一个有趣的数学建模问题
生活中的数学建模问题例子
生活中的数学建模问题例子生活中的数学建模问题数学建模是将实际问题抽象为数学模型的过程，通过数学模型的建立和求解，可以对问题进行分析、预测和优化。
在生活中，我们会遇到许多需要用数学建模来解决的问题。
下面是一些常见的例子。
1. 交通拥堵问题问题描述在城市交通流量较大时，往往会出现交通拥堵的情况。
为了合理规划交通流量，我们需要建立一个能预测交通拥堵程度的数学模型。
建模过程•收集数据：首先，我们需要收集一段时间内的交通数据，包括车辆数量、行驶速度等信息。
•分析数据：根据收集到的数据，我们可以分析交通拥堵的原因和模式。
例如，可以通过分析车辆密度和速度的关系来确定交通流量的阈值。
•建立数学模型：基于分析结果，我们可以建立一个数学模型来描述交通拥堵程度。
例如，可以使用流体力学中的守恒方程，考虑车辆的流入、流出和流动等因素。
•模型求解：通过求解建立的数学模型，我们可以得到交通拥堵程度的预测结果。
•模型评估和优化：根据模型预测的结果，我们可以评估当前交通规划的效果，并提出优化建议。
2. 疫情传播问题问题描述在疫情爆发时，我们希望能够及早预测疫情的传播趋势和规模，以便采取相应的措施来控制疫情。
建模过程•收集数据：收集疫情传播的相关数据，包括感染人数、治愈人数、病毒传播速度等信息。
•分析数据：利用收集到的数据，我们可以分析疫情传播的特点和规律。
例如，可以通过分析感染人数的增长速度来预测疫情的传播趋势。
•建立数学模型：基于分析结果，我们可以建立一个数学模型来描述疫情传播的过程。
例如，可以使用传染病数学模型中的传染病传播动力学模型，考虑人群的感染、康复和死亡等因素。
•模型求解：通过求解建立的数学模型，我们可以得到疫情传播的预测结果。
•模型评估和优化：根据模型预测的结果，我们可以评估当前疫情防控的效果，并提出优化建议。
3. 资产投资问题问题描述在投资领域，我们希望能够通过建立数学模型来分析不同投资策略下的收益和风险，并进行优化选择。
小学数学建模练习题
小学数学建模练习题在小学数学教学中，数学建模是一种培养学生综合应用数学解决实际问题的能力的有效方法。
通过数学建模，学生可以运用所学的数学知识和技能，将数学运用到生活实际中，培养他们的创新思维和问题解决能力。
为了提高学生的数学建模能力，以下是一些小学数学建模练习题，供大家练习和思考。
题目一：小明放风筝小明想放风筝，他站在一个长方形草坪的一角，正北方向有一面墙，南边是一条宽为10米的小溪，他希望风筝飞向墙上方，但是又不希望风筝落入小溪中。
现在假设整个草坪的长和宽分别是100米和50米，请问小明站在哪个位置放风筝比较好呢？题目二：水果销售某水果店的负责人想要通过一些促销活动提高水果的销量。
经过分析，他发现在夏季，顾客特别喜欢购买西瓜和橙子。
为了促进销售，他决定对这两种水果进行优惠。
西瓜的售价为每斤2元，而橙子的售价为每斤1元。
他希望考虑到顾客的购买力和需求情况，从而设置一个合理的促销策略，使得总销售额最大化。
请帮助他确定西瓜和橙子的最佳促销比例。
题目三：花坛设计小学的花坛设计已经老旧不堪，学校决定对花坛进行翻新。
花坛的形状为一个等腰梯形，底边长为4米，上底边长为2米，高为3米。
学校希望设计一个新的花坛，使得花坛内尽可能多地摆放花朵。
已知每平方米花坛能够容纳8朵花，请计算这个新花坛最多可以摆放多少朵花。
题目四：学校跑步比赛学校要举办一场跑步比赛，共有4个年级的学生参加，每个年级的学生人数分别为100人、150人、120人和80人，比赛规则是每个年级选择3名参赛选手代表该年级参加比赛。
为了公平起见，学校希望每个年级参加比赛的总成绩最好的选手之和尽可能接近。
请帮助学校确定每个年级的3名代表选手。
题目五：果园采摘小明去果园采摘水果，他发现果园里有苹果、橘子和桃子，他看到的苹果数是橘子数的2倍，橘子数又是桃子数的3倍。
小明准备采摘苹果和橘子，但是由于时间有限，他只能采摘400个水果，请问他应该采摘多少个苹果和多少个橘子才能使得采摘的水果总重量最大？以上是五道小学数学建模练习题，通过这些练习题，学生可以锻炼他们的数学思维和解决问题的能力。
日常生活中的数学建模
改进模型：
l1: 鱼的有效长度 A1：横截面积
V l1 A 1
l1 l
2 A s 1
W kls
2
W V
数学建模
模型检验
在钓鱼比赛期间收集了有关数据:
第i条鱼 长度li
腰围si
所钓鱼的长度、腰围与重量 cm, g
1 36.83
2 31.75
3
5 32.07
6
7
8 32.07
决策 ~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求 ~ 在商人安全的前提下(两岸的随从数都不比商人多), 经有限步使全体人员过河。
数学建模
模型建立及求解
