信号与系统第二章
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
《信号与系统》第2章1
信号与系统讲稿
二. 系统模型的建立是有一定条件的：
1. 对于同一物理系统在不同条件之下，可以得到不 同形式的数学模型。（参考书中P29） 2. 对于不同的物理系统，经过抽象和近似有可能得到 形式上完全相同的数学模型。（参考书中P29）
建立数学模型
解数学模型
对解加于物理解释
三. 时域分析方法
时域分析：在分析过程中，所涉及到的函数都是时间的 函数。 （1） 经典方法：求解微分方程 （2） 卷积积分。（重点内容）
在 t = 0 时刻换开关，由于电感的电流不能跳变，所以： i( 0+ ) = i( 0 ) = 0 A
di(t ) 而i (0 ) dt
L 1 1 u ( t ) u L (t ) u L (0 ) L t 0 t 0 t 0 L
且u L (0 ) 20 u C (0 )
信号与系统讲稿
对于电阻，有信号就有可能发生跳变。 第一种情况：在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫 作用于电容的情况下，电容两端电压uC( t )不发生跳变； 在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的情 况下，流过电感的电流iL( t )不发生跳变。 即： uC( 0+ ) = uC( 0 )、iL( 0+ ) = iL( 0 ) 第二种情况：在有冲激电流（或阶跃电压）强迫作 用于电容以及有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于 电感时， uC(0)和iL( 0 )发生跳变，这种情况只能借助 于对微分方程在[ 0，0+ ]内取积分或用奇异函数平衡 法来决定。 （2） 利用方程和起始条件uC( 0 )、iL( 0 )，通过奇异 函数平衡法决定初始条件。
1 i R (t ) u R (t ) 或 u R (t ) R i R (t ) R
信号与系统 第二章repeat
④
0
e2t
k
2 t 4 e d t 2 dt e d t 2 k dt 0
19
课堂练习：计算下列各式
sin 2t sin 2t dt 4d t ① 2d t dt 4 d t dt 4 t 2t
t 设齐次解: ht C1e U t C2d t
代入方程: C1etU t C1d t C2d t C1etU t C2d t 2d t 比较系数: C1 C2 0, C2 2, C1 2 所以:
ht 2etU t 2d t
25
课堂练习
1. 已知激励为零时刻加入，求该系统的零输入响应。(2.13)
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ),
yx (t ) (2et e2t )U (t )
y(0 ) 1, y(0 ) 0
2C1 C2 2C3 1 C1 C2 3C3 2C4 0 C3 3C4 0 C4 1, C3 3, ht 7e2tU t 3d t d t
f t d t t0 dt f t0 f t d ( n) t t0 dt (1)n f ( n) t0
（2）相乘性质：
f t d t f 0 d t f 0 d t
2. 已知 yt 3 yt 2 yt f t f t ,
3. 4.
求 ht .
