三次函数切线斜率
三次函数
第28关：三次函数专题—全解全析一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：设函数的对称中心为（m，n）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。
此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。
②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。
③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。
4、极值点问题若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。
当时，三次函数在上的极值点要么有两个。
当时，三次函数在上不存在极值点。
5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例1. 函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（Ⅰ），的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.来自QQ群3（ⅱ）当且，时，有两个根：，若，则, 当或时，，故在上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在和上是减函数；当时，，故在上是增函数；（Ⅱ）当且时,,所以当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2. 设函数，其中。
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
三次函数性质探述
三次函数的 极 值 情 况 如 何 呢 ？ 由 推 论 ３ 及 函 数 ｆ ′（ ｘ）
的符号不难得到：
定理 ４ 当 ｂ２－ ３ａｃ＜ ０ 时， ｆ （ ｘ） 无极值； 当 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０
时， （ｆ ｘ） 在 ｘ＝ ｘ１ 和 ｘ＝ ｘ２ 处有两个极值． 推论 ４ （ １） 当 ａ＞ ０ 且 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０ 时 ， （ｆ ｘ） 在 ｘ＝ ｘ１ 处 有
至此可知， 当 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０ 时， 三次函数 （ｆ ｘ） 图象上有两
个 极 值 点 Ｐ（１ ｘ１， （ｆ ｘ１） ） 、Ｐ（２ ｘ２， （ｆ ｘ２） ） ， 那 么 ， 这 两 个 点 Ｐ１， Ｐ２ 与函数图像对称中心点有何关系呢？我们可以发现：
定理 ５ 当 ｂ２－ ３ａｃ＞ ０ 时 ， 三 次 函 数 图 象 上 的 两 个 极
备课参考
三次函数性质探述
□ 管宏斌
（ 通州高级中学， 江苏通州 ２２６３００）
中学 数 学 已 对 二 次 函 数 性 质 作 出 了 系 统 、严 格 而“近 乎完美”的研究， 但是 关 于 三 次 函 数 性 质 的 讨 论 则 几 乎 没 有涉及． 三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体． 通过它可以考察学生的探究能力和创新能力．但是， 对于 它的图像性质， 比如它是否具有对称性等， 广大师生往往 不甚了解．翻阅各种资料、杂志， 我们发现不少的研究者仅 从怎样求导、求极值、求 单 调 区 间 等 角 度 进 行 一 些 浅 表 的
６
１５
求的分配方法种数共有 Ａ６ － Ａ２ Ａ５ ＝（ ６－ ２） ×５！ ＝ ４８０；
解法 ４： 运用位置排除法．先不考虑限制条件， 每人分
６
担一种工作， 共有 Ａ６ 种方法， 而从除甲外的 ５ 人中每次任
三次函数性质总结_S
已知函数
.
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 在区间
内是减函数，求 的取值范围.
【题型 2】不等式与恒成立问题 例题 2 （08 安徽文）
设函数
（Ⅰ）已知函数 在 处取得极值，求 的值；
（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立，求实数 的取值范围。
7
【题型 3】三次方程根问题
例题 3 （05 全国）设 为实数，函数
,若 在
上的最大值为 20，求它在
变式 8 当
【2012 高 考北京 文第 19 题改编】已知函数
，
时，若函数
在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。
g(x) x3 bx 。
例题 11. 【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 的取值范围
.若过点
存在 3 条直线与曲线
相切，求
变式 9 (1)已知函数 (2)已知函数 (3）问过点
.若过点
存在 2 条直线与
相切，求 的取值范围；
.若过点
存在 1 条直线与
相切，求 t 的取值范围
，
，
分别存在几条直线与曲线
相切？
变式 10 已知函数
在
处有极值.
（Ⅰ）求函数 （Ⅱ）若函数
的单调区间；
在区间
上有且仅有一个零点，求 的取值范围。
例题 12. 设 变式 11 已知函数
围．
例题 13. 已知函数 例题 14. 已知函数 例题 15. 已知函数
是可导函数，若
的图象关于点
对称，则
图象关于直线
对称.
