并行计算习题答案
并行计算期末试题及答案
并行计算期末试题及答案1. 基础概念部分并行计算是一种计算模式，它使用多个处理单元同时执行计算操作，以加快计算速度。
在现代计算机系统中，我们常常使用多核处理器、图形处理器（GPU）或者分布式系统来实现并行计算。
1.1 并行计算的优势并行计算具有以下几个优势：加速计算速度：通过同时执行多个计算任务，可以极大地提高计算效率。
解决大规模问题：并行计算可以处理大规模和复杂的问题，提供更精确的结果。
降低能耗：通过合理利用处理器资源，可以降低计算任务的能耗。
应用广泛：并行计算可以应用于各个领域，如科学计算、大数据分析、机器学习等。
1.2 并行计算的分类并行计算按照任务之间的关系可以分为两类：数据并行：将数据划分为多个子集，同时在不同的处理器上进行计算，然后将计算结果汇总。
常见的应用包括矩阵运算、图像处理等。
任务并行：将任务划分为多个子任务，每个子任务由一个独立的处理器执行，最后将各个子任务的结果合并。
常见的应用包括并行搜索算法、并行排序等。
2. 并行计算的算法设计2.1 并行算法设计要点在设计并行算法时，需要考虑以下几个要点：任务划分：将计算任务划分为多个子任务，确保各个子任务之间的计算工作均衡，并保持任务之间的独立性。
任务调度：合理安排各个处理器上的任务执行顺序和时间，最大程度地减少通信开销和等待时间。
数据通信：处理器之间需要进行数据交换和通信，应选择合适的通信方式，并考虑通信延迟和带宽等因素。
数据同步：在多个处理器之间，可能需要进行数据同步操作，确保各个处理器之间的数据一致性。
2.2 并行算法实例：并行矩阵乘法并行矩阵乘法是一个常见的数据并行算法，可以有效地利用多核处理器加速大规模矩阵运算。
具体算法如下：步骤1：将输入矩阵划分为若干个小矩阵，每个小矩阵分配给一个处理器。
步骤2：每个处理器计算相应小矩阵的部分结果。
步骤3：将各个处理器计算得到的部分结果进行求和，得到最终的矩阵乘积结果。
3. 并行计算的应用举例3.1 科学计算在科学计算领域，有大量的计算任务需要处理大规模的数据和复杂的数学模型。
中国海洋大学研究生并行计算参考答案-复习
中国海洋⼤学研究⽣并⾏计算参考答案-复习⼀、名词术语翻译1）SIMD ：Single Instruction Multiple Data, 单指令多数据流。
2）MIMD ：Multiple Instruction Multiple Data, 多指令多数据流。
3）SIMT ：Single Instruction Multiple Threads, 单指令多线程。
4）SPMD ：Single Program Multiple Data, 单程序多数据流。
5）MPMD ：Multiple Program Multiple Data, 多程序多数据流。
6）PVP ：Parallel Vector Processor, 并⾏向量处理机。
7）SMP ：Symmetric Multiprocessor, 对称多处理机。
8）MPP ：Massively Parallel Processor, ⼤规模并⾏处理机。
9）DSM ：Distributed Shared Memory, 分布式共享存储。
10）COW ：Cluster of Workstation, ⼯作站机群。
11）UMA ：Uniform Memory Access, 均匀存储访问模型。
12）NUMA ：Nonuniform Memory Access, ⾮均匀存储访问模型。
13）COMA ：Cache-Only Memory Access, 全⾼速缓存访问模型。
14）NORMA ：No-Remote Memory Access, ⾮远程存储访问模型。
15）CC-NUMA ：Coherent-Cache Nonuniform Memory Access, ⾼速缓存⼀致性⾮均匀存储访问模型。
16）CUDA ：Compute Unified Device Architecture, 统⼀计算架构。
17）GPU ：Graphics Process Unit, 图形处理器。
并行计算-习题及答案-第12章 并行程序设计基础
第十二章 并行程序设计基础习题例题：1、假定有n 个进程P(0)，P(1)，…，P(n -1)，数组元素][i a 开始时被分配给进程P(i )。
试写出求归约和]1[]1[]0[-+++n a a a 的代码段，并以8=n 示例之。
2、假定某公司在银行中有三个账户X 、Y 和Z ，它们可以由公司的任何雇员随意访问。
雇员们对银行的存、取和转帐等事务处理的代码段可描述如下：/*从账户X 支取￥100元*/atomic {if (balance[X] > 100) balance[X] = balance[X]-100； }/*从账户Y 存入￥100元*/atomic {balance[Y] = balance[Y]-100；}/*从账户X 中转￥100元到帐号Z*/atomic {if (balance[X] > 100){balance[X] = balance[X]-100；balance[Z] = balance[Z]+100；} }其中，atomic {}为子原子操作。
试解释为什么雇员们在任何时候（同时）支、取、转帐时，这些事务操作总是安全有效的。
