三次函数图象的切线问题专练
【高考数学】《函数切线问题》微专题
【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。
切线、公切线与切线逼近型汇编+(解析版)
切线、公切线与切线逼近型汇编目录题型一：有切点切线方程题型二：无切点型切线关系题型三：“在点”型切线求参题型四：“过点”型切线方程题型五：“过点”型切线条数判断题型六：“过点”型切线条数求参题型七：三角函数型切线综合应用题型八：函数公切线题型九：函数公切线求参数范围题型十：函数公切线条数判断题型十一：公切线综合题型十二：切线逼近求零点题型十三：双切线存在性题型十四：切线逼近：不等式整数解求参题型一：有切点切线方程1(2023·全国·三模)已知定义域为R的函数f x 的图像关于原点对称，且f3-x+f-x=0，若曲线y=f x 在6,f6处切线的斜率为4，则曲线y=f x 在-2022,f-2022处的切线方程为()A.y=-4x-8088B.y=4x+8088C.y=-14x-10112D.y=14x+10112【答案】B【详解】因为定义域为R的函数f x 的图像关于原点对称，所以f0 =0，因为f3-x+f-x=0，f6-x+f3-x=0，两式相减可得，f6-x=f-x，故T=6，故f-2022=f0 =0；因为f -2022=f 0 =f 6 =4，故所求切线方程为y=4x+8088，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.2(21-22高三下·福建莆田·阶段练习)函数f x =ln x+ax3的图象在点P1,f(1)切的切线分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，2OP =OA +OB，则a =()A.-32B.-14C.14D.32【答案】B【详解】f x =ln x +ax 3，f 'x =1x+3ax 2，故f '1 =1+3a ，f 1 =a ，P 1,a ，故切线方程为：y =1+3a x -1 +a ，故A 1+2a1+3a ,0，B 0,-1-2a .2OP =OA +OB ，即2,2a =1+2a 1+3a ,-1-2a ，解得a =-14.故选：B .【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3(21-22高三上·河南·阶段练习)已知f x 是定义在R 上的单调函数，满足f f x -e x =1，则f x 在(0,f (0))处的切线方程为()A.y =x +1B.y =x -1C.y =-x +1D.y =-x -1【答案】A【分析】由f x 是定义在R 上的单调函数，满足f f x -e x =1，可得f x -e x 为一固定的数，可设a =f x -e x ，则有f a =1，可得函数的解析式，求解出切线斜率和切点，可得答案.【详解】由题意可得f x -e x 为一固定的数，设a =f x -e x ，则有f a =1.由a =f x -e x 可得f x =a +e x ，当x =a 时，有f a =a +e a =1，解得a =0.∴f x =e x ， ∴f x =e x ．∴f 0 =e 0=1，又f 0 =e 0=1．∴曲线f x 在0,f 0 处的切线方程为y -1=x ，即y =x +1．故选：A ．4(2024·海南海口·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x +1 是偶函数，当x <12时，f x =ln 1-2x ，则曲线y =f x 在点2,f 2 处的切线斜率为()A.25B.-25C.2D.-2【答案】C【详解】因为f x +1 是偶函数，所以函数f x 的图象关于x =1对称，则f 2-x =f x ，当x >32时，∴2-x <12，∴f 2-x =ln 1-22-x =ln 2x -3 ，∴f x =ln 2x -3 ，则f x =22x -3，∴f 2 =2，即曲线y =f x 在点2,f 2 处切线的斜率为2.故选：C .5(23-24高二下·山西运城·开学考试)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2-x )+f (x )=0，且当x ∈[0,1)时，f (x )=x -1，则曲线y =f (x )在点-94,f -94 处的切线方程为.【答案】4x -4y +11=0【详解】因为f x 是R 上的偶函数，且f 2-x +f x =0，所以f x =-f 2-x =-f x -2 ⇒f x -2 =-f x ，所以f x -4 =-f x -2 =f x ，即f x 为周期函数，且周期为4.设x ∈1,2 ，则2-x ∈0,1 ，由f x =-f 2-x =-2-x -1 =1-2-x ；设x ∈-3,-2 ，则x +4∈1,2 ，由f x =f x +4 =1-2-x +4 =1--2-x .当x ∈-3,-2 时，f x =-12·1-x -2·-1 =12·1-x -2.所以：f -94=1-94-2=1-12=12，f -94 =12·194-2=1.所以曲线y =f x 在点-94,f -94 处的切线方程为：y -12=1·x +94⇒4x -4y +11=0.故答案为：4x -4y +11=0【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路：(1)求出函数在区间-3,-2 上的解析式，可得f -94 和f -94，进而求出所求的切线方程；(2)利用函数的对称性和周期性，先求f -94=f 74 =-f 14 得到切点，再根据f x 的图象关于1,0 点对称，则f x 关于x =1轴对称，所以f -94=f 74 =f 14 得切线斜率，可得所求切线方程.题型二：无切点型切线关系1(2024·湖北·模拟预测)设D =x -a2+e x -2a 2+a +1，其中e ≈2.71828，则D 的最小值为()A.2 B.2+1C.3D.3+1【答案】A【详解】令Q x ,e x ，P a ,2a ，则点Q 在函数f x =e x 图象上，P 在函数g x =2x 的图象上，容易知道g x =2x 图象是抛物线y 2=4x 图象的上半部分，记抛物线焦点为F 1,0 ，过 P 作抛物线的准线l :x =-1的垂线，垂足为M ，如图所示：则D =x -a2+e x -2a 2+a +1=PQ +PM =PQ +PF ≥FQ ，当且仅当P 在线段 FQ 上时，取最小值.设这时Q 点坐标为Q x 0,e x 0，又f x =e x ，所以有e x 0⋅e x 0-0x 0-1=-1⇒e 2x 0=1-x 0，解得x 0=0 ，即该点为0,1 ，所以FQ ≥1-02+0-1 2=2，因此D min =2.故选：A .