三角函数单调性的教案
三角函数单调性的教案【篇一：三角函数的诱导公式教案设计】一、指导思想与理论依据数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。
因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。
所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。
因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。
二．教材分析三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书（人教a版）数学必修四，第一章第三节的内容，其主要内容是三角函数诱导公式中的公式（二）至公式（六）。
本节是第一课时，教学内容为公式（二）、（三）、（四）.教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数的定义和诱导公式（一）的基础上，进而发现他们的三角函数值的关系，即发现、掌握、应用三角函数的诱导公式，公式（二）、（三）、（四）。
同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。
为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。
三．学情分析本节课的授课对象是本校高一（x）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。
四．教学目标(1).基础知识目标：理解诱导公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式；(2).能力训练目标：能正确运用诱导公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及进行简单的三角函数求值与化简；(3).创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题。
2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想。
3.情感、态度与价值观感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心。
五．教学重点和难点1.教学重点理解并掌握诱导公式2.教学难点正确运用诱导公式，求三角函数值，化简三角函数式。
六．教法学法以及预期效果分析“授人以鱼不如授之以渔”，作为一名老师，我们不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想方法，如何实现这一目的，要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究。
下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析。
１．教法数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质。
求下列三角函数的值：cos（-2040 ）（七）小结1．小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.2．体会数形结合、对称、化归的思想.3.“学会”学习的习惯.成功之处:（1）问题的设计建立在学生的最近发展区，由特殊到一般的过渡也符合学生认识问题的习惯，有效的突破了教学难点。
（2）教学中围绕“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数间的关系”这一主线展开教学。
教学中渗透了数形结合和化归的数学思想，教给了学生研究问题的方法。
（3）教学中重视给学生积极的评价。
通过评价激起学生学习数学的欲望和积极向上的生活态度。
欠缺之处:（1）备课不仅要备教材还要备足学生。
由于对学生的学习习惯和知识水平预判不够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象。
（2）对课堂的驾驭能力有待提高。
当课堂没有出现教师预想的情形时，教师应随机应变，灵活处理。
(3）教学中问题指向不清晰，语言不简洁，给学生的理解造成一定的困难。
改进措施:加强课前预设，备足教材，备足学生；规范语言，提高课堂控制能力。
发展方向:成功的教学过程应该是每一位学生都能积极的参与并得到发展。
通过本节课的设计和教学，使我深深认识到教学确实是门遗憾艺术。
提高课堂效率，为学生终生发展是一名优秀教师必须考虑的问题，也是我不懈努力的方向。
【篇二：正弦函数、余弦函数的单调性,公开课教案ding】县级数学教研课教案授课内容：正弦函数、余弦函数的单调性指导教师：钟炜授课教师：吴丽萍授课班级：高2012级 1 班授课地点：四川省荣县玉章高级中学校授课时间：2010年4月15日4.8 正弦函数、余弦函数的单调性（一）教学要求：1.能正确求出正弦函数、余弦函数的单调区间；2.会运用单调性，比较三角函数值的大小；3.培养学生直觉猜想、归纳抽象、演绎证明的能力。
教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性. 教学难点：正弦函数、余弦函数单调性的应用. 教学方法：发现法讲练结合法课型：新知型教学设计：一、复习引入：1、根据正弦函数和余弦函数的图像，回顾正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性和奇偶性；2、回忆具有单调性的函数图像在单调区间内的特征。
二、探究新课：前面三节课我们研究了正、余弦函数的定义域、值域、周期性和奇偶性，本节课我们将研究正、余弦函数的第五个性质—单调性。
（板书：4.8 正弦函数、余弦函数的单调性） 1. 教学正弦、余弦函数的单调性：通过观察正弦函数和余弦函数的图像，复习归纳总结，得出下表：例2：求下列函数单调递减区间.2. 思考：函数y=2sin（【篇三：《函数单调性》的教学案例】《函数单调性》教学案例 1.【案例背景】函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。
在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，不仅要用到以前学过的函数知识，还要由这些知识出发获得函数自身的更深人的认识，并由这些认识解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。
2.【教学内容分析】首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.3.【学情分析】高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。
函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。
运用新知识尝试解决新问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程。
充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4. 【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考）【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。
