高中数学等差数列前n项求和
高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列(求S n )求s n 的四种方法总结常考题型:共5种大题型(包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。
1、倒序相加法:实质为等差数列求和。
例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法:实质为等差×等比求和。
错位相减法的万能公式及推导过程:公式:数列c n =(an +b )q n−1,(an +b )为等差数列,q n−1为等比数列。
前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1,B =b −Aq −1,C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得:(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列,1a 为2a ,3a 的等差中项. (1)求{}n a 的公比;(2)若11a =,求数列{}n na 的前n 项和.【解析】(1)设{}n a 的公比为q ,由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =(舍去),2q =-. 故{}n a 的公比为2-.(2)设n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得,1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-,21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3,134n n a a n +=-. (1)计算a 2,a 3,猜想{a n }的通项公式并加以证明; (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .【解析】(1)235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+, 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--,……2153(3)a a -=-.因为13a =,所以2 1.n a n =+(2)由(1)得2(21)2n n n a n =+,所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯,所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足:n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列,2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.(I )求12,a a 的值;(Ⅱ)试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】(Ⅰ)方法一:n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二:n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得:2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ (Ⅱ)1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得:23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,121n n a S +-=.(I )求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若3log n n b a =,数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:12nT <.【解析】(I )当1n =时,由11a =,2121a a -=得23a =;当2n ≥时,121n n a S --=,两式相减得()1120n n n n a a S S +----=, 即13n n a a +=(2)n ≥,又2133a a ==, 故13n n a a +=恒成立,则数列{}n a 是公比为3的等比数列,可得13-=n n a . (Ⅱ)由(I )得313log log 31n n n b a n -===-,则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭,则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n -1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)由2S n =3a n -1,① 得2S n -1=3a n -1-1(n ≥2),② ①-②,得2a n =3a n -3a n -1, 所以a n a n -1=3(n ≥2),又2S 1=3a 1-1,2S 2=3a 2-1, 所以a 1=1,a 2=3,a 2a 1=3, 所以{a n }是首项为1,公比为3的等比数列, 所以a n =3n -1.(2)由(1)得,b n =n3n -1,所以T n =130+231+332+…+n3n -1,③13T n =131+232+…+n -13n -1+n 3n ,④ ③-④得,23T n =130+131+132+…+13n -1-n 3n =1-13n1-13-n 3n =32-2n +32×3n ,所以T n =94-6n +94×3n . 3、裂项相消法:实质为a n =b n (n+a )形式的求和。
高中数学必修5课件:第2章2-3-1等差数列的前n项和

数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值. [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1=9,a4+a7=0,
得a1+3d+a1+6d=0,
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1+an
公式 Sn=_____2________
首项、公差与项数 Sn=__n_a_1+__n__n_2-__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式,涉及a1,an,Sn, n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方 法就是解方程组.
数学 必修5
第二章 数列
如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢 管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.
[问题1] 共有几层?图形的横截面是什么形状? [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如 图所示,则这样共有多少钢管?
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4,即数列{an}前3项为负数,第4项为0, 从第5项开始为正数.
∴当n≤4时,Tn=-Sn=n(7-n), 当n>4时,Tn=Sn-S4+(-S4) =Sn-2S4=n(n-7)-2×4×(4-7) =n2-7n+24
∴Tn=nn2-7-7nn+,2n4≤,4n,>4.
人教版高中数学必修五同课异构课件:2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和

即Sn=a+n an-1+an-+2 …+a3+ a2 +a1,
+得: 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质:当m+n=p+q时,am+an=ap+aq 知: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1,所以式可化为: 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
项和的公式吗?
分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可
得到两个关于 a与1 d的二元一次方程,由此可以求得 a1
与d,从而得到所求前n项和的公式.
解:由题意知S10 = 310,S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n(n - 1)d, 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310, 190d = 1 220.
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆 规律
TIP1:我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后! TIP2:可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识,由于不受后摄抑制的 影 响,更容易储存记忆信息,由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢?
