高考数学热点问题：直线与三次函数交点距离问题
高中数学选择性必修一2 3 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典2.3直线的交点坐标与距离公式（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。
一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分）1．若||y a x =与 (0)y x a a =+>的图形有两个交点，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．01a <<C ．∅D ．01a <<或1a >【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知||y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，(0)y x a a =+>表示斜率为1，在y 轴上的截距为(0)a a >的直线，画出图形，分析判断即可求出a 的取值范围. 【详解】解：||y a x =表示关于y 轴对称的两条射线，(0)y x a a =+>表示斜率为1，在y 轴上的截距为(0)a a >的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若||y a x =与y x a =+的图形有两个交点，且0a >，则根据图形可知1a >． 故选：A ．【点睛】本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P αα到直线20mx y +-=的距离，当α，m 变化时，d 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离表示出d ，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得2211d m ≤++，即可求出d 的最大值. 【详解】由题意，点P 到直线20mx y +-=的距离为d ，则()2222221sin 2cos sin 2111111m m m d m m m m αϕαα++-+-+==≤=++++，其中，tan m ϕ=，所以当且仅当()sin 1αϕ+=-，0m =时，d 取得最大值， 即max 3d =. 故选：C 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.3．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12k P P 、、如何,总是无解B ．无论12k P P 、、如何,总有唯一解C ．存在12k P P 、、，使之恰有两解D ．存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-，由方程组11221(1)1(2)a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 ( )A ．25B ．33C ．6D ．10【答案】D 【解析】 【分析】设点P 关于y 轴的对称点P'，点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点"P ，由对称点可求P'和"P 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为'"P P . 【详解】点P 关于y 轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P 关于直线:40AB x y +-=的对称点()",P a b ，由()0112204022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩， 故光线所经过的路程()22'"242210P P =--+=，故选D .【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，(),P x y 关于直线l 的对称点()',P m n ，利用1l y n k x m -⨯=--，且 点,22x m y n ++⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴l 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．101- B ．221- C ．22 D ．10【答案】A 【解析】 【分析】先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短. 【详解】解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为2(,)22a b +，AA bk a 2'=- 故•(1)122322ba ab ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短， 即为点A '到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为22311101+-=-，故选A. 【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题. 6．已知,αβ∈R ，两条不同直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】联立方程求交点，根据交点在在直线y x =-上，得到三角关系式，化简得到答案. 【详解】1sin sin sin cos 1cos sin cos cos 1111()()0sin sin cos sin sin cos cos cos x y x y x y αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪++⎪⎨⎪+=⎪++⎩⇒-+-=++++交点在直线y x =-上sin sin cos s 111in sin cos cos co 1s αβαβαβαβ-=-++⇒++sin sin cos c 111os cos sin sin co 1s αβαβαβαβ+=+++⇒++sin cos sin cos sin cos sin cos (sin sin )(cos cos )(cos sin )(sin cos )ααββααββαβαβαβαβ++++++=++⇒++观察分母(sin sin )(cos cos )αβαβ++和(cos sin )(sin cos )αβαβ++不是恒相等故sin cos sin cos 0ααββ+++=故答案选C 【点睛】本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力.7．设两条直线的方程分别为0x y a ++=,0x y b ++=,已知,a b 是方程20x x c ++=的两个实根,且108c ≤≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( ) A ．