整式的混合运算(讲义)
整式的加减(第一课时)课件
基础练习题
总结词：巩固基础
详细描述：基础练习题主要针对整式加减法的基本规则和概念，包括同类项的合并、系数和字母的加 减等。这些题目难度较低，适合初学者熟悉基本操作。
进阶练习题
总结词：提升技能
详细描述：进阶练习题在基础练习题的基础上增加难度，涉 及更复杂的整式加减运算，如多项式的加减、去括号等。这 些题目旨在提高学生的运算能力和对整式加减法的理解。
05
06
解：$3a^2 - 2a + a^2 = (3 + 1)a^2 2a = 4a^2 - 2a$
整式的加减运算技巧
技巧一
合并同类项时，系数直接相加减 ，字母和字母的指数不变
例如
$2x + 3x = 5x$，$3a^2 2a^2 = a^2$。
技巧二
去括号时，注意符号的变化
例如
$3(x + y) = 3x + 3y$，$- (x y) = -x + y$。
整式的加减(第一课时 )ppt课件
• 整式的概念 • 整式的加减运算 • 整式的混合运算 • 整式的加减运算练习
目录
01
整式的概念
什么是整式
整式是由常数、变数、常数乘变数、常数除变数以及括号等符号组成的数学表达式 。
整式中，变数的次数可以是零次、一次或多次。
整式中，变数的指数可以是正整数、负整数或零。
步骤三：合并同类项
整式的加减运算步骤
将带有相同字母的项的系数相加或相减。 步骤四：化简
将整式化简到最简形式。
整式的加减运算实例
例1：
01
02
计算：$2x - 3x + 4x$
解：$2x - 3x + 4x = (2 - 3 + 4)x = 3x$
初中数学中考总复习——整式(合并同类项整式加减乘法除法混合运算分解因式图文详解)
初中数学总复习整式
典型例题
例1：合并下列各式的同类项．
1 2 3 (1) x y x y ; 5 3 2 3 2 ( 2) 4xy 2x y 4xy 3x y;
2 3
(3)3a 4b 5ab 4a 2b .
3 2 3 2
初中数学总复习整式
1 2 3 解： (1) x y x y 5 1 2 3 1 x y 5
初中数学总复习整式
单项式的定义练习题
①、②、④、⑦ 例1，下列各式子中，是单项式的有______________ （填序号）
1 2 x 1 x ①a; ② ; ③x y; ④xy; ⑤ ;⑥ ;⑦ ; 2 x 2
初中数学总复习整式
小结： 1，单个的字母或数字也是单项式； 2，用加减号把数字或字母连接在一起 的式子不是单项式； 3，只用乘号把数字或字母连接在一起 的式子仍是单项式； 4，当式子中出现分母时，要留意分母里有 没有字母，有字 母的就不是单项式，如果分母没有字母的仍有可能是单项式 （注：“π”当作数字，而不是字母）
2 3
6 2 3 xy. 5
方法： （1）系数：系数相加； （2）字母：字母和字母的指数不变．
初中数学总复习整式
解 : ( 2) 4xy 2x y 4xy 3x y;
3 2 3 2
( 4 4)xy 3 ( 2 3)x 2 y x y.
2
同类项的系数互为相反数,合并后，这 两项就相互抵消为0，可省略不写.
初中数学总复习整式
例6 王强班上有男生m人，女生比男生的一半多5人，王强班上的总人 数（用m表示）为______人。
易错点：结果不进行化简，直接写 ( m 1 m 5).