超级记忆法-记忆 规律
TIP3:另外,还有研究表明,记忆在我们的睡眠过程中也并未停止,我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以,睡前的这段时间可是 非常 宝贵的,不要全部用来玩手机哦~
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用

等差数列前n 项和公式的几个性质和与应用 赵志远等差数列是高中数学的一项重要内容,其核心是通项公式与前n 项和公式。
透彻理解并掌握他们的相关性,能使我们的解题简洁方便。
现就等差数列前n 项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。
设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ,公差为d ,*.N n m ∈ ( n s = = )性质1:m 2mm 3m 2m S S S S S --,,,成等差。
(请自己尝试证明) 即:性质2:n n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列。
(请自己尝试证明)性质3: 项数n 是偶数,奇数时的结论如下:(项数为n 项)①当()*2N k k n ∈=时,()n 21k k k S S k a a +==+②当()*12N k k n ∈-=时,()n 212121k k S S k a --==- (请自己尝试证明) (另外注意等差数列的等和性质:若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+(其中m 、n 、p 、*∈N q )有着广泛应用,应用此公式往往可使运算简便)例1 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ,且100S 10=,10100=S ,试求110S 。
例2 已知}a {n 是等差数列,前m 项和为m S =30,前2m 项和为m S 2=100,求前3m 项和m S 3。
例3:两个等差数列{}{}n n b a ,,且3272121++=++++++n n b b b a a a n n ,求55b a 。
例4:已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ,若9535=a a ,求59S S例5在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.例6 在等差数列}a {n 中,12a 3=,0S 12>,0S 13<。
高考数学复习考点知识专题讲解课件第33讲 等差数列及其前n项和

1 + 4 = 5,
首项和公差,然后求出通项公式和前n项和即可;
4×3
2
1 = −3,
= 0,
[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意有ቐ
解得ቊ
=
2,
1 + 4 = 5,
41 +
(−1)
课堂考点探究
(2)[2022·福建莆田二检] 已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12,则a4-3a6的
从而求出{an}的通项公式,最终得证.
证明:由{ }是等差数列,a2=3a1,得 2 - 1 = 41 - 1 = 1 ,即{ }的公
差为 1 ,所以 = 1 +(n-1) 1 =n
2
2
1 ,所以Sn=n a1.当n≥2时,Sn-1=(n-1) a1,
所以an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1=a1+(n-1)·2a1,故{an}是公差为2a1的等差数列.
12a6=36,故a6=3,所以S11=
2
=11a6=33,故选D.
课堂考点探究
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=-6,S9-S4=75,则Sn取得最大值
5 − 2
=1,且
5−2
=12,可得a13=12×12=144.故选B.
1 =0,满足题意,则有 13 = 1 +(13-1)d
课堂考点探究
(3)[2020·全国卷Ⅱ] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则
25
S10=
.
[解析]设等差数列{an}的公差为d,则a2+a6=a1+d+a1+5d=2,∴2a1+6d=2,又a1=-2,
高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》知识点讲解及重点练习

第2课时 等差数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式,了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.知识点一 等差数列前n 项和的性质1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{S n n }也是等差数列,且公差为d2.2.设等差数列{a n }的公差为d ,S n 为其前n 项和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…仍构成等差数列,且公差为m 2d .3.若等差数列{a n }的项数为2n ,则S 2n =n (a n +a n +1),S 偶-S 奇=nd ,S 偶S 奇=a n +1a n.4.若等差数列{a n }的项数为2n +1,则S 2n +1=(2n +1)·a n +1,S 偶-S 奇=-a n +1,S 偶S 奇=n n +1.思考 在性质3中,a n 和a n +1分别是哪两项?在性质4中,a n +1是哪一项?答案 中间两项,中间项.知识点二 等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1.公式S n =na 1+n (n -1)d2可化成关于n 的表达式:S n =d 2n 2+(a 1-d 2)n .当d ≠0时,S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式,即点(n ,S n )在其相应的二次函数的图象上,这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数,它的图象是抛物线y =d 2x 2+(a 1-d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点.2.等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中,当a 1>0,d <0时,S n 有最大值,使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定;当a 1<0,d >0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定.(2)S n =d 2n 2+(a 1-d 2)n ,若d ≠0,则从二次函数的角度看:当d >0时,S n 有最小值;当d <0时,S n 有最大值.当n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值.1.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2=2,a 3+a 4=4,则a 7+a 8等于( )A .7 B .8 C .9 D .10答案 B解析 ∵a 1+a 2=2,a 3+a 4=4,由等差数列的性质得a 5+a 6=6,a 7+a 8=8.2.已知数列{a n }为等差数列,a 2=0,a 4=-2,则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C .1 D .0答案 C解析 由a 4=a 2+(4-2)d ,得-2=0+2d ,故d =-1,a 1=1,故S n =n +n (n -1)2·(-1)=-n 22+3n2=-12(n -32)2+98.所以当n =1或2时,S n 的最大值为1.3.(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -48,则S n 取得最小值时,n 为( )A .22 B .23 C .24 D .25答案 BC解析 由a n ≤0即2n -48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小,即n =23或24.4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 018,S 2 0192 019-S 2 0132 013=6,则S 2 020=________.