生1（主动回答）：0～4时，温度下降，4～14时温度上升，14～24时温度下降。
问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．二．借助图象，直观感知问题3：观画出y=x和y x2的函数图象，回答下面两个问题：⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？【设计意图】顺应学生的认知规律。
（小组合作探求）生1：一次函数y=x其定义域上是上升的，二次函数y=x2是先下降后上升。
师：这样回答准确吗？生2：一次函数y=x在区间（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函数y=x2在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。
⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗？【设计意图】有感性上升到理性。
（给学生适当的思考时间）这时学生们思维较为混乱，无从下手。
教师及时通过几何画板展示y=x图象上a点的运动情况，让学生观察x，y值的变化。
师（及时提问）：同学们能用数学语言把y=x图象上升的特征描述出来吗？生3：该函数随着x的值增大，y的值相应的增大。
师（面向全体学生）：大家同意生4的回答吗？生4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-∞，+∞）上随着x的值增大，y的值相应的增大。
师：生5补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函数y=x2呢？生5：函数y=x2在区间（-∞，0）上随着x的值增大，y的值相应的减小；在区间（0，+∞）上是随着x的值增大，y的值相应的增大。
师：在数学上，我们把y随着x的增大而增大，称为增函数；把y随着x的增大而减小，称为减函数。
三．探究规律，理性认识问题4：如何从解析式的角度说明f(x)=x2在[0,+∞)为增函数？生6：因为12, f(1)f(2),所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数．生7：因为12345，f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)所以f(x)=x2在[0,+∞)为增函数．生8：不对，以上只在两个或有限个特殊值之间进行比较，不能代替所有值。
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
三角函数的性质(单调性)
4、函数值外的符号要相同。
另外注意首先大致地判断一下有没有符号不同的 情况,以便快速解题。
1 π 例3. 函数y sin( x ), x [-2π, 2π]的单调递增区间. 2 3 1 令 解： Z x , 函数y sin Z的单调递增区间是 2 π 3 [ 2k , 2k ], k Z 2 2 1 5 由 2k x 2k , 得 4k x 4k 2 2 3 2 3 3 5 2 3 4k 1 5 于是- k 由x [总结：在解决这类问题时要“牢记五点作图、 2 , 2 ]可知， ， 12 12 4k 2 谨记整体换元、挂靠三角函数”
例2.在锐角△ABC中，试比较sin A与cosB的大小。
π π 解： 由△ABC为锐角三角形， A+B , 故A > - B 有 2 2 π π π 又0 < A < , 0 < B < 2 2 2
π 故sinA > sin( B) cosB,即sinA > cosB 2
）
练习2:下列关系式中正确的是（
总结：在解决这类问题时要“牢记五点作图、 谨记整体换元、挂靠三角函数”
-2π
5π 3
2π
π 3
练习3.
π 求函数的 y 2cos( 2 x), x [0, 2π]单调区间 3
课堂小结
3
k Z, k 0
5π π x , 而[ 5π ,π ] [-2π, ] 2π 3 3 3 3 1 π 5π π 函数y sin( x ), x [2π, 2π]的单调递增区间是[ , ]. 2 3 3 3
三角函数的性质单调性与奇偶性教案
1．4．2.2三角函数的图象与性质-----正弦函数、余弦函数的奇偶性及单调性一、 [教学目标]1、正弦函数、余弦函数的奇偶性；2、正弦函数、余弦函数的单调性；3、正弦函数、余弦函数的值域．二、[教学重点、难点、疑点]重点：掌握正弦函数、函数的奇偶性、单调性、值域．难点：正弦函数、余弦函数义域上的单调性．三、 [教学过程]（一）复习旧知：1. 偶函数（even function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴对称。
例如：()2x x f =2．奇函数（odd function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称。
例如：()3f x x =3．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间4.周期函数是怎样定义的？对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 就叫做这个函数的周期.因为正弦函数、余弦函数为周期函数，所以只要把握了一个周期内的性质，整个定义域内的性质也就很清楚了，因此下面研究x ∈[0,2π]的性质．(二)探究新知：1、正余弦函数的奇偶性请同学们观察正弦曲线、余弦曲线．-4π -3π -2π -π -1 π 2π 3π 4π它们的图象从对称性上有何特征？生：正弦曲线f(x)=sinx ，x ∈R 的图象关于原点对称，余弦曲线f(x)=cosx ， x ∈R 的图象关于y 轴对称．师：根据它们的图象特征，你能否确定它们的奇偶性？并证明你的结论． 生：f(x)=sinx ，x ∈R 是奇函数，证明如下f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)， ∴f(x)=sinx ，x ∈R 为奇函数．f(x)=cosx ，x ∈R 是偶函数，证明如下：f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)，∴f(x)=cosx ，x ∈R 为偶函数．2、正弦函数、余弦函数的单调性师:观察正弦曲线可以看出：当x 由-2π增大到2π时，曲线逐渐上升，sinx 的值由-1增大到1，当x 由2π增大到23π时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到-1，由正弦函数的周期性可知．正弦函数在每一个闭区间[2π+2k π,23π+2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[-2π+2k π,2π+2k π](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1．师:类似地，我们可得到余弦函数的单调性：请同学们自主学习，并在课本P38 上对应填写余弦函数的单调性有关内容余弦在每一个闭区间[(2k-1),2k π](k ∈Z)上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2k π, (2k+1)](k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1．3、正弦函数、余弦函数的最大值、最小值．请同学们分组学习，并在课本P38 上对应填写余弦函数的单调性有关内容(三) 理论迁移：例1：判定函数y=-sinx ， x ∈R 的奇偶性例２ 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制和分析三角函数的图象。