人教版数学七年级上整式2.4整式的混合运算(教案)
在上完这节整式的混合运算课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在整式的加减运算方面掌握得还算不错，能够熟练地合并同类项。但在整式的乘法运算，特别是分配律的运用上，还存在一些问题。有的学生在计算过程中会忽略掉乘法中的某些项，导致结果出错。这就需要我在今后的教学中，加强对乘法运算部分的讲解和练习。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，有些学生对整式的混合运算仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解可能还不够透彻，或者课堂练习的设置不够合理。为了提高教学效果，我计划在下一节课前，对这部分内容进行复习，并针对学生的疑问进行解答。
（4）实际问题的整式混合运算：将实际问题转化为整式混合运算时，学生可能难以理解问题中的数量关系，导致错误。
举例：某同学从甲地到乙地，先以速度v1行驶了t小时，然后以速度v2行驶了剩余路程。求该同学行驶的总路程。
在教学过程中，教师要针对这些重点和难点内容进行详细讲解和示范，通过举例分析、练习巩固等方式，帮助学生理解并掌握整式的混合运算。同时，关注学生的个体差异，及时解答学生疑问，提高教学效果。
另外，整式的混合运算对学生来说是一个难点。他们在解决这类问题时，往往不知道从何入手，容易混淆运算顺序。为了帮助学生克服这个困难，我尝试通过具体的案例和实际操作，让学生在动手实践中逐步掌握运算顺序和法则。但从教学效果来看，还需要在课堂上进一步强化这一点。
此外，我在课堂上设置了小组讨论环节，目的是让学生在实际问题中运用所学知识，提高他们的合作交流能力。从学生的讨论情况来看，他们能够积极参与，提出自己的观点，但有时讨论的主题与整式的混合运算关联性不够紧密，导致讨论效果不佳。因此，在今后的教学中，我需要更加注意挑选合适的讨论主题，引导学生更好地将所学知识运用到实际问题中。
整式的加减的ppt课件
由多个单项式组成的整式，如：x + 2y、3x^2 - 4x + 5等。
整式的加减运算规则
01
02
03
合并同类项
将相同变数的项合并，如 ：3x + 5x = 8x。
系数相加减
将同类项的系数进行相加 或相减，如：3x + (-2x) = x。
变数和常数相加减
在整式的加减中，变数和 常数可以相加减，如：x + 5 = x + 5。
电磁学问题
在电磁学中，电流、电压、电阻等物 理量的计算也需要使用到整式的加减 。通过整式的加减，我们可以得到更 加准确的物理量值。
整式的加减在化学问题中的应用
化学反应方程式
在化学反应方程式中，整式的加减可 以帮助我们理解反应物和生成物之间 的关系。例如，通过比较反应前后的 质量变化，我们可以计算出反应的能 量变化。
整式的加减在实际问题中的应用
整式的加减在数学问题中的应用
代数方程的求解
整式的加减在代数方程求解中有 着广泛的应用，例如线性方程、 二次方程等。通过合并同类项、 移项等整式加减运算，可以简化
方程，找到解。
函数图像的处理
在函数的学习中，整式的加减可 以帮助我们处理函数图像，例如 通过平移、伸缩等变换，使图像
利用分配律简化计算
分配律是整式加减运算的基础，灵活运用分 配律可以简化计算。
灵活运用交换律和结合律
交换律和结合律可以用来调整项的顺序，便 于计算。
合并同类项时注意符号
在合并同类项时，要注意各项的符号，正负 号要正确处理。
化简时注意化到最简形式
在化简整式时，应尽可能化到最简形式，避 免复杂计算。
整式的加减运算实例
第6讲 整式的混合运算-华东师大版七年级数学上册讲义(机构专用)
第6讲 整式的混合运算知识整合1. 同类项，合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项。
常数项都是同类项。
同类项合并法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
2. 去括号与添括号，整式的加减去括号法则：1，括号前面是＋号的，把括号和它前面的加号去掉，括号里面各项都不改变正负号； 2，括号前面是—号的，把括号和它前面的负号去掉，括号里各项都改变正负号； 添括号法则：1，所添括号前面是＋号，括到括号里的各项都不改变正负号； 2，所添括号前面是—号，括到括号里的各项都改变正负号；3.整式加减运算的一般步骤是：先去括号，再合并同类项。
重点讲解重点1、同类项，合并同类项指出下列各题的两项是不是同类项，如果不是，请说明理由． (1)－x 2y 与12x 2y ；(2)23与－34； (3)2a 3b 2与3a 2b 3； (4)13xyz 与3xy . 答(1)是同类项，因为－x 2y 与12x 2y 都含有x 和y ，且x 的指数都是2，y 的指数都是1；(2)是同类项，因为23与－34都不含字母，为常数项．常数项都是同类项；(3)不是同类项，因为2a 3b 2与3a 2b 3中，a 的指数分别是3和2，b 的指数分别为2和3，所以不是同类项；(4)不是同类项，因为13xyz 与3xy 中所含字母不同，13xyz 含有字母x 、y 、z ，而3xy 中含有字母x 、y .所以不是同类项．方法总结：(1)判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相同．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)常数项都是同类项．若－5x 2y m与x ny 是同类项，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：∵－5x 2y m 和x ny 是同类项， ∴n ＝2，m ＝1，m ＋n ＝1＋2＝3， 故选C.方法总结：注意掌握同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同，解题时易混淆，因此成了中考的常考点．重点2：去括号与添括号下列去括号正确吗？