答案 2 020解析 由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列,设其公差为d ,则S 2 0192 019-S 2 0132 013=6d =6,∴d =1,∴S nn =S 11+(n -1)d =n -2 019.故S 2 0202 020=2 020-2 019=1,∴S 2 020=2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1 (1)在等差数列{a n }中,S 10=120,且在这10项中,S 奇S 偶=1113,则公差d =________.答案 2解析 由Error!得Error!所以S 偶-S 奇=5d =10,所以d =2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解 方法一 在等差数列中,∵S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列,∴30,70,S 3m -100成等差数列.∴2×70=30+(S 3m -100),∴S 3m =210.方法二 在等差数列中,S m m ,S 2m 2m ,S 3m3m 成等差数列,∴2S 2m2m =S mm +S 3m3m.即S 3m =3(S 2m -S m )=3×(100-30)=210.反思感悟 利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知求出a 1,d ,再求所求,是基本解法,有时运算量大些;(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中,如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.跟踪训练1 (1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是50,偶数项的和为34,若它的末项比首项小28,则该数列的公差是________.答案 -4解析 设等差数列{a n }的项数为2m ,∵末项与首项的差为-28,∴a 2m -a 1=(2m -1)d =-28,①∵S 奇=50,S 偶=34,∴S 偶-S 奇=34-50=-16=md ,②由①②得d =-4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和.解 S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 100-S 90,S 110-S 100成等差数列.设其公差为d ,前10项和为10S 10+10×92d =S 100=10,解得d =-22,∴S 110-S 100=S 10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120,∴S 110=-120+S 100=-110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2 在等差数列{a n }中,a 1=25,S 8=S 18,求前n 项和S n 的最大值.解 方法一 因为S 8=S 18,a 1=25,所以8×25+8×(8-1)2d =18×25+18×(18-1)2d ,解得d =-2.所以S n =25n +n (n -1)2×(-2)=-n 2+26n =-(n -13)2+169.所以当n =13时,S n 有最大值为169.方法二 同方法一,求出公差d =-2.所以a n =25+(n -1)×(-2)=-2n +27.因为a 1=25>0,由Error!得Error!又因为n ∈N *,所以当n =13时,S n 有最大值为169.方法三 因为S 8=S 18,所以a 9+a 10+…+a 18=0.由等差数列的性质得a 13+a 14=0.因为a 1>0,所以d <0.所以a 13>0,a 14<0.所以当n =13时,S n 有最大值.由a 13+a 14=0,得a 1+12d +a 1+13d =0,解得d =-2,所以S 13=13×25+13×122×(-2)=169,所以S n 的最大值为169.方法四 设S n =An 2+Bn .因为S 8=S 18,a 1=25,所以二次函数图象的对称轴为x =8+182=13,且开口方向向下,所以当n=13时,S n取得最大值.由题意得Error!解得Error!所以S n=-n2+26n,所以S13=169,即S n的最大值为169.反思感悟 (1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0,d<0,则S n存在最大值,即所有非负项之和.②若a1<0,d>0,则S n存在最小值,即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点,可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找.②运用二次函数求最值.跟踪训练2 在等差数列{a n}中,a10=18,前5项的和S5=-15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.解 (1)设等差数列的公差为d,因为在等差数列{a n}中,a10=18,S5=-15,所以Error!解得a1=-9,d=3,所以a n=3n-12,n∈N*.(2)因为a1=-9,d=3,a n=3n-12,所以S n=n(a1+a n)2=12(3n2-21n)=32(n-7 2)2-1478,所以当n=3或4时,前n项的和S n取得最小值S3=S4=-18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3 数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N*).(1)判断{a n}是不是等差数列,若是,求其首项、公差;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和.解 (1)当n≥2时,a n=S n-S n-1=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n.∵a1=S1=100×1-12=99,适合上式,∴a n =101-2n (n ∈N *).又a n +1-a n =-2为常数,∴数列{a n }是首项为99,公差为-2的等差数列.(2)令a n =101-2n ≥0,得n ≤50.5,∵n ∈N *,∴n ≤50(n ∈N *).①当1≤n ≤50时,a n >0,此时b n =|a n |=a n ,∴数列{b n }的前n 项和S n ′=100n -n 2.②当n ≥51时,a n <0,此时b n =|a n |=-a n ,由b 51+b 52+…+b n =-(a 51+a 52+…+a n )=-(S n -S 50)=S 50-S n ,得数列{b n }的前n 项和S n ′=S 50+(S 50-S n )=2S 50-S n =2×2 500-(100n -n 2)=5 000-100n +n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′=Error!n ∈N *.反思感悟 已知等差数列{a n },求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型,解决此类问题的核心便是去掉绝对值,此时应从其通项公式入手,分析哪些项是正的,哪些项是负的,即找出正、负项的“分界点”.跟踪训练3 在等差数列{a n }中,a 10=23,a 25=-22.(1)数列{a n }前多少项和最大?(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解 (1)由Error!得Error!∴a n =a 1+(n -1)d =-3n +53.令a n >0,得n <533,∴当n ≤17,n ∈N *时,a n >0;当n ≥18,n ∈N *时,a n <0,∴数列{a n }的前17项和最大.(2)当n ≤17,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =na 1+n (n -1)2d =-32n 2+1032n .当n ≥18,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 17-a 18-a 19-…-a n =2(a 1+a 2+…+a 17)-(a 1+a 2+…+a n )=2(-32×172+1032×17)-(-32n 2+1032n)=32n 2-1032n +884.