湘潭大学物理练习9,10,11,12

3 v c 2
3 v 量、时间、速度、动量、动能，试问：
（1）其中那些物理量在经典物理和相对论中有不同的表达 式？并分别写出。 （2）哪些是经典物理中的不变量（即相对于伽利略变 换不变）？ （3）哪些物理量是相对论中的不变量（即对于洛伦兹变 换不变）？
解：（1）质量
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简谐振动的位移，速度及加速度： x=Acos t+ dx v Asin t+ dt dv a 2 Acos t+ dt
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解： (1)从图中知道：x0 2 cm , v0 0 , 1 cos 2 3 sin 0 2 又 T 1 s, 2 T x 4 cos(2 t )cm 3 A 0.04cm
9
求出各个时刻对应的周相（＝t ) 2 7 t 0时＝ ； t=0.25s时＝ ； 3 6 5 8 t 0.5s时＝ ； t 1.0s时＝ 。 3 3 根据这些我们可以得出下图：
10
3。下列几种运动哪些是简谐振动： (1)小球在地面上做完全弹性的上下跳动； （2）细线悬一小球在水平面内做匀速圆周运动； （3）小物体在半径很大的光滑凹球面底部做短距离 往返运动； （4）浮于水面的匀质长方体木块受扰动后做无阻尼 上下浮动。
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mg 解：从题目我们知道：k l mg k 2 N / m; l k 2 11.2 T 0.56 s m2 x=Acos(t+ ) dx v= A sin(t+ ) dt 2 x 2 10 A cos 0 0 当t 0时，有 2 v 5 10 A sin 0 0 2 A 2.05 10 m 0 180 12.6 192.6 3.36 rad x 2.05 102 cos(11.2t 3.36) 2.05 10 2 cos(11.2t 2.92) ( SI )
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2.如图1所示（1）和（2）表示两个同方向、同频率的简 谐振动的振动曲线。则（1）和（2）合成振动的振幅为 ，初周相为 ，周期为 ，试在图
中画出合振动的曲线。
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分析：x A cos t 从图形可以知道：A1 2m, A2 1m t=0时，x1 1m, v1 0；x2 0.5m, v2 0 x 0.5m 1 x1 2 cos t 1 t 0 1 2 cos 1 cos 1 2 v dx1 2 sin(t ) 0 sin 0 1 1 t 0 1 dt 1

3
sin 2 0 2 同理当t=0时： 1 2 3 cos2 2 合振动的振幅为：
2 2 A= A1 A2 2 A1 A2 cos(2 1 ) 22 12 2 2 1cos 1m
初始周相为：＝-

3
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合振动的初相位满足： A1 sin 1 A2 sin 2 2sin( / 3) sin(2 / 3) tan0 A1 cos 1 A2 cos 2 2 cos( / 3) cos(2 / 3) 3 又t 0时，x 0.5＝A cos(t 0 ) 0 即 cos 0 0 0 / 3
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练习十一 机械振动（二）
1.两个相同的弹簧各悬一物体 a 和 b ，其质量之比为 ma : mb 4:1 ，如果它们都在竖直方向作简谐振动， 其振幅之比为 Aa : Ab 1: 2 ，则两者周期之比 Ta : Tb 2:1 ，振动能量之比 Ea : Eb 1 : 4
k 2 m ; T 2 m k Ta : Tb 2 :1 1 2 E kA Ea : Eb 1: 4 2
练习九
相对论（二）
1.质子在加速器中被加速，当其动能为静止 能量的４倍时，其质量为静止质量的：（ ） (A) 5倍 （B）6倍 (C) 4倍 （ D） 8 倍
T mc m0c 4m0c
2 2
2
1
2.在惯性系Ｓ中，一粒子具有动 量 (pX, pY, pZ)=(5,3,√2）MeV/c，及总能量 E=10MeV（c表示真空中的光速），则在Ｓ 系中测得粒子的速度v最接近于: （ ）
2
答案为(2)
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4.水平面上有一轻弹簧振子，当它作无阻尼自由振动时， 一块橡胶泥正好竖直落在该振动物体上，设此时刻： （1）振动物体正好通过平衡位置，（2）振动物体正好 在最大位移处。则：
A（1）情况周期变、振幅变，（2）情况周期变、振幅不 变； B（1）情况周期变、振幅不变，（2）情况周期变、振幅 变； C两种情况周期都变，振幅都不变； D两种情况周期都不变，振幅都变。
m0 m0 1
2
c2
（2）质量、时间
2
c2
动量： 动能：
m0 m0
1
（3）都不是
1 m0 2 Ek m c2 m0 c 2 2
6
x x u t x x ut y y y y 伽利略变换： 或 z z z z t t t t x x u t y y 洛伦兹变换： z z u t t x 2 c
简谐振动的定义： 物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。 答案为（3），（4）
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4。设质点沿x轴做简谐运动，用余函数表示，振幅为A.当t＝0 时，质点过x0 A / 2处且向X轴正向运动，则其初周相为： （1） ； 4 5 （3）- ； 4

