限的点幅角进行深入分析的重要性，以及通过深入研究可以更好地理解和运用复数理论，为数学建模和实际问题的求解提供重要支持。
三角函数的幅角与辐角
三角函数的幅角与辐角三角函数是数学中重要的一类函数，其幅角和辐角是两个与之相关的概念。
在本文中，我们将对三角函数的幅角和辐角进行详细的介绍和解释。
一、幅角的定义和性质1. 幅角的定义：对于一个复数z=a+bi（其中a和b为实数，i为虚数单位），其幅角表示与实轴正向的夹角，通常用Φ表示。
幅角的取值范围是[-π, π]。
2. 幅角的性质：幅角表示的是一个向量或复数相对于实轴正向的旋转方向和旋转角度，具有以下性质：- 如果z的幅角为Φ，则z的复共轭的幅角为-Φ；- 如果z1和z2的幅角分别为Φ1和Φ2，则它们的乘积的幅角为Φ1+Φ2；- 如果z的幅角为Φ，则z的n次幂（n为整数）的幅角为nΦ。
二、辐角的定义和性质1. 辐角的定义：对于一个复数z=a+bi，其辐角表示与正实数轴正向的夹角，通常用θ表示。
辐角的取值范围是[0, 2π)。
2. 辐角的性质：辐角表示的是一个复数相对于正实数轴正向的旋转方向和旋转角度，具有以下性质：- 对于一个复数z=a+bi，其辐角θ和幅角Φ的关系是θ=Φ+2kπ（k为整数）；- 如果z=a+bi和z'=a'+b'i的辐角分别为θ和θ'，则它们的乘积的辐角为θ+θ'。
三、幅角和辐角的关系1. 对于一个复数z=a+bi，其幅角和辐角满足以下关系：- 如果b≥0，则幅角Φ=辐角θ；- 如果b<0，则幅角Φ=辐角θ+2π。
2. 根据幅角和辐角的关系，我们可以得到以下结论：- 当b≥0时，幅角和辐角相等，也就是说复数的辐角就是它的幅角；- 当b<0时，幅角和辐角相差2π，也就是说复数的幅角等于辐角减去2π。
四、幅角和辐角的应用幅角和辐角是三角函数的重要概念，在解析几何、信号处理、电路分析等领域都有广泛应用。
例如，在三角函数的运算中，幅角和辐角的性质可以用来简化计算和推导过程；在信号处理中，幅角和辐角常用于描述信号相位特性；在电路分析中，幅角和辐角可以用来求解电流和电压的相位关系。
幅角基本知识及其应用
f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
2 i
d ln
C
f (z)
1
2 i
[ dln
C
|
f
(z)
| i d arg
C
f
(z)]
C arg f (z)
2
7
二、幅角原理
定理2 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
N( f ,C) P( f ,C) C arg f (z)
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
d
C
dz
[lnf
(
z)]dz
1
arg P iy n
y( )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用§ 1.留数1. （定理6.1柯西留数定理）：dz = 2 mJc£=i2. （定理6.2）:设a为f⑵的m阶极点,事（町（…尸’其中響：刃在点a解析，梓丄0，贝U3. （推论6.3）:设a为f（z）的一阶极点,Re^f(z),a) = <p(a)4. （推论6.4）:设a为f⑵的二阶极点® ⑴=（Z-A）V（«）则5. 本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6. 无穷远点的留数:RES（F（R「8）=霜/严f(z)dz=- j即，血血垃S）等于f⑵在点的洛朗展式中这一项系数的反号7. （定理6.6）如果函数f（z）在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为则f（z）在各点的留数总和为零。
注：虽然f（z）在有限可去奇点a处，必有Z畑⑴°,但是，如果点为f（z）的可去奇点（或解析点），则血昭⑵妙）可以不为零。
8. 计算留数的另一公式:(昭詞§ 2•用留数定理计算实积分Q R(cos^,sin&)M型和分—引入注：注意偶函数1. (引理6.1大弧引理)：»上limzf(z)= X则limH'J-M B2. (定理6.7) 设f(-器梯理分式，其中P(z) = e o z m + 耳厂，+ + c m(c0丰 0)QCz) = b Q x n + %0勺 + * + 丰 0)为互质多项式，且符合条件：(1)n-m >2;(2)Q(z股有实零点于是有f(x)dx — 2ui工Res(f(z)t au}Jrtiajt >0注：以fg可记为PM广；«x)dx丿；黔厂心型积分3. (引理6.2若尔当引理)：设函数g(z)沿半圆周5£=恥叫0彰"・丘充金走上连续，且lim鸟⑵=0在「里上一致成立。