∴S n =Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,按约定以后每月的这一天都交付50万元,并加付所有欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部付清后,买这40套住房实际花了多少钱?解 因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,则每次付款的数额依次构成数列{a n },则a 1=50+1 000×1%=60,a 2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a 3=50+(1 000-50×2)×1%=59,a 4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,所以a n =50+[1 000-50(n -1)]×1%=60-12(n -1)(1≤n ≤20,n ∈N *).所以{a n }是以60为首项,-12为公差的等差数列.所以a 10=60-9×12=55.5,a 20=60-19×12=50.5.所以S 20=12×(a 1+a 20)×20=10×(60+50.5)=1 105.所以实际共付1 105+150=1 255(万元).[素养提升] (1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列的模型,并用有关知识解决相关的问题,是数学建模的核心素养的体观.1.已知数列{a n}满足a n=26-2n,则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A.11或12 B.12C.13 D.12或13答案 D解析 ∵a n=26-2n,∴a n-a n-1=-2(n≥2,n∈N*),∴数列{a n}为等差数列.又a1=24,d=-2,∴S n=24n+n(n-1)2×(-2)=-n2+25n=-(n-252)2+6254.∵n∈N*,∴当n=12或13时,S n最大.2.一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2 D.1,0.5答案 A解析 由于项数为10,故S偶-S奇=15-12.5=5d,∴d=0.5,由15+12.5=10a1+10×92×0.5,得a1=0.5.3.(多选)设{a n}是等差数列,S n为其前n项和,且S5<S6=S7>S8,则下列结论正确的是( ) A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值答案 ABD解析 ∵S5<S6=S7>S8,∴a6>0,a7=0,a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值.S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0.∴S9<S5,故C错.4.已知在等差数列{a n}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________.答案 6或7解析 ∵公差d>0,|a5|=|a9|,∴-a5=a9,即a5+a9=0.由等差数列的性质,得2a7=a5+a9=0,解得a7=0.故数列的前6项均为负数,第7项为0,从第8项开始为正.∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5.已知等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d =________.答案 5解析 由题意得Error!故S 偶=192,S 奇=162,所以6d =S 偶-S 奇=30,故d =5.1.知识清单:(1)等差数列前n 项和的一般性质.(2)等差数列前n 项和的函数性质.2.方法归纳:整体思想、函数思想、分类讨论思想.3.常见误区:求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论,最后不用分段函数表示.1.在等差数列{a n }中,a 1=1,其前n 项和为S n ,若S 88-S 66=2,则S 10等于( )A .10B .100C .110D .120答案 B解析 ∵{a n }是等差数列,a 1=1,∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11=1.又S 88-S 66=2,∴{S n n }的公差是1,∴S 1010=1+(10-1)×1=10,∴S 10=100.2.若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20,前3m 项的和S 3m 为90,则它的前2m 项的和S 2m 为( )A .30B .70C .50D .60答案 C解析 ∵等差数列{a n }中,S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 也成等差数列,∴2(S 2m -S m )=S m +S 3m -S 2m ,∴2(S 2m -20)=20+90-S 2m ,∴S 2m =50.3.已知数列{2n -19},那么这个数列的前n 项和S n ( )A .有最大值且是整数 B .有最小值且是整数C .有最大值且是分数 D .无最大值和最小值答案 B解析 易知数列{2n -19}的通项a n =2n -19,∴a 1=-17,d =2.∴该数列是递增等差数列.令a n =0,得n =912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值,为S 9=9a 1+9×82d =-81.4.(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且S 6>S 7>S 5,下列判断正确的是( )A .d <0B .S 11>0C .S 12<0D .数列{S n }中的最大项为S 11答案 AB 解析 ∵S 6>S 7,∴a 7<0,∵S 7>S 5,∴a 6+a 7>0,∴a 6>0,∴d <0,A 正确;又S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0,B 正确;S 12=122(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,C 不正确;数列{S n }中最大项为S 6,D 不正确.故正确的选项是AB.5.在等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S 2 011=S 2 018,S k =S 2 009,则正整数k 为( )A .2 017 B .2 018 C .2 019 D .2 020答案 D解析 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数的对称性及S2 011=S2 018,S k=S2 009,可得2 011+2 0182=2 009+k2,解得k=2 020.6.已知在等差数列{a n}中,公差d=1,且前100项和为148,则前100项中的所有偶数项的和为________.答案 99解析 由题意,得S奇+S偶=148,S偶-S奇=50d=50,解得S偶=99.7.已知在等差数列{a n}中,S n为其前n项和,已知S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=________.答案 5解析 ∵S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.8.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5+5a9=0,且a9>a5,则S n取得最小值时n的值为________.答案 6解析 由7a5+5a9=0,得a1d=-173.又a9>a5,所以d>0,a1<0.因为函数y=d2x2+(a1-d2)x的图象的对称轴为x=12-a1d=12+173=376,取最接近的整数6,故S n取得最小值时n的值为6.9.已知在等差数列{a n}中,a1=9,a4+a7=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)当n为何值时,数列{a n}的前n项和取得最大值?解 (1)由a1=9,a4+a7=0,得a1+3d+a1+6d=0,解得d=-2,∴a n=a1+(n-1)·d=11-2n.