如有错误，请改正． (1)＋(－a －b )＝a －b ；(2)5x －(2x －1)－xy ＝5x －2x ＋1＋xy ； (3)3xy －2(xy －y )＝3xy －2xy －2y ； (4)(a ＋b )－3(2a －3b )＝a ＋b －6a ＋3b .解析：先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号．解：(1)错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是：＋(－a －b )＝－a －b ；(2)错误，－xy 没在括号内，不应变号，应该是：5x －(2x －1)－xy ＝5x －2x ＋1－xy ； (3)错误，括号外是“－”号，括号内应该变号，应该是：3xy －2(xy －y )＝3xy －2xy ＋2y ； (4)错误，有乘法的分配律使用错误，应该是：(a ＋b )－3(2a －3b )＝a ＋b －6a ＋9b .方法总结：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号．先去括号，后合并同类项： (1)x ＋[－x －2(x －2y )]； (2)12a －(a ＋23b 2)＋3(－12a ＋13b 2)； (3)2a －(5a －3b )＋3(2a －b )；(4)－3{－3[－3(2x ＋x 2)－3(x －x 2)－3]}．解析：去括号时注意去括号后符号的变化，然后找出同类项，根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．解：(1)x ＋[－x －2(x －2y )]＝x －x －2x ＋4y ＝－2x ＋4y ； (2)原式＝12a －a －23b 2－32a ＋b 2＝－2a ＋b 23；(3)2a －(5a －3b )＋3(2a －b )＝2a －5a ＋3b ＋6a －3b ＝3a ；(4)－3{－3[－3(2x ＋x 2)－3(x －x 2)－3]}＝－3{9(2x ＋x 2)＋9(x －x 2)＋9}＝－27(2x ＋x 2)－27(x －x 2)－27＝－54x －27x 2－27x ＋27x 2－27＝－81x －27.方法总结：解决本题是要注意去括号时符号的变化，并且不要漏乘．有多个括号时要注意去各个括号时的顺序．重点3：整式的加减化简：3(2x 2－y 2)－2(3y 2－2x 2)．解析：先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变．解：3(2x 2－y 2)－2(3y 2－2x 2)＝6x 2－3y 2－6y 2＋4x 2＝10x 2－9y 2.方法总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”，去括号后括号里面的各项都要变号．化简求值：12a －2(a －13b 2)－(32a ＋13b 2)＋1，其中a ＝2，b ＝－32.解析：原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．解：原式＝12a －2a ＋23b 2－32a －13b 2＋1＝－3a ＋13b 2＋1，当a ＝2，b ＝－32时，原式＝－3×2＋13×(－32)2＋1＝－6＋34＋1＝－414.方法总结：化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变．巩固练习1， 将下列各式合并同类项．(1)2a 2－3ab ＋4b 2－5ab －6b 2； (2)－ab 3＋2a 3b ＋3ab 3－4a 3b .答：(1)2a 2－3ab ＋4b 2－5ab －6b 2＝2a 2＋(4－6)b 2＋(－3－5)ab ＝2a 2－2b 2－8ab ； (2)－ab 3＋2a 3b ＋3ab 3－4a 3b ＝(－1＋3)ab 3＋(2－4)a 3b ＝2ab 3－2a 3b .解析：逆用乘法的分配律，再根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”进行计算．2，化简求值：2a 2b －2ab ＋3－3a 2b ＋4ab ，其中a ＝－2，b ＝12.解析：原式合并同类项得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．解：2a 2b －2ab ＋3－3a 2b ＋4ab ＝(2－3)a 2b ＋(－2＋4)ab ＋3＝－a 2b ＋2ab ＋3.将a ＝－2，b ＝12代入得原式＝－(－2)2×12＋2×(－2)×12＋3＝－1.方法总结：对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果，在算式中代入负数时，要注意添加负号．3，有一批货物，甲可以3天运完，乙可以6天运完，若共有x 吨货物，甲乙合作运输一天后还有________吨没有运完．解析：甲每天运货物的13，乙每天运货物的16，则两个人合作运输一天后剩余的货物为x －13x －16x ＝12x 吨，故填12x .方法总结：体现了数学在生活中的运用．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．4，先化简，再求值：已知x ＝－4，y ＝12，求5xy 2－[3xy 2－(4xy 2－2x 2y )]＋2x 2y －xy 2.解析：原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．解：原式＝5xy 2－3xy 2＋4xy 2－2x 2y ＋2x 2y －xy 2＝5xy 2，当x ＝－4，y ＝12时，原式＝5×(－4)×(12)2＝－5.方法总结：解决本题是要注意去括号，去括号要注意顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．负数代入求值时，要加上括号．5，已知式子x 2－4x ＋1的值是3，求式子3x 2－12x －1的值．