(5)
是可导函数，若
的图象关于直线
对称，则
图象关于点
高考复习用导数研究三次函数的性质
专题：用导数研究三次函数的性质★★★教学目标1、 掌握三次函数的定义和解析式；2、 掌握用导数求三次函数的切线方程、单调区间、极值和最值；3、 能利用三次函数的图象和性质解决与三次函数有关的问题．知识梳理1．三次函数的定义：形如 的函数叫做三次函数． 2．三次函数的几种表达式：（1）一般形式： ；（2）已知函数的对称中心为),(n m ，则()f x = ；（3）已知函数图象与x 轴三个交点的横坐标)(,,γ<β<αγβα，则()f x = ； （4）已知函数图象与x 轴的一个交点的横坐标0x ，则()f x = ． 3．三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：2()32(0)f x ax bx c a '=++>，则2()320f x ax bx c '=++=的判别式222124(4)b ac b ac =-=-△()．（1）函数的定义域为 ，值域为 ；（2）单调性：①若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在上 是增函数；②若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在上 单调递增，在 上单调递减；（3）极值：①若 ，此时函数无极值；②若0△>，且2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，此时函数()f x 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ． 答案：１．)0(23≠+++=a d cx bx ax y ．2．（1）32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠；（2）3()()(0)A x m B x m n a -+-+≠；（3）()()()(0)a x x x a αβγ---≠；（4）20()()(0)x x ax mx n a -++≠．3．（1）R ， R ；（2）①R ；②12(,),()x x -∞+∞，12(,)x x ；（3）①0≤△，②1x x =，)(1x f ，2x x =，)(2x f ．思维升华：1． 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(当且仅当 时是奇函数？2． 三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象是对称图形吗？如果是，那么对称中心或对称轴是什么？ 答案：1． 0==d b ．2．图象关于点))3(,3(abf a b --中心对称． 证明如下：三次函数d cx bx ax x f +++=23)(关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+32[()()a m x b m x +++ ()]2c m x d n +++=，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++，据多项式恒等对应系数相等，可得a b m 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(abf m f -=，从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(abf a b --． 典例精讲30 min.例1（★★★）（全国卷2文）已知函数f （x ）=x 3-3ax 2+3x+1． （Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；（Ⅱ）设f （x ）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求的取值范围．分析：（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间．（2）求出函数的导数'()f x ，在（2，3）内有极值，即为'()f x 在（2，3）内有一个零点，即可根据'(2)'(3)0f f <，即可求a 出的取值范围．解：当2a =时，32()631f x x x x =-++，'()3(23)(23)f x x x =--，当(,23)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在(,23)-∞单调增加； 当(23,23)x ∈时，'()0f x <，()f x 在(23,23)单调减少； 当(23,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(23,)+∞单调增加．综上所述，()f x 的单调增区间是(,23)(23,)-∞+∞和．()f x 的单调减区间是(23,23)．（II ））22'()3[()1]f x x a a =-+-．当210a -≥时， '()0f x >，()f x 为增函数，故()f x 无极值点；当210a -<时，'()0f x =有两个根12x a x a ==+由题意知，23a << ①或23a < ② ①式无解，②式的解为5543a <<， 因此a 的取值范围是5543⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 点评：三次函数的单调性判定与一般函数一样，利用函数的导数来求解，求极值时，要注意函数取得极值时的充要条件． 巩固练习（★★★）已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ， （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解析：（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-(2)2,(2)22,(2)(2)f a f a f f -=+=+∴>-，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．例2（★★★）已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0． （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围． 分析：先求切点坐标，再利用导数求出切线斜率，可得切线方程；再利用三次函数的图象求解函数的极值来解不等式．解：（Ⅰ）当a=1时，f （x ）=323x x 12-+，f （2）=3；'()f x =233x x -， '(2)f =6．所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9．（Ⅱ）'()f x =2333(1)ax x x ax -=-．令'()f x =0，解得x=0或x=1a．以下分两种情况讨论： （1） 若110a 2<≤≥，则，当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表： 当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧>->⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即 解不等式组得-5<a<5．因此0a 2<≤．（2） 若a>2，则11<<．当x 变化时，'()f x ，f （x ）的变化情况如下表：当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即25811->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,解不等式组得52a <<或2a <-．因此2<a<5． 综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5．点评：三次函数的切线问题，要看清问题是在某点处的切线，还是过某点的切线，确定切线的切点是关键点．利用函数的图象来求解不等式也是常用之法． 