3、考虑如下使用lock 和unlock 的并行代码：parfor (i = 0；i < n ；i++){noncritical sectionlock(S)；critical sectionunlock(S)；}假定非临界区操作取T ncs时间，临界区操作取T cs时间，加锁取t lock时间，而去锁时间可忽略。
则相应的串行程序需n( T ncs + T cs )时间。
试问：①总的并行执行时间是多少？②使用n个处理器时加速多大？③你能忽略开销吗？4、计算两整数数组之内积的串行代码如下：Sum = 0；for(i = 0；i < N；i++)Sum = Sum + A[i]*B[i]；试用①相并行；②分治并行；③流水线并行；④主-从行并行；⑤工作池并行等五种并行编程风范，写出如上计算内积的并行代码段。
并行计算-习题及答案-例题习题讲解
例题习题讲解例1 SIMD-SM上求最大值算法Beginfor k=m-1 to 0 dofor j=2k to 2k+1-1 par-doA[j]=max{A[2j], A[2j+1]}end forend forend时间分析t(n)=m×O(1)=O(logn)p(n)=n/2c(n)=O(nlogn) 非成本最优例2 令n=2k(k>=0)，求n个数和的并行算法算法运行时间：t(n)=O(logn)总运算量: W(n)=W(1)(n)+W(2)(n)+W(3)(n)=n+∑n/2h+1=O(n)由Brent定理知: t(n)=O(n/p+logn)例3 设A为矩阵，有如下串行程序段：f o r i=1t o n d of o r j=1t o n d oa[3i,2j]=a[3i-2,2j-1]e n df o re n df o r其相关方向向量为，可知行和列间同时存在数据相关。
在此我们可以试用行划分、列划分和方块划分.在行划分的情况下令m=┌n/p┐,例1的串行程序段可以转化为如下的并行程序段：f o r k=1t o P P a r-d of o r i1=1t o m d of o r j=1t o n d oa[3(k-1)m+3i1,2j]=a[3(k-1)m+3i1-2,2j-1]e n df o re n df o re n df o r例4 设A为一个n阶方阵，有如下串行程序段：f o r i=1t o n d of o r j=1t o n d oa[i,j]=a[i-1,j]e n df o re n df o r分析矩阵A的元素下标i和j，则i和j的相关方向向量为，各列之间数据无任何相关关系。
因此对矩阵A可按列划分。
串行程序段可转化为如下并行程序段：f o r k=1t o P P a r-d of o r j1=1t o m d of o r i=1t o n d oa[i,(k-1)m+j1]=a[i-1,(k-1)m+j1] e n d f o re n df o re n df o r例5注：本例无链路竞争和死锁现象例6 E立方选路0110(S)1101(D)1011(R)例7 DNS乘法示例C00=1×(-5)+2×7=9C01=1×(-6)+2×8=10C10=3×(-5)+4×7=13C11=3×(-6)+4×8=14例8 上三角方程组的回代解法并行化(1)SISD上的回代算法Begin(1)for i=n downto 1 do(1.1)x i=b i/a ii(1.2)for j=1 to i-1 dob j=b j-a ji x ia ji=0endforendforEnd(2)SIMD-CREW上的并行回代算法- 划分: p个处理器行循环带状划分- 算法Beginfor i=n downto 1 dox i=b i/a iifor all P j, where 1≤j≤p do for k=j to i-1 step p do b k=b k-a ki x ia ki=0endforendforendforEnd // p(n)=n, t(n)=n例9 n=8的BF网络表示P r,i与上层P r-1,i, P r-1,j相连, 这里j与i仅在第r位不同例10 一个在MPI中创建新通信域的例子M P I_C o m m M y W o r l d,S p l i t W o r l d;i n t m y_r a n k,g r o u p_s i z e,C o l o r,K e y;M P I_I n i t(&a r g c,&a r g v);M P I_C o m m_d u p(M P I_C O M M_W O R L D,&M y W o r l d);M P I_C o m m_r a n k(M y W o r l d,&m y_r a n k);M P I_C o m m_s i z e(M y W o r l d,&g r o u p_s i z e);C o l o r=m y_r a n k%3;K e y=m y_r a n k/3;M P I_C o m m_s p l i t(M y W o r l d,C o l o r,K e y,&S p l i t W o r l d);例11 考虑如下程序段：L1:f o r I=1t o50d o...S:X(2*I)=......T:...=...X(3*I+1)......e n df o r这里：f1(I)=2*I；g1(J)=3*J+1。
并行计算题目答案汇总
