专题13定积分与微积分基本定理知识点
解读定积分与微积分基本定理
解读定积分与微积分基本定理一、知识点精析知识点1 曲边梯形的面积曲边梯形是曲线()y f x =与平行于y 轴的直线x a =，x b =和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤：（1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间[]a b ，上看，用1n +个分点将区间[]a b ，分成n 个小区间（不一定相等）．（2）近似代替：在每个小区间1[](12)i i x x i n -=，，，，内任取一点11()i i i ξξξξ-+≤≤，以()i f ξ为高，1i i i x x x -∆=-为底的小矩形面积为()i i f x ξ∆，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值．（3）求和：将分割成的n 个矩形面积加起来，其和为1()niii f x ξ=∆∑，它是所求曲边梯形的面积的近似值．（4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值1()inix i f ξ=∆∑就越接近于曲边梯形的面积，当i x ∆中的最大值{}max 0i x λ=∆→时，1()niii f x ξ=∆∑的极限1lim ()ni i i i f x ξ→=∆∑存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积．知识点2 定积分设函数()y f x =定义在区间[]a b ，上，用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<=，把区间[]a b ，分成n 个小区间，其长度依次为1(0121)i i i x x x i n +∆=-=-，，，，记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1()n n iii I f x ξ-==∆∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式nI的极限叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记作()baf x dx ⎰，即1()l i m ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中，()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限， ()f x dx 叫做被积式，此时称函数()f x 在区间[]a b ，上可积．理解说明： （1）定积分()baf x dx ⎰是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数()f x 和积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性）． （2）在定积分()ba f x dx ⎰的定义中，总是假设a b <，而当a b =及a b >时，不难验证()0abf x dx =⎰，()()ba abf x dx f x dx =-⎰⎰．这就是说当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号． （3）在区间[]a b ，上求连续函数()f x 的定积分，可归结为：分割、近似代替、求和、取极限四步，因此用定义求定积分的一般步骤：①分割：将区间[]a b ，等分成n 个小区间； ②近似代替：取点1[](01231)i i i x x i n ξ+∈=-，，，，，，；③求和：1()n i i b af nξ-=-∑；④取极限：1()lim ()n bi ai b af x dx f nλξ-→=-=∑⎰． 知识点3 定积分的几何意义 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是表示由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积的代数和．在区间[]a b ，上，当函数()0f x ≥时，曲边梯形位于x 轴的上方，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积S ，即()baS f x dx =⎰．当函数()0f x ≤时，曲边梯形位于x 轴的下方，在()lim ()bi i ai f x dx f x ξ→=∆⎰右端的和式中，由于0i x ∆>，()0i f ξ≤，所以有()0i i f x ξ∆≤，从而定积分()baf x dx ⎰的值为负值，此时由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成的曲边梯形的面积S 应是()baS f x dx -⎰或()baS f x dx =⎰．因此在用定积分求平面图形的面积时，首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限，其一般步骤为：①画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形；②对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积； ③计算各个定积分，求出所求的面积． 知识点4 微积分基本定理如果()()F x f x '=，且()f x 在[]a b ，上可积，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．也常记为()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰．理解说明：（1）由于[()]()F x C f x '+=，所以()F x C +也是函数()f x 的原函数，其中C 为常数．（2）利用微积分基本定理求定积分()baf x dx ⎰的关键是找出被积函数()f x 的一个原函数()F x ，通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出()F x ，因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算．二、应注意的几点1．根据定积分定义求定积分，往往比较困难，利用微积分基本定理求定积分比较方便． 2．利用定积分求所围成的平面图形的面积，要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限． 3．()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰与()baf x dx ⎰有不同的几何意义，绝不能等同看待，由于被积函数()f x 在闭区间[]a b ，上可正可负，因而它的图象可都在x 轴的上方，也可都在x 轴的下方，还可以在x 轴的上下两侧，所以()baf x dx ⎰表示x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =，x b =所围成图形的面积的代数和；而被积函数()f x 是非负的，所以()b af x dx ⎰表示在区间[]a b ，上以()f x 为曲边的曲边梯形的面积，而()baf x dx ⎰则是()baf x dx ⎰的绝对值，三者的值一般是不相同的．。
专题13定积分与微积分基本定理知识点