巩固练习（★★★）已知函数xxxxf3231)(23+-=（Rx∈）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线的倾斜角的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；解析：（1）34)(2+-='xxxf，则11)2()(2-≥--='xxf，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[)+∞-,1；故倾斜角取值范围为3[0,)[,)24πππ⋃．（2）由（1）可知，⎪⎩⎪⎨⎧-≥--≥111kk解得01<≤-k或1≥k，由03412<+-≤-xx或1342≥+-xx．得：(][)+∞+-∞-∈,22)3,1(22,x；例3（★★★）设Ra∈，讨论关于x的方程0323=-+axx的相异实根的个数？分析：讨论三次方程的根的问题，可化为讨论三次函数的极值点与x轴之间的关系问题．解：0,263)()(212=-==+='xxxxxfxf的两根为导函数函数，，fxffxf0)0()(,4)2()(==-∴的极小值是的极大值是函数如图所示，（1）当0<a或4>a时，函数)(xf与)(xg只有一个交点，即方程只有一个根．（2）当0=a或4=a时，函数)(xf与)(xg只有两个交点，即方程只有两个根．（3）当40<<a时，函数)(xf与)(xg有三个交点，方程有三个根．点评：讨论三次函数的极值的大小与0的关系，可以解决三次方程根的个数问题．可以总结如下的经验：从数形结合的视角看三次方程320(0)ax bx cx d a+++=>的实数根：（1）若22120b ac =-≤△()，方程有且只有一个实数解；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <， ①若0)()(21<⋅x f x f ，则方程有三个不同的实数解)(,,γ<β<αγβα，且有γ<<β<<α21x x ，②若0)(0)(21==x f x f 或，则方程有两个不同的实数解，③若0)()(21>⋅x f x f ，则方程有且只有一个实数解α，且21x x >α<α或， 巩固练习（★★★）若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．答案：()2,2- 解析：2'()33f x x =-，则'()0f x =可得1x =±，则有(1)0(1)0f f <⎧⎨->⎩，可解得22x -<<．回顾总结4 min.1．容易忽视三次函数的切线的特殊性而出错．例如3()2f x x x =-+经过(1,2)P 有几条切线？常见的错解有：把P 点当做切点，判定经过P 点只有一条，而实际上要分是否为切点两种情况来看． 2．容易忽视三次函数的图象的特殊性而出错．例如在讨论三次方程有三个根的问题时，不知道函数的极大值大于0且函数的极小值小于0．典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径．请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：。
江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)
三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三次函数图象切线问题归类分析
三次函数图象切线问题归类分析作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期有关三次函数图象的切线问题，涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化，导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式，则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1 如图1所示为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f ′（x）为f（x）的导函数，则不等式xf ′（x）.解f ′（x）表示切线的斜率，当f ′（x）>0时，f（x）为增函数；当f ′（x）0.已知图象的极值点，结合图象的单调区间可知满足条件的区间即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.例2 已知曲线y=x3-6x2+11x-6，求切点在x∈[0，2]弧段上的切线在y轴上的截距b的取值范围.解法1 函数f（x）的导函数为y′=3x2-12x+11，切线在切点M（x，y）处的切线方程为Y-y=y′（X-x），变形为截距式方程，由此可知切线在y轴上的截距为b=y-y′x=-2x3+6x2-6.该式在x∈[0，2]上的值域即为所求. 可利用函数图象和极值点来求某一区间上的值域.其导函数为b′=-6x2+12x=-6x（x-2）.大致画出函数b的图象形状如图2所示，由b′=0可知极值点为x1=0，x2=2，可见在区间[0，2]上是增函数，所以b∈[-6，2].解法2 由于函数y=x3-6x2+11x-6的高次项系数大于零，可大致画出f（x）的图象形状如图3所示. 由y′=3x2-12x+11可知极值点为x1=2-233，x2=2+233.由于233>1，则03.因此三次函数的极大值点x1在区间[0，2]上，可知这段凸起的曲线上的切线倾斜角（切线与x轴正方向所成的角）逐渐减小，由0只要求出区间[0，2]的两个端点处切线的方程，即可求得截距.由导函数y′=3x2-12x+11求得区间[0，2]的两个端点处切线的斜率分别为k1=11，k2=-1.由y=x3-6x2+11x-6求得区间[0，2]的两个端点的坐标即切点坐标为（0，-6），（2，0）.因此写出点斜式切线方程分别为y+6=11x，y=-（x-2），可知截距分别为b1=-6，b2=2.所以b∈[-6，2].二、利用切线斜率和导数的几何意义求切线方程例3 求曲线y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.解设切点为m（x0，y0），则过切点的切线的斜率为k=f ′（x0）=3-3x20，又由斜率公式得k=y0+2x0-2，因切点在曲线上，则y0=3x0-3x30.联立得x30-3x20+4=0，解得x0=2，x0=-1，因此有两个切点A（2，-2）与B（-1，-2），则斜率分别为-9和0.所以切线方程分别为9x+y-16=0与y=-2.三、利用切线斜率和导数的几何意义求切点坐标例4 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 .解析曲线C的导数为y′=3x2-10，表示切线的斜率，已知斜率为2，则有3x2-10=2，解得x=2或x=-2.再由第二象限的条件知x=-2，因此f（-2）=15，所以点P的坐标为（-2，15）.四、利用切线方程和切点坐标求三次函数的解析式例5 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b 的值.解由于切点（1，-11）在曲线上，因此f（1）=-11，即1-3a+3b=-11.由切线方程可知斜率为k=-12，则f ′（1）=-12，而导函数为f ′（x）=3x2-6ax+3b，表示斜率，则3-6a+3b=-12.联立解得a=1，b=-3.五、利用函数图象和极值判断切线的条数例6 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：-a（3）问过点（1，0）可以向曲线y=f（x）作多少条切线？说明理由.解（1）由于导函数f ′（x）=3x2-1，则曲线在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3.于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同的实数根.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.令g（t）=2t3-3at2+a+b，可画出大致图象如图3所示.导函数为g′（t）=6t2-6at=6t（t-a），则极值点为t1=0，t2=a.可知极大值为a+b，极小值为g（t）=-a3+a+b=b-f（a）.若a+b0，即x轴在极大值点的上方或极小值点的下方，图象与x轴有一个交点；若a+b=0或b-f（a）=0，即x轴在极值点处相切，图象与x轴有两个交点；若a+b>0且b-f（a）所以如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，必有-a（3）如果有一条切线过点（1，a），则存在t，使a=（3t2-1）-2t3.令g（t）=2t3-3t2+a+1，可画出大致图象如图3所示.只要判断方程2t3-3t2+a+1=0有多少个不同的实数根，即可判断过点（1，a）能作多少条切线.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.导函数为g′（t）=6t2-6t，由此可知原函数的极值点为t1=0，t2=1.因此极大值为g（0）=1+a，极小值为g（1）=a.对a的取值可由-1和0分为三个区间进行讨论：若-10，极小值f（1）若a>0或a。