！第１题（1）什么是并行计算（2）它的优点有哪些（3）可以通过哪些结构完成并行计算1．并行计算就是在并行计算或分布式计算机等高性能计算系统上所做的超级计算。
（P3）2．计算极大地增强了人们从事科学研究的能力，大大地加速了把科技转化为生产力的过程，深刻地改变着人类认识世界和改造世界的方法和途径。
计算科学的理论和方法，作为新的研究手段和新的设计与创造技术的理论基础，正推动着当代科学与技术向纵深发展。
（P4）3．单指令多数据流SIMD、对称多处理机SMP、大规模并行处理机MPP、工作站机群COW、分布共享存储DSM多处理机。
（P22）第2题什么是网络计算它的特点它与分布式计算、集群计算的关系（P104）网络计算：在工作站机群COW环境下进行的计算称为网络计算。
特点：网络计算结合了客户机/服务器结构的健壮性、Internet面向全球的简易通用的数据访问方式和分布式对象的灵活性，提供了统一的跨平台开发环境，基于开放的和事实上的标准，把应用和数据的复杂性从桌面转移到智能化的网络和基于网络的服务器，给用户提供了对应用和信息的通用、快速的访问方式。
与分布式计算、集群计算的关系：，分布式计算是一门计算机科学，它研究如何把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终的结果。
集群计算是使用多个计算机，如典型的个人计算机或UNIX工作站；多个存储设备；冗余互联，来组成一个对用户来说单一的高可用性的系统。
因此，网络计算与分布式计算和集群计算都是属于计算密集型，数据密集型和网络密集型应用。
第3题表征并行系统的性能指标有哪些并行系统的加速比如何定义它能否完全确定系统的性能为什么a.表征并行系统的性能指标主要有：CPU和存储器的基本性能指标，通信开销以及系统机器的成本、价格与性价比，还有系统加速比和系统可扩放性（p88页）；其中CPU和存储器的基本性能指标包括：工作负载，并行执行时间，存储器的层次结构和存储器的带宽。
分布与并行计算思考题答案整理.docx
分布式系统笫一章分布式系统概述1・一个有256个CPU的多计算机系统被组织成16X16的网格。
在最坏的情况尺-•条消息的传输延迟为多少？(以跳为单位) 假定路由是最优的.那么最长的优化(理想)路径是从网格的一・角到相对的•角，即沿着对角线的路径。
这个路径的长度是3()跳。
如果在单行或单列上的终端处理器是互联起來的，那么路径长度变成15^2・考虑一256个CPU的超立方休.在最坏的情况下，一个消息延迟是多少？(以跳为单位)对于256个CPU的超立方体，每个节点有一个二进制地址.范围从OOOOOO(M)到11111111•从一个机器到另一个的一•跳，耍改变二进制地址中的一位,因此地址从00000000变到00000001就是一跳,从00000001到0(X)00011又是另外一跳。
因此总共需耍八跳。
3・一个冬计算机系统有4096个50-MIPS的CPU,通过omega网络连接到内存。
为了使一个内存请求能在-•条指令的时间内到达内存并返回结果.转换的速度需要有影快？5O-MIPS=5纳秒.需耍【(4096的对数)=12】层开关.就有这么卷延迟•因为有来回.所以乘以2.转换速度就是5/24=0.208纳秒。
4 •一台试验文件服务器由于错误的原因.3/4的时间正常工作,1/4的时间由于故障停止工作。
为了达到99%的可用性，这一文件服务誥需耍复制多少次？设k是服务器的数则由题意知(l/4)k<0.01・这是最坏的情况.即所有的服务器都出故障的时间至名为1%的时间的情况。
这k = 4。
5 •假设有一个包含m个待编详文件的大源程序。
这个编译工作将在一个拥有！1个处理器的系统上进行.其中：n»m。
希望这种方法的速度嚴好达到单处理器的m倍。
哪些因素导致实际的速度达不到该值？答：可能由于总线容量限制从而引起总线过载，或者交换开关延时。
6・举例说明名核并行计算机的结构和性能计算方法。
(网上找的答案.参考)多核并行计算机的结构多核即在一・个单芯片上而集成两个捷至更多个处理器内核.其中每个内核都有自己的逻辑单元.控制单元.中断处理器、运算单元, -级cache.二级cache共享或独有.其部件的完整性和单核处理器内核相比完全一•致。
并行计算习题答案
对于一颗K 级二叉树（根为0级，叶为k-1级），共有N=2^k-1个节点，当推行至m-元树时（即每一个非叶节点有m 个子节点）时，试写出总节点数N 的表达式。
答：推行至M 元树时，k 级M 元树总结点数N 的表达式为：N=1+m 1+m 2+...+m （k-1）=(1-m k )*1/(1-m);试构造一个N=64的立方环网络，并将其直径和节点度与N=64的超立方比较之，你的结论是什么？答： N=64的立方环网络,为4立方环（将4维超立方每一个极点以4面体替代取得），直径d=9，节点度n=4一个在p 个处置器上运行的并行程序加速比是p-1，依照Amdahl 定律，串行分量为多少? 答： p/(1+f(p-1))=p-1, f=1/(p-1)2假定开始时P i (1《i 《n)存有数据 d i ，所谓累加求和是指用∑=i j i d 1，来代替中的原始值d i ，算法给出了在PRAM 模型上累加求和算法。