3233, B ．3133, C ．2122, D ．2223, 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理求出1,a b ab c +=-=，然后求出2||()4a b a b ab -=+-的范围，即可求得两平行线间的距离范围. 【详解】由已知得两条直线的距离是||2a b d -=， 因为,a b 是方程20x x c ++=的两个根，所以1,a b ab c +=-=， 则2||()4=14a b a b ab c -=+--， 因为108c ≤≤，所以1||2222a b -，即1222d . 故选：C 【点睛】本题考查平行线间的距离公式，韦达定理和不等式，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，定义(){}1212max d A B x x y y =--，，为两点A ()11x y ，、B ()22x y ，的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ,称()d P Q ，的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作()d P l ，,给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有()()()d C A d C B d A B +≥，，，；②已知点P (2,1)和直线:220l x y --=,则()83d P l =，；③定点()()1200F cF c -，、，，动点P ()x y ，满足()()()122220d P F d P F a c a -=，，＞＞，则点P的轨迹与直线y k =(k 为常数)有且仅有2个公共点. 其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】 【分析】①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断； ②设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论即可得出(),d P l 即可判断；③讨论点P 在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 【详解】解：①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ,(,)d C B ,(,)d A B 分别为AN ,CM ,AK 或CN ,BM ,BK ， 则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +=；若B ,C 或A ,C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +>； 若它们不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； 故①正确；②设点Q 直线:220l x y --=一点，且,12x Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得(),max 2,22x d P Q x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 由222x x -≤-，解得803x ≤≤，即有(),22x d P Q =-， 当83x =时，取得最小值23； 由222x x ->-，解得0x <或83x >，即有(),2d P Q x =-， (,)d P Q 的范围是()222,,,33⎛⎫⎛⎫+∞+∞=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无最值， 综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23， 故②错误；③定点1(,0)F c -、2(,0)F c ，动点(,)P x y 满足()()()122220d P F d PF a c a -=，，＞＞， 可得P 不y 轴上，P 在线段12F F 间成立， 可得()2x c c x a +--=，解得x a =，由对称性可得x a =-也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足()()122d P F d P F a -=，，即为2x c y a +-=，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点P 的轨迹与直线y k =(k 为常数）有且仅有2个公共点， 故③正确；∴真命题的个数是2，故选：C ． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=.若这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的值可以是（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意分类讨论，再分别求出实数k 的值即可解题. 【详解】解：因为平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=将平面分为六部分，（1）直线210x y -+=和直线10x -=的交点是(1,1)，直线0x ky +=过另两条直线的交点，所以1k =-；（2）直线0x ky +=与直线10x -=平行或与直线210x y -+=平行，此时0k =或2-. 所以实数k 的取值集合是{0,1,2}--. 故选：ACD 【点睛】本题考查直线与直线的位置关系求参数，是基础题.10．某同学在研究函数()1f x x =-的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为()f x =）A ．函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，()1,+∞上单调递增B ．函数()f x ，没有最大值C ．存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称D ．方程()2f x =的实根个数为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】设点(1,0)A ，(0,1)B ，函数()f x 表示x 轴上的点(,0)P x 到A 、B 两点的距离之和，让点P 在x 轴上移动，可观察出()f x 的变化情况，从而判断出各选项的正确性. 