因式分解专题 用分组分解法 含答案
考点15 因式分解-分组分解法(解析版)
考点15 因式分解——分组分解法一．选择题（共12小题）1．（2020·重庆月考）已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（ ）A ．48B ．36C ．96D ．无法计算【答案】A【详解】解：4m n p q +=+=，()()4416m n p q ∴++=⨯=，()()m n p q mp mq np nq ++=+++，16mp mq np nq ∴+++=，4mp nq +=，12mq np ∴+=，()()2222m n pq mn p q ∴+++，2222m pq n pq mnp mnq =+++，mp mq np nq mp np nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，mp mq mp np np nq nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，()()mp mq np nq np mq =+++，()()mp nq np mq =++，412=⨯，48=，故选：A ．2．（2020·湖北）已知三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则三角形ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】D∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac=0，∵2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac=0，∵a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2=0，即（a -b ）2+（b -c ）2+（c -a ）2=0，∵a -b=0，b -c=0，c -a=0，∵a=b=c ，∵∵ABC 为等边三角形．故选D ．3．（2020·河南）已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（ ）A ．4B ．4-C ．12-D ．3-【答案】D 解：因为3a b -=，4b c -=-，∵1a c -=-()22()()()()a ac ab bc a a b c a b a ac b a b a c a c --=--+=---=---，将3a b -=，1a c -=-代入得：()()3(1)3a b a c --=⨯-=-，故选：D ．4．（2020·宁夏月考）多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1 【答案】C解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．5．（2020·全国）用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（ ）A ．()()2222a b bbc --- B ．()2222a b c bc --+ C ．()()2222a b c bc --- D ．()2222a b c bc -+- 【答案】DA. ()()2222()()(2)a b bbc a b a b b b c ---=+---，不能分解，本选项不合题意； B. ()2222a b c bc --+，不能分解，本选项不合题意；C. ()()2222()()(2)a b cbc a b a b c c b ---=+---，不能分解，本选项不合题意； D. ()222222()()()a b c bc a b c a b c a b c -+-=--=+--+，本选项符合题意；故选：D6．（2020·山西）把 x 2 - y2- 2 y -1分解因式结果正确的是（ ） A ．(x + y +1)(x - y -1)B ．(x + y -1)(x - y -1)C ．(x + y -1)(x + y +1)D ．(x - y +1)(x + y +1)【答案】A解：原式=22(21)x y y -++ =22(+1)x y -=1)(1)x y x y ++--（ 故选：A ．7．（2020·湖北）下列运算不正确的是（ ）A ．1(1)(1)xy x y x y +--=-+B ．22221()2x y z xy yz zx x+y+z +++++= C ．2233()()x y x xy y x y +-+=+D ．33223()33x y x x y xy y -=-+-【答案】B【解析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y +--=+-+=-+，A 正确，不符合题意；2222221()()()2x y z xy yz zx x y x z y z ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦，B 错误，符合题意； 2233()()x y x xy y x y +-+=+，C 正确，不符合题意；33223()33x y x x y xy y -=-+-，D 正确，不符合题意；故选B ．8．（2020·廉江期中）在实数范围内分解因式2a 3﹣8a 的结果是（ ）A ．2a （a 2﹣4）B ．2a （a+2）（a ﹣2）C ．2a （a+4）（a ﹣4）D ．a （a+2）（a ﹣2） 【答案】B【解析】解：原式()2242(2)(2).a a a a a =-=+-故选:B.9．（2020·山东）设a ，b ，c 是ABC 的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-，则这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】解：∵a 3-b 3=a 2b -ab 2+ac 2-bc 2，∵a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.10．（2020·上海月考）下列因式分解错误．．的是( )A．3x2–6xy=3x(x–2y)B．x2–9y2=(x–3y)(x+3y)C．4x2+4x+1=(2x+1)2D．x2–y2+2y–1=(x+y+1)(x–y–1)【答案】D【解析】对于A，3x2－6xy＝3x(x－2y)，分解正确；对于B，x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)，分解正确；对于C，4x2+4x+1＝(2x+1)2，分解正确.对于D，x2－y2+2y-1= x2-(y-1)2=(x+y-1)(x-y+1),故分解因式错误；故选D.11．（2020·全国）将多项式x2+2xy+y2﹣2x﹣2y+1分解因式，正确的是（）A．（x+y）2B．（x+y﹣1）2C．（x+y+1）2D．（x﹣y﹣1）2【答案】B解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B12．（2020·全国）分解因式：x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y 的结果是（ ）A ．（x ﹣y ）（x ﹣y+1）B ．（x ﹣y ）（x ﹣y ﹣1）C ．（x+y ）（x ﹣y+1）D ．（x+y ）（x ﹣y ﹣1）【答案】A【解析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x 2﹣2xy+y 2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x ﹣y 为一组．解：x 2﹣2xy+y 2+x ﹣y=（x 2﹣2xy+y 2）+（x ﹣y ）=（x ﹣y ）2+（x ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣y+1）． 故选A ．二．填空题（共6小题）13．（2020·台州月考）分解因式：32a a b a b --+=_________．【答案】()()()11a a a b +--解：32a a b a b --+=()()32a a b a b --- =()()2a b a a b ---=()()21a b a -- =()()()11a a a b +--．故答案为()()()11a a a b +--．14．