Input: di are kept in Pi, whereOutput: replaces di in processor PiBeginfor j=0 to logn-1 dofor i=2j +1 to n par-do(i) di= d i + d i-2j(ii) Pi=diend forend forEnd(1）试用n=8为例子，依照上述算法慢慢计算出累加和。
(2）分析算法的时刻复杂度。
（1） 例:A={1,3,6,8,11,13} p=6;B={2,4,5,7,10,12,14} ,q=7p =3, q =3A={1,3,6*,8,11,13*}B={2,4,5*,7,10 ,12*,14},B ’={2,4,5,6*,7,10 12,13*,14}A11={1,3} , A12={8,11} , A13={} B11={2,4,5} , B12={7,10 12} , B13={14} A11={1,3*} , A12={8,11*} , B11={2,4*,5} , B12={7,10* , 12} ,B11’={2, 3* , 4,5} , B12’={7,10 , 11* , 12} ,A111={1},A112={} A121={8},A122={}B111={2},B112={4,5} B121={7,10 },B122={12}A111={1 *} A121={8 *}B111={2 *} B121={7,10 * }B111’={1 *,2 } B121’={7, 8 *,10 }3354 21 13 33 82 40 72A1111={}, A1112={} A1211={}, A1212={} B1111={}, B1111={} B1211={7}, A1212={}（1）pat = abaababa(m = 8)WIT[1] = 0，WIT[2] = 1，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b WIT[3] = 2，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = pat[s]=aw=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a WIT[4] = 4 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=aw=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] = pat[s]=bw=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] = pat[s]=aw=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a pat[s]=b为非周期串（2）pat = abaabaaab(m = 9)WIT[1] = 0，WIT[2] =1 ，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b WIT[3] =2 ，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = a=pat[s]=aw=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a WIT[4] =5 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=aw=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] =b=pat[s]=bw=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] =a= pat[s]=aw=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a= pat[s]=aw=5,j=4,s=4-1+5=8 pat[w] = b pat[s]=a WIT[5] =1 w=1,j=5,s=5-1+1=5 pat[w] =a pat[s]=b 非周期串(2)p=6,q=9j=q-p+1=9-6+1=4w=wit[j]=wit[4]=4T(q+w-1)=t(9+4-1)=b<>P(4)=awit[q]= wit[9]=w=4duel=p=6(2)请画出一个16输入的双调归并网络(2)给定序列（1，2，3，4，5，6，7，8 ），请求其前缀和（（1）正向遍历B(0,1)=1, B(0,2)=2 B(0,3)=3 B(0,4)=4 B(0,5)=5 B(0,6)=6 B(0,7)=7 B(0,8)=8B(1,1)=2, B(1,2)=12, B(1,3)=30, B(1,4)=56, B(2,1)=24, B(2,1)=1680, B(3,1)=40320,C(3,1)C(2,1)C(2,2)C(1,1)C(1,2)C(1,3)C(1,4)C(0,1)C(0,2)C(0,3)C(0,4)C(0,5)C(0,6)C(0,7)C(0,8)（2）反向遍历C(0,1)=1, C(0,2)=2 C(0,3)=6 C(0,4)=24 C(0,5)=120 C(0,6)=720 C(0,7)=5040 C(0,8)=40320 说明：求和或乘积都可,那个地址是求乘积。
并行计算习题(全)
第二章 习题例题：
1.
