偏微分方程求解方法及其比较
偏微分方程与常微分方程的解法
偏微分方程与常微分方程的解法在数学领域中，微分方程是一类重要的方程，常见的包括偏微分方程和常微分方程。
本文将介绍偏微分方程和常微分方程的解法。
一、偏微分方程的解法偏微分方程是涉及多个变量的方程，其中包含了未知函数的偏导数。
解决偏微分方程的方法有很多种，以下将介绍其中两种常见的解法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的解偏微分方程的方法。
首先，将多变量的偏微分方程转化为一个或多个只包含一个变量的常微分方程。
然后，通过求解这些常微分方程，得到原偏微分方程的解。
举例来说，考虑一个常见的分离变量法的应用：热传导方程。
热传导方程描述了物质内部温度的变化情况。
假设我们要解决一维热传导方程，可以将变量分离为时间变量和空间变量。
通过引入一个分离常数，将方程转化为两个常微分方程，然后求解这两个方程得到温度分布的解析解。
2. 变量替换法变量替换法是解决偏微分方程的另一种常见方法。
该方法通过引入适当的变量替换，将原方程转化为一个更简单的形式。
通过这种变换，可以使得方程的求解更加容易。
以二阶线性偏微分方程为例，假设要解决的方程为：$$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partialy^2}} = 0$$我们可以通过引入新的变量替换，例如令$v = \frac{{\partialu}}{{\partial x}}$，将原方程转化为两个常微分方程$\frac{{dv}}{{dx}} = 0$和$\frac{{dv}}{{dy}} = 0$。
然后，求解这两个方程，再回代求解原方程，得到偏微分方程的解。
二、常微分方程的解法常微分方程是只依赖一个自变量的方程，其中包含了未知函数的导数。
解决常微分方程的方法也有很多种，以下介绍其中两种常见的解法。
1. 分离变量法分离变量法同样可用于求解常微分方程。
通过将方程中的未知函数和自变量分离，将其转化为可分离变量的形式。
偏微分方程求解方法总结
偏微分方程求解方法总结偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的重要数学工具。
求解偏微分方程有许多不同的方法，下面将对其中一些常用的方法进行总结和介绍。
I. 分离变量法（Method of Separation of Variables）分离变量法是求解偏微分方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将多个变量的偏微分方程分解成一系列只包含一个变量的常微分方程，再通过求解这些常微分方程来获得原偏微分方程的解。
具体步骤如下：1. 根据问题所给的边界条件和初始条件，确定偏微分方程的类型（椭圆型、双曲型或抛物型）以及边界条件的类型（Dirichlet条件、Neumann条件等）。
2. 假设原方程的解可以表示为一系列只包含一个变量的函数的乘积形式，即 u(x, y) = X(x)Y(y)。
3. 将 u(x, y) 和其各个分量的偏导数代入原偏微分方程，得到关于X(x) 和 Y(y) 的常微分方程。
4. 求解得到 X(x) 和 Y(y) 的表达式，并根据给定的边界条件，确定它们的取值。
5. 最后将 X(x) 和 Y(y) 的表达式代入 u(x, y) 的乘积形式，得到原偏微分方程的解。
分离变量法适用于边界条件分离的情况，并且对于较简单的偏微分方程求解效果较好。
II. 特征线法（Method of Characteristics）特征线法主要用于求解一阶偏微分方程，尤其是双曲型和抛物型偏微分方程。
该方法通过引入新的独立变量和新的变量关系，将原偏微分方程转化为一系列常微分方程来求解。
具体步骤如下：1. 根据偏微分方程的类型，确定要求解的未知函数及其偏导数之间的关系。
2. 引入新的自变量和新的关系式，将偏微分方程化为带有新变量的常微分方程组。
3. 将常微分方程组进行求解，并得到新变量的表达式。
4. 根据新的变量表示原方程的解，进而确定未知函数的表达式。
偏微分方程求解方法及其比较
偏微分方程求解方法及其比较摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；1偏微分方程及其谱方法的介绍偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：其中：Jacobi正交多项式满足正交性：而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
偏微分方程解法
偏微分方程解法导言偏微分方程是数学中一个重要的研究领域，它涉及到物理、工程、经济等众多学科，对于解决现实世界中的问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨偏微分方程的解法，包括常见的求解方法和应用示例。
偏微分方程简介在分析偏微分方程之前，我们先了解一下什么是偏微分方程。
简单来说，偏微分方程是由未知函数及其偏导数构成的方程。
它包含多个自变量和多个偏导数，用于描述有多个变量的物理现象或者其他现象。
常见的偏微分方程求解方法分离变量法分离变量法是解偏微分方程的主要方法之一。
它的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后进行求解。
具体步骤如下： 1. 分离变量：将未知函数表示为多个单变量函数的乘积。
2. 将方程化为两端只含单变量函数的方程。
3. 求解单变量函数的方程。
4. 将求解得到的单变量函数组合在一起，得到原方程的解。
特征线法特征线法是另一种常用的偏微分方程求解方法。
它的基本思想是通过引入曲线方程（特征线），将偏微分方程转化为常微分方程，然后再进行求解。
特征线法的步骤如下： 1. 引入曲线方程，将偏微分方程转化为常微分方程。
2. 求解常微分方程。
3. 将常微分方程的解代回原方程，得到原方程的解。
变换方法除了分离变量法和特征线法，还有一些其他的变换方法可以用来求解偏微分方程。
其中比较常用的有变换坐标法和变换函数法。
变换坐标法的基本思想是通过适当的坐标变换，将原方程转化为更简单的形式，然后再进行求解。
变换函数法的基本思想是通过引入新的未知函数，将原方程转化为只含有新未知函数的形式，然后再进行求解。
偏微分方程解法的应用示例偏微分方程解法广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些应用示例。
热传导方程热传导方程是物理学中的一个重要方程，它描述了热量在物体中的传导过程。
通过对热传导方程进行求解，可以得到物体温度分布随时间的变化规律，从而可以预测物体的热传导行为。
斯托克斯方程斯托克斯方程是流体力学中的一个基本方程，描述了流体在静止或者稳定的情况下的运动规律。
偏微分方程的几种解法
偏微分方程的几种解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。
其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。
这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。
例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。