（2020·四川）已知a ＝2019x+2016，b ＝2019x+2017，c ＝2019x+2018，则多项式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值为_____．【答案】3解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，∵a -b=-1，a -c=-2，b -c=-1，∵a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =2222222222a b c ab bc ac ++--- =222()()()2a b a c b c -+-+- =222(1)(2)(1)2-+-+- =3，故答案为：3．15．（2020·河北）已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是________． 【答案】-3∵3a b -=，4b c -=-，∵a -c=-1，∵()2a acb ac --- =()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-⨯=-3，故答案为：-3.16．（2020·武汉）因式分解24()88a b a b --+的结果是__________．【答案】4()(2)a b a b ---()()()()()()2224()884884842a b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=---=--- 故答案为4()(2)a b a b ---． 17．（2020·宁夏）因式分解：22421xy y -+-=________．【答案】(21)(21)x y x y +--+解：22421x y y -+- ()22=421x y y --+()22=41x y -- =(21)(21)x y x y +--+故答案为：(21)(21)x y x y +--+18．（2020·吉林）若x 2+4x +8y +y 2+20＝0，则x ﹣y ＝_____．【答案】4．由x 2+4x+8y+y 2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，∵x+2＝0，y+4＝0，解得x ＝﹣2，y ＝﹣4，∵x ﹣y ＝4；故答案为：4．三．解析题（共6小题）19．（2020·华南师范大学中山附属中学期中）分解因式： （1）221632a a -+（2）22414x xy y --+【答案】（1）()224a -；（2）()()2121x y x y -+--． （1）221632a a -+ ，= ()22816a a -+，=()224a -；（2）22414x xy y --+， ()224=41x xy y -+-， ()2=x-2y -1， ()()=x 2121y x y -+--．20．（2020·福建省惠安科山中学期中）阅读材料：若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∵222(2)(816)0m mn n n n -++-+=∵22()(4)0m n n +--=，∵22()0,(4)0m n n -=-=∵4,4m n ==．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知2222440x xy y y ++++=，求xy 的值；（2）已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22108410a b a b +--+=，求∵ABC 边c 的最大值．【答案】（1）-4；（2）8解：（1）∵2222440x xy y y ++++=， ∵2222440x xy y y y +++++=，∵()()2220x y y +++=，∵0x y +=，20y +=，∵2x =，2y =-，∵()224xy =⨯-=-， （2）∵22108410a b a b +--+=，∵2210258160a a b b -+++=-，∵()()22450a b -+=-，∵5a =，4b =，∵,,a b c 是ABC ∆的三边，∵a b c a b -<<+，∵19c <<又∵c 为正整数，∵c 的最大值为8．21．（2020·山西）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y --+，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
中考数学专题练习因式分解分组分解法(含解析)
2019中考数学专题练习-因式分解分组分解法（含解析）一、单选题1.把ab﹣a﹣b+1分解因式的结果为（）A. （a+1）（b+1）B. （a+1）（b﹣1）C. （a﹣1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）2.把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2）B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）C. 4x2﹣（2x+y2+y）D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）3.分解因式4﹣x2+2x3﹣x4 ，分组合理的是（）A. （4﹣x2）+（2x3﹣x4）B. （4﹣x2﹣x4）+2x3C. （4﹣x4）+（﹣x2+2x3）D. （4﹣x2+2x3）﹣x44.下列分解因式错误的是（）A. 15a2+5a=5a（3a+1）B. ﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C. ax+x+ay+y=（a+1）（x+y） D. ﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x25.把多项式a3+2a2b+ab2﹣a分解因式正确的是（）A. （a2+ab+a）（a+b+1）B. a（a+b+1）（a+b﹣1）C. a（a2+2ab+b2﹣1）D. （a2+ab+a）（a2+ab﹣a）6.能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A. xy﹣2x+3y﹣6B. xy﹣3y+2x﹣y C. ﹣6+2y﹣3x+xy D. ﹣6+2x﹣3y+xy7.把多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（）A. （a-b）（a+b+c）B. （a-b）（a+b-c）C. （a+b）（a-b-c）D. （a+b）（a-b+c）8.若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数9.把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A. （x+y+3）（x﹣y﹣1）B. （x+y﹣1）（x﹣y+3）C. （x+y﹣3）（x﹣y+1）D. （x+y+1）（x﹣y﹣3）10.分解因式：x2+y2+2xy-1=( )A. （x＋y＋1）(x+y－1)B. （x＋y－1）(x－y－1)C. （x＋y－1）(x-y＋1)D. （x－y＋1）(x＋y＋1)11.把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A. （a+1）（b+1）B. （a﹣1）（b﹣1）C. （a+1）（b﹣1）D. （a﹣1）（b+1）12.把多项式a2-2ab+b2-1分解因式,结果是( )A.B.C.D.13.下列因式分解错误的是（）A. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B. x2+y2=（x+y）（x+y）C. x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z） D. x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）14.下列四个等式中错误的是（）A. 1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b） B. 1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C. 1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b） D. 1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）二、填空题15.