考点13 定积分与微积分基本定理一、定积分 1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即()d baf x x ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑. （2）在()d baf x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d bba akf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d bb ba aaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）()d =()d +()d bc baacf x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a <c <b )．【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分ba ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S ,则 （1）()d baS f x x =⎰； （2）()d baS f x x =-⎰；（3）()()d d cb acS f x x f x x =-⎰⎰； （4）()()()()d d []d b b baaaS f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.二、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么()d baf x x ⎰=F (b )−F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b a F x ，即()d baf x x ⎰=()|ba F x =F (b )−F (a )．学.科*网 【注】常见的原函数与被积函数的关系 （1）d |(bb a a C x Cx C =⎰为常数)；（2）11d |(1)1bn n ba ax x x n n +=≠-+⎰； （3）sin d cos |bb a a x x x =-⎰； （4）cos d sin |bb a a x x x =⎰；（5）1d ln |(0)bb a ax x b a x=>>⎰； （6）e d e |bx x b a a x =⎰；（7）d |(0,1)ln x bxba a a a x a a a=>≠⎰； （8）322d |(0)3bb a ax x x b a =>≥⎰.1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π2．若()π402sin cos d 2x a x x -=-⎰，则实数a 等于 A ．1 B 2 C ．1-D ．33．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．44．定义a b ad bc c d=-，如121423234=⨯-⨯=-，那么21d 312x x =⎰A ．6B ．3C ．32D ．0 5．设实数2log 3a =，131log 2b =，π01sin d c x x=⎰，则A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>6．（2015年高考湖南卷）2(1)d x x -=⎰．7．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．8．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．。
高考数学总复习：定积分与微积分基本定理
⾼考数学总复习：定积分与微积分基本定理定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利⽤函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的⼀个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.⼀般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到⼀个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.定积分的⼏何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在⼏何上表⽰由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的⾯积；在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下⽅，定积分在⼏何上表⽰上述曲边梯形⾯积的负值；在上，当既取正值⼜取负值时，定积分的⼏何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分⾯积的代数和. 在轴上⽅的⾯积积分时取正号，在轴下⽅的⾯积积分时，取负号.应⽤1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及⼀条曲线()围成的曲边梯形的⾯积：；2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及⼀条曲线()围成的曲边梯形的⾯积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的⾯积公式为：.4.利⽤定积分求平⾯图形⾯积的步骤：（1）画出草图，在直⾓坐标系中画出曲线或直线的⼤致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平⾯图形的⾯积.1、由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的⾯积为（）A、B、1 C、D、2、由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形⾯积为（）A、B、C、D、3、已知甲、⼄两车由同⼀起点同时出发，并沿同⼀路线（假定为直线）⾏驶．甲车、⼄车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所⽰）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中⼀定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在⼄车前⾯B、t1时刻后，甲车在⼄车后⾯C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，⼄车在甲车前⾯4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平⾯图形的⾯积为A、B、2﹣ln3 C、4+ln3 D、4﹣ln35、从如图所⽰的正⽅形OABC区域内任取⼀个点M（x，y），则点M取⾃阴影部分的概率为（）A、B、C、D、6、如图中阴影部分的⾯积是（）A、B、C、D、7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的⾯积为（）A、B、4 C、D、68、（e x+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+19、dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln210、已知则∫﹣a a cosxdx=（a＞0），则∫0a cosxdx=（）A、2B、1C、D、11、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平⾯图形的⾯积为（）B 、C 、D 、112、若∫0k（2x ﹣3x 2）dx=0，则k 等于（） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对13、如图所⽰，曲线y=x 2和曲线y=围成⼀个叶形图（阴影部分），其⾯积是（）A 、1B 、C 、D 、14、由曲线y 2=2x 和直线y=x ﹣4所围成的图形的⾯积为 _________ ． 15、由曲线和直线y=x ﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的⾯积是 _________ ．16、从如图所⽰的长⽅形区域内任取⼀个点M （x ，y ），则点M 取⾃阴影部分部分的概率为 _________ ． 17、设函数f （x ）=ax 2+c （a≠0），若，0≤x 0≤1，则x 0的值为 _________ ． 18．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成⽴，则实数m 的取值范围为。
定积分与微积分基本定理
如图，设阴影部分面积为 S.
b ① S ＝ f(x)dx；
a
b ②S＝－ f(x)dx；
a
c b ③ S ＝ f(x)dx－ f(x)dx；
a
c
b b b ④ S ＝ f(x)dx－ g(x)dx＝ [f(x)－g(x)]dx.
