一个有趣的数学建模问题

一个有趣的数学建模问题

(2008-04-07 00:12:58)

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学.

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女生

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一、摘要

男生追女生和女生追男生这是从人类社会开始的时候就有的现象，但如何追女生，如何安排好自己的事情。这是个值得思考得问题。如今科学发达了，对男生追女生，我们也可以用数学方法进行解决。

二、问题分析

男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数 Y(t) 。

首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数 X(t) 。问题就转化为求解 Y(t) 和 X(t) 的相互作用关系。利用微分，很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生XXXXX的追求攻势，因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与 Y(t) 和 X(t) 的关系了。

三、模型假设

1 、 t 时刻 A 君的学业成绩为 Y(t) ；

2 、 t 时刻 B 女对A 君的疏远度为 X(t) ；

3 、假设追求是同一个女生，即B女是同一个人，并且她不是歌星之类的人物；

4 、当 A 君没开始追求 B 女，B 女对 A 君的疏远度增长（平时发现的 A 君的不良行为）符合 Malthus 模型，即 dX/dt=aX(t) 其中 a 为正常数。

5 、当 Y(t) 存在时，单位时间内减少 X(t) 的值与 X(t) 的值成正比，比例常数为 b ，从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t) 。

6 、 A 君发起对 B 女追求后，立即转化为 B 女对 A 君的好感，并设定转化系数为α，而随着的 A 君发起对 B 女的追求， A 君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为 e 。于是有 dY(t)/dt= α bX(t)Y(t)-eY(t) 。

四、模型构成

由假设 5和假设 6 ，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型：

{dX(t)/dt=aX-bXY ； dY(t)/dt=cXY-eY} 其中 c= α b.

(1) 这是一个非线性自治系统，为了求两个数 X 与 Y 的变化规律，我们对它作定性分析。令 {aX-bXY=0 ； cXY-eY=0} 解得系统 (1) 的两个平衡位置为： O(0,0) ， M (e/c,a/b) 。从 (1) 的两方程中消去 dt ，分离变量可求得首次积分：

F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k

(2) 容易求出函数 F(X,Y) 有唯一驻点为 M(e/c,a/b) 。再用极值的充分条件判断条件可以判断 M 是 F 的极小值点。同时易见，当X →∞（ B 女对 A 君恨之入骨）或Y →∞ （ A 君是一块只会学习的木头）时均有 F →∞；而X → 0 （ A 君作了变形手术， B 女对他毫无防备）或Y → 0 （ A 君不学无术，丝毫不学习）时也有 F →∞。由此不难看出，在第一象限内部连续的函数 z=F(X,Y) 的图形是以 M 为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与 z=k(k ＞ 0) 的交线在相平面 XOY 的投影 F(X,Y)=k (k ＞ 0，k取无穷) 是环绕点 M 的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。

五、结果解释

从生态意义上看这是容易理解的，由循环效应知，当 A 君的学习成绩 Y(t) 下降时， B 女会疏远 A 君，疏远度 X(t) 上升；于是 A 君就又开始奋发图强，学习成绩 Y(t) 又上升了。于是 B 女就又和 A 君开始了来往，疏远度 X(t) 又下降了。与 B 女交往多了，当然分散了学习时间， A 君的学习成绩 Y(t) 下降了。

然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的 X 和 Y 的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点 M 的两个坐标。事实上，由 (1) 的第二个方程可得： dY/Ydt=cX- e, 两端在一个周期时间 T 内积分，得：

∫ (dy/Ydt)dt=c ∮ Xdt-dT (3)

注意到当 t 经过一个周期 T 时，点 (X,Y) 绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫ (dY/Ydt)dt= ∮ dY/Y=0 。所以，由 (3) 式可得：( ∫ Xdt)/T=e/c 。

同理，由 (1) 的第一个方程可得：( ∫ Ydt)/T=a/b 。

模型优化考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为 h ， h 反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为： {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY ； dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)

将 (4) 式与 (1) 式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把 (1) 中 X 与 Y 的系数分别换成了 a-h 与 e+h 。因此，对 (4) 式有

x ' =( ∫ Xdt)/T=(e+h)/c ，y ' =( ∫ Ydt)/t=(a-h)/b (5)

利用 (5) 式我们可见：攻势作用力 h 的增大使 X '增加， Y '减少。

我们的建议：考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即 h 减小，与平时相比，将有利于学业成绩 Y 的增长。这就是Volterra 原理。此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！还有当成绩下降到一定程度时，一定要当机立断。因为你必须相信有些女孩是追不到的，不信你去追twins任何一个，你永远追不到。但是学习好与坏与你追女孩子的成功率成正比（这里是说你喜欢的那个，不喜欢的不在讨论中），所以你有理由相信你能追到你喜欢的，只要努力了。当然这是说一个女孩疏远你的时候，不好好学习，除非你做了变形手术，否则难成美事。祝君好运！

六.模型的推广及评价

由于模型的建立是为解决一种期望的结果，因此不仅是成绩对女生的疏远的关系，还可以是能力对疏远、money对疏远等都有效。广而推之，还可以是一个人想得到某种成功的期望。我们的优点是可以把模型推的更广，符合一般性，不足是一般人看不懂。