新湘教版九年级数学上册《相似三角形的判定》精品课件
一定需三个角吗？
思考：如果三角形两个内角对应相等，请验证这 两个三角形是相似的. A
已知：在△ABC 和△ A'B'C' 中, 求证:ΔABC∽ △ A'B'C' 分析:要证两个三角形相似， 目前只有两个途径: B C B' C' A'
一个是三角形相似的定义（显然条件不具备）； 二是利用平行线来判定三角形相似的定理.
例4：在Rt△ABC与Rt△DEF中， 若 求EF的长.
△DEF∽△ ABC
A
D
C
BF
E
如图,方格纸上两个三角形， 使△ABC与△ A' B' C'满足
A´
B´ C´
AB BC ， ∠B=∠ B ' A' B' B' C'
△ABC与△A' B' C'相似吗？ B
A
C
量一量∠C与∠C'的大小，看看你有什么发现.
AD AE ， ∴ △ADE∽△ABC， AB AC
AB AC ， ∵ AD AB, AB AC AD AE AC ， AE AC ', AB AC AC
D
E
B
C
思考：如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个 A' 三角形是相似的. AB AC ， 已知:在△ABC 和△ A'B'C' 中, AB AC ∠A=∠A' 求证:ΔABC∽ △ A'B'C'
相 似
观察你与老师的直角三角尺 (30 与60 ),
O O
会相似吗？这两个三角形的三个内角的
大小有什么关系？
三个内角对应相等.
画一个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° ①同桌分别量出两个三角形三边的长度； 观察 ②同桌这两个三角形相似吗?
猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 相似 ． 的三个角对应相等，那么这两个三角形_______
本章内容 第3章
图形的相似
本课内容 本节内容 3.4.1
相似三角形的判定
说一说 定义 全等 三角、三边对 边S 边S 三角 应相等的两个 边S 形 三角形全等 相似 三角对应相等, 三角 三边对应成比例的 形 两个三角形相似 判定方法
边S 角A 边S 角A 边S 角A 斜 角 A 边H 角A 与L 边S 直 角 边
已知：在△ABC 和△ A'B'C' 中, 求证:ΔABC∽ △ A'B'C' 证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别
截取AD=A'B'，AE=A'C' ，连结DE. ∵ AD=A'B ,∠A=∠A'，AE=A'C' ∴ ΔA DE≌Δ A'B'C' ， ∴ ∠ADE=∠B'， B
A
A'
D
E C B' C'
B
A A'
C
B'
C'
说一说
30
o
下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
30 30
o
o o
30
①
②
60
o
o o
50
50
o
70
o
55
30
o
③
④
例3：在△ABC中， 从点D分别做边AB，AC 的垂线，垂足分别为E，F.DF与AB交于点H. 求证：△DEH∽△ BCA.
D A
// AC
B
H
F
E
C
△DEH∽△ BCA.
思考：如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个 A' 三角形是相似的. AB AC ， 已知:在△ABC 和△ A'B'C' 中, AB AC ∠A=∠A' 求证:ΔABC∽ △ A'B'C'
B' 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上 截取AD=A′B′, 过点D作DE∥BC交AC于点E. C' A
B' 证明:在△ABC的边AB(或延长线)上 截取AD=A′B′,过点D作DE∥BC交AC于点E. C' A
∴△ADE ≌ △ ABC ∴△ ABC ∽△ABC
B
D
E
C
结论 判定定理2
如果一个三角形的两条边 与另一个三角形的两条边对应成比例， 且夹角相等，那么这两个三角形相似．
即：两边对应成比例且夹角相等的两个三 角形相似.
判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？
说一说 相似三角形的定义： 对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三 角形是相似三角形.
A′ A
∵ A A ,B B,C C
AB BC CA =k AB BC C A
B
C B′
C′∴△ABC ∽△A'B'C'
A
A
如果
AB A'B'
∠A=∠A'，
AC A'C'
B
C B
C
那么 ΔABC ∽ ΔA'B'C'
例5：在△ABC与△DEF中，已知 AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.
求证：△ABC∽△ DEF.
A
D
C
BFபைடு நூலகம்
E
例6：在△ABC中，CD是边AB上的高，
且
C
A
D
B
A
是否存在三边对 应成比例，两三 角形相似呢？
D A
E
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ACB.
