高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)课件新人教A版必修4
第一章
§ 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数
的性质(一)
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期. 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇
偶性.
问题导学
题型探究
答案
2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π. (2)余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
知识点二
定义法 图象法
求函数的最小正周期的方法
观察出周期，再用定义验证.也可利用函数性质推出f(x＋T)＝f(x) 作出函数图象，观察图象得出T，例如y＝|sin x|
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
解析答案
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( D ) B.y＝|sin x|
3π D.y＝cos 2 －2x
π x|是偶函数，y＝sin2＋2x＝cos
函数
1 π y＝2sin2x－6 ，x∈R
的值才能重复出现， 的周期是 4π.
反思与感悟 解析答案
∴函数
1 π y＝2sin2x－6 ，x∈R
(3)y＝|sin x|. 解 作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
求下列函数的周期：
1 π － x ＋ (1)y＝sin ； 2 3
解
2π T＝ 1 ＝4π； |－2|
(2)y＝|cos 2x|.
π 解 T＝ 2 .
解析答案
类型二
三角函数奇偶性的判定
例2
判断下列函数的奇偶性：
1 π (1)f(x)＝sin－2x＋2 ；
1 解 显然 x∈R，f(x)＝cos 2x，
答案
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T
常数T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
，使得当x取定义域内的
每一个 值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零
最小的正数 ，那么这
个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
A.y＝cos|2x|
π C.y＝sin2＋2x
解析
y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
答案 返回
题型探究
类型一 求三角函数的周期
重点难点 个个击破
例1 求下列函数的周期：
(1)y＝cos 2x，x∈R； 解 ∵cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]＝cos 2x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π， 函数y＝cos 2x，x∈R的值才能重复出现， ∴函数y＝cos 2x，x∈R的周期是π.
1 ∵f(－x)＝cos－2x
1 ＝cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
解析答案
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
1－sin x>0， 解 由 得－1<sin x<1. 1＋sin x>0，
π . x | x ∈ R 且 x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z 解得定义域为 2
达标检测
问题导学
知识点一 思考1 函数的周期性
新知探究 点点落实
观察该实例：钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过
1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周，具有怎样的属性？ 答 周而复始，重复出现.
思考2
观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？
哪个公式可以反映这种规律？ 答 具有.sin (x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z.
解析答案
1 π (2)y＝2sin2x－6，x∈R；
解
1 π x ＋ 4π － ∵2sin 6 2
1 1 π π x － x － ＝2sin2 6＋2π＝2sin2 6，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正 结论法 周期为 2π |ω|
知识点三 思考
正弦函数、余弦函数的奇偶性
对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正弦函
数、余弦函数具备怎样的性质？ 答 奇偶性.
1.对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是 奇 函数，正弦曲线关于 原点 对称. 2.对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是 偶 函数，余弦曲线关于 y轴 对称.
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数.
解析答案
(2)f(x)＝ 1－2cos x＋ 2cos x－1.
解 由
1－2cos x≥0， 2cos x－1≥0，
1 得 cos x＝2.
π ∴f(x)＝0，x＝2kπ±3，k∈Z.
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
π ∴x∈R 且 x≠2kπ－2，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判断下列函数的奇偶性： x；
3 2 (1)f(x)＝cos2π＋2x ＋ x sin
解
f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
解析答案
1＋sin x－cos2x (3)f(x)＝ . 1＋sin x
§ 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数
的性质(一)
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期. 3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇
偶性.
问题导学
题型探究
答案
2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π. (2)余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
知识点二
定义法 图象法
求函数的最小正周期的方法
观察出周期，再用定义验证.也可利用函数性质推出f(x＋T)＝f(x) 作出函数图象，观察图象得出T，例如y＝|sin x|
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
解析答案
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( D ) B.y＝|sin x|
3π D.y＝cos 2 －2x
π x|是偶函数，y＝sin2＋2x＝cos
函数
1 π y＝2sin2x－6 ，x∈R
的值才能重复出现， 的周期是 4π.
反思与感悟 解析答案
∴函数
1 π y＝2sin2x－6 ，x∈R
(3)y＝|sin x|. 解 作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 1
求下列函数的周期：
1 π － x ＋ (1)y＝sin ； 2 3
解
2π T＝ 1 ＝4π； |－2|
(2)y＝|cos 2x|.
π 解 T＝ 2 .