解析：若从已知条件出发先求出x 的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x 2－4x 看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．解：因为x 2－4x ＋1＝3，所以x 2－4x ＝2，所以3x 2－12x －1＝3(x 2－4x )－1＝3×2－1＝5. 方法总结：在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题．6，某商店有一种商品每件成本a 元，原来按成本增加b 元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件．(1)销售100件这种商品的总售价为多少元？ (2)销售100件这种商品共盈利多少元？解析：(1)求出40件的售价与60件的售价即可确定出总售价； (2)由利润＝售价－成本列出关系式即可得到结果．解：(1)根据题意得40(a ＋b )＋60(a ＋b )×80%＝88a ＋88b (元)，则销售100件这种商品的总售价为(88a ＋88b )元；(2)根据题意得88a ＋88b －100a ＝－12a ＋88b (元)，则销售100件这种商品共盈利(－12a ＋88b )元． 方法总结：解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则．7，有这样一道题“当a ＝2，b ＝－2时，求多项式3a 3b 3－12a 2b ＋b －(4a 3b 3－14a 2b －b 2)＋(a 3b 3＋14a 2b )－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a ＝2错抄成a ＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a ，b 的值进行计算．解：3a 3b 3－12a 2b ＋b －(4a 3b 3－14a 2b －b 2)＋(a 3b 3＋14a 2b )－2b 2＋3＝(3－4＋1)a 3b 3＋(－12＋14＋14)a 2b ＋(1－2)b 2＋b ＋3＝b －b 2＋3.因为它不含有字母a ，所以代数式的值与a 的取值无关．方法总结：解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定字母的取值无关．8，如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：(1)窗户的面积是多大？ (2)窗帘的面积是多大？(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．解析：(1)窗户的宽为b ＋b 2＋b 2＝2b ，长为a ＋b2，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；(2)窗帘的面积是2个半径为b 2的14圆的面积和一个直径为b 的半圆的面积的和，相当于一个半径为b2的圆的面积；(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．解：(1)窗户的面积是(b ＋b 2＋b 2)(a ＋b 2)＝2b (a ＋b2)＝2ab ＋b 2； (2)窗帘的面积是π(b 2)2＝14πb 2；(3)射进阳光的面积是2ab ＋b 2－14πb 2＝2ab ＋(1－14π)b 2.方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可．。
七年级数学下册《整式的乘法混合运算》教案、教学设计
（1）证明：对于任意正整数n，(n+1)^2 > n^2
（2）已知整式3x^2 - 2x + 1与2x^2 + 5x - 3的乘积是关于x的二次多项式，求这个二次多项式的各项系数。
5.思考题：讨论以下问题，增强学生对整式乘法混合运算的理解。
1.学生对整式乘法混合运算规则的理解程度，针对不同学生的掌握情况，进行有针对性的辅导和指导。
2.关注学生的运算速度和准确性，通过设计不同难度的练习题，帮助学生提高运算能力。
3.培养学生的逻辑思维和归纳总结能力，引导学生通过观察、分析、总结，掌握整式乘法混合运算的规律。
4.注重培养学生的团队合作意识和沟通能力，让学生在交流讨论中互相学习、共同提高。
教学过程：
-将学生分成若干小组，每组选出一个组长，负责组织和协调讨论。
-提供讨论题目，包括基础题和提高题，让学生在讨论中掌握整式乘法混合运算的技巧。
-学生在小组内展开讨论，共同解决问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
-各小组展示讨论成果，分享解题思路和方法，促进学生之间的相互学习。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度的练习题，让学生在课堂上进行巩固练习。
-在解决实际问题时，能够灵活运用整式乘法混合运算进行化简和求解。
（二）教学设想
1.创设情境导入：
-通过生活中的实例，如面积的求解、价格的计算等，引出整式的乘法混合运算在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究与合作交流：
-提供具有挑战性的问题，引导学生自主探究整式乘法混合运算的规律。
-采用小组合作学习，让学生互相讨论、交流，共同解决难点问题，培养学生的合作意识和团队精神。
整式及其混合运算
