流体力学第8篇(打印A4)

第八章 粘性不可压缩流体的运动

本章主要介绍：粘性流体层流运动的基本理论和基本分析方法，并简要介绍湍流边界

层的求解方法。

§8.1 粘性流体中的应力

一.粘性流体中的应力：

由于流体中任意一点的应力状态可由通过这一点的三个相互正交的作用面上的应力矢量唯一地确定。而每一应力矢量都可用三个分量表示。故共有九个应力分量。

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx P στττστττσ P 又称为应力张量（二阶张量）。

应力表示方法：σij (τij ）

第一个下标i 表示应力所在平面的法线与i 轴平行。 第二个下标j 表示应力的方向与j 轴平行。

正、负号的规定：

如果应力作用面的外法向指向i 轴的正向，则σij (τij ）的正向指向j 轴正向。

如果应力作用面的外法向指向i 轴的负向，则σij (τij ）的正向指向j 轴负向。 应力分量的正方向如图所示。 切应力互等定律：

即，P 的九个分量中只有六个是独立的分量。

二.广义牛顿内摩擦定律：

在第一章中介绍的牛顿内摩擦定律：

采用本章所定义的符号，可表示为： y

u xy yx ∂∂==μ

ττ 斯托克斯(Stokes) 1845年研究了如何表达流体中粘性应力的问题。

斯托克斯假设：(1) 粘性应力与变形率之间成线性的正比关系；(2) 流体是各向同性的，即应力与变形率之间的关系与方向无关；(3) 当流体静止时，变形率为零，此时应力--变形率关系给出的正应力就是流体的静压强。

由假设，有:

故： b x u xx +∂∂=μ

σ2 b y v yy +∂∂=μσ2 b z

w

zz +∂∂=μσ2

考虑到假设(3) ，要求： p zz yy xx -===σσσ当流体静止时：

在粘性流体流动中一般： σxx ≠ σyy ≠ σzz p zz yy xx 3-=++σσσ在运动的粘性流体中：

把a 、b 代入前面的关系式，可得：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=z w y v x u x u p xx μμ

σ322 以上六个关系式称为广义牛顿内摩擦定律。也称为流体的本构方程。 若流体不可压缩，则：

0=∂∂+∂∂+∂∂z

w

y v x u 此时，正应力的关系式简化为：

凡满足广义牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，如水、空气等；凡不满足广义牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体，如聚合物液体、泥浆等。

例1. 已知粘性流体流动的速度为: k xyz j z xy i yz x V 2

22835-+= 流体动力粘性系数 μ = 0.01

N ·s/m2，长度单位为m 。 求: ( 2, 4, 6 ) 点的切应力。

解： ()

z x z y y u x v yx xy 2

253+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂==μμττ

代入 x = 2, y = 4, z = 6, 得到：

§8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程

一.纳维——斯托克斯方程（N-S 方程）：

从不可压缩粘性流体中取出边长分别为dx 、dy 和dz 的微元平行六面体。设微元体中心点的密度为ρ，

现分析其在xoy 平面上的投影。如图所示：

作用在微元平行六面体上x 方向 的表面力的合力为：

根据牛顿第二定律，在 x 方向： ma x = F x

即：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z y x f dt du zx yx xx x ττσρ1 或写成：

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u w y u v x u u t u zx yx xx x ττσρ1 同理：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z v w y v v x v u t v zy yy xy y τστρ1 分析第一式：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u w y u v x u u t u zx yx xx x ττσρ1 同理： ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂2222221z v y v x v y p

f z v w y v v x v u t v y νρ 这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称为纳维—斯托克斯（Navier-Stokes ）方程，简称为

N-S 方程。

二.求解N-S 方程的定解条件：

1.流—固交界面上的无滑移条件和无穿透条件：

流—固交界面上的流体的切向速度等于固壁的运动速度。 如图： 00==u y 处： 流—固交界面上的流体的法向速度为零。 如图：00==v y 处：

2.无穷远处的无扰动条件：

即，粘性流体运动的任何变化都不会将影响延伸至无穷远处。

3.流体交界面上的应力连续条件：

在不同流体的交界面上，界面两侧的流体的应力相等。 如图，在液体自由面上，有：

在两种液体界面上，有：

§8.3 纳维－斯托克斯方程的解析解

研究 N-S 方程的精确解具有理论和实际意义:

在复杂的粘性流动问题中，可以用情况相近的精确解作为初步估算或者摄动法的求解基础； 在发展新的数值计算方法时，可以运用有精确解的算例来判断近似解的精确程度；

在研究某些新问题时，也常常从精确解出发，探讨在原有方程或者定解条件中加入描写新现象的项后会引起什么变化；等等。

求解 N-S 方程的主要困难是：方程是非线性的。

对于某些几何形状简单的流场，当流体沿某一坐标轴单向流动时，刚好使对流项恒等于零，从而有可能求出精确解。

比如：两平行平板之间的定常流动；完全发展的定常管流；同轴旋转的圆柱面间的流动；沿有吮吸作用的平壁面的流动；非定常滑移平板引起的流动；圆管中非定常流动等。

另一类问题中的对流项并不恒等于零，但却能够被化成较简单的形式，这样就使 N-S 方程可简化为常微分方程，并且也能求出精确解。

比如：收缩或者扩张通道中的平面定常流动，驻点附近的流动和旋转圆盘引起的流动等。

一. 平行平板之间的定常流动：

如图为两平行平板间的粘性流体的定常流动(忽略重力的影响)。求流体速度分布。

如图，显然：v = w = 0，∂(·)/∂z = 0。 且为定常运动，故∂(·)/∂t = 0。 不计质量力， f x = 0, f y = 0 由式（3），得： p = p(x)

y

x

u (y)

y = h y = 0