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高考中三次函数图象的切线问题
浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500
三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题.
一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f
1、0>a ,斜率a
b a
c k 332
-=时，有且只有一条切线； a
b a
c k 332
->时，有两条不同的切线； a
b a
c k 332
-<时，没有切线； 2、0<a ,斜率a
b a
c k 332
-=时，有且只有一条切线； a
b a
c k 332
-<时，有两条不同的切线； a
b a
c k 332
->时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/
1、 0>a 当a
b x 3-=时，.33)(2min /a b a
c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a
b a
c c bx ax 33232
2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：
).3(33)3(2a
b x a b a
c a b f y +-=-- 当a
b a
c k 332
->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a
b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
当a
b a
c k 332
-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。
2、0<a 时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1 P 为切点 c bx ax x f k ++==12
11/123)(
切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-
2 P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ） 12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=212
12122
又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1） ∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22
223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ a
b x x 22112--=代入（1）式
得 c a
b bx ax k +-+=421432
1212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12
123c a b bx ax +-+421432
121 ∴ a
b x 31-
=，也就是说， ∴ 当a
b x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当a b x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(112
11x x c bx ax y y -++=- ))(42143(12
1211x x c a b bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：
过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则a
b x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
证明 设过),(n n n y x P 与)(x f y =图象切于点),(111+++n n n y x P 的切线为1+n n P P ，
c bx bx ax x ax ax x x y y k n n n n n n n
n n n +++++=--=+++++1212111 又 c bx ax x f k n n n ++==+++1211/23)(
∴ c bx bx ax x ax ax n n n n n n ++++++++12121=c bx ax n n ++++12
123 即 0)2)((11=++-++a b x x x x n n n n ∴ a
b x x n n 2211--=+ 设)(211λλ+-=++n n x x 则a
b 3=λ ∴ 数列}3{a b x n +是公比为2
1-的等比数列， 11)21)(3(3--++-=n n a b x a b x 即 a
b x n n 3lim -
=∞→。
三、过三次函数图象外一点的切线
设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外 一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
（1） 若,30a
b x -
=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。
其中).)(()()(0/0x x x f x f y x g -+-=
证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(112
11x x c bx ax y y -++=-
把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=
,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=
,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆ 令,0)(/=x g 则.3,0a
b x x x -== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a
b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。
0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -
≠且)3()(0a
b g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。
0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共
点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。
所以,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。