则lim f幻(胡叫E = o■ rn4. (定理6.8):设車勿=話，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件:(1) Q 的次数比P 高;(2) Q 无实数解；(3) m>0特别的，上式可拆分成:及四. 计算积分路径上有奇点的积分5. (引理6.3小弧引理)：S m 询lim(z-a)f (2)=X r-+D于5'r 上一致成立，则有limf /wdz=i (02-五. 杂例六. 应用多值函数的积分§ 3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数 f'M2.(引理6.4)：( 1)设a为f(z)的n 阶零点，贝U a 必为函数 的一阶极点，并且(2)设b 为f(z)的m 阶极点，贝U b 必为函数的一阶极点，并且Res 2ni1 X) Res{ff (2je in ^f a^则有1.对数留数:3. (定理6.9对数留数定理)：设C 是一条周线，f(z)满足条件：(1) f(z)在 C 的内部是亚纯的；(2) f(z)在 C 上解析且不为零。
辐角原理的证明及应用
辐角原理的证明及应用辐角原理是复变函数论的重要概念之一，它描述了一个函数在一个区域内辐角的变化性质。
辐角原理的证明主要基于复变函数的性质以及Cauchy-Riemann方程的推导。
下面我将详细介绍辐角原理的证明以及其应用。
首先，我们先回顾一下辐角的概念。
对于一个非零复数z，它可以表示为z = re^(i θ)，其中r是z的模，θ是z的辐角。
辐角可以通过tanθ= Im(z)/Re(z)来计算。
对于复平面上的一个闭合曲线γ，它围绕原点o旋转了一周，辐角变化的总数为2π的整数倍。
现在我们来证明辐角原理。
设f(z)是一个在一个简单连通域D内的解析函数，且γ是D内的一条简单闭合曲线。
我们要证明γ围成的区域G内f(z)的辐角变化的总数等于围绕原点o旋转的总数。
首先，我们可以将γ参数化表示为z(t)，其中0 ≤t ≤1。
假设z(t)的辐角逐渐增加。
由于f(z)是解析函数，那么f(z(t))也是解析函数。
根据链式法则，f'(z(t)) = dz(t)/dt * f'(z(t))。
我们可以将f(z(t))的辐角表示为Arg(f(z(t)))，即f(z(t)) = f(z(t))e^(iArg(f(z(t))))。
类似地，我们可以将dz(t)/dt的辐角表示为Arg(dz(t)/dt)。
由于f(z(t))是解析函数，所以f'(z(t))是连续函数，并且f'(z(t)) ≠0。
假设当t =t0时，f'(z(t0))的辐角为α，而当t = t1时，f'(z(t1))的辐角为β。
那么由辐角连续性可知α- β≤Arg(f'(z(t))) ≤α+ β。
现在我们来考虑z(t)的辐角。
由于γ是闭合曲线，所以z(0) = z(1)。
设z(t0)和z(t1)是两个相继点，其辐角分别为θ0和θ1。
那么有θ1 - θ0 ≤Arg(dz(t)/dt) ≤θ1 + θ0 。
将以上两个不等式结合起来，我们有α- β≤Arg(f'(z(t))) ≤α+ β，且θ1 - θ0 ≤Arg(dz(t)/dt) ≤θ1 + θ0 。
奈奎斯特稳定判据
s jw
w 0
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0→∞变化，得第一部分的映射；
② 以 s=R·ej 代入F(s)，令R→∞， :
，得第二部分的映射；
22
③ 以 s = jw 代入F(s)，令w从－∞→0 ，得第三部分的映射。
得到映射曲线后，就可由柯西辐角定理计算 N = Z－P，式中Z、P是F(s)在s右 半平面的零点数和极点数。
令： G(s) M1(s) , H (s) M 2 (s)
N1 ( s)
N2 (s)
R(s)
C(Hale Waihona Puke )G(s)H (s)
则开环传递函数为：
闭环传递函数为：
16
Gk
(s)
M1(s)M 2 (s) N1(s)N2 (s)
(s) M1N2 M1M 2 N1N2
…………… (a) …………… (b)
将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：
j 1
j 1
向量的幅值为
m
K s1 zi
F(s1)
i 1 n
s1 p j
5 j1
向量的相角为
m
n
F(s1) (s1 zi ) (s1 p j )
i1
j1
Im S平面
•
Re
6
Im
•
F(s)
(s)
F(s)平面 Re
当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该 曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变 化量，则有
22
