2021届东北三省三校高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

2021届东北三省三校高三第一次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合{}*2,A x x x N =≤∈，{}

2,B y y x x R ==∈，则A B =( ) A.{}0x x ≥

B.{}1x x ≥

C.{}1,2

D.{}0,1,2

2.已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1i -

B.1i +

C.

1122

i - D.

1122

i + 3.在下列向量中，可以把向量()3,1a =-表示出来的是( ) A.()10,0e =，()23,2e =

B.()11,2e =-，()23,2e =

C.()13,5e =，()26,10e =

D.()13,5e =-，()23,5e =-

4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.

23

B.

12

C.13

D.

14

5.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.2

B.1

C.

14

D.18

6.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()2

2

2x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的4a =，则输入的,a b 不可能为( )

A.4，8

B.4，4

C.12，16

D.15，18

8.已知函数()sin 3f x x π?

?=+ ??

?，则下列说法不正确的是( )

A.()f x 的一个周期为2π

B.()f x 向左平移

3

π

个单位长度后图象关于原点对称 C.()f x 在7,66ππ??

????

上单调递减

D.()f x 的图象关于56

x π

=-对称

9.函数()a

f x x x

=+(其中a R ∈)的图象不可能是( )

A

B

C

D

10.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为( )

A.

43

π

3

55

6π

11.设双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与直线2a x c =分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦

点，若6090AFB <<∠°°，则该双曲线离心率e 的取值范围是( ) A.(2

B.23?

+∞????

C.

)

2,2

D.232?

12.已知函数()()()212212

21x x x x f x x --?-+-≤?=?->??，()()1cos g x a x x R =-∈，若对任意的12,x x R ∈，都有

()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围为( )

A.[]0,2

B.R

C.[]2,0-

D.(][),20,-∞-+∞

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为_____________. 14.若实数,x y 满足不等式组0

1030

x x y x y ≥??

-+≤??+-≤?

，则32y x +-的取值范围是_____________.

15.甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。 甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。 则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)

16.ABC △中，2BC =

，AB =，则ABC △面积的最大值为_____________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列{}n a 的前n 项和为()()31

*1227

n n S n N +=-∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2log n n b a =，求

12231

111

n n b b b b b b ++++

…. 18.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22?列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为

710

. (1)根据已知条件完成22?列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？

(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件A 为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件A 发生的概率？

0k

3.841 5.024 6.635 7.879

22?列联表

青年 中老年 合计 使用手机支付 60 不使用手机支付 24 合计

100

附：()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

19.已知圆锥SO ，2SO =，AB 为底面圆的直径，2AB =，点C 在底面圆周上，且OC AB ⊥，E 在母线SC 上，且4SE CE =，F 为SB 中点，M 为弦AC 中点.

(1)求证：AC ⊥平面SOM ； (2)求四棱锥O EFBC -的体积.

20.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的离心率为22，()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆C 的左、右焦点，M 为椭

圆C 上的任意一点，12MF F △的面积的最大值为1，A 、B 为椭圆C 上任意两个关于x 轴对称的点，直线

2

a x c =与x 轴的交点为P ，直线PB 交椭圆C 于另一点E . (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求证：直线AE 过定点.

21.已知函数()34f x x ax =-+，x R ∈.

(1)讨论函数()f x 的单调性；

(2)若函数()f x 在[]1,1-上的最大值为1，求实数a 的取值集合.

22.已知在极坐标系中曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C

的参数方程为：132x t y ?=-??

??=??(t 为参数)，点()3,0A .

(1)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 相交于,P Q 两点，求AP AQ ?的值. 23.已知函数()2521f x x x =-++. (1)求不等式()1f x x >-的解集；

(2)若()1f x a >-对于x R ∈恒成立，求实数a 的范围.

2021届东北三省三校高三第一次模拟考试

数学（文）试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.C

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.D

8.B

9.C 10.C 11.C 12.A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． //l α或l α? 14． []5,2-- 15．丙 16

．三、解答题（本大题共70分） 17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当2≥n 时，3+13232111

(22)(22)277

n n n n n n a S S ---=-=

---= 当1=n 时，112a S ==312

=2?-，符合上式 所以32

*2

()n n a n -=∈N . （Ⅱ）由（Ⅰ）得32

2log 2

=32n n b n -=-, 所以

=+-++?+?=++++)

13)(23(1

74141111113221n n b b b b b b n n 1

3)1311(31)]131231()7141()411[(31+=+-=+--++-+-n n n n n ． 18.（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)

从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为

7

10

∴使用手机支付的人群中的青年的人数为

7

604210

?=人， 则使用手机支付的人群中的中老年的人数为604218-=人，所以22?列联表为:

2

K 的观测值2100(42241816)1800

=8.86758426040203

k ?-?=

≈??? 28.8677.879(7.879)0.005P K >≥=，，

故有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.

(Ⅱ) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量 为5的样本中： 使用手机支付的人有60

53100

?