整式【课标要求】1．在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示． 3．能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义．4．会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．5．能够熟练地通过合并同类项、去括号对代数式进行化简计算．6．了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘、除运算． 7．了解同底数指数幂的意义和基本性质．8．会推导乘法公式22))((b a b a b a -=-+；2222)(b ab a b a ++=+，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算． 【中考动向】近年来，本讲内容除出现在常见的选择、填空题中外，也常出现在化简求值题中，是中考的必考内容，在试卷中主要分布在低中档题目中． 【知识网络图】第1课时 整式的概念【知识要点】1.用字母可以表示任何数，也可以直观的表示运算律和公式．2.代数式的概念、书写和意义．3.代数式的表示和求值．4.单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，它的数字因数为该单项式的系数，如：单项式－2a 2b 3的系数为－2．5.多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做它的一个项，它的次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.如：－7＋4y 2－3y 有三项，次数为2． 6.整式：单项式和多项式统称为整式．【典型例题】 例1 在矩形纸片上截去四个面积相等的小正方形，小正方形的边长为c ， 如图所示，求阴影部分的面积和周长． 解：⑴面积：24c ab - ⑵周长：)(2b a +例2 ⑴写出用排数表示座位数的公式；⑵利用⑴题中的公式计算当排数为19排时的座位数．解：⑴用排数m 表示座位数n 的公式是：)1(219-+=m n⑵当m =19时，n ==-+)119(21955（个） 答：当排数为19排时，座位数为55个．例3 当x =2时，代数式73-+bx ax 的值等于－19，求当x =－2时代数式的值． 解：∵当x =2时，1973-=-+bx ax则将x =2代入1973-=-+bx ax 得1228-=+b a ∴将x = －2代入73-+bx ax 得：-=---=-+72873b a bx ax （7)28-+b a 5=∴当x = －2时，代数式73-+bx ax 的值等于5． 例4 下列式子中那些是单项式，那些是多项式？3xy ，5a ，－34xy 2z ，a ，x －y ，1x，0，3.14，－m ，－m+1． 解：单项式：3xy ，5a ，－34xy 2z ，a ，0，3.14，－m ．多项式：x －y ，－m+1．【知识运用】 一、选择题1．下列各式是代数式的个数有（ ）．（1）ab=ba （2）2a+3b （3）1+3+17（4）2R S π= A ．5 B ．4 C ．3 D ．22．若－32x m y 2是6次单项式，则正整数m 的值是（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．23．多项式2x 3－x 2y 2+y 3+25的次数是（ ）图3－1－1A ．二次B ．三次C ．四次D ．五次 4．（2007．荆门）如图3－1－2，阴影部分的面积是（ ） A ．112xy B ．132xyC ．6xyD ．3xy二、填空题5．代数式3a b +可表示的实际意义是_______________． 6．下列各式－25x 2，12（a+b ）c ，3xy ， 0，233a -， －5a 2+a 中，是多项式的有 ．7．如图3－1－3是由边长为a 和b计算下图中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是. 三、解答题8．若312=-+a a，求代数式3131312-+a a 的值．9．如图3－1－4，矩形花园ABCD 中，AB =a ，AD =b ，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK ，若LM =RS =c ，求花园中可绿化部分的面积．10．已知：如图3－1－5，现有a a ⨯、b b ⨯的正方形纸片和a b ⨯的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽．第2课时 整式的加减图3－1－4ABQ DC图3－1－2图3－1－3a bb 图3－1－5【知识要点】1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 2．合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项.3．去括号：若括号前是“+”号，则去掉括号后，括号里边的各项不变号；若括号前是“－”号，则去掉括号后，括号里边的各项均变号.4．整式的加减：实质上是去括号后合并同类项，运算结果是一个多项式或一个单项式． 【典型例题】例1 先合并同类项，再求值：－3x 2y ＋2x 2y 2＋8x 2y －7x 2y 2＋3， 其中 x=1，y=2．解：原式 =（－3＋8）x 2y ＋（2－7）x 2y 2＋3=5x 2y －5x 2y 2＋3 当x=1，y=2时原式=5×12×2－5×12×22+3=10－20+3= －7例2 已知2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x 是同类项，求2x+y 2的值．解：∵2a 2x b 3y 与–3a 2b 2-x是同类项∴ ⎩⎨⎧-==xy x 2322由①得x=1 ③将③代入②得y=13 ∴2x+y 2=2×1+（13）2=2+19=199例3 计算：5abc －｛2a 2b －［3abc －（4ab 2－a 2b ）］+3abc ｝解：原式=5abc －［2a 2b －（3abc －4ab 2+a 2b ）+3abc ］=5abc －（ 2a 2b －3abc+4ab 2－a 2b+3abc ）=5abc －（ a 2b+4ab 2）=5abc － a 2b －4ab 2例4 已知x+y=－5，xy=6，求（－x －3y －2xy ）－（－3x －5y+xy ）的值. 