B
C
例1：在△ABC中，已知点D,E分别是AB,AC 边的中点. 求证： △ ADE∽△ ABC.
A
证明： 点D, E 分别是AB , AC 边的中点， DE BC , △ ADE∽△ ABC.
C
D
E B
例2：点D为△ABC的边AB的中点，过点D作 DE BC交AB于点E.延长DE至点F，使DE=EF.
又∵ ∠B'=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC.
∴ ΔA'B'C'∽ΔABC.
结论
判定定理1
如果一个三角形的两个角与
另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似.
即：两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
求证：△BFE∽△ ACB.
证明： DE // BC, 点D是ABC的边AB的中点， AE CE . 又DE FE , AED BEF , ADE BFE . DE // BC, △ ADE∽△ ACB. △ BFE∽△ ACB.
D C
E B
F
思考：三个内角对应相等的两 个三角形一定相似吗？
公共角 两直线平行 同位角相等
F
平行线分线段成比例
结论
你还能画出其他 图形吗？
平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的三角形与原三角形相似．
A
在△ABC中，
E C
D B
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC.
结论
你还能画出其他 图形吗？
平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的三角形与原三角形相似．
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湘教版九年级上册数学3.4.2 相似三角形的性质ppt优质课件
所AD:AF:AB= 1 : 2: 3 ，
又因为FG∥BC，所以
FG BCห้องสมุดไป่ตู้
AF AB
，且BC=12cm，所以FG
4 6 =cm。
能力提升
1．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，DE⊥AC，DF ⊥BC，垂足分别为 E，F.已知 AC＝8，BC＝6. (1)求DDFE的值； (2)求四边形 DECF 的面积．
解：(1)∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD. 在 Rt△ACD 和 Rt△CBD 中，∵∠B＝∠ACD，∠ADC＝ ∠CDB，∴△ACD∽△CBD.又∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴DDEF＝ CBCA.又∵BC＝6，AC＝8，∴DDEF＝CBCA＝68＝34
(2)由(1)可知DDEF＝34，设 DF＝3x，则 DE＝4x.∴S△ACD＝12
2、如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'；E、E' 分别为BC、B'C'的中点。试探究AD与
A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？
A A′
B
DE
C
B′ D′ E′ C′
∵△ABC∽△A′B′C′
AB ∴A' B'
AC A'C'
BC B'C'
AF A' F'
求证：AADDk .
B
解: ∵△ ABC∽△ABC，
┓ DC
A′
∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ADB=∠ADB =90°，
┓
B′
新湘教版九年级上册初中数学 课时2 相似三角形的判定定理1 教学课件
∴ ＿B＿C＿＿A＿B＿＿＿AC.
∴
BC AB
Rt △ABC ∽ Rt
AC △A′B′C′.
B C B'
C'
第十三页，共二十五页。
新课讲解
结论 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和
一直角边成比例的两个直角三角形相似.
第十四页，共二十五页。
新课讲解
典例分析 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2，
当 AB 的长为
时，△ACB 与△ADC相似．
【分析】
观察得到AB和AC分别是斜边，
但两条直角边的对应关系并没有确定，
因此需要分类讨论
B
A D
C
第十五页，共二十五页。
新课讲解
典例分析
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，2
∴ AC AD2 CD2 22
2
2 6.
要使这两个直角三角形相似，有两种情况： B
值. 你有什么发现？
第四页，共二十五页。
新课讲解
问题二 试证明△ABC∽△A′B′C′.
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，
截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，则有
△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′. ∵∠B=∠B′， ∴∠A′DE=∠B.
新湘教版九年级上册初中数学 课时2 相似三角形的判定定理1 教学课件
科 目：数学 适用版本：新湘教版 适用范围：【教师教学】
第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.1 相似三角形的判定
课时2 相似三角形的判定定理1
九年级数学上册3.4.1相似三角形的判定第1课时相似三角形判定的基本定理课件(新版)湘教版
DE 3，即正方形的边长为3.
跟踪练习
2.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC， OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并Fra bibliotek说明理由.