若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）•A，则A=________．16.分解因式：x2﹣y2=________．ab﹣a﹣b+1=________．17.分解因式：a2﹣6a+9﹣b2=________．18.分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=________．19.分解因式：xy﹣x﹣y+1=________．20.分解因式：=________21.分解因式x2﹣2xy+y2﹣4x+4y+3=________．22.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y=________三、计算题23.因式分解：（1）x2﹣xy﹣12y2；（2）a2﹣6a+9﹣b224.若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．25.因式分解（1）3ax+6ay（2）25m2﹣4n2（3）3a2+a﹣10（4）ax2+2a2x+a3（5）x3+8y3（6）b2+c2﹣2bc﹣a2（7）（a2﹣4ab+4b2）﹣（2a﹣4b）+1（8）（x2﹣x）（x2﹣x﹣8）+12．四、解答题26.先阅读以下材料，然后解答问题．分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b ﹣ab2 ．27.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC 的形状。
分组法 因式分解专项练习30题(有答案)
=[（x+1）2+2x][（x+1）2+x]=（x2+4x+1）（x2+3x+1）； （3）（x+y）3+2xy（1﹣x﹣y）﹣1=[（x+y）3﹣1]+2xy（1﹣x﹣y）=（x+y﹣1）[（x+y）2+x+y+1]﹣2xy（x+y﹣1）
分组法分解因式---- 2
26．m2﹣2mn+n2﹣am+an． 27．x2﹣2xy+y2+3x﹣3y+2． 28．（1）a2﹣2ab+b2﹣4； （2）x3﹣x2﹣4x+4． 29．a2x2﹣4+a2y2﹣2a2xy 30．（1）x2+9y2+4z2﹣6xy+4xz﹣12yz
（2）（a2+5a+4）（a25a+6）﹣120．
本小题可以稍加变形，直接使用公式，解法如下： 原式=a2+（﹣b）2+c2+2（﹣b）c+2ca+2a（﹣b）=（a﹣b+c）2． （4）原式=（a7﹣a5b2）+（a2b5﹣b7）=a5（a2﹣b2）+b5（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a5+b5）
=（a+b）（a﹣b）（a+b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4）=（a+b）2（a﹣b）（a4﹣a3b+a2b2﹣ab3+b4） 12．6x2﹣5xy﹣6y2+2x+23y﹣20=6x2﹣x（5y﹣2）﹣（6y2﹣23y+20）=6x2﹣x（5y﹣2）﹣（2y﹣5）（3y﹣4）
因式分解分组分解法教师版
分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．如何将多项式am an bm bn+++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn+++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n+=+,()bm bn b m n+=+而：()()()()a m nb m n m n a b+++=++．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．分组分解法知识结构知识精讲内容分析【例1】 因式分解： （1）2a ab ac bc -+-； （2）ax by bx ay --+．【难度】★【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()x y a b +-． 【解析】（1）原式()()()()a a b c a b a c a b =-+-=+-；（2）原式()()()()a x y b x y x y a b =+-+=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例2】 分解因式：32x bx ax ab +++． 【难度】★【答案】2()()x b x a ++． 【解析】原式2()()x x b a x b =+++2()()x b x a =++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例3】 分解因式：32acx bcx adx bd +++． 【难度】★【答案】2()()ax b cx d ++．【解析】原式2()()cx ax b d ax b =+++2()()ax b cx d =++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．例题解析【例4】 分解因式：22abx bxy axy y +--． 【难度】★【答案】()()ax y bx y +-．【解析】原式()()bx ax y y ax y =+-+()()ax y bx y =+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例5】 分解因式：2105ax ay by bx -+-． 【难度】★【答案】(2)(5)a b x y --．【解析】原式2(5)(5)a x y b x y =---(2)(5)a b x y =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例6】 因式分解：26694k mn km kn -+-． 【难度】★【答案】(32)(23)k n k m -+．【解析】原式3(23)2(23)k k m n k m =+-+(32)(23)k n k m =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例7】 分解因式：222332154810ac cx ax c +--． 【难度】★【答案】22(23)(165)c x a c --．【解析】原式222216(23)5(23)a c x c c x =---22(23)(165)c x a c =--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【例8】 分解因式：2222ac bd ad bc +--． 【难度】★★【答案】()()()c d c d a b -+-． 【解析】原式2222()()a c d b d c =-+- 22()()c d a b =--()()()c d c d a b =-+-．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例9】 分解因式：221x ax x ax a +++--． 【难度】★★【答案】2(1)(1)a x x ++-．【解析】原式2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例10】 分解因式：4321x x x ++-． 【难度】★★【答案】322(1)(1)(1)(1)x x x x x ++=+-+． 【解析】原式3(1)(1)x x x =+++ 3(1)(1)x x =++（未学过立方和的分解到这一步就可以）22(1)(1)x x x +-+【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【例11】 分解因式：22221a b a b --+． 【难度】★★【答案】(1)(1)(1)(1)a a b b -+-+． 【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b a b a a b b =---=--=-+-+【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．【例12】 分解因式：22222a b a b ab ---． 【难度】★★【答案】()()ab a b ab a b --++． 【解析】原式2222222(2)()()()a b a b ab a b a b ab a b ab a b =-++=-+=--++【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【例13】 分解因式：2421193n n m mx x y y +-+． 