【详解】设点(1,0)A ，(0,1)B ，函数()()()()()2222001100f x x x =-+-+-+-表示x 轴上的点(,0)P x 到A 、B两点的距离之和，由图可知，当点P 由x 的负半轴方向向原点O 移动时，PA PB +的和逐渐变小，即函数()f x 区间(),0-∞上单调递减，当点P 由点A 向x 的正半轴方向移动时，PA PB +的和逐渐变大，即函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，故A 正确；当点P 移动到点A 时，PA PB +2，没有最大值，即函数()f x 的最小值2，没有最大值，故B 正确；()()211f t x t x t x +=+++-，而()()211f t x t x t x -=-+--，显然()()f t x f t x +≠-，故不存在存在实数t ，使得函数()f x 的图象关于直线x t =对称，故C 错误； 方程()2f x =2112x x +-=，解之得：1x =-或0x =，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查函数的性质，解题关键是将函数转化为x 轴上的点(,0)P x 到A 、B 两点的距离之和，这样通过点的移动可以直观地得到函数的性质，考查逻辑思维能力和计算能力，考数形结合思想和转化思想，属于中档题.11．如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点，分别以HF ，EG 为x ，y 轴建立直角坐标系，设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ，2L ，ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ，2M ，ET 与GT '交于点N ，则下列关于点1L ，2L ，1M ，2M ，N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=，2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( )A ．三点1L ，1M ，N 在1Γ，点2M 在2Γ上B ．1L ，1M 不在1Γ上，2L ，N 在1Γ上C ．点2M 在2Γ上，点1L ，2L ，1M 均不在2Γ上D ．1L ，1M 在1Γ上，2L ，2M 均不在2Γ上 【答案】AC 【解析】 【分析】求出1L 的坐标，证明1L 在1Γ上；求出2M 的坐标，证明点2M 在2Γ上.即得解. 【详解】由题得E （0，-3），R （1,0），所以直线ER 的方程为1,333yx y x +=∴=--. 由题得G （0,3），9(4,)4R '，所以9334416GR k '-==-， 所以直线GR '的方程为3316y x =-+， 联立13396135,(,)16515133y x L y x ⎧=-+⎪∴⎨⎪=-⎩,1L 的坐标满足椭圆1Γ:221169x y +=，所以1L 在1Γ上.由题得ES 的方程为1,32623x y x y +=∴-+=--. 由题得3(0,3),(4,)4G T ',所以3394,416GT k '-==- 所以直线GT '的方程为9316y x =-+， 联立直线ES 和GT '方程得23215(,)1111M ,23215(,)1111M 满足2Γ:2231329x y +=，所以点2M 在2Γ上.所以选项BD 错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确. 故选：AC 【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．在直线x －y ＋4＝0上取一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________. 【答案】35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】根据点在直线上，可设P 的坐标为(),4x x +，利用两点间的距离公式列方程，求出x 、y 的值即可． 【详解】设直线40x y -+=上一点(),4P x x +，则P 到点()24M --，，()46N ，的距离相等， ∴()()()()2222244446x x x x ++++=-++-解得32x =-，∴35422y =-+=， ∴点P 的坐标为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线方程以及两点间的距离应用问题，设出点P 坐标得到方程组是解题的关键，是基础题．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:0++=l x y a 与点(2,0)A ，若直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是________【答案】24224233⎡-+⎢⎣⎦【解析】 【分析】先设(,)--M x x a ，根据(2,0)A ，2=MA MO ，得到226(64)340x a x a +++-=，再由题意，得到()22(64)24340∆=+--≥a a ，求解，即可得出结果. 【详解】由题意设(,)--M x x a ， 因为点(2,0)A ，2=MA MO ，所以2222(2)()2()-+--=+--x x a x x a ， 整理得：226(64)340x a x a +++-=①因为直线l 上存在点M 满足2=MA MO ，所以方程①有解，因此()22(64)24340∆=+--≥a a ，242242-+≤≤a 故答案为242242,33⎡-+⎢⎣⎦【点睛】本题主要考查两点间距离公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.14．已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则11221122x y x y +-+-______．23【解析】 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，AB=11112x y +-2212x y +-的几何意义为点A ，B两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上， 且OA •OB =1×1×cos ∠AOB=12， 即有∠AOB=60°， 即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，1112x y +-+2212x y +-的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y=1平行， 可设AB ：x +y+t=0，（t ＞0）， 由圆心O 到直线AB 的距离d=2t ，可得2212t -=1，解得t=62， 即有两平行线的距离为6122+=232+， 即1112x y +-+2212x y +-的最大值为2+3，故答案为2+3． 