解：（－x －3y －2xy ）－（－3x －5y+xy ） =－x －3y －2xy+3x+5y －xy=2x+2y －3xy =2（x+y ）－3xy将x+y=－5，xy=6代入，则原式=2×（－5）－3×6=－10－18=－28例5 已知A=x 3－5x 2，B=x 2－11x+6，求2A －3B解：2A －3B=2（ x 3－5x 2）－3（x 2－11x+6 ）= 2x 3－10x 2－3 x 2+33x －18= 2x 3－13x 2+33x －18［知识运用］ 一、选择题① ②1．若2n x y -与23yx 是同类项，则n 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1D ．22．已知a=－（－2）2，b=－（－3）3，c= －（－42），则－［a －（b －c ）］的值是（ ）A ．15B ．7C ．－39D ．473．(2008．广州)若实数a 、b 互为相反数，则下列等式中恒成立的是（ ） A. 0a b -= B. 0a b += C. 1ab = D. 1ab =- 4．下列去括号中，错误的是（ ）A ．3x 2－（x －2y ＋5z ）=3x 2－x ＋2y －5zB ．5a 2＋（－3a －b ）－（2c －d ）=5a 2－3a －b －2c ＋dC ．－3（x ＋6）＋3x 2=－3x －6＋3x 2D ．－（x －2y ）－（－x 2＋y 2）=－x ＋2y ＋x 2－y 2二、填空题5．不论a ，b 取何值，代数式－13ab 2＋56ab 2－12b 2a 的值都等于 0 ． 6．化简2x 2－2［3x －2（－x 2＋2x －1）－4］= ．7．已知（a+b ）2+ 12-b =0，则ab －［2ab －3（ab －1）］= ．三、解答题8．已知3x 5+a y 2和－5x 3y b+1是同类项，求代数式3b 4－6a 3b －4b 4＋2ba 3的值．9．已知A ＝a ＋2，B ＝ a 2－a ＋5，C ＝a 2＋5a －19，其中a ＞2． （1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； （2）指出A 与C 哪个大？说明理由．10．（2007．孝感）二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，试比较P 、Q 的大小．第3课时 整式的乘除［知识要点］1.同底数幂的乘法法则：a m ﹒a n =a m+n（m ，n 都是正整数）同底数幂的乘法的逆运算：a m+n = a m ﹒a n（m ，n 都是正整数）2.幂的乘方法则：（a m ）n =（a n ）m =a mn（m ，n 都是正整数）幂的乘方的逆运算：a mn =（a m ）n =（a n ）m（m ，n 都是正整数）3.积的乘方法则：（ab ）n =a n b n（n 为正整数）积的乘方的逆运算：a n b n =（ab ）n（n 为正整数）4.同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂的除法的逆运算：a m-n = a m ÷a n（a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n ） 5.零次幂和负整数指数幂的意义：（1）a 0=1（a ≠0） (2)p paa1=-（a ≠0，p 为正整数） 6.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 7.单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．8.多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．9.平方差公式：（a+b ）（a －b ）=a 2－b 2公式也可逆用：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ） 10.完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2公式也可逆用：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）211.单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式.12.多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.13.探求规律：学会科学的思维方法，探求数量和图形的变化规律. ［典型例题］例1 计算：（a m ）2﹒（a 3）m+2﹒a 4m解：原式=a 2m ﹒a 3（m+2）﹒a 4m= a 2m ﹒a 3m+6﹒a 4m=a 2m+3m+6+4m=a 9m+6例2 计算：（x m ﹒x 2n ）3÷x m+n ﹒［(x －y)m ］0(x ≠y)解：原式=（x 3m ﹒x 6n ）÷x m+n﹒1=x 3m+6n ÷x m+n=x )()63(n m n m +-+=x 2m+5n例3 计算：2x 2﹒（12xy 2－y ）－（x 2y 2－xy ）﹒（－3x ） 解：原式=2×12x 2﹒xy 2－2x 2y+3x ﹒x 2y 2－3x ﹒xy =x 3y 2－2x 2y+3x 3y 2－3x 2y=4x 3y 2－5x 2y 例4 计算：（x －y+1）（x+y －1）解：原式=［x －（y －1）］［x+（y －1）］ =x 2－（y －1）2=x 2－（y 2－2y+1） =x 2－y 2+2y －1 例5 已知a+b=7，ab=2，求a 2+b 2的值解：∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ∴a 2+b 2=（a+b ）2－2ab=72－2×2 =49－4 =45例6 ［（x+2y ）（x －2y ）+4（x －y ）2］÷6x 解：原式=［x 2－4y 2+4（x 2－2xy+y 2）］÷6x =（x 2－4y 2+4x 2－8xy+4y 2）÷6x =（5x 2－8xy ）÷6x =56x －43y ［知识运用］一、选择题1．