条件概率与事件的独立性
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
概率论3
P AB PB | AP A
5.3
例3 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6, P( B / A) 0.8.
求 P( AB)与P( A B )
例4 设袋中有r只红求,t只白球.每次自袋中任 取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只 与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取 球四次,试求第一、二次取到红球且求第三、 四次取到白球的概率.
PBi | A PA | Bi PBi
j j
5.6
5 .7
PA | B PB
j 1
n
i 1,2,,n
P A P A | B 1 P B 1 P A | B 2 P B 2 P A | B n P B n
P( A) P( B) P( A / B) P( B ) P( A / B )
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的.根据以往的记录有以下数据:
元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件, 求它是次品的概率;(2)在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是次品,分析此次品出自何厂,需求出 由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.
二 乘法定理
乘法定理 其意义是… (5.3)式容易推广到多个事件的情况.
P A1 A2 An PAn A1 A2 An 1 PAn 1 A1 A2 An 2 PA2 A1 P A1 其 中 P A1 A2 An 1 0
设P(A)>0，则有
注 对 任 一 事 件 A, A与 A 构 成 样 本 空 间 Ω 的一个分划。
概率的计算方法条件概率事件独立性的计算方法
概率的计算方法条件概率事件独立性的计算方法概率的计算方法——条件概率和事件独立性的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在概率的计算过程中，条件概率和事件独立性是两个重要的概念。
本文将介绍概率中的条件概率和事件独立性的计算方法。
一、条件概率的计算方法条件概率是指在已知某个条件下，事件发生的概率。
表示为P(A|B)，读作事件B发生的条件下事件A发生的概率。
计算条件概率的方法：1. 根据条件概率的定义，可以得出P(A|B) = P(AB) / P(B)。
即事件A和事件B同时发生的概率除以事件B发生的概率。
2. 利用频率法进行计算。
通过实验或观察，记录事件A在事件B发生的条件下出现的频次，再除以事件B发生的频次。
举例说明：假设有一个扑克牌的标准牌组，从中随机抽取一张牌。
事件A表示抽到一张红心牌，事件B表示抽到一张大于等于10的牌。
求在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
根据条件概率的计算方法，我们可以得到：P(A|B) = P(AB) / P(B)首先，我们需要计算事件A和事件B同时发生的概率P(AB)。
在扑克牌标准牌组中，红心牌有13张，大于等于10的牌有16张。
其中，大于等于10的红心牌有3张。
因此，P(AB) = 3 / 52。
接下来，计算事件B发生的概率P(B)。
在扑克牌标准牌组中，大于等于10的牌有16张，总共的牌数是52张，所以P(B) = 16 / 52。
将以上结果代入条件概率的计算公式，我们可以得到：P(A|B) = (3 / 52) / (16 / 52) = 3 / 16所以，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率为3/16。
二、事件独立性的计算方法事件独立性是指事件A和事件B的发生与否互相独立，即事件A 的发生与否不受事件B的影响。
计算事件独立性的方法：1. 如果P(A|B) = P(A)，则事件A和事件B互相独立。
2. 如果P(A|B) ≠ P(A)，则事件A和事件B不独立。
概率与统计中的事件独立性与条件概率
概率与统计中的事件独立性与条件概率概率与统计是数学中的一个重要分支，用于研究随机现象和不确定性问题。
在概率与统计的基础概念中，事件的独立性与条件概率是两个核心概念。
本文将对这两个概念进行详细解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、事件的独立性在概率与统计中，事件的独立性是指两个或多个事件之间的关联程度。
如果两个事件A和B相互独立，意味着事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，反之亦然。
换句话说，事件A和B的发生概率是相互独立的，它们之间不存在任何关联。
为了判断两个事件A和B是否相互独立，可以通过下列公式进行计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
如果上式成立，则事件A和B相互独立；如果不成立，则事件A和B不相互独立。
事件的独立性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，假设有一批产品，每个产品的质量合格的概率为0.9。
如果从该批产品中随机选取两个产品，事件A表示第一个产品质量合格，事件B表示第二个产品质量合格。
根据事件的独立性，我们可以通过计算概率来判断同时选中两个质量合格产品的概率。
二、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率通常用P(B|A)表示，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
通过计算条件概率，我们可以得出在某种条件下发生某个事件的概率。
条件概率在实际问题中非常有用。
例如，假设有一个班级，其中40%的学生会参加音乐比赛，30%的学生参加体育比赛。
如果我们知道某个学生参加了音乐比赛，那么他参加体育比赛的概率是多少？根据条件概率的计算公式，我们可以得出这个概率。