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（1）已知点P 是平面上一动点，点()1,1A ，()2,2B -是平面上两个定点，求22PA PB +的最小值，并求此时P 的坐标； （2）求函数()224131237f x x x x x =-+-+【答案】（1）最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2 【解析】【分析】(1)设()(),,P x y x R y R ∈∈，利用两点距离公式，构建关于x 、y 的22PA PB +函数，由函数式的几何意义即可得最小值及对应坐标；(2)将函数()f x 转化为动点到两定点的距离问题，结合坐标系即可求得最小值 【详解】（1）设()(),,P x y x R y R ∈∈，则PA =PB=()()()()222222221122262210PA PB x y x y x x y y ∴+=-+-+-++=-+++223122522x y ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即P 到31(,)22-距离最小时，22PA PB +最小∴当32x =，12y时，22PA PB +的值最小． 故22PA PB +的最小值为5，此时31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()f x ==设()2,3A ，()6,1B ，(),0P x ，如图，则上述问题转化为求PA PB +的最小值． 点A 关于x 轴的对称点为()2,3A '-，即可转化为P 在x 轴移动过程|'|||PA PB +最短问题PA PB PA PB A B ''+=+≥=PA PB ∴+≥ f x的最小值为【点睛】本题考查了两点距离公式，根据函数解析式的几何意义，结合坐标系求最值，需注意代数式的几何含义以及两点间线段最短等知识的应用16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P ,B ,C 坐标分别为()0,1，()2,0，()0,2，E 为线段BC上一点，直线EP 与x 轴负半轴交于点A ，直线BP 与AC 交于点D ．（1）当E 点坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭时，求直线OD 的方程； （2）求BOE ∆与ABE ∆面积之和S 的最小值. 【答案】（1）3y x =-；（232. 【解析】 【分析】（1）求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，再求出PB 的直线方程和AC 的直线方程后可得D 的坐标，从而得到直线OD 的直线方程.（2）直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -，求出PE 的直线方程后可得A 的坐标，从而可用a 表示S ，换元后利用基本不等式可求S 的最小值.（1）当13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线PE 的方程为1y x =+， 所以()1,0A -，直线AC 的方程为22y x =+①，又直线BP 的方程为112y x =-+②， ①②联立方程组得26,55D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线OD 的方程为3y x =-. (2)直线BC 的方程为20x y +-=，设(),2E a a -， 直线PE 的方程为11a y x a -=+，所以,01a A a ⎛⎫⎪-⎝⎭. 因为A 在x 轴负半轴上，所以01a <<，()122221ABE OEB a S S S a a a ∆∆⎛⎫=+=-⨯-+- ⎪-⎝⎭=()()432121a a a--- ，01a <<.令1t a =-，则01t <<，113422S t t ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭（当且仅当t =），而当3t =时，()10,13a =-∈，故S 2. 【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于x 的轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于y 轴的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.直线方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如斜率、倾斜角、动点的横坐标或纵坐标等）构建目标函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求目标函数的最值. 17．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程是1x ya b+=（a ，0b >）． （1）当1a =，2b =时，求曲线C 围成的区域的面积；（2）若直线l ：1x y +=与曲线C 交于x 轴上方的两点M ，N ，且OM ON ⊥，求点211,b a ⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 距离的最小值．【答案】(1)4；(2) 8． 【解析】（1）当1a =，2b =时，曲线C 的方程是12yx +=，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4；（2）对,x y 进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点,M N 的坐标，由OM ON ⊥得到,a b 的关系221122a b b=-+，再利用点到直线的距离公式求出2113d ⎛⎫-+ ⎪=，从而求得min d=8.【详解】（1）当1a =，2b =时，曲线C 的方程是12yx +=， 当0x =时，2y =±，当0y =时，1x =±，当0,0x y >>时，方程等价于112x y+=， 当0,0x y <>时，方程等价于112x y+=-， 当0,0x y <<时，方程等价于112x y +=--， 当0,0x y ><时，方程等价于112x y+=-， 曲线C 围成的区域为菱形，其面积为12442⨯⨯=；（2）当0x >，0y >时，有1x ya b+=， 联立直线1x y +=可得,a ab ab b M a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0x <，0y >时，有1x ya b+=-， 联立直线1x y +=可得,a ab b ab N a b a b -+⎛⎫⎪++⎝⎭，由OM ON ⊥可得1OM ON k k =-，即有1ab b b aba ab a ab -+⋅=---， 化为221122a b b=-+，点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离2211111122b a b b d +--+== 2113242b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=， 由题意可得0a ab -<，0a b -<，0ab b -<，即a ab b <<， 可得01a <<，1b >， 可得当112b =，即2b =时，点211,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线l 距离取得最小值328．