分组分解法因式分解

1.超过三项，分成几组； 2.每一组先进行分解； 3.两组之间再分解。
1、计算
（1）(x +1) ( x + 2 ) = x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2
（2）(x -1) ( x + 2 )= x2 +[(-1) + 2]x + (-1)×2
（3）(x + a) ( x + b )= x2 + ( a + b )x + a b
②交叉相乘，和相加； 竖分常数交叉验，
③检验确定，横写因式． 横写因式不能乱． 符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符 号相同．
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
= (6x 2＋x－5) (12x 2＋2x－1 )
解1：原式= （mx+my）-（nx+ny） =m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
①③，②④两组，得（mx-nx）+(my-ny) 解2：原式= （mx-nx）+(my-ny)
=x(m-n)+y(m-n) = (m-n) (x+y)
注 意
（1）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提．
=(x+1)(x+2)
分析:(2)二次项系数为1，常数项6=1×6 =(-1)×(-6) =2×3
=(-2) ×(-3),
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
解：5x 2－17x－12 5x
＋3
=(5x＋3)(x－4) x
－4
－20x＋3x=－17x
例4 将 2(6x 2＋x) 2－11(6x 2＋x) ＋5 分
解因式
解：2(6x 2＋x)2－11(6x 2＋x) ＋5 = [(6x 2＋x) －5][2(6x 2＋x)－1]
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
4、运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式 (2)常数项是两个数之积
=(a-d)²-(b+c)²
=(a-d+b+c)(a-d-b-c)
你能把下列各式分解因式吗？
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y) =(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)
归纳 分组分解法分解因式技巧：
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
利用十字交叉线来分解系数，把二 次三项式分解因式的方法叫做十字 相乘法．
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=(x－2)(x－4) x
（3）-x²-2xy+1-y² （4）a²-b²-c²+2bc
解：原式=1-（x²+2xy+y²）解：原式=a²-(b²+c²-2bc)
=1-(x+y)²
=a²-(b-c)²
=(1+x+y)(1-x-y)
=(a+b-c)(a-b+c)
（5）a²-b²-c²+d²-2ad-2bc 解：原式=(a²-2ad+d²)-(b²+2bc+c²)
（2）分组添括号时要注意符号的变化．
（3）要将分解到底，不同分组的结果应该是 一样的．
练一 练
把下列各式因式分解： （1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
—
因式分解
口诀：
一提二套三分组四检查
一已自靠 定能已别 能行，人 行，相不
你信如 就自靠
.
知识要 点
分组分解法分解因式： 如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一 练
mx+my-nx-ny ① ② ③④
①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny）
2、下列各式能因式分解吗？
（1） x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2 = (x +1) ( x + 2 ) （2） x2 +[(-1)+2]x+(-1)×2 = (x -1) ( x + 2 ) （3） x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) ( x + b )
3、公式推导
例2. 分解因式
(1)x2+x-2
(2)x2-2x-15
分析：(1)二次项系数为1，常数项-2=(-1) ×2 =1× (-2),
一次项系数1 =(-1) +2 ≠1+(-2)
(1)解: x2+x-2
=(x-1)(x+2)
分析: (2)二次项系数为1，常数项-15=1×(-15)=(-1) ×15 =3×(-5)=(-3) ×5,
－4
－4x－2x=－6x
练习：分解因式 (x－y)2＋(x－y) －6
对于一般地二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
例1：分解因式
(1)x2+3x+2
(2)x2 -7x+
分析: (1)二次项系数为1，常数项2=1×2 ==（-1）×（-2），
一次项系数3 = 1+2 ≠ （-1）+（-2） (1)解: x2+3x+2
一次项系数-2=3+(-5) ≠(-3) +5
(2)解: x2-2x-15 =(x+3)(x-5)
2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，
其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相
同。
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
x
a
x
b
步骤： ax +
bx = (a+b)x
①竖分二次项与常数项； 顺口溜：