因式分解——分组分解法

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因式分解(分组分解法)

因式分解(分组分解法)

因式分解 (分组分解法)【知识要点】1、定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如22a b a b -+-没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。

再提公因式,即可达到分解因式的目的。

例如:22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++, 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

2、原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。

3、有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】例1 把下列各式分解因式(1)2914x x ++= (2)212x x --=(3)2812x x ++= (4)2710x x -+=(5)228x x --= (6)2922x x --=(7)2295x x +-= (8)2376x x --=(9)28103x x ++= (10)210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式(1)bc ac ab a -+-2 (2)bx by ay ax -+-5102(3)n mn m m 552+-- (4)bx ay by ax 3443+++(5)22144a ab b --- (6)223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式(1)22421x xy y --; (2)()()267a b a b +-+-; (3)()()22524x x -+-+ (4)()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+;(5)()()2224221x y x y y y +-+- (6)222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式(1)()()z y y z x x +-+ (2)()()b a x ab x 34322-+- (3)()()cd b a dc ab 2222--- (4)()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。

因式分解(分组分解法)

因式分解(分组分解法)
43;ac)-(ab+bc)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by)
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律: 在有公因式的前提下,按对应项系数成
比例分组,或按对应项的次数成比例分组。
解: 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例1,例3种还有没有其他分组的方法;如果有, 因式分解的结果是不是一样。
例1解(2):a2-ab+ac-bc 例2解(2): 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用 公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试 用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止. 口诀: 一提 二套 三分 四彻底
教学重点:掌握分组分解法的 分组规律和步骤。 主要内容:
学习分组分解法的概念,用分组分解法分 组之后,可以用提公因式的多项式进行因式分 解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式.
【分析】观察多项式,前 三项符合完全平方公式.
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析:把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组,并使两组的项都按x的降幂排列,然后从两
组分别提出公因式2a与-b,这时,另一个因式正好

初中数学因式分解-分组分解法

初中数学因式分解-分组分解法

3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取,也无法直接应用公式,这样的式子需要分组分解.3.1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式:ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- [分为两组]=()()x a b y a b -+- [“提”]=()()x y a b +- [再“提”]一般地,分组分解大致分为三步:1.将原式的项适当分组;2.对每一组进行适当分组;3.将经过处理后的每一组当作一项,再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手,在下棋时,决不会只看一步,同样,在进行分组时,不仅要看到第二步,而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法,初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法,但是只要努力实践,多加练习,就会成为有经验,多加练习,就会成为有经验的“行家”.3.2 殊途同归分组的方法并不是唯一的,对于上面的整式ax by bx ay --+,也可以采用下面的做法: ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的,殊途同归!可以说,一种是按照x 与y 来分组(含x 的项在一组,含y 的项在另一组);另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式:221x ax x ax a +++--.解法一 按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二 按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3.3 平均分配在例2中,原式的6项是平均分配的,或都要分成三组,每组两项;或者分成两组,每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提,那么就必须平均分配. 例3 分解因式:3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组,每组两项.我们把幂次相近的项放在一起,即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组,每组三项,即将系数为1的放在一组,系数为-2的放在另一组,详细过程请读者自己完成.例4 分解因式:2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取,也无法直接应用公式,这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式,那么各组中的项数不一定相等,应当根据公式的特点来确定。

9.6因式分解(十字相乘、分组分解)

9.6因式分解(十字相乘、分组分解)

9.6因式分解——分组分解法、十字相乘法班级________姓名________【学习目标】1、理解分组分解法、十字相乘法的概念和意义,会用分组分解法、十字相乘法进行因式分解。

2、培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力,渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。