【点睛】解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的. 18．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程； （2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.【答案】（1）42 （2）57[,]42（3）21,672625,7b b S b b b +⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩【解析】 【分析】（1）求出()1,2C 关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程． 【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-[]353,57y x x y x =-⎧⇒=∈⎨=-+⎩，则此时()5,2N所以光所走过的路程即C N '=（2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B 则75,24C A C B k k ''==， 所以反射光斜率的取值范围是57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）若反射光与直线y x b =-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b b x y x =-+⎧+⇒=⎨=-⎩ ①当[]33,52b x +=∈，即67b ≤≤时，光所走过的最短路程为点C '到直线y x b =-+的距离，所以路程S ==； ②当()35,2b x +=∈+∞，即7b >时，光所走过的最短路程为线段C B '，其中()5,5B b - 所以C B S ==='综上：77b S b ⎧≤≤⎪=>【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．。
2-3 直线的交点坐标与距离公式(精讲)(解析版)
2.3 直线的交点坐标与距离公式（精讲）考点一 交点【例1】（1）（2021·哈尔滨）直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)（2）．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高二期末（理））斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（ ） A ． 21y x =+B ．21y x =-C ．22y x =-D ． 22y x =+（3）．（2021·黑龙江哈九中高二期末（文））直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ） A ．()6,2--B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,62⎛⎫--⎪⎝⎭（4）．（2021·全国高二课时练习）（多选）当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y －k ＋1＝0与直线l 2：ky －x －2k ＝0的交点可能是（ ） A ．(2，3) B ．(1，2) C ．11(,)22-D ．12(,)33-【答案（1）A （2）A （3）C （4）CD 【解析】由230,230,x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩所以直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为(－1，1)故选：A （2）联立42y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以两直线的交点坐标为()1,3，所求直线方程为()321y x -=-.整理为21y x =+.故选：A (3)直线210kx y k -++=与240x y +-=的交点在第四象限，210k ∴+≠，联立方程：{210240kx y k x y -++=+-= ，解得24216121k x k k y k -=++=+⎧⎨⎩，即2402161021kx k k y k -=>++=<+⎧⎨⎩，解得：1126k -<<-.故选：C.（4）联立1020kx y k ky x k --+=⎧⎨--=⎩，得1211k x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，102k <<，01kk ∴<-，2101k k ->-，即交点在第二象限， 验证C 选项，11221112kk k k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，得13k =，成立，验证D 选项，11321213kk k k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，得14k =，成立，故选：CD【一隅三反】1．（2021·河北唐山市·高二期末）过点(,4)A a 和点(,2)B b 的直线与直线0x y m ++=垂直，则||AB =（ ）A ．B ．4C ．D ．2【答案】C【解析】因为过点(,4)A a 和点(,2)B b 的直线与直线0x y m ++=垂直， 所以421AB k a b-==-，即2a b -=，所以||AB ===故选：C 2．（2021·全国高二课时练习）(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ）A ．－163B ．－1C ．1D ．163【答案】AC【解析】由2123x y x ky -=⎧⎨+=⎩，得6414k x ky k +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以三条直线的交点为61,44k k k +⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 所以6134544k k k k+⋅+⋅=++，化简得2313160k k +-=， 解得1k =或163k =-，故选：AC3．（2021·全国高二专题练习）若直线l 1：y ＝kx ＋1与l 2：x －y －1＝0的交点在第一象限内，则k 的取值范围是（ ） A ．(1，＋∞)B ．(－1，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)【答案】B【解析】联立直线方程110y kx x y =+⎧⎨--=⎩，解得2111x kk y k ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，∵直线的交点在第一象限，201101kk k ⎧>⎪⎪-∴⎨+⎪>⎪-⎩，∴解不等式组可得11k -<<.