大学数学 实函数与复函数微积分 幅角原理和Rouche定理

( z ) 受控于 f ( z ) ,则 N( f ,C ) N( f ,C ).
z4 8z 6 0 在圆 z 1 和圆环1 z 3 义： 例4: 求方程
的根的个数
义：解: (1)取区域 D : z 1 ,其边界为 z 1 ,
f ( z ) 8z, ( z )定义：, 则当 z 1 时, z4 6 义： 令
f ( z ) f ( z ) bj 是 f ( z ) 的一级极点且 Re s[ f ( z ) ,bj ] m j . 同理可得:
p q 1 f ( z ) L f ( z ) dz nk m j N( f , L ) P( f , L ). 2 i k 1 j 1
ln f ( z0 ) ,故 L ln f ( z ) 0 ,
所以
1 f ( z ) 1 L f ( z ) dz 2 L arg f ( z ). 2 i
由定理 1,可得
定理2(幅角原理): 条件同定理 1,则
1 L arg f ( z ) N( f , L ) P( f , L ). 2
z 1 时, z4 8z 6 0 , 义： 又当
1 z 3 , z4 8z 6 0 有且仅有4 1 3 个根. 义： 故在圆环
义：例5: 利用 Rouche 定理证明代数学基本定理: n 次方程
P( z ) a0 z n a1z n1 an 0( a0 0 ) 有且仅有 n 个根.
由定理 1
1 f ( z ) ( 2z 1 )3 ( 2z 1 )3 L f ( z ) dz N( z( z 1 )4 , L ) P( z( z 1 )4 , L ) 2 i
3 5 2.
二、幅角原理
1 f ( z ) 1 L f ( z ) dz 2 i L dLnf ( z ) 2 i
L 设 f ( L ) 是区域D 的边界 在映射 w f ( z ) 下的
像,当 z 从 L 的某点 z0 沿L 的正向绕行一周回到 z0 时, 它的像点 w f ( z ) 在 w 平面画出一条连续的封闭曲线
(它可以自交)，当 绕 w 0 沿逆时针旋转一圈时,称
绕 w 0 旋转一次, 当 绕 w 0 沿顺时针旋转一圈时,
f ( z ) 0,
f ( z ) ( z ) f ( z ) ( z ) 0.
由幅角原理,
1 N( f ,C ) C arg[ f ( z ) ( z )] 2 1 ( z ) C arg[ f ( z )( 1 )] 2 f(z)
1 1 ( z ) C arg f ( z ) C arg( 1 ) 2 2 f(z) 1 ( z ) N( f ,C ) C arg( 1 ) 2 f(z)
f ( z ) a0 z n ,( z ) a1z n1 an , 证明: 定义： 记 ( z ) n ak 1 k ( z ) , 义： 则 P( z ) f ( z )定义： 且 f ( z ) k 1 a0 z ,
R 上, 义： 在圆周 CR : z定义：
义： 即 P( z ) 在圆周 CR 上和圆周 CR 外均无零点,
f ( z ) a0 z n 有且仅有一个 n 级零点 z 0 , 义： 又
义： 由 Rouche 定理,
N( P,CR ) N( f ,CR ) N( f ,CR ) N( a0 z n ,CR ) n 义： 定义：
故
( 2z 1 )3 f(z) , D : z 2, L : z 2, 4 求 f (z ) 关于 例1:设 z( z 1 )
L 的对数留数.
1 f ( z ) 在 z 2 有一个三级零点 z 2 ,算作三个零点, 解: 因
在 z 2 有一个一级极点 z 0 和一个四级极点z 1, 后者算 作四个极点,所以 f ( z ) 在 z 2 共有 5 个极点,
f ( z ) f ( z ) 在 D 内除 ak ( k 1, 2, , p ) 和 bj ( j 1, 2, ,q )
证明:
外解析,在 D 上除上述点外连续,由留数定理
p q 1 f ( z ) f ( z ) f ( z ) L f ( z ) dz Re s[ f ( z ) ,ak ] Re s[ f ( z ) ,bj ]. 2 i k 1 j 1
解析且不为零,在 D 的闭包D 除上述诸点外连续且 不为零.其边界 L D 取关于D 的正向,则
1 f ( z ) L f ( z ) dz N( f , L ) P( f , L ) 2 i
其中 N( f , L ) 表示边界 L 所围区域D 内 f ( L 所围区域D 内 f ( z ) 的极点个数, 重数计算在内,即在计算零点或极点时 m 级零点或极点 算作 m 个零点或极点.