【难度】★★【答案】2211()(1)33n m n m x y x y +-+．【解析】原式2422222211()93111()()()33311()(1)33n m n m n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y x y x y =-++=+-++=+-+ 【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意对字母指数的准确理解．【例14】 分解因式：()()x x z y y z +-+． 【难度】★★【答案】()()x y x y z -++．【解析】原式2222()()()x xz y yz x y z x y x y x y z =+--=-+-=-++．【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组．【例15】 分解因式：()()2221ab x x a b +++． 【难度】★★【答案】()()ax b bx a ++．【解析】原式222()()()()abx ab a x b x ax bx a b a bx ax b bx a =+++=+++=++． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组．【例16】 因式分解：()()2232x x x x ++-+． 【难度】★★★【答案】2(2)(1)(1)x x x x +-+-【解析】原式222222()3()2[()2][()1](2)(1)(1)x x x x x x x x x x x x =+-++=+-+-=+-+-． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及十字相乘方法的运用能力，注意先拆再重新分组．【例17】 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数． 【难度】★★★ 【答案】7、9、11．【解析】设三个连续奇数最小的为21(0)k k +≥且k 为整数，则由题意可得： 222(21)(23)(25)251k k k +++++=，即222441412942025251k k k k k k ++++++++=．整理，得：23180k k +-=，即(6)(3)0k k +-=． ∵0k ≥，∴3k =．∴这三个连续奇数为7、9、11．【点评】如何设三个连续奇数是难点，然后完全平方公式的分解化为一元二次方程即可，再利用因式分解的思路求出方程的解．【例18】 已知：111201*********a xb xc x =+=+=+，，， 求：222a b c ab bc ac ++---的值． 【难度】★★★ 【答案】3．【解析】由222a b c ab bc ac ++---，可得：2222222221(222222)21[()()()]2a b c ab bc ac a b c ab bc ac a b b c a c ++---=++---=-+-+-把已知代入，可得：222a b c ab bc ac ++---=1(141)32⨯++=．【点评】主要利用系数乘以2后得到的三组完全平方公式，此类题目具有一般性．【例19】 已知三条线段长分别为a 、b 、c 其中a b c <<，且满足2222a c b ac +<+．证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形． 【难度】★★★ 【答案】见【解析】．【解析】∵2222a c ac b +-<，即22()a c b -<．∴c a b -<，∴c a b <+，又c 最大， 可得以a 、b 、c 为三边能构成三角形．【点评】考查学生对于构成三角形的条件判定，以及运用因式分解求解不等式的能力．【例20】 求方程x y xy -=的整数解． 【难度】★★★【答案】12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 【解析】由方程可得1(1)111y x y xy x y y x y y-=-===-+--，，所以， ∵x 、y 均为整数，∴11y -=±，∴12120202x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 【点评】本题综合性较强，主要考查利用因式分解求解方程以及如何去求整数解，注意对方法的总结．【习题1】 因式分解： （1）33ac bc a b +++；（2）1xy x y --+、【难度】★【答案】（1）()(3)a b c ++；（2）(1)(1)x y --． 【解析】（1）原式()3()()(3)c a b a b a b c =+++=++； （2）原式(1)(1)(1)(1)x y y x y =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题2】 分解因式：432x x x x +++． 【难度】★【答案】2(1)(1)x x x ++．【解析】原式32(1)(1)(1)(1)x x x x x x x =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题3】 分解因式：222a ab ac bc +--． 【难度】★【答案】()(2)a c a b -+．【解析】原式()2()()(2)a a c b a c a c a b =-+-=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题4】 分解因式：ax ay bx cy cx by -++-- 【难度】★【答案】()()a b c x y +--．【解析】原式()()()()()a x y b x y c y x a b c x y =-+-+-=+--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．随堂检测【习题5】 分解因式：27321x y xy x -+-． 【难度】★【答案】(7)(3)x y x +-．【解析】原式7(3)(3)(7)(3)x x y x x y x =---=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．【习题6】 分解因式：2226923ax a xy xy ay -+-． 【难度】★【答案】(3)(23)ax y x ay +-．【解析】原式3(23)(23)(3)(23)ax x ay y x ay ax y x ay =-+-=+-． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题7】 分解因式：222221x y z x z y z --+． 【难度】★【答案】22(1)(1)y z x z --．【解析】原式22222(1)(1)(1)(1)x z y z y z y z x z =---=--． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【习题8】 分解因式：3254222x x x x x --++-． 【难度】★★【答案】24(2)(1)x x x -+-．【解析】原式2424(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x x =---+-=-+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意不要漏项．【习题9】 因式分解：2224x xy y ++-． 【难度】★★【答案】(2)(2)x y x y +-++．【解析】原式2()4(2)(2)x y x y x y =+-=+-++． 【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题10】 分解因式：2293x x y y ---． 【难度】★★【答案】(3)(31)x y x y +--．【解析】原式229(3)(3)(3)(3)(3)(31)x y x y x y x y x y x y x y =--+=+--+=+--． 【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题11】 228224x y xy ---． 【难度】★★【答案】2(2)(2)x y x y --++．