0
【解析】
3 1 T 3 T 2 ∵ ＝ ＝9，∴T＝3. x dx＝ x 3 3 0 0
T
【答案】
3
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π 4. (2014· 西安模拟)若∫ 0(sin x＋acos x)dx＝2， 则实数 a 等于( 2 A．－1 B．1 C. 3 D．－ 3
b | F ( x ) a 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作_________ ，即
b
f(x)dx＝F(x)| b a＝F(b)－F(a)．
a
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三、定积分在物理中的应用 变速 作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度 直线 函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，
0
【解析】
2 y＝x 由 y＝x
x＝0 得 y＝0
x＝1 或 y＝ 1
，
2 1 ∴S＝ (x－x )dx，故选 B.
0
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2． (2013· 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶， 由于遇到紧 25 急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋ (t 的单位：s，v 的单位： 1＋t m/s) 行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离 ( 单位： m) 是 ( ) A．1＋25ln 5 C．4＋25ln 5 11 B．8＋25ln 3 D．4＋50ln 2
第十三节定积分与微积分基本定理
a
图1
(2)由三条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴、一条曲线 y＝
f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图 2)：
S＝|bf(x)dx|＝－bf(x)dx.
a
a
图2
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)；
题型一 计算积分 例 1 计算以下定积分：
解析：(1)函数 y＝2x2－1x的一个原函数是 y＝23x3－lnx，所
以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)
2 1
21＝136－ln2－23＝134－ln2.
(2)3( 2
x＋ 1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx
∴在 t＝4s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt＝4m.
0
1
3
点评：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物 理问题转化为数学问题是关键，另外，路程是位移的绝对值之 和，一定要判断在不同区间上位移的符号，否则会出现计算错 误．
第十三节 定积分与微积分基本定理
【知识梳理】
1.定积分的概念
(1)设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点
a=Δx0<xxk中1<x最2<大…<xn=b.记小区间[xk-1，xk]为Δ k，其长度x_k-__x_k-_1_记作Δ xk， __的__________记作d.再在每个小区间Δ k上任取一点代表点zk，作和式
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴 上有正有负 下方的曲边梯形的面积
定积分的概念与微积分基本定理知识导学
定积分的概念与微积分基本定理【要点梳理】要点一：定积分的引入 定积分的概念一般地，给定一个在区间[]a b ，上的函数=()y f x ，如图所示.将[]a b ，区间平分成n 份，分点为：0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L则每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n =L ξ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ. 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，定积分的相关名称：⎰——叫做积分号， ()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量， a ——叫做积分下限， b ——叫做积分上限， [a ，b]——叫做积分区间. 要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b bbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰L （称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)xdx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同.用定义求定积分的一般方法： （1）分割：n 等分区间[],a b ； （2）近似代替：取点[]1,i i i x x -∈ξ； （3）求和：1()ni i b af n =-∑ξ； （4）取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ. 要点二：定积分的几何意义 定积分()baf x dx ⎰的几何意义：从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号. 要点诠释：（1）当()0f x ≥时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b 时，有()d 0baf x x =⎰，如图（a ）.（2）当()0f x ≤时，由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数.所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）.（3）当()f x 在区间[a ，b]上有正有负时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）.在如右图所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰.要点三：微积分基本定理 微积分基本定理：一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数.为了方便，我们常把()()F b F a -记作()ba F x ，即()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰.要点诠释：（1）根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便.