分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。
但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。
二、变量替换法变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。
变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。
但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。
三、特征线法特征线法是解一阶偏微分方程的一种有效方法。
通过寻找方程的特征线，可以将方程转化为常微分方程，从而更容易求解。
例如，对于一维线性对流方程（Linear Convection Equation）∂u/∂t + c∂u/∂x = 0，其中c为常数，可以通过特征线法将其转化为沿着特征线的常微分方程du/dt = 0，然后求解得到解。
偏微分方程数值算法综述及应用案例分析
偏微分方程数值算法综述及应用案例分析偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学和工程学科领域中经常用到的基础概念。
偏微分方程的求解对于许多领域的研究和实践具有重要的作用，例如材料科学、地球物理学、计算机科学和机械工程学等。
然而，由于偏微分方程的求解难度较大，传统的解析方法无法处理更加复杂的情况。
为了解决这个问题，人们发展出了一些数值算法，使得偏微分方程的数值求解可以得以实现。
本文主要介绍偏微分方程数值算法的综述和应用案例分析。
一、偏微分方程数值算法综述偏微分方程的数值求解方法可以分为有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种比较常见的偏微分方程数值求解方法。
其基本思想是用有限差分代替微分，将偏微分方程化为差分方程，并通过迭代求解差分方程得到数值解。
有限差分法的优点是实现简单，易于理解，缺点是精度较低，适用范围有限。
2. 有限元法有限元法是一种更为精确的偏微分方程数值求解方法。
在有限元法中，原问题被抽象成一组离散化的小问题，每一个小问题都在一个有限元形状中求解。
通过求解多个小问题的结果来近似求解原问题。
有限元法的优点是精度较高，适用范围广泛，缺点是计算量较大，实现难度也较大。
3. 谱方法谱方法是一种通过函数级数展开求解偏微分方程的方法。
谱方法基于傅里叶级数展开，将解表示为一组基函数的线性组合。
通过确定系数来求解偏微分方程，谱方法的优点是精度高，实现简单，缺点是需要求解傅里叶系数。
二、偏微分方程数值算法的应用案例分析偏微分方程的数值算法在科学计算和工程应用中有着广泛的应用。
本文简要介绍一些偏微分方程数值算法应用案例。
1. 热传导方程的数值求解偏微分方程中的热传导方程是一类广泛应用的模型。
通过对热传导方程的数值求解可以实现对一些热传导问题的模拟和实验研究。
其中，使用有限差分法可以求解热传导方程，并可以得到热传导的温度分布。
2. 构造三维曲面的谱方法谱方法在计算机辅助设计、建模和制造等领域中应用广泛。
偏微分方程求解算法性能比较
偏微分方程求解算法性能比较引言偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）在科学和工程领域中具有广泛的应用。
它们描述了许多自然现象，如传热、流体力学、电磁学等。
求解PDEs是理解这些现象和预测系统行为的关键步骤之一。
随着计算机技术的进步，出现了许多不同的求解PDEs的算法。
本文将比较几种常见的偏微分方程求解算法的性能。
常见的偏微分方程求解算法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种数值求解常微分方程和偏微分方程的常见方法。
它将要求解的区域进行离散化，将连续的方程转化为离散的差分方程。
通过在网格上逐点计算差商，可以得到数值解。
有限差分法的优点是简单易实现，对于简单的偏微分方程效果良好。
然而，对于复杂的问题和高维空间，由于网格的规模会呈指数增长，导致计算量巨大。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种常见的数值求解PDEs的方法，尤其适用于非线性、大变形和复杂几何形状的问题。
有限元法通过将求解区域划分为有限个子域，选择适当的函数空间进行插值和逼近，将方程离散化成代数方程组。
有限元法的优点是适用范围广，可以处理各种不规则和复杂的几何形状，并且能够精确描述解的行为。
然而，有限元法对于计算资源的要求较高，需要进行大规模的矩阵计算。
3. 边界元法（Boundary Element Method）边界元法是一种基于边界积分方程的求解方法，主要用于处理边界上的问题。
在边界元法中，将求解区域转化为边界上的积分方程，通过离散化边界上的点来近似求解。
边界元法的优点是可以减少计算域的维数，从而降低计算复杂性，尤其适用于二维和轴对称的问题。
然而，边界元法只能用于特定的问题类型，且对于非线性问题和奇异问题的处理比较复杂。
性能比较在性能比较方面，需要考虑以下几个因素：1. 精度：求解算法的精度是评估算法质量的重要指标。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。
以下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。
考虑一个常见的一维热传导方程：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}\]假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。
二、变换方法变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。
通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。
以下介绍两种常见的变换方法。
1. 傅立叶变换法傅立叶变换法被广泛应用于分析和求解各种偏微分方程。
通过将原方程进行傅立叶变换，可以将其转化为代数方程，并通过解代数方程来得到原方程的解。
具体来说，假设原方程为：\[L[u(x,t)] = f(x,t)\]将其进行傅立叶变换，可以得到：\[L[\hat{u}(k,\omega)] = \hat{f}(k,\omega)\]然后通过解代数方程来求得 \(\hat{u}(k,\omega)\)，再进行逆傅立叶变换即可得到 u(x,t) 的解。
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偏微分方程求解方法及其比较
发表时间：2008-12-11T09:32:01.530Z 来源：《科海故事博览科教创新》2008年第10期供稿作者：曹海洋吕淑娟王淑芬
[导读] 近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.
摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注.
关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近；
1偏微分方程及其谱方法的介绍
偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。