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; 设 yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态，S ~允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
态转方程，由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0)。
数学建模
模型求解
穷举法 ~ 编程上机 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
3 2
y
s1
d1
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} 允许状态 ~ 10个 点
1
d11 0sn+1 1 2 3 x
sk+1=sk+(-1)k dk
~状态转移方程
uk~第k次渡船上的商人数 uk, vk=0,1,2; vk~第k次渡船上的随从数 k=1,2, D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合
数学建模简单13个例子
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，
D
即T 至少应当达到 （L+D）/v。
L
返回
9、砖块延伸
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
I2 I1
1
方法二
A
在方法一中，两检测点与黑匣子
位于β一α a
直线上，这一点比较容易 点是结果对照度测
量的精C做度到要， 求主 较要 高缺 ，B
很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很
强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，
到B点再测方向 ，AB 距离为a ，∠BAC=α，
中秋问题 数学建模
中秋问题是一个涉及数学建模和优化的有趣问题。
具体来说，这个问题涉及到如何将有限数量的月饼分配给一组人，以最大化他们的总体满意度。
假设有N个月饼和M个人，每个人对月饼有不同的偏好和需求。
目标是通过合理的分配月饼，使得所有人对分配结果都感到满意。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模和优化技术。
一种常见的方法是使用线性规划或整数规划。
定义变量：设x_i表示第i个人获得的月饼数量（x_i为整数，因为月饼不能分割）。
建立目标函数：最大化总体满意度，这可以通过加权求和每个人的满意度得到。
设s_i表示第i个人的满意度，满意度函数可以是非线性或线性的。
约束条件：每人获得的月饼数量不能超过总数N，即x_i <= N。
求解模型：使用优化软件或编程语言（如Python、Matlab、Gurobi 等）求解模型，得到最优解x_1, x_2, ..., x_M。
评估结果：根据最优解分析结果，判断是否满足所有人的需求，并给出改进建议。
需要注意的是，中秋问题的具体建模和求解方法可能因实际情况而异，取决于月饼的数量、人们的偏好、限制条件等因素。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况对模型进行调整和完善。
数学建模简单示例
否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 2 的平方成反比，即
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
数学建模经典问题
数学建模经典问题
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并运用数学工具解决实际问题的方法。
在数学建模的过程中，我们需要面对各种各样的问题，其中一些问题已经被广泛研究并被视为经典问题。
本文将介绍几个数学建模中的经典问题。
1.旅行商问题
旅行商问题是一个经典的路线优化问题。
假设有一个旅行商要拜访n个城市，每个城市之间的距离是已知的。
旅行商需要找到一条回路，使得他可以在每个城市停留一次，并返回起点城市，同时旅行路程最短。
这个问题是一个NP难问题，可以用动态规划、分支限界等方法求解。
2.背包问题
背包问题是一个经典的优化问题。
假设有一个背包，它的容量为C，有n个物品，每个物品有一个重量和一个价值。
旅行商需要在这些物品中选择一些放入背包，使得背包的重量不超过C，同时所选物品的总价值最大。
这个问题也是一个NP难问题，可以用动态规划、贪心算法等方法求解。
3.热传导方程
热传导方程是一个经典的偏微分方程，描述了物体内部温度的变化。