解：∵OE∥BC，OF∥CD， ∴∠AEO=∠ABC,∠AOE=∠ACB,∠AOF=∠ACD, ∠AFO=∠ADC. ∴∠AOE+∠AOF=∠ACB+∠ACD,即∠EOF=∠BCD. 又∵OE∥BC，OF∥CD， ∴△AOE~△ACB,△AOF~ACD. AE ED AO OF AD = = = = . AB BC AC CD DC
跟踪练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个 顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5， BC=5，求正方形的边长.
解：∵四边形EFCD是正方形，
∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF.
AED ABC.
AD ED = . AC BC
AC DC ED 7.5 DC DC = ,即 = . AC BC 7.5 5
我发现只要DE∥BC，那么 △ADE与△ABC是相似的.
下面我们来证明：
在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 如图，过点D作DF∥AC，交BC于点F. ∵DE∥BC，DF∥AC，
AD AE AD CF , . ∴ AB AC AB CB
∵四边形DFCE为平行四边形， ∴DE=FC.
∴
AD AE DE . AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
结论
由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，截得的三角形与原三角形相似.
341相似三角形的判定课件-湘教版九年级数学上册
例4：在Rt△ABC与Rt△DEF中，
若
求EF的长.
△DEF∽△ ABC
A
C
D
BF
E
2.已知：在△ABC与△DEF中，∠A=48°，
∠B=82°，∠D=48°，∠F=50°. 求证：△ABC∽△DEF.
解: 在△DEF中，
∠E = 180°-∠D -∠F = 180°-48°-50° = 82°.
A
截取AD=A'B'，AE=A'C' ，连结DE.
A'
∵ AD=A'B ,∠A=∠A'，AE=A'C'
∴ ΔA DE≌Δ A'B'C' ，
D
E
∴ ∠ADE=∠B'，
B
C B'
C'
又∵ ∠B'=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC. ∴ ΔA'B'C'∽ΔABC.
由此得到相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两
第三章 图形的相似 3.4.1 相似三角形的判定一
学习目标
1. 了解相似三角形的判定方法会用平行法判 定两个三角形相似
重点： 用平行法判定两个三角形相似 难点：平行法判定三角形相似定理的推导
已知：在△ABC 和△ A'B'C' 中,
求证:ΔABC∽ △ A'B'C'
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别
个角对应相等，那么这两个三角形相似.
即：两角分别相等的两个三角形相似.
A
A'
3.4.1 相似三角形的判定课件(共33张PPT)湘教版 数学九年级上册
感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .
湘教版数学九年级上册 课件： 3.4.1 相似三角形的判定
⑴ 所有的直角三角形都相似 .
（×）
⑵ 所有的等边三角形都相似. ⑶ 所有的等腰直角三角形都相似. ⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
（√ ） （√ ） （×）
顶角相等 底角相等 顶角与底角相等
顶角相等
A
A'
第
一
种
B
B'
C
C'
情 况
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
底角相等
A
A'
第
二
种
B
B'
C
B
A
A´
C B´ C´
例 如图，在△ABC， DE//BC，EF//AB, 求证：△ABC ∽△EFC
证明： ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C 又∵ EF//AB ∴∠EFC=∠B ∴∠ADE=∠EFC ∴ △ABC ∽△EFC
F
A
B
C
D
E
E
D
A
B
C
如上图，当 D在 EA,B A的 C 延长 B,线 A C的 A上延 或长线
已知：在△ABC 和△A´B´C´中, ∠A=∠A',
∠B'=∠B 求证： ΔA'B'C'∽ΔABC
A
A´
B
C B´ C´
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
结论同样成立.
相似三角形的判定——利用平行线课件(湘教版)
知1－导
如图，在 △ABC 中，D 为AB上任意一点. 过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
△ADE 与△ABC 的三个角分别相等吗? 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它
们的边长是否对应成比例 ? △ADE 与△ABC 之间有什么关系 ? 平行移动 DE
的位置，你的结论还成立吗?
CD CF
∵ AE ＝ EB,
∴
AE = 1 . CD 2
∴ AF = 1 .
CF 2
又 AF =2 ，∴ CF =4.
知2－讲
总结
知2－讲
利用成比例线段求线段的长的方法： 对于被平行线所截形成“A”型或“X”型的图
形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常 考虑通过证三角形类似，再利用类似三角形的对应边 的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求 出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边 上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长 .