【解析】原式22[4()]2(2)(2)x y x y x y =-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用，第一步先提取公因式很重要．【习题12】 分解因式：226269x xy x y y --++ 【难度】★★【答案】(3)(32)x y x y ---．【解析】原式222(69)2(3)(3)2(3)(3)(32)x xy y x y x y x y x y x y =-+--=---=---【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题13】 分解因式：2212x x y ---+．【难度】★★【答案】(1)(1)y x y x --++．【解析】原式2222(12)(1)(1)(1)x x y y x y x y x =-+++=-+=--++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题14】 分解因式：222223a ab b a b ++---．【难度】★★【答案】(3)(1)a b a b +-++．【解析】原式2()2()3(3)(1)a b a b a b a b =+-+-=+-++．【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．【习题15】 分解因式：()()126x x x ---．【难度】★★【答案】2(2)(3)x x +-．【解析】原式3222326(3)2(3)(2)(3)x x x x x x x x =-+-=-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题16】 分解因式：()()()()2222a b a c c d b d +++-+-+．【难度】★★【答案】2()()a d a b c d -+++．【解析】原式2222()()()()()()()()()(2)()(2)()(2222)2()()a b b d a c c d a b b d a b b d a c c d a c c d a d a b d a d a c d a d a b c d a d a b c d =+-+++-+=+--+++++--+++=-+++-++=-+++=-+++【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意先拆再重新分组，分解一定要彻底．【习题17】 已知：22102510x xy y ++-=，化简：3225x x y x ++．【难度】★★【答案】0或22x ．【解析】由22102510x xy y ++-=，可得：2(5)10x y +-=，∴51x y +=±．∵32225(51)x x y x x x y ++=++，∴3225x x y x ++的值为0或22x ．【点评】本题主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整体代入进行求值的思想．【习题18】 把多项式()242211a a a a a +++++分解因式，所得的结果为（ ） A ．()221a a +-B ．()221a a -+C ．()221a a ++D ．()221a a -- 【难度】★★★【答案】C【解析】()2423242222222222112221(21)221()2()1(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++=+++++=+++++=++++=++【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．【习题19】 因式分解：222816x x y y -+-．【难度】★★★【答案】(4)(42)x y x y -+-．【解析】原式2222211816(1)(14)(114)(114)(4)(42)x x y y x y x y x y x y x y =-+-+-=---=-+---+=-+-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题20】 因式分解：22243x y x y -++-．【难度】★★★【答案】(3)(1)x y x y -++-．【解析】原式222221(44)(1)(2)(12)(12)(3)(1)x x y y x y x y x y x y x y =++--+=+--=+-+++-=-++-【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．【习题21】 已知：221a b +=，221c d +=，且0ac bd +=，求ab cd +的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】由222222222()202ac bd a c abcd b d abcd a c b d +=++==--，得， 代入2222222222222()2ab cd a b abcd c d a b a c b d c d +=++=--+2222222222()()()()a b c d b c b c a d =---=--，再把221a b +=，221c d +=代入，可得：22222222222()()(11)()()b c a d a d a d a d --=--+-=--，∴2222()()ab cd a d +=--，∴2222()()0ab cd a d ++-=，可得0ab cd +=．【点评】本题综合性较强，主要考查学生如何通过代数式等式，利用完全平方公式和因式分解以及非负性求解代数式的值．【作业1】 因式分解：（1）a ax b bx --+；（2）2xy y yz xz --+． 【难度】★【答案】（1）()(1)a b x --；（2）()()x y y z -+．【解析】（1）原式()()()(1)a b x a b a b x =---=--；（2）原式()()()()y x y z y x x y y z =---=-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业2】 分解因式：4333x x y xz yz +++．【难度】★【答案】33()()x z x y ++．【解析】原式3333()()()()x x y z x y x z x y =+++=++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业3】 分解因式：325153x x x --+．【难度】★【答案】2(51)(3)x x --．【解析】原式225(3)(3)(51)(3)x x x x x =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业4】 分解因式：251539a m am abm bm -+-．【难度】★【答案】(53)(3)m a b a +-．【解析】原式5(3)3(3)(53)(3)am a bm a m a b a =-+-=+-．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．课后作业【作业5】 分解因式：54321x x x x x +++++．【难度】★★【答案】42(1)(1)x x x +++．【解析】原式4242(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x =+++++=+++．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业6】 分解因式：22ax bx bx ax a b -+-+-．【难度】★★【答案】2()(1)a b x x --+．【解析】原式22()()()()(1)x a b x b a a b a b x x =-+-+-=--+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业7】 分解因式：21ax x a ++-．【难度】★★【答案】(1)(1)x ax a +-+．【解析】原式2(1)(1)(1)(1)a x x x ax a =-++=+-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．【作业8】 分解因式：()22112a b b b --+-．【难度】★★【答案】2(1)(1)a b --．【解析】原式222(1)(1)(1)(1)a b b a b =---=--．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力．【作业9】 分解因式：3223a a b ab b --+．【难度】★★★【答案】2()()a b a b -+．【解析】原式22()()a a b b a b =---()()()a b a b a b =-+- 2()()a b a b =-+．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力，注意分解要彻底．【作业10】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【难度】★★★【答案】5．【解析】由22224613044690a b a b a a b b +--+=-++-+=，得， 即22(2)(3)0a b -+-=，∴23a b ==，． ∴5a b +=．【点评】考查学生分组分解方法的运用以及如何添项凑完全平方公式．。