（2）设()f x 是定义在区间I 上的一个函数，如果存在函数()F x ，在区间I 上的任何一点x 处都有'()()F x f x =，那么()F x 叫做函数()f x 在区间I 上的一个原函数.根据定义，求函数()f x 的原函数，就是要求一个函数()F x ，使它的导数'()F x 等于()f x .由于[()]''()()F x c F x f x +==，所以()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数.（3）利用微积分基本定理求定积分()d baf x x ⎰的关键是找出使'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出()F x .要点四：定积分的计算1. 求定积分的一般步骤是：（1）找出被积函数中的基本初等函数，将被积函数表示为基本初等函数的和或差的形式； （2）利用定积分的性质，将问题转化为求若干基本初等函数的定积分； （3）分别用求导公式找到各个基本初等函数的原函数； （4）利用牛顿―莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2. 定积分的运算性质①有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差），即1212[()()()d ]()d ()d ()d bb b bn n aaaaf x f x f x x f x x f x x f x x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L .②常数因子可提到积分符号前面，即()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号.即()d ()d baabf x x f x x =-⎰⎰.④定积分的可加性，即对任意的c ，有()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.3. 定积分的计算技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 要点诠释：① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.因此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.② 把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误. ③ 由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数. 【典型例题】类型一：定积分的几何意义例1． 用定积分的几何意义求： （1）1(32)d x x +⎰；（2）322sin d x x ππ⎰；（3）2204x dx -⎰.【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间. 【解析】（1）如下图：阴影部分面积为(25)1722+⨯=， 从而107(32)d 2x x +=⎰.（2）如下图：由于A 的面积等于B 的面积， 从而322sin d 0x x ππ=⎰.（3）设24y x =-，则224x y +=(0,02)y x ≥≤≤，表示半径为2的41个圆，由定积分的概念可知，204x dx -⎰表示如图所示的以2为半径的41圆的面积, 所以201444x dx ππ-=⨯=⎰【总结升华】（1）利用定积分的几何意义正确画出图形求定积分. （2）()d [()0]baf x x f x >⎰表示曲边梯形的面积，而上半圆可看做特殊曲边梯形（有两边缩为点），这里面积易求，从而得出定积分的值. 举一反三：【变式1】试用定积分的几何意义求31(21)d x x --⎰.【答案】如图所示：计算可得A 的面积为5525224⨯=，B 的面积为339224⨯=， 从而31259(21)d 444x x --=-=⎰.【变式2】利用定积分的几何定义求定积分：（1）⎰-adx x a 022； （2）2016x dx -⎰.【答案】（1）设22x a y -=，则222a y x =+)0,0(a x y ≤≤≥表示41个圆，由定积分的概念可知，所求积分就是41圆的面积,所以⎰-adx x a 02242a π=（2）设216y x -2216x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形， 其面积2233S S S π∆=+=+扇形, 故20216233x dx π-=+⎰类型二：利用微积分基本定理求定积分【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题1】 例2.计算下列定积分： （1）211dx x⎰； （2）312xdx ⎰.【思路点拨】根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.【解析】（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰.（2）323112|817xdx x ==-=⎰.【总结升华】为使解题步骤清晰，通常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式表示出来.解题格式如下：()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰举一反三：【变式】计算下列定积分（1）11dx ⎰； （2）1xdx ⎰；（3）130x dx ⎰； （4）131x dx -⎰.【答案】（1）11001d 101x x ==-=⎰；（2）11222001111d 102222x x x ==⋅-⋅=⎰； （3）130x dx⎰144401*********x ==⋅-⋅=； （4）131x dx -⎰144411111(1)0444x -==⋅-⋅-=. 【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】例3．求下列定积分： （1）221(1)d x x x ++⎰； （2）0(sin cos )d x x x π+⎰；（3）2211()d x x x x-+⎰； （4）(cos e )d x x x π--+⎰.【解析】（1）223222222221111111129(1)d d d 1d 326x x x x x x x x x x x ++=++=++=⎰⎰⎰⎰.（2）0000(sin cos )d sin d cos d (cos )sin 2x x x x x x x x x πππππ+=+=-+=⎰⎰⎰.（3）22232222222111111111375()d d d d ln ln 2ln 223236x x x x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰.（4）00001(cos e )d cos d e d sin e1e xxx x x x x x x ππππππ------=+=+=-⎰⎰⎰. 【总结升华】（1）求函数()f x 在某个区间上的定积分，关键是求出函数()f x 的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.（2）求复杂函数定积分要依据定积分的性质. 