5 (2) ; 4 (4)-

3
;
振动方程为x A cos(t ) t 0时，x0 A / 2质点向X 轴正向运动 5 ＝ 4

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1 A cos(2 t ) xb 3 2 （2）b点： 2 v 0 sin(2 t ) 0 b 3 ＝(2 t ) 3 3 t 1 s 3 1 2 t s t s 6 3 同理a点： ；c点： ＝(2 t ) 0 ＝(2 t ) 3 3
答案为（2）
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5。 质量为0.04千克的质点做简谐振动，其运动方程为x=0.4sin(5t- ) 2 米，式中t以秒计，求： （1）初始位移，初始速度； （2)t= 4 秒时的位移，速度和加速度； 3 (3)质点的位移大小为振幅的一半处且向x轴正向运动的时刻

的速度，加速度和所受的力。
解： （ 1 ）x 0.4 sin(5t
2 2
m
m0
2
P
m0 v
_
v2 1 _____ __ c2
mc moc 动能Ek=_______________ ；
m c 总能E=_________________.
3
2
4.要使电子的速率从 1.2 108 m s
增加到 2.4 108 m s ，必须做多少功？
解：由于电子的速率接近光速，因此经典力学
谐振动的运动方程为：x A cos(t ) 2 T , 初始位相为：；某时刻的周相为(t )

从题目我们可以知道： 2 14 32 T=1s;初位相为 ；t 2 s时周相为 ；周相为 对应的 3 3 3 t 5s
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1 2。在图1中画出振动方程x=0.02cos2(t+ )米的振子在初始 3 时刻及t=0.25,0.5，1.0秒各时刻的矢量位置。
1 0.4 cos 5t 0.2 cos 5t （3） 2 2sin 5t 0 sin 5t 0 v 2sin 5t 3 m / s a 10 cos 5t 5 m / s 2 f ma 0.2 N
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6。已知一简谐振动的周期为1秒，振动曲线如图 所示，求： （1）谐振动的余弦表达式； （2）a，b，c各点的周相及这些状态所对应的时刻。
的动能公式已经不适用，只能运用相对论的动 能表达式
Ek m c2 m0 c 2 再根据相对论中质量和 静止质量的关系 m1 m0 1 可得出 Ek m0 c 2 1
2 2
12
c
2
, m2
m0 1
2 2
m0 9.3110 27 kg
c2 4.7 1014 J
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3 周期不能求出。
答案为： 1m;

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3.轻弹簧k的一端固定，另一端系一物体m。将系统按图 2所示三种情况放置，如果物体作无阻尼的简谐振动，则 它们振动周期的关系是：
（1）T1 T2 T3
（3）T1 T2 T3
（2）T1 T2 T3
（4）不能确定
m T 2 我们知道对于相同的弹簧，m，k相同，周期T自然也相等. k 与弹簧放置位置无关!
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T 2 / 2 m / k 周期T与m，k有关，（1）和（2）
中质量均变化了，故T也变化。
整个系统只有保守力做功，机械能守恒。 1 2 1 2 动能：Ek mv ；势能：E p kx 2 2 1 2 机械能：E Ek E p kA 2 （1）平衡位置时，x=0，弹性势能为零，动能等于总 能量；则 A2 m ，m变化，故（1）振幅变化 （2）最大位移处时，动能为零，弹性势能等于总能量， 2 ，与m无关，故（2）振幅不变。 则 A k

2
) 0.4 cos 5t
dx dv v 2 sin 5t；a 10 cos 5t dt dt t 0时，x0 0.4m , v0 0
13
4 20 （2）t s时，x 0.4cos 0.2 m 3 3 20 v 2sin 3 m / s 3 20 a 10 cos 5 m / s 2 3