(2008.宿迁)下列计算正确的是A ．623a a a =⋅B ．632)(a a = C ．32532a a a =+ D ．332323a a a =÷ 2．（2009.枣庄）若m +n =3，则222426m mn n ++-的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．6 Ｃ．3 Ｄ．03．(2008．东营)下列计算结果正确的是A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a4. （2009.台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①()2a b -；②ca bc ab ++； ③a c c b b a 222++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③ 二、填空题 5．－82005×（－0.125）2006=6．已知a －b=b －c=35,a 2＋b 2＋c 2=1则ab ＋bc ＋ca 的值等于 . 7．若整式142++Q x 是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 . 8. 观察下面一列数的规律，并填空：0，3，8，15，24……则它的第2006个数是 ． 三、解答题9．计算：235)()()()(a b b a b a a b m m --+--+10．若9 m=12，27 n=15，求nm 643-的值.11．（2007．北京）已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．（化简）12．先化简后求值：x y x y x y x 2)])(()[(2÷-++-,其中3=x ，5.1=y第三讲 单元测试一、选择题1．若01x <<，则23x x x ，，的大小关系是（ ） A ．23x x x <<B ．32x x x <<C ．32x x x <<D ．23x x x <<2．若2n x y -与23yx 是同类项，则n 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1 D ．23．下 列 各 式 计 算 结 果 正 确 的 是 （ ）A ．a ＋a ＝a 2B ．（3a ）2＝6a 2C ．（a ＋1）2＝a 2＋1 D ．2a a a =⋅4．若x 2－3mx+9是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．2B ．±2C ．3D ．±35．长方形的一边等于2a+3b ，另一边比它大a －b ，则此长方形的周长是（ ） A ．3a+2b B ．6a+4b C ．4a+6b D ．10a+10b6．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ， 都有a+b ≥2ab 成立．某同学在做一个面积为3 600cm 2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述 规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备x cm ． 则x 的值是（ ）cm A ． 1202 B ． 602 C ． 120 D ． 60 二、填空题7．计算：=+-++-)1()1)(1)(1(42y y y y ． 8．1062216⋅=x，则x= ．9．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足122=-m m ，122=-n n ，那么代数式=+-+199444222n n m _________________．10．已知a －b=10，ab=25，则a 2+b 2= ． 三、解答题11．（2009．威海）先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =--=．12．2))(()(x y x y x y x y --+++，其中21,2=-=y x13．已知02)1(2=++-y x ，求代数式2)1()1)(1(---+---y x y x y x 的值．14．张、王、李三人合办一个股份制企业，总股数为（5a 2－3a －2）股，每股m 元，张家持有（2a 2+1）股，王家比张家少（a －1）股，年终按股金额18%的比例支付股利，获利的20%交纳个人所得税，试求李家能得到多少钱？。
整式的混合运算
整式的混合运算在数学中，整式（或称多项式）是由数字、变量和运算符号（如加号、减号和乘号）组成的代数表达式。
整式的混合运算指的是对整式进行不同类型的运算，包括加法、减法、乘法和化简等操作。
本文将介绍整式的混合运算及其相关概念。
一、加法运算整式的加法运算是指将两个或多个整式相加得到一个新的整式。
在进行加法运算时，需要注意整式中各项的次数和系数。
具体的步骤如下：1. 检查整式中各项的次数是否相同，如果不同，则需要先进行合并同类项。
合并同类项是将具有相同变量的幂次的项合并，并将系数相加。
例如，对于表达式2x^2 + 3x + 5x^2 - 2x + 4，合并同类项后得到7x^2 + x + 4。
2. 合并同类项后，可直接将系数相加得到最终的整式。
继续以上例，最终结果为7x^2 + x + 4。
二、减法运算整式的减法运算类似于加法运算，只是在合并同类项时需要注意减去被减数的系数。
具体的步骤如下：1. 将减数的符号取反，即将减数中各项的系数变为相反数。
2. 将得到的相反数减数和被减数进行加法运算，得出最终的整式。
例如，对于表达式3x^2 + 4x + 2 - (2x^2 + 3x + 1)，将减数中各项的系数取反得到-2x^2 - 3x - 1，然后将两个整式进行加法运算，得出最终结果为x^2 + x + 1。