(2)方法一 a1=9,d=-2,S n=9n+n(n-1)2·(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25,∴当n=5时,S n取得最大值.方法二 由(1)知a1=9,d=-2<0,∴{a n}是递减数列.令a n≥0,则11-2n≥0,解得n≤11 2 .∵n∈N*,∴当n≤5时,a n>0;当n≥6时,a n<0.∴当n=5时,S n取得最大值.10.在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T n.解 (1)∵a n+2-2a n+1+a n=0,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n,∴{a n}是等差数列,又∵a1=8,a4=2,∴d=-2,a n=a1+(n-1)d=10-2n,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,则S n=8n+n(n-1)2×(-2)=9n-n2.∵a n=10-2n,令a n=0,得n=5.当n>5时,a n<0;当n=5时,a n=0;当n<5时,a n>0.∴当n≤5时,T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a n=9n-n2.当n>5时,T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+a n)=S5-(S n-S5)=2S5-S n=2×(9×5-25)-9n+n2=n2-9n+40,∴T n=Error!11.若数列{a n}的前n项和是S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( ) A.15 B.35 C.66 D.100答案 C解析 易得a n =Error!|a 1|=1,|a 2|=1,|a 3|=1,令a n >0,则2n -5>0,∴n ≥3.∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=1+1+a 3+…+a 10=2+(S 10-S 2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=11,S 1515-S 77=-8,则S n 取最大值时的n 为( )A .6B .7C .8D .9答案 B解析 设数列{a n }是公差为d 的等差数列,则{S n n }是公差为d2的等差数列.因为S 1515-S 77=-8,故可得8×d2=-8,解得d =-2;则a 1=a 2-d =13,则S n =-n 2+14n =-(n -7)2+49,故当n =7时,S n 取得最大值.13.已知S n ,T n 分别是等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S n T n =2n +14n -2(n ∈N *),则a 10b 3+b 18+a 11b 6+b 15=________.答案 4178解析 因为b 3+b 18=b 6+b 15=b 10+b 11,所以a 10b 3+b 18+a 11b 6+b 15=a 10+a 11b 10+b 11=10(a 10+a 11)10(b 10+b 11)=S 20T 20=2×20+14×20-2=4178.14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 8=13,那么S 8S 16=________.答案 310解析 设S4=k,S8=3k,由等差数列的性质得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12构成等差数列.所以S8-S4=2k,S12-S8=3k,S16-S12=4k.所以S12=6k,S16=10k.S8S16=3 10.15.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.答案 11 7解析 设等差数列{a n}的项数为2n+1(n∈N*),S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)(a1+a2n+1)2=(n+1)a n+1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n=n(a2+a2n)2=na n+1,所以S奇S偶=n+1n=4433,解得n=3,所以项数2n+1=7,S奇-S偶=a n+1,即a4=44-33=11,为所求的中间项.16.已知数列{a n}的前n项和为S n,a n>0,a1<2,6S n=(a n+1)(a n+2).(1)求证:{a n}是等差数列;(2)令b n=3a n a n+1,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n<1.证明 (1)因为6S n=(a n+1)(a n+2),所以当n≥2时,6S n-1=(a n-1+1)(a n-1+2),两式相减,得到6a n=(a2n+3a n+2)-(a2n-1+3a n-1+2),整理得(a n-a n-1)(a n+a n-1)=3(a n+a n-1),又因为a n>0,所以a n-a n-1=3,所以数列{a n}是公差为3的等差数列.(2)当n=1时,6S1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,因为a1<2,所以a1=1,由(1)可知a n-a n-1=3,即公差d=3,所以a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)×3=3n-2,所以b n=3a n a n+1=3(3n-2)(3n+1)=13n-2-13n+1,所以T n=1-14+14-17+…+13n-2-13n+1=1-13n+1<1.。
高中数学同步学习 等差数列的前n项和学案含解析

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和内 容 标 准学 科 素 养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用 严格公式代换 抽象数学模型授课提示:对应学生用书第11页[基础认识]知识点一 等差数列的前n 项和公式 预习教材P 15-18,思考并完成以下问题1.你知道高斯求和的故事吗?请同学们交流一下,高斯是怎样求1+2+3+…+100的结果的? 提示:对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是:S =1+2+3+…+99+100,把加数倒序写一遍S =100+99+98+…+2+1.所以有2S =(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,∴S=50×101=5 050. 2.你能用高斯的计算方法求1+2+3…+n 的值吗? 提示:设S n =1+2+3+…+(n -1)+n,① 又S n =n +(n -1)+(n -2)+…+2+1,②两式相加得2S n =(1+n)+(2+n -1)+…+(n +1)=n(n +1), ∴S n =n (n +1)2.3.我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法.你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗? 提示:S n =a 1+a 2+a 3+…+a n -1+a n =a 1+(a 1+d)+(a 1+2d)+…+[a 1+(n -2)d]+[a 1+(n -1)d], S n =a n +a n -1+a n -2+…+a 2+a 1=a n +(a n -d)+(a n -2d)+…+[a n -(n -2)d]+[a n -(n -1)d], ∴2S n =(a 1+a n )×n , ∴S n =n (a 1+a n )2.③4.问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n =a 1+(n -1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢? 提示:S n =na 1+12n(n -1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和.(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”. 