3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 能够应用三角函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。
2. 三角函数的图象绘制方法。
3. 三角函数的周期性性质。
4. 三角函数的奇偶性性质。
5. 三角函数的单调性性质。
三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。
2. 三角函数图象的绘制和分析。
3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。
4. 利用例题和练习题巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。
2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。
3. 第三课时：三角函数的周期性性质。
4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。
5. 第五课时：三角函数的单调性性质。
六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 学会应用周期性解决实际问题。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。
七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 周期性在实际问题中的应用。
3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。
八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。
2. 相位变换的理解和应用。
九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。
2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。
十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。
3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。
十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。
2. 学会应用正切函数解决实际问题。
3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。
高中数学第五章三角函数正弦函数余弦函数的单调性与最值学案新人教A版必修第一册
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值课程标准(1)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)及y ＝A cos (ωx ＋φ)的单调区间．(2)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点 正、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象❶单调性❷在____________上单调递增，在____________上单调递减在____________上单调递增，在____________上单调递减最值x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1助学批注批注❶ 从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y ＝1和y ＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.批注❷ 结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．( )(2)存在实数x，使得sin x＝√2.( )(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x有三个零点．( )(4)余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].( ) 2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是( ) A．[0，π] B．[π2，π]C.[0，π2]D．[π，2π]3．函数y＝－2cos x的最小值为( )A.1B．－1C.2D．－24．比较大小：sin π6________sinπ3(填“＞”或“＜”)题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用单调性比较大小例1 [2022·湖南永州高一期末]设a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜b＜a D．c＜a＜b方法归纳利用单调性比较三角函数值大小的步骤巩固训练1 若a＝sin47°，b＝cos37°，c＝cos47°，则a，b，c大小关系为()A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a题型2 求单调区间例2 (1)y ＝cos (x －π4)在[0，π]上的单调递减区间为( )A ．[π4，3π4]B ．[0，π4]C ．[3π4，π]D ．[π4，π](2)求函数y ＝√2sin (π4－2x )的单调区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略巩固训练2 函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为( )A ．[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )B ．[kπ2+π12，kπ2+7π12](k ∈Z )C ．[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z )D ．[kπ2−π6，kπ2+π3](k ∈Z )题型 3 正、余弦函数的最值(或值域)例3 已知函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12.(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)求f (x )在区间[0，5π12]上的值域．方法归纳求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法巩固训练3 (1)函数f (x )＝sin (x ＋π6)在[−π3，π2]上的最大值与最小值之和是()A ．12B ．－12C ．1D ．－1(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sin x(0≤x≤π2)，当x＝________时，f(x)取得最大值．