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将D 的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的问题.2(2020·北京·二模)点P 在函数y =ex 的图象上．若满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为()A.22B.23C.3D.4【答案】C【解析】要满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y =ex 的图象相交，而且点P 在函数y =ex 的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为2，另外一侧两个点到直线距离为2．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．【详解】过函数y =ex 的图象上点P (x 0，y 0)作切线，使得此切线与直线y =x +a 平行∵y ′=ex ，于是e x 0=1，则x 0=0，y 0=1∴P (0，1)，于是当点P 到直线y =x +a 的距离为2时，则满足到直线y =x +a 的距离为2的点P 有且仅有3个，∴d =-1+a1+1=2，解得a =-1或a =3又当a =-1时，函数y =ex 的图象与直线y =x -1相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足；故a =3．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.3(21-22高三·重庆·阶段练习)已知函数f (x )=x -ln x ，若f (x )在x =x 1和x =x 2(x 1≠x 2)处切线平行，则A.1x 1+1x 2>12 B.x 1x 2<128C.x 1+x 2<32D.x 21+x 22>512【答案】D【解析】求函数导数，进而利于导数的几何意义得切线斜率，列方程化简，结合基本不等式可得解.【详解】由f (x )=x -ln x ，得f '(x )=12x-1x(x >0)，∴12x 1-1x 1=12x 2-1x 2，整理得：x 2-x 12x 1x 2=x 2-x 1x 1x 2，则1x 1+1x 2=12，∴12=1x 1+1x 2≥21x 1x 2，则1x 1x 2≤116，∴x 1x 2≥256，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2>256.∴x 21+x 22>2x 1x 2=512.故选D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及基本不等式，属于难题.4(2024高三下·全国·专题练习)已知三次函数f x 有三个零点x 1，x 2，x 3，且在点x i ,f x i 处切线的斜率为k i i =1,2,3 ，则1k 1+1k 2+1k 3=.【答案】0【详解】令f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 ，其中a ≠0，x 1，x 2，x 3互不相等.则f x =a x -x 2 x -x 3 +x -x 1 x -x 3 +x -x 1 x -x 2 .1k 1+1k 2+1k 3=1a 1x 1-x 2 x 1-x 3 +1x 2-x 1 x 2-x 3 +1x 3-x 1 x 3-x 2 =x 2-x 3+x 3-x 1+x 1-x 2a x 1-x 2 x 1-x 3 x 2-x 3=0.故答案为：0.5(23-24高二下·北京·期中)已知函数f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 a >0 ，设曲线y =f x 在点x i ,f x i 处切线的斜率为k i i =1,2,3 ，若x 1，x 2，x 3均不相等，且k 2=-2，则1k 1+1k 3=.【答案】12/0.5【详解】f x =a x -x 1 x -x 2 x -x 3 +a x -x 1 x -x 2 x -x 3=a 2x -x 1+x 2 x -x 3 +a x -x 1 x -x 2 .由k 2=-2，则a 2x 2-x 1+x 2 x 2-x 3 +a x 2-x 1 x 2-x 2 =2，即a x 2-x 3 x 2-x 1 =-2，又k 1=a x 1-x 2 x 1-x 3 ，k 3=a x 3-x 1 x 3-x 2 ，由于x 1，x 2，x 3均不相等，则1k 1+1k 3=1a x 1-x 2 x 1-x 3 +1a x 3-x 1 x 3-x 2 =x 3-x 2 -x 1-x 2a x 1-x 2 x 1-x 3 x 3-x 2=x 3-x 1-2x 1-x 3=12故答案为：12题型三：“在点”型切线求参1(22-23高二下·广东广州·期末)已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y=ax2+a+4x +ln x-1只有一个公共点，则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a≥0或a=-1C.-1≤a≤0D.a≥-1【答案】B【详解】由题意y=x+ln x得y =1+1x，则y|x=1=2，故曲线y=x+ln x在点1,1处的切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，而切线2x-y-1=0与曲线y=ax2+a+4x+ln x-1只有一个公共点，即2x-1=ax2+a+4x+ln x-1有且只有一正解，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，令g(x)=ax2+a+2x+ln x,(x>0)，则g (x)=2ax+a+2+1x=2ax2+(a+2)x+1x=(2x+1)(ax+1)x，由于x>0，故2x+1>0，当a=0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(x)=2x+ln x,(x>0)，g1e2=2e2-2<0,g(1)=2>0，即g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解；当a>0时，g (x)>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，由于ax2+a+2x的最小值为-(a+2)24a<0，故当x趋向于0时，g(x)可取到负值，且g(1)=2a+2>0，故g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，即ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解；当a<0时，当0<x<-1a时，g(x)>0，g(x)在0,-1a上单调递增，当x>-1a时，g(x)<0，g(x)在-1a,+∞上单调递减，故g(x)max=g-1 