故选：B考点二 三种距离【例2-1】（1）（2021·安徽池州市·高二期末（理））若直线1:30l x y -=与24:0l x y +-=交于点A ，且()2,0B ，则AB =___________．（2）（2021·浙江高二期末）点(2,0)到直线20x y ++=的距离为（3）．（2021·全国高二课时练习）两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为【答案】（1（2）3）1【解析】（1）联立30,40,x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=⎩，故()1,3A ，则AB ==．故答案（2）根据距离公式可得：点(2,0)到直线20x y ++=的距离d ===（3）两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为：1d ==【例2-2】（1）（2021·浙江）已知直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点P ，则点P 到直线:3440l x y +-=的距离是（ ）A ．6B ．3C ．4D ．7（2）．（2021·江西）若直线x ＋3y －9＝0与直线x ＋3y －c ＝0，则c 的值为（ ） A ．－1 B ．19 C ．－1或19 D ．1或－19【答案】（1）B （2）C【解析】（1）由直线方程(2)(12)430m x m y m ++-+-=变形为：(23)(24)0m x y x y --+++=，由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线(2)(12)430m x m y m ++-+-=恒经过定点(1,2)P --， 故点P 到直线:3440l x y +-=的距离是3d ==，故选：B.（2）由两平行线间的距离公式，d，所以| c －9|＝10，得c ＝－1或c ＝19．选：C.【一隅三反】1．（2021·江苏）点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为（ ）A ．25BCD ．0【答案】B【解析】点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝05=，故选：B 32．（2021·全国高二专题练习）点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 是坐标原点，则|OP |的最小值为（ ） AB ．CD ．2【答案】B【解析】点O 到40x y +-=的距离为：d ==，所以OP的最小值为 B. 3．（2021·广西）(多选)若点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为1，则a 的值为（ ） A ．0 B ．103 C ．5 D ．－103【答案】AB【解析】点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为34115a --=故3515a -=，解得0a =或103a =故选：AB4．（2021·全国高二课时练习）在直线2350x y -+=上求点P ，使点P 到()2,3A，则P 点坐标是（ ） A ．()5,5 B ．()1,1-C ．()5,5或()1,1-D ．()5,5或()1,1-【答案】C【解析】设(),P x y ，所以PA ==即22460x y x y +--=，又因为点P 在直线2350x y -+=上，所以2350x y -+=，两式联立解得55x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=⎩，所以P 点坐标是()5,5或()1,1-.故选：C5．（2021·湖南）过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行，则||AB 的值为_______．【解析】直线50x y -+=的斜率为1，过点(4,)A a 和()5B b ,的直线与直线50x y -+=平行所以145AB a bk -==-，即1a b -=-所以||AB ===6．（2021·全国高二课时练习）已知,x y 满足30x y ++=，求()()2212x y ++-的最小值__. 【答案】8.【解析】由于()()2212x y ++-表示点(1,2)-与直线上的点的距离的平方， 转化()()2212x y ++-的最小值为点(1,2)-到直线30x y ++=距离的平方，由点到直线的距离公式，可得d ==所以22(1)(2)x y -+-的最小值为8. 故答案为：8.7．（2021·全国高二课时练习）两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________.【解析】直线330x y +-=与直线610x my +-=平行，所以3126m m =⇒=，直线6260x y +-=与直线6210x y +-==． 8．（2021·全国高二专题练习）已知(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，则实数a 为________. 【答案】1或13- 【解析】两点(3,2)A --，(1,4)B -到直线:10l x ay ++=的距离相等，=化为|22||4|a a +=．224a a ∴+=±，解得1a =或13-．故答案为：1或13-．考点三 对称问题【例3-1】（点关于点对称）（1）（2021·全国高二单元测试）若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为________.（2）（2021·全国高二课时练习）一条光线从点()1,1A -出发射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后经过点()2,5B ，则点P 的坐标为______.【答案】（1）10x y -+=（2）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）求得111AB a ak a a+-==---，∵点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，∴直线l 的斜率1，直线l 过AB 的中点2121,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线l 的方程为212122a a y x +-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.