第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值新知初探·课前预习[教材要点]要点一[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z) [2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) π2＋2kπ(k∈Z) －π2＋2kπ(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z)[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．解析：由正弦曲线知y＝sin x在[0，π2]上是增函数．答案：C3．解析：因为y＝cos x的最大值是1所以函数y＝－2cos x的最小值是－2.答案：D4．解析：0＜π6＜π3＜π2，由于函数y＝sin x在[0，π2]上为增函数，则sinπ6＜sinπ3.答案：<题型探究·课堂解透例1 解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜π2，函数y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin1＜sin (π－2)，即sin3＜sin1＜sin2，所以c＜a＜b.答案：D巩固训练1 解析：由题意得sin47°＝sin (90°－43°)＝cos43°，因为y＝cos x在[0，π2]上单调递减，所以b＞a＞c.答案：C例2 解析：(1)由cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，解得π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，π4≤x≤π.(2)∵y＝√2sin (π4－2x)＝－√2sin (2x－π4)，∴由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调增区间为[kπ+3π8，kπ+7π8](k∈Z)，由2kπ－π2≤2x－π4≤π2＋2kπ，(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)．所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调减区间为[kπ−π8，kπ+3π3](k∈Z)．答案：(1)D (2)见解析巩固训练2 解析：函数y＝sin (2x＋π3)，由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )．答案：A例3 解析：(1)∵函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12，∴f (x )最小正周期T ＝2π2＝π，∵sin (2x －π6)≤1，sin (2x －π6)＋12≤32，∴当sin (2x －π6)＝1时，f (x )max ＝32.(2)当0≤x ≤5π12时，－π6≤2x －π6≤23π，∴当2x －π6＝π2时，即x ＝π3时，f (x )max ＝32，当2x －π6＝－π6时，即x ＝0时，f (x )min ＝0，∴f (x )在区间[0，5π12]上的值域为[0，32].巩固训练3 解析：(1)∵－π3≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤sin (x ＋π6)≤1，∴最大值与最小值之和为－12＋1＝12.(2)令t ＝sin x ，则y ＝1－t 2＋t (0≤t ≤1)，对称轴为t ＝12，所以当t ＝12时，函数取得最大值，即sin x ＝12，得x ＝π6.答案：(1)A (2)π6。
三角函数的单调性
假期专题辅导系列三-------三角函数的单调性江苏省海安高级中学------罗湘军三角函数的单调性是三角函数的重要性质，在三角函数的各种问题中都能见到单调性的独特应用之处，特别是在比较大小、求三角函数的单调区间，解不等式等方面有着不可替代的作用，下面我们借助于几个例子来进行分析. 一. 典例分析1. 利用三角函数的单调性比较大小 例1 比较下列各组数的大小 （1）33sin(sin),sin(cos)88ππ; (2)13tan4π与17tan5π解析： (1) ∵3cossin 88ππ=,∴330cossin188ππ<<<.而sin y x =在(0,1)内递增,∴33sin(sin )sin(cos)88ππ<.(2) 13tantan 4π= 4π，172tan tan55ππ=， ⎪⎭⎫⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， 2tantan.45ππ∴<。
点评：比较两个三角函数值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角．最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．2. 利用三角函数的单调性求单调区间 例2 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的单调区间.解析:原函数变形为⎪⎭⎫⎝⎛--=432sin 21πx y 令432π-=x u ,则只需求u y sin =的单调区间即可. 2243222sin πππππ+≤-=≤-=k x u k u y 在 (Z k ∈)上单调递增即893833ππππ+≤≤-k x k ,(Z k ∈)上单调递增,u y sin =在2322()2342x k u k k Z πππππ+≤=-≤+∈上单调递减即在)(,8213893Z k k x k ∈+≤≤+ππππ上单调递减故⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的递减区间为:,893,833⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππk k ()k Z ∈ 故原函数递增区间为:)(,8213,893Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππ. 点评：研究三角函数的性质时常用整体思想.本题将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π作整体代换,转化为对函数sin y x =的性质的研究.另外,本题也可以画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的图象,通过图象来研究性质. 3. 利用三角函数的单调性求值域例3设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心，A(0，2)，B （0，－2）,且AB GM λ=(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ，y )的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L 与曲线E 交于点M 、N 两点，设ON OM OP +=，是否存在这样的直线L ，使四边形OMPN 是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.例3.求函数)3cos(2π-=x y 在6π≤x ≤32π范围内的值域。
高考数学复习知识点讲解教案第25讲 三角函数的图象与性质
π
− 或0
2
<<
π
，
2
∴ 函数 = lg sin 2 + 9 −
π
2 的定义域为[−3, − )
2
∪
π
0,
2
.