解析答案
类型二
三角函数奇偶性的判定
例2
判断下列函数的奇偶性：
1 π (1)f(x)＝sin－2x＋2 ；
1 解 显然 x∈R，f(x)＝cos 2x，
答案
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T
常数T 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
，使得当x取定义域内的
每一个 值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零
最小的正数 ，那么这
个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
A.y＝cos|2x|
π C.y＝sin2＋2x
解析
y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
答案 返回
题型探究
类型一 求三角函数的周期
重点难点 个个击破
例1 求下列函数的周期：
(1)y＝cos 2x，x∈R； 解 ∵cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]＝cos 2x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π， 函数y＝cos 2x，x∈R的值才能重复出现， ∴函数y＝cos 2x，x∈R的周期是π.
1 ∵f(－x)＝cos－2x
1 ＝cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数.
解析答案
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
1－sin x>0， 解 由 得－1<sin x<1. 1＋sin x>0，
π . x | x ∈ R 且 x ≠ k π ＋ ， k ∈ Z 解得定义域为 2
达标检测
问题导学
知识点一 思考1 函数的周期性
新知探究 点点落实
观察该实例：钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过
1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周，具有怎样的属性？ 答 周而复始，重复出现.
思考2
观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？
哪个公式可以反映这种规律？ 答 具有.sin (x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z.
解析答案
1 π (2)y＝2sin2x－6，x∈R；
解
1 π x ＋ 4π － ∵2sin 6 2
1 1 π π x － x － ＝2sin2 6＋2π＝2sin2 6，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正 结论法 周期为 2π |ω|
知识点三 思考
正弦函数、余弦函数的奇偶性
对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正弦函
数、余弦函数具备怎样的性质？ 答 奇偶性.
1.对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是 奇 函数，正弦曲线关于 原点 对称. 2.对于y＝cos x，x∈R恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是 偶 函数，余弦曲线关于 y轴 对称.
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数.
解析答案
(2)f(x)＝ 1－2cos x＋ 2cos x－1.
解 由
1－2cos x≥0， 2cos x－1≥0，
1 得 cos x＝2.
π ∴f(x)＝0，x＝2kπ±3，k∈Z.
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
π ∴x∈R 且 x≠2kπ－2，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
判断下列函数的奇偶性： x；
3 2 (1)f(x)＝cos2π＋2x ＋ x sin
解
f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∴f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) ∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
解析答案
1＋sin x－cos2x (3)f(x)＝ . 1＋sin x
合集下载
正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)课件 新人教A版必修4
ω
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它 是否关于原点对称. 3.三角函数奇偶性与周期性的综合应用关键是利用化归思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上.
返回
本课结束
答案
(2)若函数 f(x)是以π2为周期的偶函数，且 f(π3)＝1，求 f －167π的值. 解 ∵f(x)的周期为π2，且为偶函数. ∴f －167π＝f －3π＋π6＝f －6×π2＋π6＝f π6. 又∵f π6＝f π2－π3＝f －π3＝f π3＝1.
＝f 34π＝sin
34π＝
2 2.
解析答案
123 4 5
5.若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sin x，求当x＜0时，f(x)的解析式. 解 设x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x. 又∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x2＋sin x， ∴f(x)＝－x2－sin x，x＜0.
A.y＝cos|2x|
B.y＝|sin x|
C.y＝sinπ2＋2x
D.y＝cos32π－2x
解析 y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶
函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
解析答案
123 4 5
4.若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为32π，且满足 f(x)＝ 2
则 f －154π＝__2______.
解析 f －145π＝f －154π＋32π×3
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它 是否关于原点对称. 3.三角函数奇偶性与周期性的综合应用关键是利用化归思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上.
返回
本课结束
答案
(2)若函数 f(x)是以π2为周期的偶函数，且 f(π3)＝1，求 f －167π的值. 解 ∵f(x)的周期为π2，且为偶函数. ∴f －167π＝f －3π＋π6＝f －6×π2＋π6＝f π6. 又∵f π6＝f π2－π3＝f －π3＝f π3＝1.
＝f 34π＝sin
34π＝
2 2.
解析答案
123 4 5
5.若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sin x，求当x＜0时，f(x)的解析式. 解 设x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x. 又∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x2＋sin x， ∴f(x)＝－x2－sin x，x＜0.
A.y＝cos|2x|
B.y＝|sin x|
C.y＝sinπ2＋2x
D.y＝cos32π－2x
解析 y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶
函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
解析答案
123 4 5
4.若函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期为32π，且满足 f(x)＝ 2
则 f －154π＝__2______.