a=-1a-1+ln-1a，令h(x)=ln x+x-1,(x>0)，则h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(1)=0，此时要使ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，故需-1a-1+ln-1a=0,∴a=-1，综合以上可知a≥0或a=-1，故选：B【点睛】难点点睛：根据导数的几何意义求出曲线y=x+ln x的切线方程，要保证切线与曲线y=ax2+a+4x+ln x-1只有一个公共点，关键就是转化为ax2+a+2x+ln x=0有且只有一正解，从而构造函数，分类讨论，结合导数解决问题.2(2022·山西晋城·一模)已知函数f x =ln x -x ，f x 的图像在点P 处的切线l 1与y 轴交于点A ，过点P 与y 轴垂直的直线l 2与y 轴交于点B ，则线段AB 中点M 的纵坐标的最大值是A.1-e2B.e -1C.2ln2-3D.ln2-32【答案】D【详解】设点P (x 0,ln x 0-x 0)(x 0>0)，∵f x =ln x -x ，∴f x =1x -1=1-xx ，∴f x 0 =1-x 0x 0，∴切线l 1的方程为y -(ln x 0-x 0)=1-x 0x 0(x -x 0)，令x =0，得y =ln x 0-1，故A (0,ln x 0-1)，又点B (0,ln x 0-x 0)，∴线段AB 中点M 的纵坐标t =12[(ln x 0-1)+(ln x 0-x 0)]=12(2ln x 0-x 0-1)，设g (x )=12(2ln x -x -1)(x >0)，则g (x )=122x -1 =2-x2x，故当0<x <2时，g (x )>0,g (x )单调递增；当x >2时，g (x )<0,g (x )单调递减．∴g (x )min =g (2)=12(2ln2-3)=ln2-32．选D ．3(2022·湖北·一模)已知函数f (x )=e x +ax 2(a ∈R )在点P (m ,f (m ))(m >1)处的切线为l ，若直线l 在y 轴上的截距恒小于1，则实数a 的取值范围是A.-12,+∞ B.[-1,+∞)C.-12,+∞ D.-1,-12【答案】B【详解】根据答案分析此题可用特殊值法：取a =-1,根据题意可得函数的切线方程为：y -(e m +am 2)=(e m +2am )(x -m )，故在y 轴的截距为：(1-m )e m -am 2，所以(1-m )e m -am 2<1恒成立(m >1),故令g (m )=(m -1)e m +am 2+1>0恒成立，g '(m )=m (e m +2a )，显然当a 取-1时，g '(m )>0，故g (m )在m ∈(1,+∞)单调递增，g (m )min =g (1)=0，故g (m )>0恒成立，故a 取-1成立，所以排除ACD ，选B点睛：对于12题这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻而易举得出结论4(21-22高二上·河南商丘)设直线l 1、l 2分别是函数f (x )=|ln x |图象上点P 1、P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，则点P 横坐标的取值范围为()A.0,1B.(0,2)C.0,+∞D.(1,+∞)【答案】A【详解】解：设P 1x 1,y 1 ，P 2x 2,y 2 ，0<x 1<x 2 ，当0<x ≤1时，f (x )=-ln x ，f x =-1x；当x >1时，f (x )=ln x ，f x =1x ，若1<x 1<x 2，则k 1k 2=1x1⋅1x 2=1x 1x 2≠-1，不合题意；若0<x 1<x 2≤1，则k 1k 2=-1x 1⋅-1x 2=1x 1x 2≠-1，不合题意；∴0<x 1<1<x 2，l 1的斜率k 1=-1x 1，l 2的斜率k 2=1x 2，∵l 1与l 2垂直， ∴k 1k 2=-1x 1x 2=-1，即x 1x 2=1，∵直线l 1：y =-1x 1x -x 1 -ln x 1，l 2：y =1x 2x -x 2 +ln x 2，∴联立两直线l 1和l 2方程可得交点P 的横坐标为x =2x 1+x 2，∴x =2x 1+x 2=2x 1+1x1，∵函数y =x +1x 在0,1 上为减函数，且0<x 1<1，∴x 1+1x 1>1+1=2，则0<1x 1+1x1<12，∴0<2x 1+1x1<1．∴点P 横坐标的取值范围为0,1 ．故选：A ．5(2022全国·二模)设点P 在曲线y =ln x -1x +1上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为A.2 B.1C.65D.255【答案】D【详解】先求曲线上切线斜率为2的点的横坐标：令y =1x +1x2=2，解得x =1，代入曲线方程求得y =0，故切点为1,0 ，斜率为2的直线方程为y =2x -1 ，将两条平行直线的方程化为一般式得2x -y =0,2x -y -2=0，故两平行直线的距离为0--25=255.故选D .【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.题型四：“过点”型切线方程1(22-23高二下·湖北咸宁·开学考试)过原点的直线m ,n 与分别与曲线f x =e x ，g x =ln x 相切，则直线m ,n 斜率的乘积为()A.-1B.1C.eD.1e【答案】B【详解】设f x ,g x 的切点分别为x 1,e x 1,x 2,ln x 2 ，由题意可得f x =e x ，g x =1x，所以f x 在x =x 1处的切线为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，g x 在x =x 2处的切线为y -ln x 2=1x 2x -x 2 ，又因为两条切线过原点，所以0-e x 1=e x 10-x 1 0-ln x 2=1x 20-x 2，解得x 1=1x 2=e ，所以直线m ,n 斜率的乘积为f x 1 g x 2 =e 1×1e=1，故选：B2(22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末)过点P 1,0 可以作曲线f x =xe x 的两条切线，切点的横坐标分别为m ，n ，则m 2+n 2的值为()A.1B.2C.5D.3【答案】D【详解】f x =x +1 e x ，设切点为坐标x ,y ，则x +1 e x=y x -1=xe x x -1，即x 2-x -1 e x =0，则x 1+x 2=1,x 1⋅x 2=-1，由题意知x 2-x -1=0有两解，分别为m ，n ，故m 2+n 2=x 12+x 22=x 1+x 2 2-2x 1⋅x 2=1-2×-1 =3，故选：D .3(2022·河南·模拟预测)已知f x =12x 2-12x，过原点作曲线y =f x 的切线，则切点的横坐标为()A.232B.