（2）根据题意：()1,1A -关于x 轴的对称点为()1,1-- 而反射光线直线又过()2,5B ∴其直线为：()512521y x +=-++即：21y x =+， 当0y =时，12x =-，即点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【例3-2】（点关于线对称）（1）（2021·全国高二课时练习）点(1,1)-关于直线10x y --=的对称点是______. (2）．（2021·浙江高二期末）已知直线():10l mx y m m R ++-=∈过定点P ，则点P 的坐标是___________，点P 关于直线20x y +-=的对称点Q 的坐标是__________. 【答案】（1）()2,2-（2）()1,1- ()1,3【解析】(1)设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ） 则MN 中点的坐标为（12x -，12y +），利用对称的性质得：K MN =11y x -+=﹣1，且 12x -﹣12y +﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2，∴点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）． （2）由():10l mx y m m R ++-=∈，则()()110m x y m R ++-=∈， 令10x +=，则1x =-，1y =，所以点P ()1,1-，设Q 的坐标是()00,x y ，则0000111112022y x x y -⎧=⎪+⎪⎨-+⎪+-=⎪⎩，解得01x =，03y =，所以点Q 的坐标是()1,3.故答案为：()1,1-；()1,3【例3-3】（线关于点对称）（1）（2020·四川省泸县第二中学高二月考（文））直线l 与1l 关于点(11)，－成中心对称，若l 的方程是2360x y +-＝，则1l 的方程是__________（2）．（2020·全国高二课时练习）已知直线1:220l x y ++=与2:40l x by c ++=关于点(1,0)P 对称，则b c +=______.【答案】（1）2380x y +=＋（2）-10 【解析】（1）在直线1l 上任取一点(,)A x y ，则A 关于点(1,1)-对称点(2,2)B x y ---一定在直线:2360l x y +-=上， 故有2(2)3(2)60x y -+---=，即2380x y ++=．故直线l 的方程为2380x y ++=．故答案为：2380x y ++=．（2）在直线1:220l x y ++=上取点(1,0)M -，(0,2)N -，M ，N 关于点(1,0)P 对称的点分别为11(3,0),(2,2)M N .点11(3,0),(2,2)M N 在直线2:40l x by c ++=上，120,820c b c ∴+=++=，解得12,2c b =-=，10∴+=-b c .故答案为：10-【例3-4】（2021·全国高二专题练习）直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（ ） A ．4210x y --= B ．4210x y -+= C ．4210x y ++= D ．4210x y +-=【答案】A【解析】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=. 故选：A. 【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________． 【答案】(－4，－1)【解析】设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005(1)1225122y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，所以所求对称点的坐标为(4,1)--．2．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为____________. 【答案】210x y --=【解析】设直线230x y -+=关于点(1,1)对称的直线方程为l '， 在l '上任取一点(),P x y ，则点P 关于点(1,1)对称的点P '的坐标为()2,2x y --， 由题意可知点P '在直线230x y -+=上，故()()22230x y ---+=，整理可得210x y --=. 故答案为：210x y --=3．（2021·全国高二单元测试）已知点()3,8A -和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为（ ） A ．()1,0-B ．220,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．22,05⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】D【解析】找出点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交于M 点，连接BM ，此时||||AM BM +为最短，由B 与B ′关于x 轴对称，(2,2)B ，所以(2,2)B '-，又(3,8)A -，则直线AB '的方程为822(2)32y x ++=--- 化简得：22y x =-+，令0y =，解得1x =，所以(1,0)M故选：D ．4．（2021·全国高二专题练习）已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为（ ）A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)【答案】A【解析】直线10kx y k -++=即(1)1y k x =++，故(1,1)A -，设点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(,)P x y ．则113022111x y y x -++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩． ∴点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(2,4)．故选：A ．5．（2021·浙江）直线21y x =+关于原点对称的直线方程是（ ）A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2y x =【答案】A【解析】点(0,1),(1,3)在直线21y x =+上，则(0,1),(1,3)---在所求直线上 所求直线的斜率3(1)210k ---==--，则所求直线方程为2(0)121y x x =--=-故选：A 6．（2021·广东湛江）已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；（2）直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；（3）直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．