[奈奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率
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f (z) z a g(z)
g(z)
由此，a为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，a] = n。
f (z)
f (z)
4
引例2 设b为f (z)的m阶零点，证明：b 为 f '(z) 一阶极点
f (z) 且Res[ f '(z) ，a] = -m。
f (z)
证明 b为f(z)的m级极点，则在b的去心邻域内有
零点数为： N f ,C 3
6
定理1 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
另一方面
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
N( f ,C) P(
f ,C)
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
1
2 i
dCdz来自[lnf(z)]dz
1
arg P iy n
y( Z )
9
10
三、儒歇（Rouché）定理
z在C上时有：(z) f (z)
11
儒歇定理
(z) f (z)
注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同
零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。
例4 证明多项式 g(z) z4 3z+1 的全部4个零点都位 于 z 2 内。 例5 证明: 满足条件 at | a0 | | a1 | L | at1 | | at1 | | an|
4
8
在自动控制中，一些技术的稳定性归结为要求常系 数线性微分方程解的稳定性，而这类问题要求该方 程的特征多项式
P z a0zn a1zn1 L an
的根全在左半平面。利用幅角原理可以得到这问题 的一个判据。 例3 证明：在虚轴上没有零点的n次多项式
P z a0zn a1zn1 L an （a0 0）
2
例2.设 f (z) =
z - 72 z3
,C：z = 4，验证幅角原理
z - 54 z + 22 z - 15
解 一方面 N f ,C-P( f ,C) 37 4
另一方面 C arg f (z) 3C argz 2C arg z 22 5C arg z 1
2
2
3 2 2 2 5 2 2
f (z) = h(z) (z b)m
从而 f '(z) -m h '(z) ,其中 h '(z) 在点b的邻域内解析
f (z) z b h(z)
h(z)
由此，b为 f '(z) 一阶极点且Res[ f '(z) ，b] = -m。
f (z)
f (z)
5
考察积分
1
2 i
C
f '(z) dz f (z)
若f (z)在C内亚纯且在C上解析、不取零值。
明显地，f '(z) 的极点只可能来自于f(z)的极点和零点. f (z)
计算函数的零点或极点的个数时，通常包含重数。
例1.设 f (z) =
z - 72 z3
,则f (z)在C：z = 4内的极点数为
z - 54 z + 22 z - 15
P(f, C) (每个极点的阶)=2+5=7 C内的极点
引例1 设a 为f (z)的n阶零点，证明：a为 f '(z) 一阶极点 f (z)
且Res[ f '(z) ，a] = n。 f (z)
证明 设a为f(z)的n级零点，则可写
f (z) = (z - a)n g(z)
从而 f '(z) n g '(z) ,其中 g '(z) 在点a的邻域内解析
幅角原理及应用
1
留数和留数定理
一、对数留数 二、 幅角原理 三、儒歇定理
2
留数和留数定理
定义：如果函数 f 在区域D内除去极点外 处处解析，则称f 为区域D内的亚纯函数。
有理函数在整个平面上都是亚纯函数 若f 在闭周线C内是亚纯的，在C上解析且不取 零点，则 f 在C内至多有有限个极点。
3
一、对数留数
2 i
d ln
C
f (z)
1
2 i
[ dln
C
|
f
(z)
| i d arg
C
f
(z)]
C arg f (z)
2
7
二、幅角原理
定理2 设C一条周线，f(z)符合条件：1 f(z)在C内是亚纯的； 2 f(z)在C上解析且不为零，则有
N( f ,C) P( f ,C) C arg f (z)
的多项式 P z a0zn a1zn1 L +at znt L an （a0 0）
12
如： 方程 z8 5z5 在2z单位1 圆0内有（ ）个根 方程 z8 5在z 单1位圆0 内有（ ）个根 方程 z8 6z在1单0位圆0 内有（ ）个根 z4 8z 10 0
13