当代并行计算机系统介绍
请尽可能访问以下有关高性能并行计算的网址： IEEE/CS ParaScope (/parascope/)，world-wide parallel computing sites High Performance Computing Lists (/homes/mcbryan/public_html/bb/2/summary.html) The Language List (http://cuiwww.unige.ch/langlist) enumerate programming languages TOP 500 (/benchmark/top500.html) World's TOP 500 most powerful computing sites (at Netlib，University of Tennessee) Myrinet () DSM bibliography (http://www.cs.ualberta.ca/~rasit/dsmbiblio.html) Berkeley Active Message page (/AM/active_messages.html) The Cray Research system page (/products/systems/) SGI/Cray Origin 2000 (/Products/hardware/servers/index.html) Cray T3E (/products/systems/crayt3e/) PetaFLOPS web site (/hpcc/) NASA HPCC Program (/hpcc/) Cray T3E (/products/systems/crayt3e/) IBM SP (/hardware/largescale/) Intel Paragon (/Services/ Consult/Paragon/paragon.html) Kai Li (/~li/) SP2 at MHPCC (/doc/SP2.general/SP2.general.html) MPI Standard site (/mpi/index.html) MIT Parallel and Distributed Operating Systems Group (/). National Center for Supercomputer Applications at UIUC (NCSA) (/) Cornell Theory Center (CTC) (/ctc.html) Argonne Natl Laboratory，Mathematics & Computer Science Div. (/) Army Research Lab (/) Lawrence Livermore National Laboratory (/comp/comp.html) Los Alamos Natl Laboratory (LANL) Advanced Computing Laboratory (/). Maui High Performance Computing Center (MHPCC) (/mhpcc.html) San Diego Supercomputer Center (/SDSCHome.html) Sandia National Laboratories (/) Massively Parallel Comp. Res. Lab. Parallel Processing in Japan (/papers/ppij.html) Cray Research (/) IBM High-Performance Computing (/) ParaSoft Corporation (/)
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2.1 对于一颗K 级二叉树（根为0级，叶为k-1级），共有N=2^k-1个节点，当推广至m-元树时（即每个非叶节点有m 个子节点）时，试写出总节点数N 的表达式。
答：
推广至M 元树时，k 级M 元树总结点数N 的表达式为：
N=1+m 1+m 2+...+m （k-1）=(1-m k )*1/(1-m);
2.4 试构造一个N=64的立方环网络，并将其直径和节点度与N=64的超立方比较之，你的结论是什么？
答： N=64的立方环网络,为4立方环（将4维超立方每个顶点以4面体替代得到），直径
d=9，节点度n=4
4.11 一个在p 个处理器上运行的并行程序加速比是p-1，根据Amdahl 定律，串行分量为多少?