-232C.-32D.32【答案】C 【详解】由f x =12x 2-12x 得：f x =x +12x2；设切点坐标为x 0,12x 20-12x 0，∴f x 0 =x 0+12x 20，则切线方程为：y -12x 20+12x 0=x 0+12x 20x -x 0 ，∵切线过原点，∴-12x 20+12x 0=-x 0x 0+12x 20=-x 20-12x 0，解得：x 0=-32，即切点横坐标为-32.故选：C .4(2022·四川南充·三模)已知函数f x =x +1x，过点P 1,0 作函数y =f x 图象的两条切线，切点分别为M ，N ．则下列说法正确的是()A.PM ⊥PNB.直线MN 的方程为2x -y +1=0C.MN =210D.△PMN 的面积为32【答案】C【详解】因为f 1 =1+1=2，所以P 1,0 没有在函数的图象上，fx =1-1x 2=x 2-1x 2，设切点坐标为a ,b a ≠0 ，当a =1时，f 1 =2，x =1不与f x =x +1x相切，所以a ≠1，fa =a 2-1a 2=b a -1， 又因为a +1a =b ，解得a =-1±2，即-1-2,-22 ，-1+2,22 ，所以k PM ×k PN =222+2×222-2=-4≠-1，故A 错误；k NM =22+2222=2，所以直线MN 的方程为y =2x -1 ，即2x -y +2=0，故B 错误；MN =-1+2+1+2 2+22+22 2=210，故C 正确；P 1,0 到直线MN 的距离为d =2-0+24+1=455，所以△PMN 的面积为12MN d =12×210×455=42，故D 错误.故选：C .5(2022·河南商丘·三模)已知曲线y =x ln x -3x 2的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为()A.4x -y -2=0B.5x -y -2=0C.4x +y -2=0D.5x +y -2=0【答案】D【详解】函数y =x ln x -3x 2的定义域为0,+∞ ，设切点坐标为x 0,x 0ln x 0-3x 02，因为y =ln x -6x +1，则切线斜率为ln x 0-6x 0+1，所以切线方程为y -x 0ln x 0+3x 20=ln x 0-6x 0+1 x -x 0 ，将点0,2 代入切线方程并整理得3x 20-x 0-2=0，解得x 0=1，或x 0=-23(舍去)，所以这条切线的方程为y +3=-5x -1 ，即5x +y -2=0．故选：D ．题型五：“过点”型切线条数判断1(2022·全国·模拟预测)过点P 0,b 作曲线y =xe x 的切线，当-4e 2<b <0时，切线的条数是()A.0B.1C.2D.3【答案】D【详解】设切点为m ,me m ，∵y =x +1 e x ，∴切线斜率k =m +1 e m ，∴切线方程为：y -me m =m +1 e m x -m ；又切线过P 0,b ，∴b =me m -m m +1 e m =-m 2e m ；设f m =-m 2e m ，则f m =-m m +2 e m ，∴当m ∈-∞,-2 ∪0,+∞ 时，f m <0；当m ∈-2,0 时，f m >0；∴f m 在-∞,-2 ，0,+∞ 上单调递减，在-2,0 上单调递增，又f -2 =-4e 2，f 0 =0，f m ≤0恒成立，可得f m 图象如下图所示，则当-4e 2<b <0时，y =b 与f m 有三个不同的交点，即当-4e 2<b <0时，方程b =-m 2e m 有三个不同的解，∴切线的条数为3条.故选：D .2(2024·北京海淀·一模)已知f x =x 3,x ≤0lg x +1 ,x >0，函数f (x )的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线y =f (x )相切的直线的条数为n ，则m ,n 的值分别为()A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B【详解】令f x =0，即x ≤0时，x 3=0，解得x =0，x >0时，lg x +1 =0，无解，故m =1，设过点(0,2)与曲线y =f (x )相切的直线的切点为x 0,y 0 ，当x <0时，f x =3x 2，则有y -x 30=3x 20x -x 0 ，有2-x 30=3x 20-x 0 ，整理可得x 30=-1，即x 0=-1，即当x 0<0时，有一条切线，当x >0时，f x =lg e x +1，则有y -lg x 0+1 =lg ex 0+1x -x 0 ，有2-lg x 0+1 =lg ex 0+1-x 0 ，整理可得2+lg e x 0+2-x 0+1 lg x 0+1 =0，令g x =2+lg e x +2-x +1 lg x +1 x >0 ，则g x =2-lg x +1 ，令g x =0，可得x=99，故当x∈0,99时，g x >0，即g x 在0,99上单调递增，当x∈99,+∞时，g x <0，即g x 在99,+∞上单调递减，由g99=2+lg e×99+2-200=99lg e>0，g0 =2-0=2>0，故g x 在x∈0,99上没有零点，又g999=2+lg e×999+2-1000×3=999lg e-1000<0，故g x 在99,999上必有唯一零点，即当x0>0时，亦可有一条切线符合要求，故n=2.故选：B.3(23-24高三上·湖北·期中)函数f(x)=x3+(a-1)x2-x+b为R上的奇函数，过点P-1 2 ,1作曲线y=f(x)的切线，可作切线条数为()A.1B.2C.3D.不确定【答案】A【详解】f(-x)=-x3+(a-1)x2+x+b=-f x =-x3-(a-1)x2+x-b，故a=1，b=0，f(x)=x3-x，f (x)=3x2-1，设切点为M x0,y0，则f (x0)=3x02-1=y0-1x0+12，且f(x0)=x30-x0=y0，整理得到x0+14x20-x0+1=0，解得x0=-1，f (-1)=2，故切线方程为y=2x+2，故选：A4(2023·吉林通化·模拟预测)若过点a,b可作曲线y=x2-2x的两条切线，则点a,b可以是()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4【答案】C【详解】设切点坐标为t,t2-2t，对函数y=x2-2x求导可得y =2x-2，所以，切线斜率为k=2t-2，所以，曲线y=x2-2x在点t,t2-2t处的切线方程为y-t2-2t=2t-2x-t，即y=2t-2x-t2，将点a,b的坐标代入切线方程可得b=2t-2a-t2，即t2-2at+2a+b=0，因为过点a,b可作曲线y=x2-2x的两条切线，则关于t的方程t2-2at+2a+b=0有两个不等的实数解，所以，Δ=4a2-42a+b>0，即a2-2a-b>0，即b<a2-2a，对于点0,0，0=02-2×0，A不满足；对于点1,1，1>12-2×1，B不满足；对于点3,0，0<32-2×3，C满足；对于点3,4，4>32-2×3，D不满足.