初中因式分解中的“分组分解法”

初二因式分解解读之六：编制人：平生曜曜
因式分解中的“分组分解法”
分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。

不废话！开始上菜，入席就吃。

只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！
（1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑：
第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。

解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y）
= x（a2 －b2）－ y（a2 －b2）
= （a2 －b2）（x －y）
=（a + b）（a－b）（x －y）
第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。

解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y）
= a2（x － y ）－b2（x －y）
=（x －y）（a2 －b2）
= （x －y）（a－b）（a + b）
（2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”若组合在一起，就可以暂时先用提取公因式法，或者运用公式法，来作第一步分解，所以值得尝试：
第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。

解：原式=（x2 －4）+（y2 －2x y）
= （x － 2 ）（x + 2）－y（y －2x）
此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！
第二种分组方式：①、③、④合为一组，②单独为另一组。

解：原式=（x2 + y2 －2x y ）+（－4）
=（x － y）2 －（2）2
=（x － y + 2）（x － y － 2）
（3）、分解因式：x2 + 3x －y2 －3y …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：
第一种情况：尝试①、②合为一组，③、④合为另一组：
解：原式=（x2 + 3x ）+（－y2 －3y）
= x（x + 3）－ y（y + 3）
此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！
第二种情况：尝试①、③合为一组，②、④合为另一组：
解：原式=（x2 －y2）+（3x－3y）
=（x + y）（x － y）+ 3（x － y）
=（x － y）（x + y + 3）
〈总结技巧之一〉：形如“平方和”的项，宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组，然
后用完全平方公式先作局部分解，再相时而动，走走瞧瞧，以图良策。

〈总结技巧之二〉：形如“平方差”的项，宜暂时组成一组，然后用平方差公式先作局部分解，再相时而动，且行且看，以图良策。

（4）、分解因式：x2 －4x + y2 +4y－2xy …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：其中的“x2”和“+ y2”形如“平方和”的结构，宜与它们的“交叉项：－2xy”暂凑一组，再走着瞧，以图良策。

解：原式=（x2 + y2 －2xy）+（－4x + 4y）
=（x － y）2 －4（x － y）
=（x － y）（x － y －4）
〈总结套路之一〉：先把原多项式分成若干组，其中某些组，要么有公因式可提取，要么可用公式法，总之能实现第一阶段的“局部”分解。

接下来再对比观察第一阶段的“成果”。

留意各组之间是否产生了“多项式”公因式。

若有，则提取这个多项式公因式就成功破题了。

（5）、分解因式：x2 －m2 +y2 －n2 +2xy +2mn …………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：其中的“x2”和“－m2”；以及“+y2”和“－n2”形如“平方差”的结构，所以先考虑分别组成一组，再走着瞧瞧。

解：原式=（x2 －m2）+（y2 －n2）+（2xy +2mn）
=（x + m）（x －m）+（y + n）（y － n）+2（xy + mn）
此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！
〈分析〉：其中的“x2”和“+ y2”形如“平方和”的结构，宜与它们的“交叉项：+2xy”先组成一组，再走着瞧瞧；而剩下的“－m2”、“－n2”和“+2mn”通过提取“－符号”后也可以组成完全平方式，值得一试！
解：原式=（x2 + y2 +2xy）+（－m2－n2 +2mn）
=（x + y）2 －（m－n）2
=（x + y + m－n）（x + y －m +n）
（6）、分解因式：a2 －2ab + b2 －3a + 3b－10…………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：看到“a2 －2ab + b2”，当然“优先尝试”把它们暂组成一组，再走着瞧呗！解：原式=（a2 －2ab + b2）－3a + 3b－10
=（a－b）2 －3（a－b）－10 提醒：看出十字相乘法没有？
=（a－b－5）（a －b +2）
（7）、分解因式：（x + y）2 －6x2 +6y2 －9（x－y）2…………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

解：原式= x2 +2xy + y2 －6x2 +6y2____________________
= 4x2 －16xy + 4y2
=_________________________，这种方法不伤脑壳。

另解：
原式=（x + y）2 －6（）（）－9（x－y）2
=〔（）－_____（）〕2
=〔－2x + 4y〕2 ，以上过程取决于你能识破“整体结构的”玄机。

=〔－_____（）〕2 =___________________
（8）、分解因式：9a2 +6ab －3b2 +4b－1…………先………写………出………你………的………答………案…………
你的答案：______________________________________。

〈分析〉：看到“9a2 +6ab－3b2”，自然可联想到先“配方”，再见机行事。

解：原式=（9a2 +6ab－3b2）+ 4b－1
=（9a2 +6ab +b2）－（4b2 －4b +1）
=（__________________）2 －（__________________）2
=（_______________________） （_______________________）
〈解释说明〉：本题实际上已经用到了很高难的“拆项重组”思想，但就本题而言把“－3b2”拆成“b2”和“－4b2”并非不易想到，因为原式中平方项与交叉项共存的结构会趋势我们去作如何“配方”的联想。

〈总结套路之二〉：先把原多项式分成若干组，其中某些组，要么有公因式可提取，要么可用公式法，总之能完成第一阶段的“局部”分解。

接下来再对第一阶段的“成果”进行“全局”观察。

在这个环节往往要把某些代数式看作一个“整体”，再选择套用“平方差公式”、“完全平方公式”、“十字相乘法公式”就能实现最终的分解。