三、事件独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率密切相关。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。
而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。
条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。
例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。
如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。
如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。
因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。
3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。
这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。
然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。
这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。
总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。
事件的独立性与条件概率
事件的独立性与条件概率事件的独立性与条件概率是概率论中非常重要的概念，它们的理解与应用在各个领域都具有广泛的意义。
在本文中，我将探讨事件的独立性和条件概率的概念及其关系。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
换句话说，当两个或多个事件独立发生时，它们的概率乘积等于它们各自发生的概率之积。
以掷硬币为例，假设我们掷两枚硬币，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示第二枚硬币为正面。
如果两个事件相互独立，那么P(A∩B) = P(A)×P(B)。
也就是说，第一枚硬币为正面的概率与第二枚硬币为正面的概率乘积等于两枚硬币都为正面的概率。
二、条件概率条件概率是在已知一个或多个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
仍以掷硬币为例，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示两枚硬币都为正面。
如果已知第一枚硬币为正面，即事件A已经发生，那么事件B的概率会发生变化，变成了P(B|A)。
这时，我们可以用条件概率的公式计算出P(B|A)。
三、事件的独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
当两个事件A和B是相互独立的时候，P(A|B) = P(A)，也就是说，当事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率与事件B未发生时的概率相等。
反过来讲，如果已知事件B发生，且P(A|B) = P(A)，那么事件A 与事件B就是相互独立的。
因此，可以通过条件概率的计算来判断事件之间的独立性。
四、应用举例事件的独立性与条件概率在实际应用中有许多重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 疾病诊断：在医学领域，独立性与条件概率可以用于判断多个疾病的共同发生概率。
例如，根据患者的症状，通过条件概率可以计算出某种疾病的患病概率。
2. 金融风险评估：在金融领域，独立性与条件概率可以用于评估投资组合的风险。
通过将不同资产之间的独立性与条件概率应用到投资组合的构建中，可以更准确地评估风险和收益。
事件的相互独立性与条件概率
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 条件概率
例1 (1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示.公司规
定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位.记事件A
为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的
车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率 之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手 计算.
跟踪训练2 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注
和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定
条件下，第二次拿到红球的概率为
√ 3
1
3
2
A.10 B.3 C.8 D.9
设A＝{甲第一次拿到白球}， B＝{甲第二次拿到红球}， 则 P(AB)＝AA12A21013＝115，P(A)＝CC11120＝15， 所以 P(B|A)＝PPAAB＝13.
思维升华
求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝PPAAB . (2)样本点法：P(B|A)＝nAB .
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( × ) (2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).( √ )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正
面”为事件B，则A，B相互独立.( √ )
第十章
考试要求
1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.