因式分解---分组分解法 精品
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
.
因式分解
-4yz + 3x2 - 2xz + 6xy
解原式 = (6xy - 4yz) + (3x2 - 2xz) = 2y(3x - 2z) + x(3x - 2z) = (3x - 2z)(2y + x)
.
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
解原式=-xy(x2y2+xy-1)
提取公因式后，括号内的项数同多 项式本身的项数必须相同，当公因式为 多项式的某一项时，则括号必有1这一 项，这个1不能漏掉。
.
因式分解
(5)
6ax-9ay+2bx-3by
解原式 = ?
.
因式分解 分组分解法
.
因式分解
.
因式分解
用两种分组方法将下列各式因式分解
2a2 - ab + 2ac - bc
解原式
解原式
=(2a2-ab)+(2ac-bc) =(2a2+2ac)-(ab+bc)
= a(2a-b)+ c(2a-b) = 2a(a+c)- b(a+c)
= (2a-b)(a+c)
= (a+c)(2a-b)
.
因式分解
= (b + 1)(a - 1)
.
因式分解
练习5:
ab - 1 + a - b
分组分解法知识点及习题优秀版
分组分解法知识点及习题优秀版第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二；例2 把分解因式.问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.解：====因式分解专项练习题一定要记住的公式大全：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab ＋b^2＝(a±b ）^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b ＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．*（可不记）十字相乘法通用公式：如果有k=ac ，n=bd ，且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．因式分解方法（重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘）： 方法一：分组分解法步骤类型一 分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因式2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。
因式分解(分组分解法)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律： 在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有， 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀： 一提 二套 三分 四彻底
教学重点：掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分 组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前 三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
因式分解 分组分解法精选
因式分解-分组分解法精选题20道一．选择题（共2小题）1．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8）B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）2．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）二．填空题（共8小题）3．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝．4．因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝．5．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝．6．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝．7．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝．8．因式分解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝；（2）a2b﹣25b＝；（3）4a2﹣12a+9＝；（4）x2﹣y2﹣2x+2y＝．9．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝．10．分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝．三．解答题（共10小题）11．分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．12．因式分解：（1）3a2b2﹣6ab3；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；（3）x3+5x2﹣x﹣5；（4）（x2﹣4）2﹣9x2．13．因式分解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2；（2）x2﹣4x+4﹣y2．14．因式分解：（1）4xy﹣2x2y；（2）3x3﹣12xy2；（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y；（4）（x﹣y）2+4xy．15．因式分解：（1）x3﹣6x2y+9xy2；（2）x2﹣y2﹣ax﹣ay．16．分解因式：（1）2a2﹣16a+32．（2）x2﹣4xy﹣1+4y2．17．因式分解（1）（a﹣b）x2+（b﹣a）；（2）4x2﹣y2﹣1+2y．18．因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．19．请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）20．分解因式：x2﹣2x﹣4y﹣4y2．因式分解-分组分解法精选题20道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8）B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）【解答】解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8＝（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8＝（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．2．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1）D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）【解答】解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）＝（x﹣1）2﹣（y+2）2＝[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]＝（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选：D．