故选：C.5(2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线f x =e x x2-2x+2的切线，则切线共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】A【详解】设切点为x0,e x0x20-2x0+2，由f x =e x x2-2x+2可得f x =x2e x，则过坐标原点的切线的斜率k=e x0x20-2x0+2x0=x20e x0，故x30-x20+2x0-1=0，即x0-1x20+2=0，解得x0=1，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A．题型六：“过点”型切线条数求参1(23-24高二下·河北保定·期中)已知函数f x =x+1e x，若过P-1,t可做两条直线与函数f x 的图象相切，则t的取值范围为()A.4e ,+∞B.4eC.0,4eD.0,4e∪0 【答案】B【详解】设过点P-1,t的直线与函数f x =x+1e x的图象相切时的切点为a,b，则b=a+1e a，因为f x =x+1e x,f x =e x-x+1e xe2x=-xe x，所以切线方程为y-a+1e a=-ae ax-a，又P-1,t在切线上，所以t-a+1e a=-ae a-1-a，整理得t=(a+1)2e a，则过点P-1,t的直线与函数f x =x+1e x的图象相切的切线条数即为直线y=t与曲线g a =(a+1)2e a的图象的公共点的个数，因为g a =2a+1e a-(a+1)2e ae2a=-a+1a-1e a，令g a =0，得a=±1，所以，当a <-1时，g a <0,g a 单调递减；当-1<a <1时，g a >0,g a 单调递增；当a >1时，g a <0,g a 单调递减，因为g -1 =0,g 1 =4e，当a →+∞时g a →0，所以，函数g a 的图象大致如图：所以当t =4e时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B .【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点P -1,t 的直线与函数f x =x +1e x的图象相切的切线条数转化为直线y =t 与曲线g a =(a +1)2e a 的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数g a 的图象.2(2023·全国·模拟预测)若过点m ,n 可作函数y =2x +1xx >0 图象的两条切线，则必有()A.0<2m +1m<n B.0<n <2m C.2m <n <2m +1mD.n <2m【答案】C【详解】设切点为a ,2a +1a，a >0，又y =2-1x 2，所以切线斜率k =2-1a 2，所以切线方程为y -2a +1a =2-1a 2x -a ，又切线过点m ,n ，则n -2a +1a =2-1a2m -a ，a >0，即2m -n a 2+2a -m =0，由过点m ,n 可作两条切线，所以2m -n a 2+2a -m =0有两个正根，即2m -n ≠0Δ=22-42m -n ⋅-m >0-22m -n >0-m 2m -n >0，整理可得2m <n <2m +1m ，故选：C.3(2023·江西九江·一模)已知函数f(x)=13x3+ax2+bx-b+43(a,b∈R)，点P(1,0)位于曲线y=f(x)的下方，且过点P可以作3条直线与曲线y=f(x)相切，则a的取值范围是()A.-53,+∞B.-53,1C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】D【详解】解：f (x)=x2+2ax+b，设切点为(x0,f(x0))，则切线斜率为f x0，切线方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0)，由于切线过点P(1,0)，∴-f(x0)=f (x0)(1-x0)，整理得23x30+(a-1)x20-2ax0-43=0.构造函数g(x)=23x3+(a-1)x2-2ax-43，∴y=g(x)有三个不同的零点，g (x)=2x2+2(a-1)x-2a=2(x-1)(x+a)，易知a≠-1，g(1)⋅g(-a)<0，即-53-a13a3+a2-43<0，即a+5 3(a-1)(a+2)2>0，又因为点P(1,0)在曲线下方，∴f(1)>0，即a>-5 3，解得a>1，故选：D.4(22-23高二下·山西晋中·阶段练习)已知过点A a,0作曲线y=x ln x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围为()A.0,+∞B.1,+∞C.1e,+∞D.e,+∞【答案】B【详解】设切点为x0,y0，对函数y=x ln x求导得y =ln x+1，所以，切线斜率为k=ln x0+1=y0x0-a=x0ln x0x0-a，整理得a=x0ln x0+1，关于x0的方程a=x0ln x0+1有两个不等的实根.令函数f x =xln x+1，由题意可得x>0ln x+1≠0，解得x>0且x≠1e，所以，函数f x 的定义域为0,1 e∪1e,+∞，且f x =ln x1+ln x2，当x∈0,1 e时，f x <0，f x <0；当1e<x<1时，f x >0，f x <0；当x>1时，f x >0，f x >0，所以f x 在0,1 e上单调递减，在1e,1上单调递减，在1,+∞上单调递增.f x极小值=f1 =1.作出函数y=a与函数f x 的图象如下图所示：由图可知，当a>1时，直线y=a与函数f x 的图象有两个交点，因此，实数a的取值范围是1,+∞.