探究点二 三角函数的值域或最值
例2（1）
[2024·天津和平区期中] 函数 = sin + 3cos
最小值为(
C
π
在区间[0, ]上的
2
)
A. 3
B. 2
C.1
D.2
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）
π
,
1
在函数 = sin ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,0 ，_______,
2
3π
,
−1
π, 0 ,___________，
2π, 0 .
2
（2）
π
,
0
在函数 = cos ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,1 ，_______，
π
2
所以 = − + 2π , ∈ ，
所以cos = cos
π
2
− + 2π = sin =
2 5
，
5
∈ ,故选A.
（2） 已知函数
3
+
2
___________.
= sin + cos + 2sin cos + 2，则 的最大值为A.π ቚπ−
6
C.
π
ቚ2π−
6
< < π +
5π
,∈
三角函数单调性
解：Q
y=sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
减区间为
2
2k ,
3
2
2k
,
k
Z
y=1+2sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减区间为
2
2k , 3
2
2k
,
k
Z
例1：求下列函数的单调区间。
（2）.y 1 2sin x
解：Q
y=sinx单调递增区间为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
减区间为
(2)cos( 23 )与cos(17 ).
5
（求增找减）
余弦函数也有类似规律
练习（1）.求y -1 1 sin x的单调增区间 2
解：Q y=sinx单调递增区间
为
2
2k
,
2
2k
，k
Z
y=-1+
1 2
sinx单调递增区间
为
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
练习（2）.求y 1 2cos x的单调减区间
解：Q y=cosx单调递增区间
为 2k , 2k ，k Z
7
12
k，- k
12
，k z
,
例（. 2）求y sin（ -2x）的单调减区间
3
分析：y sin（ -2x）
3
=sin[-（2x- ）]
3
=-sin（2x- ）
3
例（. 2）求y
sin（
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。
2. 学会绘制和分析三角函数的图像。
3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。
二、教学重点：1. 三角函数的定义和图像。
2. 三角函数的性质。
三、教学难点：1. 三角函数图像的绘制和分析。
2. 理解和应用三角函数的性质。
四、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 三角函数图像的示例。
3. 练习题和解答。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如温度、声音等，引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。
3. 演示：使用课件或黑板，展示三角函数的图像，让学生观察和分析图像的形状和特点。
4. 练习：让学生绘制一些简单的三角函数图像，并分析其性质。
5. 讲解：讲解三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，引导学生理解和应用。
6. 练习：让学生解决一些实际问题，运用三角函数的性质进行计算和分析。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像和性质的重要性。
8. 作业：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。
六、教学反思：本节课通过实例引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握三角函数的图像和性质。
通过练习和实际问题解决，让学生应用所学知识。
整个教学过程中，注意引导学生主动参与，培养学生的动手能力和思维能力。
作业的布置有助于巩固所学内容。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、教学目标：1. 能够运用三角函数的性质解决简单的三角方程和不等式问题。
2. 理解正弦、余弦和正切函数的图像是如何由基础函数通过平移、伸缩等变换得到的。
3. 能够分析实际问题，选择合适的三角函数模型进行求解。
七、教学重点：1. 三角函数图像的变换规律。
2. 三角方程和不等式的求解方法。
八、教学难点：1. 理解三角函数图像的变换规律及其对函数性质的影响。
2. 解决实际问题中三角函数的应用。
三角函数基础,定义域值域,单调性,奇偶性
二.基础练习1． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2xy =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是4．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.8．给出下列命题：①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立；②函数5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；③直线8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．⑤R x x x f ∈+=),32sin(3)(π的图象关于点)0,6(π-对称；其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．三、例题分析：题型1：三角函数图像变换例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1cos 2y x =的图象怎样变换？ 式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .题型2：三角函数图像性质例2、已知函数 y=log 21)4x π-)⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.变式1：求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是题型3：图像性质的简单应用例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴交于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。