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P(B)P(AB AB)
P ( A ) P B ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) P ( A ) P ( B |A )
P(B) P ( B )
P( A)
C52
C
2 20
P(B)
C51C115C52 C220
条件概率与事件的独立性
5.为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两种报 警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率 为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为 0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1) 例题2
条件概率与事件的独立性
例题2
1.一批零件共100个，其中次品10个，今从 中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为 次品，第二次为正品的概率。
解： A表示第一次为次品，B表示第二次为正品
P(AB)
P(A)P(B|A)110009990
4
(2)P(AB) P(A)P(B|A)10
3 9
(3)P(AB)
6 P( P (A )P (条B 件|概A ) 率P 与(事C 件|的A 独立) 性B10
3 9
2 8
3.某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为 0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率. 解： A、B分别表示灯泡用到1000小时和1500小时。
1 0 .0 8 0 .1 5 0 .988
条件概率与事件的独立性
二、全概率公式
如果A1,A2,…,An构成完备事件 组，并且具有正概率，则对于任何 一个事件B， P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
条件概率与事件的独立性
例题3
例题3 1.设有两个口袋，第一个口袋装有3个黑球，2
第三章 条件概率与事件的独立性 一、条件概率与乘法定理 二、全概率公式 三、贝叶斯公式 四、事件的独立性 五、伯努利试验与二项概率
条件概率与事件的独立性
一、条件概率与乘法定理
对于两个事件A、B，若 P(A)＞0，则称事件A出现的条 件下，事件B出现的概率为B的 条件概率，记为P(B|A)。
条件概率与事件的独立性
P(B| A) P( AB ) 0 . 4 P(A) 0 . 8
条件概率与事件的独立性
4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽 出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是 假钞. 求2 张都是假钞的概率.
解： 设A表示2 张都是假钞，B表示2张中至少有1张假钞。
P(A| B) P(AB) P ( A ) 0.118
100 80 100
(2 )P (B )20P (A |B )12 P (A) B 12 100 20 100
(3 )P (A ) 1 80 0P ( 0 C |A )8 30 2 P (A) C 1 30 2总0 结
条件概率与事件的独立性
总结 1、 P(B|A)=P(AB)/P(A)，其中P(A)>0 P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(B)>0 2、乘法定理P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) （P(A)>0,P(B)>0 ） 3、若 P (A1A2…An)> 0，则 有 P(A1A2…An)
的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报 警设备有效的概率. 解2： 设A、B分别表示A、B报警设备有效。
P (A ) 0 .92 P (B ) 0 .93 P (B |A ) 0 .85
P(AB)1P(AB)
1P(AB) 1 P (A )P (B |A ) 1 P (A )1 [P (B |A )]
例题1
例题1
1、设有两个口袋，第一个口袋装有3个黑球， 2个白球；第二个口袋装有2个黑球，4个白球。 今从第一个口袋任取一球放到第二个口袋，
再从第二个口袋任取一球。求已知从第一个
口袋取出的是白球条件下从第二个口袋取出 白球的条件概率。（ans:5/7）
解： 设事件A表示从第一个口袋取得白球，事件B表示从第
二个口袋取得白球。
P(B| A) 5 7
P(A) 2 5
P(AB)252 57 7
P(B| A)P(AB) P(A)
条件概率与事件的独立性
例题1 2、全年级100名学生，男生80人，女生20人；来自 北京20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的40 人中有32名男生，8名女生。A=｛男生｝，B={来自 北京}，C＝｛免修英语｝ 求（1）P(A)，P(B|A)，P(AB) （2）P(B)，P(A | B)，P(AB) （3）P(A)，P(C|A)，P(AC) 解：(1 )P (A )80P (B |A )12 P (A) B 12
1 11
条件概率与事件的独立性
例题2
2.10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放 回），甲先，乙次，丙最后。求（1）甲抽到难 签的概率（2）甲乙都抽到难签的概率（3）甲 没有抽到难签而乙抽到难签的概率（4）甲乙丙
都抽难签的概率。
解： 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签
(1)P(A) 4
10
P(B| A)
P(AB) P(A)
P(B A) P( A)
P(B AB) P( A)
P(AB )0.862
条件概率与事件的独立性
P(B) P(AB) 1P(A)
5.为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两种报 警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率 为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为 0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效
的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报
警设备有效的概率.
解1： 设A、B分别表示A、B报警设备有效。
P (A ) 0 .92 P (B ) 0 .93 P (B |A ) 0 .85
P (A B ) P (A ) P (B ) P (A ) B 0 .9 0 2 .9 0 3 .8 6 0 .9 28