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；(3)参变量分离法：由f x =0分离变量得出a=g x ，将问题等价转化为直线y=a与函数y=g x 的图象的交点问题.5(22-23高三·四川南充·期中)已知函数f x =xe x，过点a,b作曲线f x 的切线，当0<a<2时，可作两条切线，则b的取值为()A.4-ae2或ae aB.4-ae2或aeC.2-ae2或ae aD.2-ae2或ae【答案】A【详解】由f(x)=xe x，可得f (x)=1-xe x，设切点坐标为x0,y0，所以y0=x0e x0，则切线的斜率为k=1-x0e x0，切线方程为y-x0e x0=1-x0e x0x-x0，当0<a<2时，由切线方程为y-x0e x0=1-x0e x0x-x0得b-x0e x0=1-x0e x0a-x0，则b=x20+1-x0ae x0，设t x =x2+1-xae x，则t x =2+ax-x2-2ae x=x-a2-xe x，因为0<a<2，所以当x∈a,2时t x >0，t x 单调递增，所以当x∈-∞,a时t x <0，t x 单调递减，所以当x∈2,+∞时t x <0，t x 单调递减，x=a时，t x 有极小值为t a =a2+1-aae a=ae a>0，x=2时，t x 有极大值为t2 =4+1-2ae2=4-ae2>0，可画出函数t x 的大致图象，结合图象若作两条切线，则b的取值为4-ae2或ae a.故选：A.题型七：三角函数型切线综合应用1(23-24高三上·浙江温州·)已知0<x1<x2<x3<4π，函数f x =sin x在点x i,sin x ii=1,2,3处的切线均经过坐标原点，则()A.tan x1x1<tan x3x3B.tan x1x1>tan x3x3C.x1+x3<2x2D.x1+x3>2x2【答案】C【详解】由题意知，f (x)=cos x，则f (x1)=cos x1,f (x2)=cos x2,f (x3)=cos x3，所以曲线f(x)在点(x1,sin x1),(x2,sin x2),(x3,sin x3)处的切线方程分别为y-sin x1=cos x1(x-x1),y-sin x2=cos x2(x-x2),y-sin x3=cos x3(x-x3)，因为切线均过原点，所以sin x1=x1cos x1,sin x2=x2cos x2,sin x3=x3cos x3，即x1=tan x1,x2=tan x2,x3=tan x3，得tan x1x1=tan x2x2=tan x3x3=1，故AB错误；由tan x1x1=tan x2x2=tan x3x3=1，得tan x i=x i(i=1,2,3)，画出函数y=tan x与y=x图象，如图，设A x 1,tan x 1 ,B x 2,tan x 2 ,C x 3,tan x 3 ，如上图易知：D (x 2-π,tan x 2),E (x 2+π,tan x 2)，由正切函数图象性质k AD <k EC ，得tan x 2-tan x 1x 2-π-x 1<tan x 3-tan x 2x 3-x 2-π，即x 2-x 1x 2-π-x 1<x 3-x 2x 3-x 2-π，又x 2-π-x 1>0,x 3-x 2-π>0，所以(x 2-x 1)(x 3-π-x 2)<(x 3-x 2)(x 2-π-x 1)，即x 1π+x 3π<2πx 2，解得x 1+x 3<2x 2，故C 正确，D 错误.故选：C【点睛】关键点点睛：证明选项CD 的关键是根据tan x i =x i (i =1,2,3)构造新函数tan x =x ，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.2(2023·湖北武汉·二模)已知直线y =kx +t 与函数y =A sin ωx +φ A >0,ω>0 的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为k 1和k 2，且k 1>k 2，则()A.k 1k 2>73 B.53<k 1k 2<73 C.75<k 1k 2<53 D.k 1k 2<75【答案】B【详解】∵对于任意A >0，ω>0，φ∈R ，k1k 2的范围恒定，∴只需考虑y =sin x 的情况，设k 1对应的切点为x 1,sin x 1 ，x 1,sin x1 ，x 1<x 1，设k 2对应的切点为x 2,sin x2 ，x 2,sin x 2 ，x 2<x 2，∵sin x =cos x ，∴k 1=cos x 1=cos x 1，k 2=cos x 2=cos x 2，∴只需考虑x 1+x 1=2π，x 2+x 2=4π，其中-π2<x 2<x 1<0的情况，则k 1=sin x 1-sin x 1x 1-x 1=sin 2π-x 1 -sin x 12π-x 1 -x 1=-2sin x 12π-2x 1，k 2=sin x 2-sin x 2x2-x 2=sin 4π-x 2 -sin x 24π-x 2 -x 2=-2sin x 22π-2x 2，其中-π2<x 2<x 1<0，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅4π-2x 22π-2x 1=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1；又-2sin x 12π-2x 1=cos x 1，-2sin x 24π-2x 1=cos x 2，∴sin x 1=x 1-π cos x 1，sin x 2=x 2-2π cos x 2；令f x =tan x -x +π-π2<x <0 ，则fx =1cos 2x -1=sin 2x cos 2x =tan 2x >0，∴f x 在-π2,0 上单调递增，f 0 >0，设f x 0 =tan x 0-x 0+π=0,x 0<0⇒π-x 0 cos x 0+sin x 0=0，∴-π2<x 2<x 1<x 0，又sin x 2<sin x 1<0，∴0<sin x 1sin x 2<1，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1<2π-x 2π-x 1<2π+π2π+π3=5243=158<73；令h x =sin x π-x -π2<x <x 0 ，则hx =π-x cos x +sin x π-x2，令t x =π-x cos x +sin x -π2<x <x 0 ，则t x =-π-x sin x >0，∴t x 在-π2,x 0 上单调递增，∴t x <t x 0 =π-x 0 cos x 0+sin x 0=0，即h x <0，∴h x 在-π2,x 0 上单调递减，∴sin x 1π-x 1<sin x 2π-x 2，∴sin x 1sin x 2>π-x 1π-x 2，∴k 1k 2=sin x 1sin x 2⋅2π-x 2π-x 1>π-x 1π-x 2⋅2π-x 2π-x 1=2π-x 2π-x 2=1+ππ-x 2>1+π3π2=53；综上所述：53<k 1k 2<73.