解析 f －145π＝f －154π＋32π×3
1.4.2 正弦函数余弦函数的性质 (人教A版必修4)优秀课件
3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定 义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单 调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线) 的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而 0°<104°<160°<180°， 且 y＝cosx 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°.
题型三 正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－3π，π6的最 大值、最小值及相应的 x 值．
即函数 y＝2sin4π－x的单调递增区间为 2kπ＋34π，2kπ＋74π，k∈Z. 令 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π，k∈Z. 即 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z. 即函数 y＝2sin4π－x的单调递减区间为 2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． (3)①ω<0 时，一般用诱导公式转化为－ω>0 后求解； ②若 A<0，则单调性相反．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定 义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单 调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线) 的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而 0°<104°<160°<180°， 且 y＝cosx 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°.
题型三 正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－3π，π6的最 大值、最小值及相应的 x 值．
即函数 y＝2sin4π－x的单调递增区间为 2kπ＋34π，2kπ＋74π，k∈Z. 令 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π，k∈Z. 即 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z. 即函数 y＝2sin4π－x的单调递减区间为 2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． (3)①ω<0 时，一般用诱导公式转化为－ω>0 后求解； ②若 A<0，则单调性相反．
高中数学必修四课件-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)-人教A版
2
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件
小结：
一、正弦函数、余弦函数的性质
定义域、值域、周期性
二、周期函数的相关概念
1.周期函数的定义： 2.最小正周期： 3.对周期函数的理解：
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
3.对周期函数的理解：
× ×
× ×
④不是每个周期函数都有最小正周期的，如常数函数.
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
练习
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课 周期性
复习回顾 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件【精品】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 பைடு நூலகம்的性 质课件 【精品 】
一、性质 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件【精品】
一、正弦函数、余弦函数的性质
定义域、值域、周期性
二、周期函数的相关概念
1.周期函数的定义： 2.最小正周期： 3.对周期函数的理解：
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
3.对周期函数的理解：
× ×
× ×
④不是每个周期函数都有最小正周期的，如常数函数.
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
练习
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 数的性 质课件 【精品 】
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课 周期性
复习回顾 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件【精品】
高中数学【人教A版必修】4第一章1.4 .2正弦 函数、 余弦函 பைடு நூலகம்的性 质课件 【精品 】
一、性质 高中数学【人教A版必修】4第一章1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件【精品】
高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4
减区间(qū
jiākn)
2 u
k
,k
Z
为 k
3
x k
,k Z
2
y为增函数
4
4
k x k , k Z y为减函数
4
4
第十页，共13页。
正弦(zhèngxián)、余弦函数的奇偶 小性、结单： 调性
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调(dāndiào)性（单调
[(dā+nd2kiào,)区 +间2k）],kZ
y=cosx (xR) 是偶函数
y
1
o
-1
2
3
4
5 6 x
第三页，共13页。
正弦、余弦(yúxián)函数的奇偶性、 正弦单、余调弦性(yúxián)函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
cos(-x)= cosx (xR)
)=cos
17 4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
4
第七页，共13页。
例2 求下列函数(hánshù)的最大值及取得最大值时自变量x的 集合:
2
2
[ +2k, 3 +2k],kZ
最新1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)教学讲义PPT课件
f(x ) s in x ,x R 为奇函数
( 2 )f(x ) c o s x ,x R 任意xR f( x )co s( x )co sx f (x)
f(x ) c o sx ,x R 为偶函数
正弦函数的图象 y
1
P
3 5 2
2 3
2
O 3 2 5 3 x
P ' 2 1 2
xk,k Z
对称中心： ( ,0 ),(,0 ),(3 ,0 ),(5 ,0 )
22 2 2
(k,0) kZ
2
练习
▪ 为函数 ysin(2x) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x 12
y
D.x0
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
y
2sin(1
x
)
的值才能重复出现.