【学习过程】I.分组分解法一、分解因式:(1)ax+ay+ab+ac (2)ax+ay+bx+by二、新知探索:把下列多项式分解因式:1.按字母特征分组:(1)a+b+ab+1 (2)a²-ab+ac-bc2.按系数特征分组:(1)2x²+3y+xy+6x (2)2ac-6ad+bc-3bd3.按指数特点分组:(1)a²-b²+2a-2b (2)x²+x-4y²-2y4.按公式特点分组:(1)a²-2ab+b²-c²(2)a²-4b²+12bc-9c²小结:分组分解法的步骤:(1)________________________(2)________________________(3)________________________练习1:把下列各式分解因式:(1)x²+6y-3x-2xy (2)a²+ab-3a-3b (3)4x²-4xy-a²+y²(4)1-m²-n²+2mnII .十字相乘法一、情境创设:1.口答计算结果: (1)(x+2)(x-1) (2)(x+2)(x+1) (3)(x+3)(x+2) (4)(x+2)(x-3)(5)(x-2)(x+1) (6)(x-2)(x+3) (7)(x-2)(x-1) (8)(x-2)(x-3)2.想一想:你怎样将这类题目算得又快有准确呢?二、探索尝试:根据上面的公式将多项式写成两个一次因式相乘的形式:x ²+(2 +3)x+ 2 × 3 = x ²+(-1-2)x+(-1)×(-2)= x ²+(-1+2)x+(-1)× 2 = x ²+( 1-2)x+ 1 ×(-2)= 小结:对于二次三项式q px x ++2,若ab q b a p =+=,, 则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++三、例题讲解:将下列各式因式分解(1)x ²+7x+6 (2)x ²-5x-6 (3)x ²-5x+6练习2:把下列各式分解因式:(1)x ²-7x+6 (2)a ²-4a-21 (3)t ²-2t-8(4)x ²+xy-12y ² (5)x 2+5x-6 (6)a ²-11ab-12b ²III.自主检测:分解因式 1.1--+b a ab2.22441b ab a --- 3.by bx ay ax 3322--+4.1072+-x x 5.x x x +-232 6.2)(3)(2++-+y x y x ()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++课后作业姓名____________班级____________一、选择题1.如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 ( )A .abB .a +bC .-abD .-(a +b )2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ,则b 为 ( )A .5B .-6C .-5D .63.多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x -b ),则a ,b 的值分别为 ( ) A .10和-2 B .-10和2 C .10和2 D .-10和-24.分解结果等于(x +y -4)(x +y -5)的多项式是 ( )A .20)(13)(2++-+y x y xB .20)(13)22(2++-+y x y xC .20)(13)(22++++y x y xD .20)(9)(2++-+y x y x 二、填空题1.=-+1032x x __________.2.=--652m m (m +a )(m +b ). a =__________,b =__________. 3.+2x ____=-22y (x -y )(__________).4.22____)(____(_____)+=++a mna . 5.若x -y =6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________.三、解答题1.把下列各式分解因式:(1)6724+-x x ; (2)36524--x x ; (3)2287b b a a --;(4)1+--y x xy (5)315523+--x x x (6)x xy y x 21372-+-2.把下列各式分解因式:(1)2224)3(x x -- (2)9)2(22--x x(3)2222)332()123(++-++x x x x (4)60)(17)(222++-+x x x x(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ; (6)48)2(14)2(2++-+b a b a(7)xy y x y xy x x 22))(1(3222+++-+ (8)b a bx ax bx ax ++--+223.已知x +y =2,xy =a +4,2622=+y x ,求a 的值.5. 已知:长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ,且满足02222=++-+-y xy x y x ,求长方形的面积。

因式分解的四种基本方法

因式分解的四种基本方法

因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法分别为:
1. 提公因式法:将多项式中的公因子提取出来,化简成为一个公因式和一个多项式的乘积。

2. 公式法:利用已知的公式,将多项式化简成为一个已知形式的多项式进行因式分解。

3. 分组法:将多项式中的各项按照某种规则分组,化简成为几个因式的和或差。

4. 根据定理进行分解:利用多项式恒等式或定理进行分解,如差平方公式、和差化积公式等。

以上四种方法可根据不同情况选取,以便更快地得到多项式的因式分解形式。

沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-分组分解法》 教案设计

沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-分组分解法》 教案设计

因式分解——分组分解法
高四琴
教学设计说明:
本节课的设计以减轻学生负担,全面实施素质教育为指导思想。

在这节课中,学生广泛参与,积极主动投入学习活动,学生的主体性得到了培养和发展,在教学过程中,我始终以在目标的引领下,引导学生通过小组内的互相讨论、合作学习,来暴露各层次学生的思维过程及特点,对所学内容的不同层次,不同侧面的理解,从而建构起学生自己的知识体系。

同时,在教学过程中充分调动学生学习主动性,对每一个新的发现,每一个问题的解决,每一个知识的获得给予足够的肯定,始终让学生保持心情愉悦,精神振奋,处于学习的最佳状态。

因式分解——分组分解法

因式分解——分组分解法

因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导:如果一个多项式适当分组,使分组后各组之间有公因式或可应用公式,那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法,公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组,从局部考虑,使每组能够分解,从而达到整个多项式因式分解的目的,至于如何恰当地分组,需要具体问题具体分析,但分组时要有预见性,要统筹思考,减少盲目性,分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。

通过适当的练习,不断总结规律,便能掌握分组的技巧。

三、例题分析例1、分解因式:(1)2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析:首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3,分别把它们提出来,剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解。

此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法(二)解法。

解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明:解法1和解法2虽然是不同的分组方式,但却有着相同的内在联系,即两组中的对应项系数成比例,分别为1:1和2:(-3)。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

因式分解之分组分解法

因式分解之分组分解法

因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法,分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。

注意问题提示:(1)分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。

(2)分析题时仍应首先考虑公因式的提取,公式法的应用,其次才考虑分组。

(3)分组方法的不同,仅仅是因为分解的手段不同,各种手段的目的都是把原多项式 进行因式分解。

常见分组方法方法一:分组后能提取公因式1.按字母分组例如:分解因式:ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组,若按含有字母a 的分为一组, 含有字母b 的分为一组,即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y),这样就产生了公因式(x+y)。