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数y =sin x 的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得k 1k 2的范围.3(23-24高三上·安徽·阶段练习)将函数y =12sin x +x x ∈0,π2 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转θ角得到曲线Γ，已知曲线Γ始终保持为函数图象，则tan θ的最大值为()A.12B.23C.1D.32【答案】B 【详解】由题设y =12cos x +1，在原点处的切线斜率k =y x =0=12cos0+1=32， 所以切线方程为y =32x ，设切线倾斜角为α∈0,π2 ，则tan α=32，当y =12sin x +x 绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，则θ+α≤π2，故θ≤π2-α，显然θ为锐角，所以tan θ≤tan π2-α=cos αsin α=1tan α=23，故tan θ的最大值为23．故选：B4(23-24高三上·江苏南通·阶段练习)已知函数f x =a sin x +b cos x 图象上有一最低点11π6,-2 ，将此函数的图象向左平移π3个单位长度得y =g x 的图象，若函数g x 的图象在x =x 03π2<x 0<2π 处的切线与g x 的图象恰好有三个公共点，则tan x 0-x 0的值是.【答案】-3π【详解】f x =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin x +φ ，因为函数f x =a sin x +b cos x 图象上有一最低点11π6,-2 ，所以a 2+b 2=2，且sin 11π6+φ=-1，所以11π6+φ=3π2+2k π，所以φ=-π3+2k π,k ∈Z ，所以f x =2sin x -π3+2k π =2sin x -π3，将函数f x 的图象向左平移π3个单位长度得y =g x 的图象，，则g x =2sin x ，如图，结合g (x )=2sin x 的图象及对称性可知，g (x )=2sin x 在x =x 03π2<x 0<2π 处的切线经过点3π,0 ，设切点为x 0,2sin x 0 ，则g x =2cos x ，所以2cos x 0=2sin x 0-0x 0-3π=2sin x 0x 0-3π，整理得tan x 0=sin x 0cos x 0=x 0-3π，所以tan x 0-x 0=-3π.故答案为：-3π.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与g x 的图象有3个交点时，该切线过点3π,0 ，再利用导数处理即可.5(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0且0≤φ≤π2)，其中f (x )的最小正周期T >π，且f -7π6=f π6 =12，函数f (x )的图象在x =x 0π2<x 0<π 处的切线与f (x )的图象恰好有3个公共点，则tan x 0-x 0=.【答案】-2π【详解】因为f -7π6 =f π6 ，则f (x )的图象关于x =-7π6+π62=-π2对称，或者π6--7π6=4π3=nT n∈N*；若π6--7π6=4π3=nT n∈N*：因为f(x)的最小正周期T>π，所以T=4π3，即T=2πω=4π3，解得ω=32，即f(x)=sin32x+φ，此时fπ6=sin32×π6+φ=sinπ4+φ=12，又0≤φ≤π2，则π4≤π4+φ≤3π4，所以sinπ4+φ≥22，与sinπ4+φ=12矛盾，不合题意；所以f(x)的一条对称轴为x=-π2，即-π2ω+φ=kπ+π2k∈Z，所以φ=kπ+π2+π2ω，0≤φ≤π2；因为T>π，所以T=2π|ω|=2πω>π，即0<ω<2，所以π2<π2+π2ω<3π2，又因为0≤φ≤π2，所以k=-1，则-π2ω+φ=-π2，因为0<ω<2，则0<π6ω<π3，又0≤φ≤π2，所以0<π6ω+φ<5π6，又fπ6=sinπ6ω+φ=12，则π6ω+φ=π6①又因为-π2ω+φ=-π2②，联立①②解得ω=1，φ=0，所以f(x)=sin x.如图，结合f(x)=sin x的图象及对称性可知，f(x)=sin x在x=x0处的切线经过点(2π,0)，切点为x0,sin x0，则f (x)=cos x，所以cos x0=sin x0-0x0-2π，整理得tan x0=sin x0cos x0=x0-2π，所以tan x0-x0=-2π.故答案为：-2π.【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与y=sin x的图象有3个交点时，该切线过点2π,0，再利用导数处理即可.题型八：函数公切线对函数 f(x)与g(x)，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：y-f(x1)=f (x1)(x-x1))和y-g(x2)=g (x2)(x-x2)再令 f (x)=g (x)f(x1)-x1f (x)=g(x2)-x2g (x2)，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
函数的切线问题微专题
x0
抓住关键：
y0 k
f (x0 ) f (x0 )
；
3．过点 A(x1, y1) 的切线方程：设切点为 P(x0 , y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程为： ∵过点 A(x1, y1) ，∴ y1 y0 f (x0 )(x1 x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）
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第一讲 函数切线及其应用
1．导数的几何意义:
函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜率．注：（ k f x tan ）
2．在点
A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程：
y
f
(x0 )
f
(x0 ) x
A． (5 , 4)
B． (5 , 0)
C． (4 , 0)
D． (5 , 3]
【解析】法一： f x x3 3x2 ,则 f x 3x2 6x ，设切点为 x0 , x03 3x02 ,则 f x0 3x02 6x0 ．
∴过切点处的切线方程为 y x03 3x02 3x02 6x0 x x0 ，把点 2 ，n 代入得：
e2－2x，则 y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1 时，y＝0，∴x0＝1.故选 A.