知识点三 等差数列前n 项和的最值 思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关.(1)若a 1>0,d <0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值. (2)若a 1<0,d >0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值.(3)若a 1>0,d >0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值;若a 1<0,d <0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值.[自我检测]1.在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13=52,则a 7为( ) A .4 B .3 C .6D .12解析:∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13=52, ∴S 13=132(a 1+a 13)=13a 7=52,解得a 7=4.故选A.答案:A2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5+5a 9=0,且a 9>a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A .5 B .6 C .7D .8解析:由7a 5+5a 9=0得a 1d =-173,又a 9>a 5,所以d >0,a 1<0,因为函数y =d 2x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2x 的图像的对称轴为x =12-a 1d =12+173=376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案:B3.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =________.解析:设等差数列的公差为d,则a 3+a 5=2a 1+6d =2+6d =14,∴d=2.则S n =n +n (n -1)2×2=n 2.令S n =100,即n 2=100. 解得n =10或n =-10(舍). 答案:10授课提示:对应学生用书第12页 探究一 等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8=48,S 12=168,求a 1和d ; (2)已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8. (3)已知a 3+a 15=40,求S 17. 解析:设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8=8a 1+28d =48S 12=12a 1+66d =168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,d =4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6=a 1+5d =10S 5=5a 1+10d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-5d =3. ∴a 8=a 1+7d =-5+21=16, S 8=8a 1+28d =-40+84=44.(3)S 17=17×(a 1+a 17)2=17×(a 3+a 15)2=17×402=340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗?[解析] 法一:由题意知,S 10=310, S 20=1 220,将它们代入公式S n =na 1+n (n -1)2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+45d =310,20a 1+190d =1 220,解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =6.∴S n =n×4+n (n -1)2×6=3n 2+n.法二:∵S 10=10(a 1+a 10)2=310,∴a 1+a 10=62,①∵S 20=20(a 1+a 20)2=1 220,∴a 1+a 20=122,② ②-①,得,a 20-a 10=60, ∴10d=60,∴d=6,a 1=4. ∴S n =na 1+n (n -1)2d =3n 2+n.方法技巧 两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想:等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解.(2)整体代换:在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用. 跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2+a 5+a 8=π4,则sin S 9=( ) A.12 B.22 C .-12D .-22解析:∵a 2+a 5+a 8=π4,a 2+a 8=2a 5=a 1+a 9,∴3a 5=π4,a 5=π12,∴a 1+a 9=π6,∴S 9=9(a 1+a 9)2=92×π6=3π4,sin S 9=22.故选B.答案:B探究二 等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n -11},那么S n 的最小值是( ) A .S 1 B .S 5 C .S 6D .S 11解析:由a n =2n -11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N +, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案:B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10=18,前5项的和S 5=-15, (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值. [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程(组)→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一:写出S n 的表达式→分析S n 的最值 法二:分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =18,5a 1+52×4×d=-15, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-9,d =3,则a n =3n -12.(2)法一:S n =n (a 1+a n )2=12(3n 2-21n)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫n -722-1478,所以n =3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为-18. 法二:要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n =3n -12≤0,a n +1=3(n +1)-12≥0,得3≤n≤4,又n∈N +,所以n =3或4,S 3=S 4=-18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为-18.方法技巧 求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1>0,d <0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0确定.当a 1<0,d >0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0确定.(2)因为S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d >0时,S n 有最小值;当d <0时,S n 有最大值;且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值.跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1=25,且S 9=S 17,求S n 的最大值. 