26
所以,函数 y2sin(1x),xR的周期是π
26
思考(4)
yA si n x ( )x , R .A (0, 0) T 2
yA co x s( )x , R .A (0, 0)
| |
练习
▪ 已知函数 y f(x)的周期是3，且当 x[0,3] 时， f(x)x21 ，求 f(1),f(5),f(16). 思考： f(5)52126吗？
2 6
( 4 ) y A sx i n ) x , R ( .A ( 0 , 0 )
解：（1）∵ 3 c o s(x 2 ) 3 c o sx
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
( 2 )f(x ) c o s x ,x R 任意xR f( x )co s( x )co sx f (x)
f(x ) c o sx ,x R 为偶函数
正弦函数的图象 y
1
P
3 5 2
2 3
2
O 3 2 5 3 x
P ' 2 1 2
xk,k Z
对称中心： ( ,0 ),(,0 ),(3 ,0 ),(5 ,0 )
22 2 2
(k,0) kZ
2
练习
▪ 为函数 ysin(2x) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x 12
y
D.x0
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
y
2sin(1
x
)
的值才能重复出现.
26
所以,函数 y2sin(1x),xR的周期是π
26
思考(4)
yA si n x ( )x , R .A (0, 0) T 2
yA co x s( )x , R .A (0, 0)
| |
练习
▪ 已知函数 y f(x)的周期是3，且当 x[0,3] 时， f(x)x21 ，求 f(1),f(5),f(16). 思考： f(5)52126吗？
2 6
( 4 ) y A sx i n ) x , R ( .A ( 0 , 0 )
解：（1）∵ 3 c o s(x 2 ) 3 c o sx
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课件新人教A版必
复习课件
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课件新人教A版必修
1.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质(一)
必备知识·自主学习
1.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每 一个值时,都有_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_,那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__正__数__,那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3
) =1,则 f (－
5 ) 6
=________.
【解析】因为f(x)是以 为 周期的奇函数,
2
所以f( 5 ) ＝ f( － 5 ＋ ) ＝ f( － ) ＝ － f( ) ＝ － 1 .
6 62 3 3
答案:-1
课堂检测·素养达标
1.下列函数中,周期为 的是 ( )
2
A.y=sin x
所以函数 y3sin(2的x最小) 正周期为
34
答案:3π
T 2 3. 2 3
关键能力·合作学习
类型一 求函数的周期(数学抽象) 【题组训练】 1.如图是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )
பைடு நூலகம்
2.f(x)=sin (2x＋ )的周期为 ( )
4
A ． B ． C ． D ． 2
【思考】 是不是所有的函数都是周期函数?若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一?
提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯 一.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课件新人教A版必修
1.4.2 正弦函数、余弦函数的 性质(一)
必备知识·自主学习
1.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每 一个值时,都有_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_,那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__正__数__,那么 这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3
) =1,则 f (－
5 ) 6
=________.
【解析】因为f(x)是以 为 周期的奇函数,
2
所以f( 5 ) ＝ f( － 5 ＋ ) ＝ f( － ) ＝ － f( ) ＝ － 1 .
6 62 3 3
答案:-1
课堂检测·素养达标
1.下列函数中,周期为 的是 ( )
2
A.y=sin x
所以函数 y3sin(2的x最小) 正周期为
34
答案:3π
T 2 3. 2 3
关键能力·合作学习
类型一 求函数的周期(数学抽象) 【题组训练】 1.如图是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )
பைடு நூலகம்
2.f(x)=sin (2x＋ )的周期为 ( )
4
A ． B ． C ． D ． 2
【思考】 是不是所有的函数都是周期函数?若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一?
提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯 一.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
17
讲授新课 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的；
(2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
26
三个函数的周期是什么?
26
讲授新课 一般结论:
函数y Asin(x )及 函数y Acos(x ), x R 的周期 T 2 .
27
讲授新课
思考:
求下列三角函数的周期：
(1) y sin(2x ) 2cos(3x );
4
6
(2) y sin x .
28
讲授新课
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
20
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
21
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
(3) 若函数f ( x)的周期为T ,则kT , k Z * 也是f ( x)周期吗?为什么?
18
讲授新课 周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
19
讲授新课
问题：
(1) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
15
讲授新课 正弦函数的性质1
17
讲授新课 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的；
(2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
26
三个函数的周期是什么?
26
讲授新课 一般结论:
函数y Asin(x )及 函数y Acos(x ), x R 的周期 T 2 .
27
讲授新课
思考:
求下列三角函数的周期：
(1) y sin(2x ) 2cos(3x );
4
6
(2) y sin x .
28
讲授新课
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
20
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
21
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
(3) 若函数f ( x)的周期为T ,则kT , k Z * 也是f ( x)周期吗?为什么?
18
讲授新课 周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
19
讲授新课
问题：
(1) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
15
讲授新课 正弦函数的性质1