它可以用来模拟热传导过程，例如烤面包、冷却热水等。
热传导方程可以用有限元方法、有限差分方法等数值方法求解。
4.计算几何
计算几何是一个经典的数学分支，研究几何问题的计算方法。
例如，给定n个点，如何寻找一个最小的圆，使得这n个点都在圆内或圆上。
这个问题可以用Welzl算法等方法求解。
这些经典问题在数学建模中经常出现，它们不仅有理论研究的价值，而且对于实际应用也有着很大的意义。
在数学建模的过程中，我们应该灵活运用各种数学工具，以便更好地解决实际问题。
数学建模有趣的例子
数学建模有趣的例子
1. 嘿，你知道吗？数学建模能帮我们规划最优的快递配送路线呢！就像给快递小哥设计一条超级捷径，让包裹能最快到达我们手中。
这是不是很有趣呀？
2. 哇塞，数学建模还可以用来模拟传染病的传播呢！就如同解开一个神秘疾病扩散的谜团，太奇妙了吧。
3. 哎呀，想想看，用数学建模来优化城市交通信号灯的时间安排，这不就像是给城市的交通脉络做了一次精心梳理嘛，多有意思啊！
4. 嘿，数学建模甚至能帮助农民伯伯确定最佳的种植布局呢！是不是感觉像给田地施了一次神奇的魔法呀。
5. 哇哦，通过数学建模来分析股票的走势，那不就像是在股海里找到正确的航向嘛，这可太引人入胜啦！
6. 天哪，数学建模可以帮助消防员确定最佳的救援路线，这简直就是给生命开辟快速通道啊，太厉害了吧！
7. 哈哈，数学建模能用来给超市设计最合理的货架摆放呢！这不就像是给商品们找到了最舒适的家嘛。
8. 你想想，利用数学建模来预测天气变化，岂不是像拥有了提前知晓大自然秘密的超能力，有趣极了呀！
我觉得数学建模真的是充满了无限可能和乐趣，它在各个领域都能发挥出神奇的作用，让我们的生活变得更加美好和高效。
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一个有趣的数学建模问题
(2008-04-07 00:12:58)
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数
学.
男
生.
女生
娱乐
一、摘要
男生追女生和女生追男生这是从人类社会开始的时候就有的现象，但如何追女生，如何安排好自己的事情。
这是个值得思考得问题。
如今科学发达了，对男生追女生，我们也可以用数学方法进行解决。
二、问题分析
男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。
因此我们引进男生的学业成绩函数 Y(t) 。
首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。
为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数 X(t) 。
问题就转化为求解 Y(t) 和 X(t) 的相互作用关系。
利用微分，很容易就可以求出两者的关系。
但现实中男生可能会对该女生XXXXX的追求攻势，因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。
而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。
将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与 Y(t) 和 X(t) 的关系了。
三、模型假设
1 、 t 时刻 A 君的学业成绩为 Y(t) ；
2 、 t 时刻 B 女对A 君的疏远度为 X(t) ；
3 、假设追求是同一个女生，即B女是同一个人，并且她不是歌星之类的人物；
4 、当 A 君没开始追求 B 女，B 女对 A 君的疏远度增长（平时发现的 A 君的不良行为）符合 Malthus 模型，即 dX/dt=aX(t) 其中 a 为正常数。
5 、当 Y(t) 存在时，单位时间内减少 X(t) 的值与 X(t) 的值成正比，比例常数为 b ，从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t) 。
6 、 A 君发起对 B 女追求后，立即转化为 B 女对 A 君的好感，并设定转化系数为α，而随着的 A 君发起对 B 女的追求， A 君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为 e 。
于是有dY(t)/dt= α bX(t)Y(t)-eY(t) 。
四、模型构成
由假设 5和假设 6 ，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型：
{dX(t)/dt=aX-bXY ； dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c= α b.