理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。
最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。
通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。
早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。
求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。
谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau 方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
而这些方法的基础就是建立空间基函数。
下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。
1) Chebyshev-Gauss:
2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1,
3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1,
4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且
5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且
6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且
下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为：
其中：
Jacobi正交多项式满足正交性：
而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。
2 几种典型的谱方法
谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。
谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。
从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。
前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。
从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。
Collocation法适用于非线性问题．Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。
谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。
快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出．并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。
下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法：
1）以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程
以一阶波动方程为例：
其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。
故可设其中为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中的共轭有：
其中从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。
2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。
它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。
如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程Petrov－Galerkin谱方法。
3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。
4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。
5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。
这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。
有限谱方法分为基于非
周期性傅立叶插值的有限谱法和基于截断傅立叶积分的有限谱法。
3 谱方法的几个相关问题
1）谱微分快速逼近
函数的微分逼近形式是偏分方程数值解中的一个重要问题, 它某种意义上决定了采用方法的实质。
例如常见的差分方法是采用少数几个离散值组合来逼近函数在某点的微分值。
离散点与微分估值点的位置是决定差分格式的重要依据。
对谱方法, 其情形与差分离散有所不同, 对变量的谱方法微分逼近实质上是决定对应导函数展开序列的系数。
一般正交函数均存在3项递推公式，它可以在谱微分逼近中加以利用。
但利用3项递推容易出现舍入误差过度积累, 导致计算不稳定, 在涉及坐标变换时该问题显得更为严重。
另一种计算谱微分的方法基于拉格朗日核函数 , 该方法主要针对拟谱方法。
其关键是如何在一个简单的微分矩阵(三对角或者五对角等稀疏情形) 基础上控制计算误差。
微分逼近在基于样条函数的PDE 配置方法以及观测数据导函数逼近中经常出现。
2）快速多极方法
快速多极方法(FMM ) 是目前较新的一种快速方法, 起源于多体问题模拟, 目前已被较广泛应用到工程计算加速中。
基于拉格朗日核函数的序列估值及微分估值都可以使用FMM , FMM 还可用于球谐谱计算中对勒让德变换的加速。
FFT 只适用于离散点等距的情况, 而在谱方法计算中大多数情况的离散点是不等距的, 特别是在复杂几何解域谱计算问题中, 此时FMM 可以作为FFT 的替代。
FMM 的计算复杂度和FFT 在量级上相同, 但增加了一个很大的比例系数。
4 结论
谱方法的计算量大大超过了有限差分和有限元方法, 由于计算机速度的限制, 谱方法的研究与应用曾一度处于低谷。
近年来, 在计算机技术、区域分解技术和应用需求的共同推动下, 关于谱方法的研究和应用逐渐升温。
目前, 谱方法计算的大量研究和应用集中在谱元素方法、多域拟谱方法及其预条件和并行计算。
由于基于区域分解的谱方法在并行计算中具有很小的通信计算比, 特别适合于粗粒度分布式并行计算。
随着谱方法计算研究的深入基于区域分解的谱方法在科学计算中的地位将显得愈来愈重要。
参考文献
[1]向新民.谱方法的数值分析.北京，科学出版社，2000
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[4]余德浩.汤华中. 微分方程数值解法. 科学出版社
[5]张理论.李晓梅. 谱方法数值计算研究进展. 指挥技术学院学报, 2001。