举一反三：【变式1】计算下列定积分的值：（1）22(31)x x dx -+⎰， （2）dx x x ⎰+20)sin (π， （3）180(8)x x dx -⎰【答案】（1）2223200(31)()82x x x dx x x -+=-+=⎰.（2）222201(sin )(cos )128x x dx x x +=-=+⎰πππ.（3）91801871(8)()0ln893ln 29x xx x dx -=-=-⎰.【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】 【变式2】计算： （1）120⎰； （2）121x e dx --⎰.【答案】（1）1201==⎰； （2）11222211111222xx e dx ee e -----=-=-⎰. 【变式3】计算下列定积分：（1）20(1)x x dx +⎰； （2）2211()xe dx x+⎰； （3）20sin xdx ⎰π.【答案】 （1）2(1)x x x x +=+Q 且32211(),()32x x x x ''==，∴22222232220003211(1)()||321114(20)(20).323x x dx x x dx x dx xdx x x +=+=+=+=⨯-+⨯-=⎰⎰⎰⎰（2）1(ln )x x '=，又222()(2)2x x xe e x e ''=⋅=，得221()2x x e e '= 所以2222222211111111()|ln |2x x x e dx e dx dx e x x x +=+=+⎰⎰⎰ 42421111ln 2ln1ln 2.2222e e e e =-+-=-+ （3）由(sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x ''=⋅=，得1cos 2(sin 2)2x x '=所以200001111sin (cos 2)cos 22222xdx x dx dx xdx ππππ=-=-⎰⎰⎰⎰00111111|(sin 2)|(0)(sin 2sin 0).22222222x x x ππππ=-=---= 类型三：几类特殊被积函数求定积分问题 例4．求值：（1）若2, 0()cos 1, 0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求11()d f x x -⎰；（2）计算x 的值.【思路点拨】对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质()baf x dx ⎰＝()c af x dx ⎰＋()bcf x dx ⎰进行化简. 【解析】（1）0111230110112()d d (cos 1)d (sin )sin133f x x x x x x xx x ---=+-=+-=-+⎰⎰⎰. （2）xx =20|sin -cos |d x x x π=⎰4204|sin cos |d |sin cos |d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰4204cos sin d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(cos sin )1)x x x x πππ=+-+=. 【总结升华】（1）对于分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和，要注意各段定积分的上、下限. （2）计算|()|d baf x x ⎰时，需要去掉绝对值符号，这时要讨论()f x 的正负，转化为分段函数求定积分问题.举一反三：【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题3】 【变式1】求定积分： （1）20()f x dx ⎰， 其中2,01()5,12x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）31x dx -⎰.【答案】（1）212122101()d 2d 5d 56f x x x x x x x =+=+=⎰⎰⎰（2）31x dx -⎰＝11x dx -⎰＋311x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋31(1)x dx -⎰＝21230111()|()|22x x x x -+- ＝15222+=. 【变式2】计算下列定积分： （1）20|sin |x dx π⎰；（2）dx x |1|22⎰-.【答案】（1）(cos )sin x x '-=Q ，∴220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx=+⎰⎰⎰ππππ2020sin sin cos |cos |(cos cos 0)(cos 2cos )4.xdx xdxx x =-=-+=--+-=⎰⎰πππππππππ（2）∵0≤x ≤2，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-=-)10(1)21(1|1|222x x x x x∴⎰⎰⎰-+-=-2121222)1()1(|1|dxx dx x dx x2131033131⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131********2=.类型四：函数性质在定积分计算中的应用 例5.求定积分：11(cos x x dx -⎰.【思路点拨】考虑利用被积式函数的奇偶性求积分. 【解析】∵cos y x x =是奇函数，∴11cos 0x xdx -=⎰，∵y∴211302x dx -=⎰⎰，∴25113310136(cos 022055x x dx x dx x -=+=⨯=⎰⎰.【总结升华】函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：（1）若()f x 是偶函数，则()2()aaa f x dx f x dx -=⎰⎰；（2）若()f x 是奇函数，则()0aaf x dx -=⎰.举一反三： 【变式1】求333(sin )x x dx -+⎰的值.【答案】∵()f x 是奇函数，∴333(sin )0x x dx -+=⎰.【变式2】设()f x 是偶函数，若2()2f x dx =⎰，则22()f x dx -=⎰ ；【答案】∵()f x 是偶函数，∴222()2()224f x dx f x dx -==⨯=⎰⎰.【变式3】求定积分：2222cos 2x dx ππ-⎰.【答案】∵22cos cos 12xy x ==+是偶函数， ∴222222cos (cos 1)2xdx x dx--=+⎰⎰ππππ2022(cos 1)2(sin )2.x dxx x =+=+=+⎰πππ。
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
的部分，
∴ 13 3＋2x是－x圆2 d面x 积的
1， 4
∴
13
3＋2x－x2 dx＝1gg22＝. 4
答案：π
【互动探究】在本例题(3)中条件不变，求 31 f(x)dx的值.
【解析】由本例题(3)的解答过程知，
3 1
f
x表d示x 以
(1，0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方的部分的面积，故
|02
(4x
x2 2
22 3
3
x 2 ) |82
16 38 18. 33
方法二：S＝
2［4
4－y
－
y2 2
］dy
＝(4y
1 2
y2
1 6
y3
)
|24
＝18.