(1) 这是一个非线性自治系统，为了求两个数 X 与 Y 的变化规律，我们对它作定性分析。
令 {aX-bXY=0 ； cXY-eY=0} 解得系统 (1) 的两个平衡位置为： O(0,0) ， M (e/c,a/b) 。
从 (1) 的两方程中消去 dt ，分离变量可求得首次积分：
F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k
(2) 容易求出函数 F(X,Y) 有唯一驻点为 M(e/c,a/b) 。
再用极值的充分条件判断条件可以判断 M 是 F 的极小值点。
同时易见，当X →∞（ B 女对 A 君恨之入骨）或Y →∞ （ A 君是一块只会学习的木头）时均有 F →∞；而X → 0 （ A 君作了变形手术， B 女对他毫无防备）或Y → 0 （ A 君不学无术，丝毫不学习）时也有F →∞。
由此不难看出，在第一象限内部连续的函数 z=F(X,Y) 的图形是以 M 为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与 z=k(k ＞ 0) 的交线在相平面 XOY 的投影 F(X,Y)=k (k ＞ 0，k取无穷) 是环绕点 M 的闭曲线簇。
这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。
五、结果解释
从生态意义上看这是容易理解的，由循环效应知，当 A 君的学习成绩 Y(t) 下降时， B 女会疏远 A 君，疏远度 X(t) 上升；于是 A 君就又开始奋发图强，学习成绩 Y(t) 又上升了。
于是 B 女就又和 A 君开始了来往，疏远度 X(t) 又下降了。
与 B 女交往多了，当然分散了学习时间， A 君的学习成绩 Y(t) 下降了。
然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的 X 和 Y 的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点 M 的两个坐标。
事实上，由 (1) 的第二个方程可得： dY/Ydt=cX- e, 两端在一个周期时间 T 内积分，得：
∫ (dy/Ydt)dt=c ∮ Xdt-dT (3)
注意到当 t 经过一个周期 T 时，点 (X,Y) 绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫ (dY/Ydt)dt= ∮ dY/Y=0 。
所以，由 (3) 式可得：( ∫ Xdt)/T=e/c 。
同理，由 (1) 的第一个方程可得：( ∫ Ydt)/T=a/b 。
模型优化考虑到追求攻势对上述模型的影响。
设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为 h ， h 反映了追求攻势的作用力。
在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为： {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY ； dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
将 (4) 式与 (1) 式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把 (1) 中 X 与 Y 的系数分别换成了 a-h 与 e+h 。
因此，对 (4) 式有
x ' =( ∫ Xdt)/T=(e+h)/c ，y ' =( ∫ Ydt)/t=(a-h)/b (5)
利用 (5) 式我们可见：攻势作用力 h 的增大使 X '增加， Y '减少。
我们的建议：考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即 h 减小，与平时相比，将有利于学业成绩 Y 的增长。
这就是Volterra 原理。
此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。
学习成绩也不会降低！还有当成绩下降到一定程度时，一定要当机立断。
因为你必须相信有些女孩是追不到的，不信你去追twins任何一个，你永远追不到。
但是学习好与坏与你追女孩子的成功率成正比（这里是说你喜欢的那个，不喜欢的不在讨论中），所以你有理由相信你能追到你喜欢的，只要努力了。
当然这是说一个女孩疏远你的时候，不好好学习，除非你做了变形手术，否则难成美事。
祝君好运！
六.模型的推广及评价
由于模型的建立是为解决一种期望的结果，因此不仅是成绩对女生的疏远的关系，还可以是能力对疏远、money对疏远等都有效。
广而推之，还可以是一个人想得到某种成功的期望。
我们的优点是可以把模型推的更广，符合一般性，不足是一般人看不懂。