二．填空题（共8小题）3．因式分解：m2﹣my+mx﹣yx＝（m﹣y）（m+x）．【解答】解：原式＝（m2﹣my）+（mx﹣yx）＝m（m﹣y）+x（m﹣y）＝（m﹣y）（m+x），故答案为：（m﹣y）（m+x）．4．因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．【解答】解：b2﹣2bc+c2﹣1＝（b﹣c）2﹣1＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．故答案为：（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．5．已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝100．【解答】解：∵x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，且三次项系数为1，∴设另一个因式为（x+k），则x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，∴，∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86＝2k+6﹣6k+8+4k+86＝100，故答案为：100．6．因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．【解答】解：原式＝m2﹣2m+1﹣n2＝（m﹣1）2﹣n2＝（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．故答案为（m﹣1+n）（m﹣1﹣n）．7．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【解答】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝（a2+b2﹣2ab）﹣1＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．故答案为：（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．8．因式分解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝﹣3b（a﹣2ab+b2）；（2）a2b﹣25b＝b（a+5）（a﹣5）；（3）4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2；（4）x2﹣y2﹣2x+2y＝（x﹣y）（x+y﹣2）．【解答】解：（1）﹣3ab+6ab2﹣3b3＝﹣3b（a﹣2ab+b2），故答案为：﹣3b（a﹣2ab+b2）；（2）a2b﹣25b＝b（a2﹣25）＝b（a+5）（a﹣5），故答案为：b（a+5）（a﹣5）；（3）4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2，故答案为：（2a﹣3）2；（4）x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2），故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．9．分解因式：（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2＝（x﹣1）2（y﹣1）2．【解答】解：原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+4xy+（xy）2﹣2xy+1＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy（x+y）+（xy）2+2xy+1＝（x+y）2﹣2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2＝[（x+y）﹣（xy+1）]2＝（x+y﹣xy﹣1）2＝（x﹣1）2（y﹣1）2．故答案为（x﹣1）2（y﹣1）2．10．分解因式：xy﹣3x+y﹣3＝（x+1）（y﹣3）．【解答】解：xy﹣3x+y﹣3＝x（y﹣3）+（y﹣3）＝（y﹣3）（x+1）．故答案为：（y﹣3）（x+1）．三．解答题（共10小题）11．分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解答】解：（1）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）•（3a ﹣2b）．12．因式分解：（1）3a2b2﹣6ab3；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3；（3）x3+5x2﹣x﹣5；（4）（x2﹣4）2﹣9x2．【解答】解：（1）3a2b2﹣6ab3＝3ab2（a﹣2b）；（2）﹣27a3b+18a2b2﹣3ab3＝﹣3ab（9a2﹣6ab+b2）＝﹣3ab（3a﹣b）2；（3）x3+5x2﹣x﹣5＝x2（x+5）﹣（x+5）＝（x+5）（x+1）（x﹣1）；（4）（x2﹣4）2﹣9x2＝（x2﹣4+3x）（x2﹣4﹣3x）＝（x+4）（x﹣1）（x﹣4）（x+1）．13．因式分解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2；（2）x2﹣4x+4﹣y2．【解答】解：（1）原式＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2；（2）原式＝（x﹣2）2﹣y2＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）．14．因式分解：（1）4xy﹣2x2y；（2）3x3﹣12xy2；（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y；（4）（x﹣y）2+4xy．【解答】解：（1）4xy﹣2x2y＝2xy（2﹣x）；（2）3x3﹣12xy2＝3x（x2﹣4y2）＝3x（x+2y）（x﹣2y）；（3）9x2﹣3x﹣4y2+2y＝（9x2﹣4y2）﹣（3x﹣2y）＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（3x﹣2y）＝（3x﹣2y）（3x+2y﹣1）；（4）（x﹣y）2+4xy＝x2﹣2xy+y2+4xy＝x2+2xy+y2＝（x+y）2．15．因式分解：（1）x3﹣6x2y+9xy2；（2）x2﹣y2﹣ax﹣ay．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣6xy+9y2）＝x（x﹣3y）2；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y）＝（x+y）（x﹣y﹣a）．16．分解因式：（1）2a2﹣16a+32．（2）x2﹣4xy﹣1+4y2．【解答】解：（1）2a2﹣16a+32＝2（a2﹣8a+16）＝2（a﹣4）2；（2）x2﹣4xy﹣1+4y2＝（x2﹣4xy+4y2）﹣1＝（x﹣2y）2﹣1＝（x﹣2y+1）（x﹣2y﹣1）．17．因式分解（1）（a﹣b）x2+（b﹣a）；（2）4x2﹣y2﹣1+2y．【解答】解：（1）（a﹣b）x2+（b﹣a）＝（a﹣b）x2﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣1）＝（a﹣b）（x+1）（x﹣1）；（2）4x2﹣y2﹣1+2y＝4x2﹣（y2﹣2y+1）＝4x2﹣（y﹣1）2＝（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．18．因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解答】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．19．请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解答】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．20．分解因式：x2﹣2x﹣4y﹣4y2．【解答】解：原式＝（x2﹣4y2）﹣（2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x+2y）＝（x+2y）（x﹣2y﹣2）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()222222221111+--+++--分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