三、乘法运算整式的乘法运算是指将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
在进行乘法运算时，需要将每个整式中的每一项与另一个整式中的每一项进行乘法，然后将结果合并同类项并进行化简。
具体的步骤如下：1. 将第一个整式中的每一项与第二个整式中的每一项进行乘法。
例如，对于表达式(2x + 3)(x - 1)，将2x与x进行乘法得到2x^2，2x与-1进行乘法得到-2x，3与x进行乘法得到3x，3与-1进行乘法得到-3。
2. 将得到的结果进行合并同类项。
例如，合并同类项后得到2x^2 - 2x + 3x - 3。
3. 化简合并同类项后得到的整式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
整式的混合运算（讲义）➢课前预习
1.有理数混合运算的操作步骤
①观察________划_________；
②有序操作依________；
③每步推进一点点．
2.整式的运算
➢精讲精练
1.计算：
①323322()(2)()()a a a a a a ⎡⎤⋅--⋅-+-÷-⎣⎦；
②2(2)(2)(2)x y x y x y ---+-；
③222(1)(1)21()ab ab a b ab ⎡⎤+--+÷-⎣⎦
；
④24()(2)(2)(2)a a b a b a b b ----+---．
2. 化简求值：
①322(48)4(2)()ab a b ab a b a b -+÷-+-，其中21a b ==，．
②2322()(3)()x y xy x y xy +---÷-，其中2x =，
1y =．
3. 计算：
①24(1)(1)(1)(1)m m m m -+++；
②2432(31)(31)(31)(31)++++…；
③22222210099989721-+-++-…；
④222018201840342017-⨯+．
常熟悉的公式，这个公式是_____________
___________________________．
6. 若23(5)(23)x ax x x ++++的展开式中不含2x 的项，则a =____．
7. 若22(3)(21)ax x x x ---的展开式中不含3x 的项，则a =_____．
8. （1）若105x =，102y =，则210x =______，2310x y +=______；
（2）若2332m n a +=，2m a =，则n a =_______．
9. （1）若2n a =，5n b =，则10n =__________；
（2）若3322336x x x ++-⋅=，则x =_________．
10. （1）若234m n +=，则927m n ⋅=_______；
（2）若253x y +=，则432x y ⋅=_______．
11. （1）若2216x axy y ++是完全平方式，则a =______；
（2）若22168x xy my -+是完全平方式，则m =______；
（3）若22()mx xy y ++是完全平方式，则m =______．
12. 氧原子的直径约为0.000 000 001 6米，0.000 000 001 6米用科学记数法可表
示为________________米．
13. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，
粒径小，含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，对人体健康和大气环境质量的影响很大．2.5微米可用科学记数法表示为______________米．
想一想：
根据多项式的乘法我们可以得到222()2a b a ab b +=++，
33223()33a b a a b ab b +=+++，那么4()a b +，5()a b +呢？你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！
如果将()n a b +（n 为非负整数）的每一项按字母a 的指数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
0()1a b +=，它只有一项，系数是1；
1()a b a b +=+，它有两项，系数分别是1，1；
222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别是1，2，1； 33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别是1，3，3，1． 若将上述每个式子的各项系数排成下表，你能发现什么规律？
………
(16434321)
1
1
1
1111
这就是我们常说的杨辉三角，按照发现的规律，请你计算： 5()a b +=______________________________．
【参考答案】
➢ 课前预习
1．①结构；部分；②法则
2．a m +n ；a m -n ；a mn ；a m b m
相加；不变；
系数；系数；字母；字母；
乘法分配律；
系数；系数；字母；字母；
乘法分配律；
22
()()
a b a b a b
+-=-；
222
()2
a b a ab b
+=++；
222
()2
a b a ab b
-=-+
➢精讲精练
1.①0；②2
42
xy y
+；③1-；④2
3a
-2.①2-；②2
3.①81
m-；②
64
31
2
；③5 050；④1
4. D
5.222
()2
a b a ab b
+=++
6.
3 2 -
7.
3 2 -
8.（1）25；200；（2）2
9.（1）ab；（2）7
10.（1）81；（2）8
11.（1）8±；（2）1；（3）1 2
12.9
1.610-
⨯
13.6
2.510-
⨯
想一想：54322345
510105
a a
b a b a b ab b
+++++。