=人，记编号为1,2,3 不使用手机支付的人有2人，记编号为a,b ， 则从这个样本中任选2人有

(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(2,3)(2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共10种 其中至少有1人是不使用手机支付的

(1,a)(1,b) (2,a)(2,b)(3,a)(3,b)(a,b)共7种， 故7

()10

P A =

. 19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：∵SO ⊥平面ABC ，∴SO AC ⊥， 又∵点M 是圆O 内弦AC 的中点，

AC MO ∴⊥，

又

SO MO O =

AC ∴⊥平面SOM

（Ⅱ）∵SO ⊥平面ABC ，SO 为三棱锥S OCB -的高，

111

112323

S OCB O SCB V V --∴==????=

而O EFBC V -与O SCB V -等高，

1

sin 2

215sin 2

ESF SCB

SE SF ESF S S SC SB CSB ????∠==??∠， ∴3

5SCB EFBC S S ?=四边形

因此，3311

5535

O EFBC O SCB V V --==?=

20.（本小题满分12分） 解：

（Ⅰ）

2

c e a =

=， 当M 为椭圆C 的短轴端点时，12MF F ?的面积的最大值为112112

c b bc ∴??=∴=，

而222

a b c =

+1a b ∴=

=

故椭圆C 标准方程为：2

212

x y += （Ⅱ）设112211(,),,),(,)B x y E

x y A x y -（，且12x x ≠， 2

=2a x c

=，(2,0)P ∴

由题意知BP 的斜率必存在，设BP ：(2)y k x =-，代入2

212x y +=得 2222(21)8820k x k x k +-+-=

0?>得212

k <

22121222882

,2121k k x x x x k k -+=?=++

12x x ≠∴AE 斜率必存在，AE ：12

1121

()y y y y x x x x ++=

--

由对称性易知直线AE 过的定点必在x 轴上，则当0y =时，得

12112211221

1121212()(2)(2)()4y x x y x y x k x x k x x x x y y y y k x x k

-+-+-=

+==

+++-

22

22

12122

122

8282222()2121=184

421

k k x x x x k k k x x k -?-?-+++==+--+ 即在2

12

k <的条件下，直线AE 过定点（1，0）.

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）2

()12f x x a '=-+.

当0a =时，3()4f x x =-在R 上单调递减； 当0a <时，2

()120f x x a '=-+<，即3

()4f x x ax =-+在R 上单调递减； 当0a >时，2()12f x x a '=-+

.

(,x ∈-∞时，()0f x '<，()f x

在(,-∞上递减；

(66x ∈-

时，()0f x '>，()f x

在(,66-上递增；

)6x ∈+∞时，()0f x '<，()f x

在)6

+∞上递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；

当0a >时，()f x 在(,)6

-∞-

上递减；

在(

上递增；)+∞上递减. （Ⅱ）∵函数()f x 在[1,1]-上的最大值为1. 即对任意[1,1]x ∈-，()1f x ≤恒成立。 亦即3

41x ax -+≤对任意[1,1]x ∈-恒成立。 变形可得，3

14ax x ≤+.

当0x =时，3

0140a ?≤+?即01≤，可得a R ∈； 当(0,1]x ∈时，214a x x ≤

+.则2min 1

(4)a x x

≤+ 令2

1()4g x x x

=+，则322

181()8x g x x x x -'=-+=. 当1

(0,)2x ∈时，()0f x '<，当1(,1)2

x ∈时，()0f x '>. 因此，min 1()()32

g x g ==，∴3a ≤. 当[1,0)x ∈-时，214a x x ≥

+.则2max 1

(4)a x x

≥+ 令2

1()4g x x x

=+，则322

181()8x g x x x x -'=-+=. 当[1,0)x ∈-时，()0f x '<，

因此，max ()(1)3g x g =-=，∴3a ≥. 综上，3a =∴a 的取值集合为{3}. 22. (本小题满分10分） 解：（Ⅰ）

=4cos ρθ，当0ρ>时，有222=4cos 4x y x ρρθ∴+=

当0ρ=时，点(0,

)2π

在曲线1C 上，(0,)2

π

即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程224x y x +=，

故曲线1C 的直角坐标方程为2

2

4x y x +=即()2

2

24x y -+=.

曲线2C

0y +-=.

（Ⅱ）将13,2,2

x t y ?=-????=??代入224x y x +=得2

30t t --=，

143130?=+?=>，

故方程有两个不等实根12,t t 分别对应点,P Q ，

1212=33AP AQ t t t t ∴??=?=-=，即AP AQ ?=3.

23.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）25211x x x -++>-等价于

5225211x x x x ?≥??

?-++>-?或152252211x x x x ?-<-?或1252211

x x x x ?≤-

???--->-? 分别解得52x ≥

或无解或1

2

x ≤- 综上：不等式的解集为1

52

2x x x ??≤-≥

???

?

或. （Ⅱ）()2521(25)(21)6f x x x x x =-++≥--+= 当且仅当(25)(21)0x x -+≤即15

22

x -

≤≤时()f x 有最小值6， 1661657a a a ∴-<∴-<-<∴-<<即()5,7a ∈-.