应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
应用导数研究三次函数课件
知识点2 切线条数 切点的个数
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化
思考
一般情形的证明
对于对称问题，在函数中讲到了很 多，你能用所学知识证明一般三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 的对称中心 是 ( b , f ( b ))的这个结论吗？
3a 3a
g(x) x3 3x2 2x 1 (1,1)
x y20
过对称中心的切线只有1条
上下区域 1条
左右区域 3条
切线上（除对称中心） 2条
曲线上（除对称中心） 2条
一般情形
小结
知识点1 对称中心
三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横 坐标与其导函数顶点的横坐标相同. ( b , f ( b ))
应用导数研究三次函数
图像的对称性及切线条数
湖北省黄冈中学 袁小幼
函数 y x3图像的对称性
函数 y 的x3图像关于（0，0）对称.
三次函数的图像有唯一的对称中心，对称中 心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
一般三次函数图像的对称性
三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0)图像 的对称中心是什么?
f (x) 3ax2 2bx c 3a(x b )2 c b2
3a
3a
( b , f ( b )) 3a 3a
三次函数在对称中心处的切线
函数 g(x) x3 3x2 2x 1 过对称中心 (1,数图像切线条数的探究
同样的，你能证明切线条数的一般 性结论吗？
谢 谢！
三次函数的图像与性质探究
借助三次函数的图像和导数工具，我们可以轻松地解决三次函数的定义域、值域、对称性、单调性、极值、最值、切线等基本问题。此外，三次函数的内部蕴藏着如下深刻的联系：
【性质1】在三次函数上存在惟一一点，使曲线在该点处的切线与该曲线有惟一的公共点，并且此点即为三次曲线的对称中心.
证明：设 为曲线 上任意一点，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，切线方程为： .
14、已知函数 在 上满足 ，则曲线 在点 处的切线方程是．
15、已知函数 ，且 是 的两个极值点， ，则 的取值范围_________.
16、若 ，且 ，则二项式 展开式中常数项为
（16）已知两个不相等的实数 ，满足
，给出一下结论；① 的取值范围为 ；② 的取值范围为 ；③
取值范围为 ；④若 则 的取值范围为
【特别提醒】 仅仅是 为极值的必要非充分条件,一定要检查 的左右两侧导数的符号是否异号,异号才是极值,同号不是极值.
4、求函数 在某个区间上的极值的步骤：
①求导数 ；
②求方程 的根 ；
③检查 在方程 的根 的左右的符号：“左正右负” 在 处取极大值；“左负右正” 在 处取极小值．
【特别提醒】
① 是极值点的充要条件是 点两侧导数异号，而不仅是 ＝0， ＝0是 为极值点的必要而不充分条件．
3、设函数 是 上以5为周期的可导偶函数，则曲线 在 处的切线的斜率为
A．－ B．0 C． D．5
4、已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5、如果函数 的图像如右图,那么导函数 的图像可能是（）
6、若函数 有三个单调区间，则 的取值范围为
A． B. C、 D.
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
提示：可根据奇函数图像的平移得到。
分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
用导数研究三次函数
用导数研究三次函数一、知识点解析1定义:定义1、形如y =ax3∙bx2∙ CX ∙d(a =0)的函数，称为“三次函数”。
定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把2 2=4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。
2、三次函数图象与性质的探究：1、单调性2 3 2一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ∙cχ∙d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。
2、对称中心3 2三次函数f (x) = ax bx CX d (^∙-z 0)是关于点对称，且对称中心为点b b(—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
3a 3ay= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题(1)当.∙, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设(2)当厶=b2 _3acX i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。
此时：①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象与X轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若f(X1) f(X2^0 ,即f(X1)与f(X2)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
用导数研究三次函数样本
用导数研究三次函数一、知识点解析1、 定义:定义1、 形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数, 称为”三次函数”。
定义2、 三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ,我们把)3412422ac b ac b -=-=∆（,叫做三次函数导函数的判别式。
2、 三次函数图象与性质的探究:1、 单调性一般地, 当032≤-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数; 当032>-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
2、 对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称, 且对称中心为点))3(,3(ab f a b --, 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上, 且又是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。
3、 三次方程根的问题( 1) 当032≤-=∆ac b 时, 由于不等式0)(≥'x f 恒成立, 函数是单调递增的, 因此原方程仅有一个实根。
( 2) 当△=032>-ac b 时, 由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x , 不妨设21x x <, 可知, ))(,(11x f x 为函数的极大值点, ))(,(22x f x 为极小值点, 且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增, 在[]21,x x 上单调递减。
此时:①若0)()(21>⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧, 图象均与x 轴只有一个交点, 因此原方程有且只有一个实根。
②若0)()(21<⋅x f x f , 即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧, 图象与x 轴必有三个交点, 因此原方程有三个不等实根。
三次函数切线斜率
高考中三次函数图象的切线问题浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题.一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线； ab ac k 332->时，有两条不同的切线； ab ac k 332-<时，没有切线； 2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线； ab ac k 332-<时，有两条不同的切线； ab ac k 332->时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当ab x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2ab x a b ac a b f y +-=-- 当ab ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。
2、0<a 时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
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应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
[教学目标]
知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3）
了解过一点作三次函数图像切线条数的结论.
过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证
明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类.
情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力；
（2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美.
[教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法.
[教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法.
[教学方法]探究式教学.
[教学手段]多媒体辅助教学.
[教学过程]
1 三次函数图像的对称性
1.1 创设情景，提出问题
三次函数3()f x x =是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？
观察函数32()321g x x x x =-++的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？
1.2 回归通法，探究发现
研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出(),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
1.3 追根索源，理解本质
为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a
--.i 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究
2.1 因势利导，引出问题
三次函数过对称中心(,())33b b f a a -
-的切线是如何的？通过实例来探究.32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？
2.2 恰当分类，实例探索
因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图
像上的点（除对称中心）是一种情形，过对称中心的切线上的点（除对称中心）是一种情形.我们选择三次函数32
()321g x x x x =-++为例来探究.先选右边的点(3,0)，设切点，列方程，有多少条切线，对应有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与x 轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答.
2.3 归纳总结，得到结论
设三次函数图像C 在其对称中心处的切线为l ，M 是三次函数图像所在平面上的一点，则
（1）过点M 能且仅能作C 的一条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的上下两个区域内（边界除外），或点M 与点N 重合.
（2）过点M 能且仅能作C 的两条切线，当且仅当点M 位于C 或l 上（点N 除外）.
（3）过点M 能且仅能作C 的三条切线，当且仅当点M 位于C 和l 所夹的左右两个区域内（边界除外）.ii
根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下：
3 小结
知识点1 对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
知识点2 切线条数，用图表示.
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化.
4 思考
（1）对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗？
（2）过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对一般函数32
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的证明吗？
5 作业
设32()f x ax bx cx =++的极小值为2-，其导函数()y f x '=的图像是经过点(1,0),(1,0)-开口向上的抛物线.
（1）求()f x 的解析式;
（2）若过点(1,)m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
i管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯.2004（15）.
ii贺斌.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论. 数学通讯.2008（3）.。