解：原式=+++++211242a a a a a (()=++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 43243222222223212221211()()()()()故选择C例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：原式=-+--+=--+=-++-+()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111解法2：原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()()()()()()()[()]()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 54324242422221111111211112. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：Θa c b ac 2222+<+∴+--<∴-+-<--<∴-+--<-+>--∴-+>--<∴+>-<-<<+∴a c b ac a ac c b a c b a c b a c b a c b a c ba cb ac b a b c a b ca b c a ba b c 222222222020000，即又，，即以、、为三边能构成三角形()()()Θ3. 在方程中的应用例：求方程x y xy -=的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解解：Θx y xy -=∴-+=∴-+-=--+-=-∴-+=-∴+=-=-⎧⎨⎩+=--=⎧⎨⎩xy x y xy x y x y y y x x y x y x y 01111111111111111即是整数或()()()(),Θ∴==⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩x y x y 0022或4、中考点拨例1.分解因式：1222--+=m n mn _____________。
解：1222--+m n mn=--+=--=+--+12111222()()()()m mn n m n m n m n说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：x y x y 22--+=____________解：x y x y 22--+=()()x y x y 22---=+---=-+-()()()()()x y x y x y x y x y 1说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：x x x 323412+--=____________解：x x x 323412+--=x x x 324312-+-=-+-=++-x x x x x x ()()()()()22434322说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：例1. 分解因式：m n mn n 222141()-+-+解：m n mn n 222141()-+-+=-+-+=++---=+--=-+++-+m n m mn n m n mn m mn n mn m n mn m n mn m n 222222222241212111()()()()()()说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值。
解：ab+cd=ab cd ⨯+⨯11=+++=+++=+++=+++=++ab c d cd a b abc abd cda cdb abc cdb abd cda bc ac bd ad bd ac ac bd bc ad ()()()()()()()()222222222222Θac bd +=∴=00原式说明：首先要充分利用已知条件a b c d 222211+=+=，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例3. 分解因式：x x 323+-分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。
观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x x x -+-1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式。
解一（拆项）：x x x x x 333233322+-=--+=-++--=-++3112113222()()()()()x x x x x x x x解二（添项）：x x x x x x x x x x x x x 332222232311313+-=-++-=-+-+=-++()()()()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1. 填空题： （）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：13322444311222233a a b b x x xy y y mn mn m n --+=--++=---=()2. 已知：a b c a a c abc b c b ++=+-++03223，求的值。
3. 分解因式：15++a a4. 已知：x y z A x y z x y z x y x z A 2223330--=--=--，是一个关于的一次多项式，且,,()()，试求A 的表达式。
5. 证明：()()()()()a b ab a b ab a b +-+-+-=--22111222【试题答案】1. （1）解：原式=---()()a b a b 223=+---=-+-()()()()()a b a b a b a b a b 33（2）解：原式=-+--()()x xy y x y 224422=---=---()()()()x y x y x y x y 2222222（3）解：原式=-+-12233mn m n m n=-+-=-+()()()()11112222mn m n mn mn m n2. 解：原式=+-++-+()()()a b a ab b c a ab b 2222))((22c b a b ab a +++-=Θa b c ++=∴=00原式说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。
3. 解：a a 51++=-+++=-+++=-+++++=++-+a a a a a a a a a a a a a a a a a a 52223222223211111111()()()()()()()4. 解：Θx y z 2220--=∴=-=-∴--=--⋅=-++--=-++-+=--+-+-=--+++=--++y x z z x y x y z x y z z x y x xy y z x y x y x xy y z x y x y x x z y x z x z x y x z x y x z x y x z x y z 222222333332222222222，()()()()()[()]()[()()()]()()()()()()∴=++A x y z 25. 证明：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212=+-++---++-+=+----+++=+++++-+-+a ab a ab b b a b ab ab ab a b a b a b a b ab ab a b a ab b a b ab a b a b ab 22222222222222222222224122222412212222()()()()=+++-++=+-+=-+-()()()()[()()]()a b ab a b ab a b ab a ab b 222212111=--=--()()()()a b a b 11112222。