解析:法一:∵S 9=S 17,a 1=25,∴9×25+9(9-1)2d =17×25+17(17-1)2d,解得d =-2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n =-2n +27≥0,a n +1=-2(n +1)+27≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312,n≥1212,又∵n∈N +,∴当n =13时,S n 有最大值169. 法二:同方法一,求出公差d =-2. 设S n =An 2+Bn. ∵S 9=S 17,∴二次函数对称轴为x =9+172=13,且开口方向向下,∴当n =13时,S n 取得最大值169. 探究三 等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调.每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线? 题型:等差数列前n 项和的实际应用. 方法步骤:①从实际问题中抽象出等差数列. ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和. ④判断并得出结论.[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件.(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系; (2)求4月份该款服装的总销售量.[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量.[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }.由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9=15n +5(1≤n≤12且n∈N +). 而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13=a 12-10=175, 公差为-10的等差数列.所以a n =175+(n -13)×(-10)=-10n +305(13≤n≤30且n∈N +).所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧15n +5,1≤n≤12且n∈N +,-10n +305,13≤n≤30且n∈N +.(2)4月份该款服装的总销售量为12(a 1+a 12)2+18a 13+(30-12)×(30-12-1)×(-10)2=12×(20+185)2+18×175+18×17×(-10)2=2 850(件).延伸探究 本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行.试问:该款服装在社会上流行是否超过10天?说明理由.” 解析:4月1日至4月12日的销售总量为 12(a 1+a 12)2=12×(20+185)2=1 230<1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行.4月1日至4月13日的销售总量为1 230+a 13=1 230+175=1 405>1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行. 由-10n +305<110,得n >392,所以第20天该款服装在社会上不再流行. 所以该款服装在社会上流行没有超过10天. 方法技巧 解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车:从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析:由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1=10,d =20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S =(a 1+a 2+…+a 15)×23 600=(15×10+15×142×20)×23 600=1.25(km).答案:1.25授课提示:对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到.(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量.若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用: 若m +n =p +q,则a n +a m =a p +a q (n,m,p,q∈N +); 若m +n =2p,则a n +a m =2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种: ①用二次函数的性质求解;②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决. (4)解决数列应用题时应分清: ①是否为等差数列问题; ②是通项问题还是求和问题.[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1>0,S 11=S 18,则当n 为何值时S n 最大?易错分析 在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错.利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n +1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n +1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养. 自我纠正 法一:由S 11=S 18 将11a 1+55d =18a 1+153d. 即a 1=-14d >0,所以d <0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+(n -1)d≥0a n +1=a 1+nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧-14d +(n -1)d≥0,-14d +nd≤0 解得14≤n≤15.故当n =14或n =15时,S n 最大.法二:由S 11=S 18知a 1=-14d.所以S n =na 1+n (n -1)2d =-14dn +n (n -1)2 d=d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2922-8418d,由于n∈N +,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n =14或n =15时S n 最大.法三:由S 11=S 18知,a 12+a 13+a 14+a 15+a 16+a 17+a 18=0,即7a 15=0, 所以a 15=0,又a 1>0,所以d <0. 故当n =14或n =15时,S n 最大.。
高中数学必修5第2章 第3节 第1课时等差数列的前n项和

【答案】 C
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2.等差数列{an}中,a1=1,d=1,则 Sn=
.
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【解析】 因为 a1=1,d=1, nn-1 所以 Sn=n+ 2 ×1 2n+n2-n = 2 n2+n nn+1 = 2 = 2 .
【答案】 nn+1 2
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已知等差数列{an}中, (1)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d; (2)S5=24,求 a2+a4.
【精彩点拨】 由等差数列的前 n 项和公式及通项公式列方程组求解即可, 同时注意等差数列性质的应用.
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【自主解答】
na1+an n-512+1 (1)由 Sn= = =-1 022,解之得 n=4. 2 2
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5a1+a5 48 法二 由 S5= =24,得 a1+a5= 5 . 2 48 ∴a2+a4=a1+a5= 5 .