答： p/(1+f(p-1))=p-1, f=1/(p-1)2 5.5假定开始时P i (1《i 《n)存有数据 d i ，所谓累加求和是指用
∑=i j i d 1，来代替中的原始值d i ，算法5.3给出了在PRAM 模型上累加求和算法。
Input: di are kept in Pi, where
Output: replaces di in processor Pi
Begin
for j=0 to logn-1 do
for i=2j +1 to n par-do
(i) di= d i + d i-2j
(ii) Pi=di
end for
end for
End
(1）试用n=8为例子，按照上述算法逐步计算出累加和。
(2）分析算法的时间复杂度。
6.3
7.2（1）
例:A={1,3,6,8,11,13} p=6;B={2,4,5,7,10,12,14} ,q=7
p =3, q =3
A={1,3,6*,8,11,13*}
B={2,4,5*,7,10 ,12*,14},
B ’={2,4,5,6*,7,10 12,13*,14}
A11={1,3} , A12={8,11} , A13={} B11={2,4,5} , B12={7,10 12} , B13={14} A11={1,3*} , A12={8,11*} ,
B11={2,4*,5} , B12={7,10* , 12} ,
B11’={2, 3* , 4,5} , B12’={7,10 , 11* , 12} ,
A111={1},A112={} A121={8},A122={}
B111={2},B112={4,5} B121={7,10 },B122={12}
A111={1 *} A121={8 *}
B111={2 *} B121={7,10 * } 33
54 21 13 33 82 40 72
B111’={1 *,2 } B121’={7, 8 *,10 } A1111={}, A1112={} A1211={}, A1212={}
B1111={}, B1111={} B1211={7}, A1212={}
6.7
（1）pat = abaababa(m = 8)
WIT[1] = 0，
WIT[2] = 1，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b
WIT[3] = 2，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = pat[s]=a
w=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a
WIT[4] = 4 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=a
w=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] = pat[s]=b
w=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] = pat[s]=a
w=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a pat[s]=b
为非周期串
（2）pat = abaabaaab(m = 9)
WIT[1] = 0，
WIT[2] =1 ，w=1,j=2,s=2-1+1=2 pat[w] = a pat[s]=b WIT[3] =2 ，w=1,j=3,s=3-1+1=3 pat[w] = a=pat[s]=a
w=2,j=3,s=3-1+2=4 pat[w] = b pat[s]=a
WIT[4] =5 w=1,j=4,s=4-1+1=4 pat[w] = pat[s]=a
w=2,j=4,s=4-1+2=5 pat[w] =b=pat[s]=b
w=3,j=4,s=4-1+3=6 pat[w] =a= pat[s]=a
w=4,j=4,s=4-1+4=7 pat[w] = a= pat[s]=a
w=5,j=4,s=4-1+5=8 pat[w] = b pat[s]=a
WIT[5] =1 w=1,j=5,s=5-1+1=5 pat[w] =a pat[s]=b
非周期串
6.8 (2)
p=6,q=9
j=q-p+1=9-6+1=4
w=wit[j]=wit[4]=4
T(q+w-1)=t(9+4-1)=b<>P(4)=a
wit[q]= wit[9]=w=4
duel=p=6
7.5
(2)请画出一个16输入的双调归并网络
7.6
(2)给定序列（1，2，3，4，5，6，7，8 ），请求其前缀和
B(3,1)
B(2,1)B(2,2)
B(1,1)B(1,2)B(1,3)B(1,4)
B(0,1)B(0,2)B(0,3)B(0,4)B(0,5)B(0,6)B(0,7)B(0,8)
A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(8)
（（1）正向遍历
B(0,1)=1, B(0,2)=2 B(0,3)=3 B(0,4)=4 B(0,5)=5 B(0,6)=6 B(0,7)=7 B(0,8)=8
B(1,1)=2, B(1,2)=12, B(1,3)=30, B(1,4)=56, B(2,1)=24, B(2,1)=1680, B(3,1)=40320,
C(3,1)
C(2,1)C(2,2)
C(1,1)C(1,2)C(1,3)C(1,4)
C(0,1)C(0,2)C(0,3)C(0,4)C(0,5)C(0,6)C(0,7)C(0,8)
（2）反向遍历
C(0,1)=1, C(0,2)=2 C(0,3)=6 C(0,4)=24 C(0,5)=120 C(0,6)=720 C(0,7)=5040 C(0,8)=40320 说明：求和或乘积均可,这里是求乘积。