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) f (t ) y(t ) 7 y(t ) 12 y(t ) f (t )
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统第二章
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
信号与系统第二章习题与答案
第二章习题与答案1．求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域。
分析：Z 变换概念∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域 是知足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的概念可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a an x nnn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-解：(2) 由z 变换的概念可知：n n nz n u z X -∞-∞=∑=)()21()( ∑∞=-=0)21(n n n z 12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域： 0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--= 12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z。
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KCL： i( t )＝0 KVL： u( t )＝0 VCR： uR( t ) = R i( t )
uL
(t)
L
di(t) dt
iC
(t)
C
du(t) dt
对图1(a)，有
RC
duC (t) dt
uC
(t)
uS
(t)
即
uC (t)
1 RC
uC (t)
1 RC
uS (t )
h(t) ds(t) dt
t
s(t) h( )d
（3）利用转移算子求h(t)
定义算子
p d , dt
pn
dn dt n
，
1 t
p
算子的运算规则： （1）可因式分解： （2）算子方程中左右两端的算子p不能随意消去： （3）算子p和1/p的位置不能互换：
如图所示的二阶系统，其描述方程如下
a、自由响应：取决于系统性质，即特征根；
b、强迫响应：取决于输入信号的形式；
按响应的变化形式：
a、瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零；
b、稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。
例2-1 一阶系统
uC (t) 2uC (t) 2uS (t)
当uC(0)=4V， uS(t)=1+e3t 时，则完全响应为： uC (t) 4e2t e2t 2e3t1 零输入响应 零状态响应 （储能响应）（受激响应）
图1
1、阶跃响应
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的 响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记
为s( t )。
图2
对于一阶系统方程
y(t) ay(t) k (t)
则零状态响应：
则阶跃响应：
y(t) s(t) eat t k ( )ea d 0 k (1 eat )ε(t) a
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
yh (t) e1t (K1 cos1t K1 sin 1t) L eit (Ki cosit Ki sin it)
3、零输入响应与零状态响应
• 零输入响应（储能响应 ）： 从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时 刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入 响应（ZIR）。
1、LTI系统的微分方程的建立
描述线性时不变（LTI）系统的输入-输出特性的是 线性常系数微分方程。 从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入 信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域 特性的重要方法，这种方法就是时域分析方法。
• 系统的微分方程的建立
对于电系统，建立其微分方程的基本依据是 ：
➢ 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0_状态到0＋状态发生了跳变 。
3、0＋ 状态的确定
➢ 已知 0_状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。 ➢ 求 0＋ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
4、各种响应用初始值确定积分常数
➢在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0＋ 状态初始值. ➢在求系统零输入响应时，用的是 0_ 状态起始状态。 ➢在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值，这时的零 状态是指 0_状态为零。
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有
频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一
般形式（无重根）：
n
yh (t) Cieit i 1
i 为特征根
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定
（2）求yzi(t)的基本步骤
①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
y
(i zi
)
(0)
y
(i zi
)
(0)
确定积分常数C1，C2， …，Cn
③将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入通解表达式， 即得yzi(t) 。
关于 0_ 和 0+ 初始值
对本例 所以
H ( p) 2 1 p 1 p 2
y(t) h(t) ( 2 1 ) (t)
p 1 p 2
最后
h(t) (2et e2t ) (t)
2.3 卷积及其应用
教学目的：深刻理解并掌握卷积的定义，会利用 其性质求卷积，掌握卷积在LTI系统中的应用。
即
y(t)
p2
p 3 (t)
3p 2
p 3 (t) H ( p) (t)
( p 1)( p 2)
H( p )称为转移算子。
一般
有 (2-32)
H ( p) k1 k1 ki