[答案] A
【例 1.3】设点 P 是曲线 y x3 3x 3 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ） 5
A．
0
，2 3
B．
0
，
2
2 3
，
C．
2
，2 3
D．
3
，2 3
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
提示：可根据奇函数图像的平移得到。
分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。
09：三次函数图像的切线
高考总复习09：三次函数图像的切线1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.(2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程；(2)设函数3()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.(2)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.6.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.7.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.。
三次函数切线问题
三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝ ．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
过任一点作三次函数图象的切线条数
谈过任一点作曲线y =a 3x +b 2x +c x +d （a ≠0）切线的条数问题朱红岩2007全国（II ）卷22题 已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程；（II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线， 证明：-a <b <)(a f 题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。
解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t∴有))(13(23a t tb t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。
设)(t g = 23t -3a b a t ++2)('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得t =0 t =a 1． 当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t=时)(t g 有极小值b a a ++-3(1) 当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3(x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2) 当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根, 即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3(x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有一条. (如图2点N 在阴影部分)(3) 当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2． 当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。
江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)
三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。
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三次函数图象的切线问题专练
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三次函数图象的切线问题专练
广西 王强芳
[问题]
一、 曲线在点P 处的切线方程
1 曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程是 。
二、曲线经过点P 处的切线方程
2 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程
是 。
三、点P 不在曲线上的切线方程
3 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)，
（3）16(,2)11
的曲线C 的切线有几条？如果是一条，写出切线的方向向量；如果是两条， 求两条切线之间的夹角；如果是三条，写出切线方程。
四、其它变形
4 已知曲线C ：32()32f x x x x a =-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值 等于 。
5 斜率为3的直线与曲线C ：3y x =相切于P 点，并与曲线有另一个交点Q ，求P 、 Q 两点的坐标。
6 若方程330x x m --=有一个二重根，求方程的解集。
7 P 为曲线C ：3y x =上一动点，若曲线在该点处的切线与曲线有另一交点Q ，求PQ 的中点的轨迹方程。
[答案与提示]
1 解：由'2()33f x x =+，得'(2)15f -=，
所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。
2 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==，
所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。
比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线
1l
2l P x
y o
只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。
正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相
切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-，
得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-， 有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。
又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，
有3000200022(31)(1)y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =-
，于是2k =或14
-， 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。
3 仿题2可得：
（1）经过点(0,54)-的切线只有一条，337841k =-，其方向向量为3(1,37841)-；
（2）经过点（2，0）的切线有两条，1k =-或26k =，其夹角为27arctan 25。
（3）经过点16(,2)11
的切线有三条，11k =或17185121k ±=，所求的切线方程为 1114y x =-或1718516()212111y x ±=
-+。
温磬提示：
1 解题步骤：若P 点在曲线上，但没有说明P 是切点，
（1）设出切点坐标；
（2）根据切点在曲线上，已知点在切线上，切点处的导数等于切线斜率这三个条件，列出三个方程，再解方程组；
（3）写出问题的结论。
2 过平面内任一点的三次函数图象的切线条数至少有一条，至多有三条，但到底有几条，要根据点的位置而定。
4 设切点坐标为00(,)x y ，则
32000032y x x x a =-++，又2002362x x =-+，002y x =得00x =或2。
再消去0y 得32003a x x =-+。
于是得0a =或4。
5 由'233k y x ===得1P x =±，切点为(1,1)或(1,1)--。
当切点为P (1,1)时，切线方程为32y x =-，得另一点Q 的坐标为Q (2,8)--； 当切点为P (1,1)--时，同理可得Q （2，8）。
6 此题转化为：若直线3y x m =+与曲线3
y x =相切，求m ，再解方程即可。
答案：{1,2}-或{1,2}-。
7 设PQ 的中点M 的坐标为(,)x y ，又300(,)P x x ，所以0'203x x k y x ===，
以P 为切点的切线方程为320003()y x x x x -=-，与3y x =联立，解得Q 点的坐标
为300(2,8)x x --，
则M 点的坐标为30017(,)22
x x --。
消去0x ，得中点M 的轨迹的方程为
（柯正摘录并改编自《中学数学教学参考》2005年9期）。