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1.在等差数列的通项公式和前 n 项和公式中共涉及五个量:a1,d,n,an, Sn,其中首项 a1 和公差 d 为基本量,且“知三求二”. 2.求解过程中注意利用等差数列的性质以简化计算过程,同时在具体求解 过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【提示】
在原来放置的钢管中,从最上面一层开始,往下每一层的钢管
数分别记为 a1,a2,…,a6,则数列{an}构成一个以 a1=4 为首项,以 d=1 为公 差的等差数列,设此时钢管总数为 S6,现再倒放上同样一堆钢管,则这堆钢管 每层有 a1+a6=a2+a5=a3+a4=…=a6+a1=13(根), 此时钢管总数为 2S6=(a1+a6)×6=13×6=78(根), a1+a6 原来钢管总数为 S6= 2 ×6=39(根).
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由等差数列前n项求和公式可得:
-10n+ ×4=54
解之得:n1=9,n2=-3(舍去)
答案:等差数列-10,-6,-2,2,…前9项的和是54.
[例1]在等差数列{an}中,
(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16
∴ = = .
分析二:利用Sn= 解题.
解法二:由解法一知:
S1= ,S2=
∵a1+a2n+1=a2+a2n∴ =
[例3]若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)∶(4n+27),试求它们的第11项之比.
分析一:利用性质m+n=p+q am+an=ap+aq解题.
解法一:设数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn.
这个问题,它也类似于刚才我们所遇到的问题和.在上面的求解中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示,且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和,这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式,那么上述问题便可迎刃而解.
第五课时等差数列的前n项和(一)
教学目标:
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路,会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题;提高学生的推理能力,增强学生的应用意识.
教学重点:
等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.
教学难点:
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.
教学过程:
也就是说,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式来计算1+2+3+…+100=?我们有S100= =5050.
又∵an=a1+(n-1)d,
∴Sn= = =na1+ d
∴Sn= 或Sn=na1+ d
有了此公式,我们就不难解决最开始我们遇到的问题,下面我们看具体该如何解决?
分析题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔,且自上而下各层的铅笔成等差数列,可记为{an},其中a1=1,a120=120,n=120.
若根据等差数列{an}的通项公式,Sn可写为:Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]①,把项的次序反过来,Sn又可写为:Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d②],把①、②两边分别相加,得
2Sn= =n(a1+an)
即:Sn= .
由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn= .
则:a11= ,b11= ,
∴ = = = = =
Ⅲ.课堂练习
课本P42练习1,2,3,4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习,要熟练掌握等差数列前n项和公式:
Sn= =na1+ d及其获取思路.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题1,2,3
Ⅰ.复习回顾
经过前面的学习,我们知道,在等差数列中:
(1)an-an-1=d(n≥1),d为常数.
(2)若a,A,b为等差数列,则A= .
(3)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.(其中m,n,p,q均为正整数)
Ⅱ.讲授新课
随着学习数列的深入,我们经常会遇到这样的问题.
例:如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个V形架上共放着多少支铅笔?
这是一堆放铅笔的V形架,这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图,看到此图,大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系,而且可以用一个式子来表示这种关系,利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么,这个V形架上共放着多少支铅笔呢?这个问题又该如何解决呢?经过分析,我们不难看出,这是一个等差数求和问题?
首先,我们来看这样一个问题:1+2+3+…+100=?
解:设自上而下各层的铅笔成等差数列{an},其中n=120,a1=1,a120=120.
则:S120= =7260
答案:这个V形架上共放着7260支铅笔.
下面我们再来看一例题:
等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?
分析:先根据等差数列所给出项求出此数列的首项,公差,然后根据等差数列的求和公式求解.
对于这个问题,著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果,你知道他是怎么算的吗?
高斯的算法是:首项与末项的和:1+100=101,
第2项与倒数第2项的和:2+99=101,
第3项与倒数第3项的和:3+98=101,
……
第50项与倒数第50项的和:50+51=101,于是所求的和是101× =5050.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+…+an①
把项的次序反过来,Sn又可写成Sn=an+an-1+…+a1②
①+② 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)
又∵a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an+a1
∴2Sn=n(a1+an)
即:Sn=
∴S16= =8×18=144.
(2)∵a1+a11=2a6
∴S11= =11a6=11×20=220.
[例2]有一项数为2n+1的等差数列,求它的奇数项之和与偶数项之和的比.
分析一:利用Sn=na1+ d解题.
解法一:设该数列的首项为a1,公差为d,奇数项为a1,a1+2d,…其和为S1,共n+1项;偶数项为a1+d,a1+3d,a1+5d,…,其和为S2,共n项.
(2)已知a6=20,求S11.
分析:(1)由于本题只给了一个等式,不能直接利用条件求出a1,a16,d,但由等差数列的性质,可以直接利用条件求出a1+a16的和,于是问题得以解决.
(2)要求S11只需知道a1+a11即可,而a1与a11的等差中项恰好是a6,从而问题获解.
解:(1)∵a2+a15=a5+a12=a1+a16=18