p 1 p 1
p i
n
h(t) kieit , t 0 i 1
零状态响应
（1）即求解对应非齐次微分方程的解
（2）求yzs(t)的基本步骤
①求系统的特征根，写出的通解表达式yzs(t) 。
②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yp(t)
③求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根
据冲激函数匹配法求得
y(i) zs
(0)
，确定积分常数C1，
C2， …，Cn
④将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入全解表达式，即 得。
几种典型自由项函数相应的特解
• 一阶系统的零状态响应
对于一阶系统方程
y(t) ay(t) x(t)
x(t)：强迫函数（与输入信号有关）
特征方程的根： 则零状态响应：
a
或
yzs (t) eat
定义为f1(t)和f2(t)的卷积，记作
即：
y(t) f1(t) f2 (t)
y(t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
若f1(t)、f2(t)均为因果信号：
有 所以
y(t) k (t)
pa
H ( p) k pa
y(t) h(t) ke at (t)
例2-4 设有二阶方程
y(t) 3y(t) 2y(t) f (t) 3 f (t), f (t) (t)
则有算子方程
( p2 3 p 2) y(t) ( p 3) (t)
第二章 连续系统的时域分析
学习重点：
• 连续系统微分方程的特点； • 系统响应的分解形式； • 阶跃响应与冲激响应； • 卷积及其应用； • 系统的特征函数及其应用。
本章目录
2.1 LTI连续系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃响应与冲激响应 2.3 卷积及其应用 2.4 特征函数及其应用
2.1 LTI连续系统的微分方程及其响应
• 阶跃响应的测量
图3
2、冲激响应
（1）定义 储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生
的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。
对于一阶系统
y(t) ay(t) k(t)
x(t)
则冲激响应：
y(t) h(t) eat t k ( )ea d 0 keat (t)
R L
uC
(t)
1 LC
uC
(t)
1 C
iS (t)
R LC
iS (t)
2、微分方程的经典解法
• 对于n阶LTI连续系统，其微分方程为
微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
yh(t)的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形 式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
例2-3 求图6示系统冲激响应h(t)=uC(t)
解 所以
图6
uC (t)
1 RC
uC (t)
1 (t)
RC
t
uC (t) h(t) e RC
t 0
1
( )e RC d
RC
1
t
e RC (t)
RC
（2）阶跃响应与冲激响应的关系
由系统的微、积分特性，则
4e2te2t 12e3t 自由响应 强迫响应
5e
2t
2e3t
1
瞬态响应 稳态响应
•经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物 理概念。
系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就
是稳态解。
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yh (t) K1es1t K2es2t L Knesnt
(2) 特征根是等实根s1=s2==sn
yh (t) K1es t K2tes t L Knt n1es t
uC
(t)
R L
uC
(t)
1 LC
uC
(t)
1 C
iS (t)
R LC
iS (t)
i(t)
R i(t) L
1 LC
i(t)
1 LC
iS ( t )
（3）利用转移算子求h(t)
定义转移算子H( p )： H ( p) N( p)
D( p)
一般可将输入-输出关系表示为： y(t) H ( p) f (t) 则对一阶方程 y(t) ay(t) k (t)
uL
(t)
L
di(t) dt
iC
(t)
C
du(t) dt
对图1(a)，有
RC
duC (t) dt
uC
(t)
uS
(t)
即
uC (t)
1 RC
uC (t)
1 RC
uS (t )
h(t) ds(t) dt
t
s(t) h( )d
（3）利用转移算子求h(t)
定义算子
p d , dt
pn
dn dt n
，
1 t
p
算子的运算规则： （1）可因式分解： （2）算子方程中左右两端的算子p不能随意消去： （3）算子p和1/p的位置不能互换：
如图所示的二阶系统，其描述方程如下
a、自由响应：取决于系统性质，即特征根；
b、强迫响应：取决于输入信号的形式；
按响应的变化形式：
a、瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零；
b、稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。
例2-1 一阶系统
uC (t) 2uC (t) 2uS (t)
当uC(0)=4V， uS(t)=1+e3t 时，则完全响应为： uC (t) 4e2t e2t 2e3t1 零输入响应 零状态响应 （储能响应）（受激响应）
图1
1、阶跃响应
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的 响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记
为s( t )。
图2
对于一阶系统方程
y(t) ay(t) k (t)
则零状态响应：
则阶跃响应：
y(t) s(t) eat t k ( )ea d 0 k (1 eat )ε(t) a
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
yh (t) e1t (K1 cos1t K1 sin 1t) L eit (Ki cosit Ki sin it)
3、零输入响应与零状态响应
• 零输入响应（储能响应 ）： 从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时 刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入 响应（ZIR）。
1、LTI系统的微分方程的建立
描述线性时不变（LTI）系统的输入-输出特性的是 线性常系数微分方程。 从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入 信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域 特性的重要方法，这种方法就是时域分析方法。