2.按系数分组例如:分解因式:a 2-ab+3b-3a ,我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好 相等,即1:(-1)=3:(-3),则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。

3.按次数分组例如:分解因式:x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ,此多项式有两个三次项,有两个两次项,有两个一次项,按次数分组为:(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二:分组后能运用公式例如:x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组,它是一个完全平方式,可以分解为(x-y)2。

而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式,还可以继续分解。

方法三:重新分组例如:分解因式4x 2+3y-x(3y+4),此多项式必须先去括号,进行重新分组。

4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。

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⑤ x4 + 2x3 + 2x2 + 2x +1
☞解法一 (x4 ☞解法二
+ 2x2 +1)+(2x3 + 2x)
x4 + 2x3 + 2x2 + 2x +1
= x4 + 2x3 + x2 + x2 + 2x +1
=(x4 + 2x3 + x2)+(x2 + 2x +1)
4. 课堂小结
(1)运用分组分解法分解因式的关键是合理
=
m(a + b) + n n(a + b) m
= (a + b)(m + n)
试一试,将下列多项式分解因式
(1)p-q+k(p-q) (2)5m(a+b)-a-b (3)ac-bc+2a-2b (4)3a-ax-3b+bx (5)m2-5n-mn+5m (6)4x2+3z-3xz-4x (7)ax-bx-ay+by+az-bz (8)2x2+4xy-6ax+3a-x-2y
(7) ax-bx-ay+by+az-bz ☞分组方法一 (ax-bx)-(ay-by)+(az-bz) ☞分组方法二 (ax-ay+az)-(bx-by+bz)
(8) 2x2+4xy-6ax+3a-x-2y ☞分组方法一 (2x2-x)+(4xy-2y)-(6ax-3a)
☞分组方法二 (2x2+4xy-6ax)-(x+2y-3a)
(5)m2 – 5n – mn + 5m
=(m2 – 5n)+(mn – 5m) =(m2 – 5n)+ m(n – 5)
怎么不能继 续分解了?
☞问题一:上述题目在解答方法上有何共同 之处?你能给这种新的方法起一个 名字吗? ☞问题二:通过前面题目的解答,你认为利 用分组分解法解题的关键是什么? ☞问题三:怎样合理分组呢?
3.分组分解法的巩固与提高
(1)用分组分解法将多项式 a6-a4+a2-1分 解因式,在下列分组中,正确的有 . ① (a6 - a4)+(a2 - 1) ② (a6 - a4 + a2)- 1 ③ (a6 + a2)-(a4 + 1) ④ a6 –(a4 - a2 + 1) B.2种 C.3种 D.4种
因此分组分解法是转化的数学思想在因式 分解中的集中体现,分组的目的是经过适 当的分组以后,将原来不显现的条件通过 分组显现出来,将其转化为用已学过的提 公因式法或运用公式法来进行因式分解。 通过分组分解法的学习,我们可以体会到 数学思想方法对数学学习的重要意义。
2.75×50+2.25×50+2.75×45+2.25×45 = 50×(2.75+2.25)+45×(2.75+2.25) (2.75+2.25) =(2.75+2.25) ×(50+45) = 5 × 95 = 475
a m b m a n b n
am + bm + an + bn
= ( (am + bm) + ( (an + bn) ) )
分组,要预见分组后组与组之间还能否 继续进行因式分解。分组时可进行尝试, 最后找到合理的分组方法。
局部入手, 兼顾全局,
自觉试验,合理分组.
4. 课堂小结
(2)分组分解法也是恒等变形的一种手段,
它有着广泛的应用,如引例中通过分组分 解法做恒等变形后简化了计算。
4. 课堂小结
(3)利用分组的手段为提公因式法创造条件,
A.1种
3.分组分解法的巩固与提高
(2)将下列各式分解因式 ① am – an - m2 + n2 ② a4b + 2a3b2 - a2b - 2ab2
③ 2(a2 - 3mn)+ a(4m - 3n)
④ (x2 - 2xy + y2 ) - 25
⑤ x4 + 2x3 + 2x2 + 2x +1
.分组分解法的巩固与提高
因 式 分 解 ——分组分解法(一)
1. 创设情境,让学生经历分组分解 法形成的过程
在以“走可持续发展的道路,保护地球, 保护人类共有家园”为主题的中国青少年绿色 承诺行动中,我校学生积极参加“绿色承诺在 行动——捐旧还绿”活动.初一年级的学生纷 纷捐献废旧书报支援植树造林。一班、三班平 均每人捐献2.75公斤, 二班、四班平均每人捐 献2.25公斤,已知一班、二班各有学生50人, 三班、四班各有学生45人。请同学们计算一下 共捐献废旧书报多少公斤?
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