答案：18
(3)由
y
x得3 ,
y x
所求xy 旋11,,转体的体积等于由
y x，xx 轴1所，围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体
判断出 f x＝ 3＋表2x－示x的2 几何意义，再利用定积分的
几何意义求解.
【规范解答】(1)
11
x2 sin x
dx
（1 3
x3
cos
x）|11
2. 3
答案：2
3
(2)
2 0
1 sin
2xdx
2 0
sin
x cos
x
dx
04
(cosx
sin
_________________.
(2)(2013·芜湖模拟)
定积分、微积分基本定理-高中数学知识点讲解
定积分、微积分基本定理1．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积．即由所围成图（f X）[a，b] y＝0，x＝a，x＝b，y＝（f X）形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是푏푎F（x）＝（f x）（f x）푓(푥)푑푥= 퐹(푏)―퐹(푎)，其中，而必须在区间（a，b）内连续．2例 1：定积分|3 ―2푥|푑푥=1解：1 | 3﹣2x | dx2=321(3 ―2푥)푑푥+232(2푥―3)푑푥3＝（﹣2）1 +（x2﹣3x）|233x x |221/ 2=12通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有；第二，每一段对应的被积分函数的表dx达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例 2：用定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥．―3解：根据定积分的几何意义，则39 ―푥2푑푥表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，―3故3―39 ―푥2푑푥=12 × 휋× 32 =9휋．2这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．2/ 2。
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专题13定积分与微积分基
本定理知识点
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
考点13 定积分与微积分基本定理
一、定积分 1．曲边梯形的面积
（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤：
①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．
2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念
（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0<x 1<…<x i −1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i −1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2, …,n )，作和式
1
1
()()n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-∆=∑
∑
；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作()d b
a
f x x ⎰，即()d b
a
f x x ⎰=1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
.
（2）在
()d b
a
f x x ⎰
中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做
被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质
（1）()()d d b
b
a a
kf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)；
（2）[()()]d ()d ()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x x g x x ±=±⎰
⎰⎰；
（3）
()d =()d +()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x ⎰
⎰⎰(其中a <c <b )．
【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．
5．定积分的几何意义
（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ，x =
b (a ≠b )，y =0和
曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)． （2）一般情况下，定积分
b
a ⎰ f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ，x =
b 之间的曲边
梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：
设阴影部分面积为S ,则 （1）()d b
a S f x x =⎰
； （2）()d b
a
S f x x =-⎰；
（3）()()d d c
b a
c
S f x x f x x =
-⎰
⎰； （4）()()()()d d []d b b b
a
a
a
S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰.
二、微积分基本定理
一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么
()d b
a
f x x ⎰
=F (b )−F (a )．这个结论叫做
微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )−F (a )记作()|b a
F x ，即
()d b
a
f x x ⎰
=()|b a F x =F (b )−F (a )．学.科*网
【注】常见的原函数与被积函数的关系
（1）d |(b
b a a
C x Cx C =⎰为常数)；
（2）11d |(1)1
b
n n b
a a
x x x n n +=
≠-+⎰； （3）sin d cos |b
b a a
x x x =-⎰；
（4）cos d sin |b
b a a
x x x =⎰；
（5）1
d ln |(0)b
b a a
x x b a x
=>>⎰
； （6）e d e |b
x x b a a
x =⎰；
（7）d |(0,1)ln x b
x
b
a a a a x a a a
=
>≠⎰； （8）3
22d |(0)3
b a a
x x x b a =>≥⎰
.
1．π
0cos d x x =⎰
A ．1
B ．2-
C ．0
D ．π
2．若()π40
2
sin cos d 2
x a x x -=-
⎰
，则实数a 等于 A ．1
B 2
C ．1-
D ．33．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2
D ．4
4．定义
a b ad bc c d
=-，如
121423234
=⨯-⨯=-，那么2
1
d 31
2
x x =⎰
A ．6
B ．3
C ．
3
2
D ．0
5．设实数2log 3a =，1
3
1
log 2
b =，π0
1
sin d c x x =⎰
，则 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >>
D ．a c b >>
6．（2015年高考湖南卷）20
(1)d x x -=⎰ ．
7．（2015年高考天津卷）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．
8．（2015年高考福建卷）如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f (x )=x 2.若在矩形ABCD 内随机
取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ．。