• 系统的微分方程的建立
对于电系统，建立其微分方程的基本依据是 ：
➢ 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0_状态到0＋状态发生了跳变 。
3、0＋ 状态的确定
➢ 已知 0_状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。 ➢ 求 0＋ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
4、各种响应用初始值确定积分常数
➢在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0＋ 状态初始值. ➢在求系统零输入响应时，用的是 0_ 状态起始状态。 ➢在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值，这时的零 状态是指 0_状态为零。
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有
频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一
般形式（无重根）：
n
yh (t) Cieit i 1
i 为特征根
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定
（2）求yzi(t)的基本步骤
①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
y
(i zi
)
(0)
y
(i zi
)
(0)
确定积分常数C1，C2， …，Cn
③将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入通解表达式， 即得yzi(t) 。
关于 0_ 和 0+ 初始值
对本例 所以
H ( p) 2 1 p 1 p 2
y(t) h(t) ( 2 1 ) (t)
p 1 p 2
最后
h(t) (2et e2t ) (t)
2.3 卷积及其应用
教学目的：深刻理解并掌握卷积的定义，会利用 其性质求卷积，掌握卷积在LTI系统中的应用。
即
y(t)
p2
p 3 (t)
3p 2
p 3 (t) H ( p) (t)
( p 1)( p 2)
H( p )称为转移算子。
一般
有 (2-32)
H ( p) k1 k1 ki
p 1 p 1
p i
n
h(t) kieit , t 0 i 1
零状态响应
（1）即求解对应非齐次微分方程的解
（2）求yzs(t)的基本步骤
①求系统的特征根，写出的通解表达式yzs(t) 。
②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yp(t)
③求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根
据冲激函数匹配法求得
y(i) zs
(0)
，确定积分常数C1，
C2， …，Cn
④将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入全解表达式，即 得。
几种典型自由项函数相应的特解
• 一阶系统的零状态响应
对于一阶系统方程
y(t) ay(t) x(t)
x(t)：强迫函数（与输入信号有关）
特征方程的根： 则零状态响应：
a
或
yzs (t) eat
定义为f1(t)和f2(t)的卷积，记作
即：
y(t) f1(t) f2 (t)
y(t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
若f1(t)、f2(t)均为因果信号：
有 所以
y(t) k (t)
pa
H ( p) k pa
y(t) h(t) ke at (t)
例2-4 设有二阶方程
y(t) 3y(t) 2y(t) f (t) 3 f (t), f (t) (t)
则有算子方程
( p2 3 p 2) y(t) ( p 3) (t)
第二章 连续系统的时域分析
学习重点：
• 连续系统微分方程的特点； • 系统响应的分解形式； • 阶跃响应与冲激响应； • 卷积及其应用； • 系统的特征函数及其应用。
本章目录
2.1 LTI连续系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃响应与冲激响应 2.3 卷积及其应用 2.4 特征函数及其应用
2.1 LTI连续系统的微分方程及其响应
• 阶跃响应的测量
图3
2、冲激响应
（1）定义 储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生
的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。
对于一阶系统
y(t) ay(t) k(t)
x(t)
则冲激响应：
y(t) h(t) eat t k ( )ea d 0 keat (t)
R L
uC
(t)
1 LC
uC
(t)
1 C
iS (t)
R LC
iS (t)
2、微分方程的经典解法
• 对于n阶LTI连续系统，其微分方程为
微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
yh(t)的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形 式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
例2-3 求图6示系统冲激响应h(t)=uC(t)
解 所以
图6
uC (t)
1 RC
uC (t)
1 (t)
RC
t
uC (t) h(t) e RC
t 0
1
( )e RC d
RC
1
t
e RC (t)
RC
（2）阶跃响应与冲激响应的关系
由系统的微、积分特性，则
4e2te2t 12e3t 自由响应 强迫响应
5e
2t
2e3t
1
瞬态响应 稳态响应
•经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物 理概念。
系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就
是稳态解。
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yh (t) K1es1t K2es2t L Knesnt
(2) 特征根是等实根s1=s2==sn
yh (t) K1es t K2tes t L Knt n1es t
uC
(t)
R L
uC
(t)
1 LC
uC
(t)
1 C
iS (t)
R LC
iS (t)
i(t)
R i(t) L
1 LC
i(t)
1 LC
iS ( t )
（3）利用转移算子求h(t)
定义转移算子H( p )： H ( p) N( p)
D( p)
一般可将输入-输出关系表示为： y(t) H ( p) f (t) 则对一阶方程 y(t) ay(t) k (t)