知1－讲
•∵ 四边形 DFCE为平行四边形，
•∴DE = FC . •∴AD AE DE .
AB AC BC
•∴ △ ADE ∽△ABC .
知1－讲
归纳
知1－讲
•由此得到如下结论： • 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的三角形与原三角形类似.
知1－讲
例1 如图所示，已知在 □ABCD 中，E 为 AB 延长线上
的一点，AB = 3BE，DE 与 BC 相交于点 F， 请找 出图中各对类似三角形，并求出相应的类似比.
解题秘方：紧扣“平行线截三角形类似 的两种基本图形：‘A’型 和‘ X ’型”进行查找 .
解： ∵四边形ABCD 是平行四边形，
3.4.1相似三角形的判定 课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
（ D ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 如 图 ， 在 ▱ 中 ， 点 E 在 上 ， 与 相 交 于 点 F ， 若
: = 2: 3，则: 的值为 2:5 ．
作业布置
【综合拓展类作业】
如图，、 相交于点P，连接 、，且∠1 = ∠2， = 6，
A'
在△A′DE 与△ABC中，
A
D
∵∠A′=∠A，A′D=AB，
∠A′DE = ∠B′=∠B，
∴ △A′DE ≌△ABC(ASA).
B
C B'
E
C'
新知讲解
已知：在△ABC和△A′B′C′中， ∠A=∠A′， ∠B =∠B′.
求证： △ABC∽△A′B′C′
续：
又 DE∥B′C′，
∴ △A′DE ∽△A′B′C′.
求证： △DEH∽△BCA.
D
证明 :
∵ ∠C = 90°， ∴ AC⊥BC.
∵ DF⊥BC， ∴ DF∥AC.
H
∴ ∠DHE = ∠A.
又 DE⊥AB， ∴ ∠DEH= 90° = ∠C，
B
F
∴ △DEH∽△BCA(两角分别相等的两个三角形相似）.
A
E
C
典例精析
例4 如图，在 Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°．若
(只添一个即可)．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（ C ）
A．4
B．5
C．6
D．7
课堂练习
湘教版数学九年级上册课件：.1相似三角形的判定
类似于判定三角形全等的方法，我们 能不能通过三边来判断两个三角形类似呢？
A’ A
B’
C’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
三边对应成 比例
是否有△ABC∽△A’B’C’？
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
解 : (1) AB 7 , AC 14 7 , A' B' 3 A'C' 6 3
AB AC A' B' A'C'.
又A A',
ABC ∽ A' B'C'
要使两三角形类 似，不改变的 AC长，A’C’的
长应改为多少？
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边 的比不等，它们不类似．
对于△ABC和△A’B’C’, 如果
,
∠B=∠B’,这两个三角形一定类似吗?试着画画看.
例 证明图中△AEB和△FEC是否类似？
证明： ∵ = =1.5
B 45
＝ ＝1.5
E 36 F ∴
＝
A
54
30
C ∵∠AEB＝∠FEC
∴△AEB∽△FEC
根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是 否类似，并说明理由． ∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm. ∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm. AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
湘教版九年级上册.1相似三角形的判定定理(第4课时)课件
三“判”
由比值是否相等判断两个三角形是否类似
例题讲授
例1
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°， ∠C ' =90°，
AB
AC
.
A' B' A' C'
A
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
分析 已知两边成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明。
C
证明： 设
AB
AC
k，则ABHale Waihona Puke kA’B’,AC=kA’C’C
A
2.4
3.5
3
E
2.1
D
4
B
1.8
F
解： 类似.理由如下：
DE 2.4
DF 1.8
EF 2.1
0. 6 ,
0.6 ,
0.6 ,
AB
4
AC
3
BC 3.5
DE EF DF
,
AB BC AC
△DEF∽△ABC. (三边成比例的两个三角形类似)
随堂演练
1.根据下面的条件,判定△ABC与△A'B'C'是否类似.若类似,请给出证明;若不类似,请说
几何语言：
如果
′′
=
′ ′
=
′ ′,
那么 △ABC∽△′′′.
图 18.3.3
图 18.3.3
练一练
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否类似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6