(1) f ( z ) 和 ( z ) 在 D 内解析且在D 连续;
(2) 在 C 上 f ( z ) ( z ) ;
则 f ( z ) 与 f ( z ) ( z ) 在D 内零点个数相等,
即
N( f ,C ) N( f ,C ).
证明： 由定理的条件(2),在C 上
故幅角原来指出:
当 f ( z ) 满足定理 1 的条件时, f ( z ) 关于 L 的指标, 或即像曲线 绕 w 0 旋转次数的代数和,应等于 f ( z ) 在 L 所围区域 D 内零点总数与极点总数的差.
三、Rouche定理
定理(Rouche定理):
设 D 是一个区域, C D, 函数 f ( z ) 和 ( z ) 满足:
ak 的邻域， f ( z ) 可表示为 f ( z ) ( z ak )nk k ( z ), 在
其中 k ( z ) 在 ak 解析且 k ( ak ) 0,
f ( z ) nk ( z ak )nk 1k ( z ) ( z ak )nk k ( z ), 又
f ( z ) z4 ,( z ) 定义： 则当 z 3 时, 8z 6, 义： 令
( z ) 8z 6 8 z 6 30 81 z4 f ( z ) 定义： 定义： 定义：
义： 由 Rouche 定理,
N( z4 8z 6, z 3 ) N( z4 , z 3 ) 4. 定义：
4
4
( z ) 定义： z 6 定义： f ( z ) z 6 定义：7 8z 义：
义： 由 Rouche 定理,
N( z4 8z 6, z 1 ) N( 8z, z 1 ) 1. 定义：
(2)取区域 D : z 3 ,其边界为 z 3 ,
下证
为此,令
C arg( 1
w 1
( z )
f(z)
,
) 0.
则
( z )
f(z)
w 1
( z )
f(z)
( z C ),
C 变动时, w 1 f ( z ) 的像恒落在 w 平面的圆 故当 z 沿
( z )
w 1 1 之内,
C 在映射 w 1 f ( z ) 下的像 不会围绕原点 w 0 即曲线
称 绕 w 0 旋转 ( 1 ) 次.
1 L arg f ( z ) 可见 2 是当 z 沿 L 的正向旋转一圈时
z 在映射 w f ( z ) 下的像 绕 w 0 旋转次数的代数和,
称之为 f ( z ) 沿 L 的指标,记作 Ind L f ( z ) ,
即
1 Ind L f ( z ) L arg f ( z ), ---整数 2
1 1 L [ Lnf ( z )] L [ ln f ( z ) i arg f ( z )] 2 i 2 i
其中 L [ Lnf ( z )] 表示当 z 沿 L 走一圈时 Lnf ( z ) 获得的 增量,这里 Lnf ( z ) 可从任一单值分支开始.
又因 ln f ( z ) 是单值函数,当 z 从 L 上某点z0 出发沿 L 正 向 绕 行 一 周 回 到 z0 时 , ln f ( z ) 的 值 也 回 到 原 来 的
义： 即 P( z ) 在 CR 内有且仅有 n 个零点.
义： 综上所述 P( z ) 在全平面内有且仅有 n 个零点.
n
( z )
1 n ak ,( R 1 ) , f ( z ) R k 1 a0
ak R 义： 取 R 充分大,使 k 1 a0 ,
义： 则当 z R 时, ( z ) f ( z ) ,
义： 此时 P( z ) f ( z ) ( z ) 0 ,
§4 幅角原理和Rouche定理
一、对数留数
1 f ( z ) L f ( z ) dz 的积分称为对数留数. 定义:形如 2 i
定理1:设 f ( z ) 在区域 D 内除在点 ak 处有 nk 级零点
( k 1, 2 , , p ) ,在点bk 处有 m j 级极点 ( j 1, 2 , ,q ) 外
又因 bj 是 f ( z ) 的 m j 级极点,
所以在 bj 的邻域
( z bj ) 其中 j ( z ) 在 bj 解析且 j ( bj ) 0,
f(z)
j( z )
mj
,
由此可计算得
m j j ( z ) f ( z ) . f ( z ) z bj j ( z )
故
nk k ( z ) f ( z ) . f ( z ) z ak k ( z )