【答案】（1）A ′334(,)1313-；（2）9x －46y ＋102＝0；（3）2x －3y －9＝0. 【解析】（1）设A ′(x ，y )， 则221,13122310,22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得33,134,13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即A ′334(,)1313-. （2）在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则202310,22021,23a b b a ++⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得6,1330,13ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M′630(,)1313.设m与l的交点为N，则由2310,3260,x yx y-+=⎧⎨--=⎩得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考点四交点和距离在几何中的运用【例4-1】（2021·全国高二专题练习）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5．【解析】（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．法一：∵AB==AC==5BC==∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．法二：∵3(1)0(1)12,11312AB AC k k ----==-==---． ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ．∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．（2）由（1）中法一得|AB |＝|AC |又∵∠A ＝90°，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |＝12×5． 【例4-2】．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高二期末）已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0).（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >；（2）33y x =- 【解析】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，不能构成AOB ，此时322BP k a ==-，解得：12a =，所以12a ≠，又因为点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 再第一象限内交于点A ，所以12a >. （2）当直线l 的斜率不存在时，即()2,0B ,()2,4A ，此时12442S =⨯⨯=, 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x =-+ ，由于直线的斜率存在，所以12a >，且2a ≠， 又32BP k a=-，2k ∴>或0k <， 由()232y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得3264,22k k x y k k --==--，即3264,22k k A k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=--， 即()()2412290S k S k ---+=， 当40S -≠时，()()21223640S S ∆=---≥，整理得()30S S -≥，得3S ≥，即S 的最小值为3，此时2690k k -+=，解得：3k =，则直线l 的方程为()32333y x x =-+=-即33y x =-【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=，a R ∈，以下结论正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO【答案】ABD【解析】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，12l l ∴⊥恒成立，A 正确；对于B ，对于直线1l ，当0x =时，1y =恒成立，则1l 过定点()0,1；对于直线2l ，当0y =时，1x =-恒成立，则2l 恒过定点()0,1-，B 正确；对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2l 方程知：()1,ax x ---不在2l 上，C 错误；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得：221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MO ∴==≤，即MOD 正确. 故选：ABD.2．（2021·全国高二课时练习）已知AO 是ABC 边BC 的中线，用坐标法证明()22222AB AC AO OC+=+．【答案】证明见解析 【解析】取BC 边所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图设(0)(0)()B a C a A m n -，，，，，，(其中0a >)，则222222222()()2()AB AC m a n m a n m n a +=+++-+=++，22222AO OC m n a +=++ 所以22AB AC +=222()AO OC +，即证.3．（2021·浙江高二期末）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点M ．（Ⅰ）若l 经过点(5,0)A ，求l 的方程；（Ⅱ）若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）350x y +-=；（Ⅱ）240x y +-=【解析】（Ⅰ）25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以点()2,1M ，若l 经过点(5,0)A ，则直线l 的斜率101253l k -==--， 所以直线l 的方程为()1053y x -=--， 整理可得350x y +-=.（Ⅱ）直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，不妨设直线l 的方程为1x y a b +=，即211a b+=，即211a b =+≥8ab ≥， 当且仅当4,2a b ==时取等号.所以142ABO S ab =≥， 此时直线l 方程为142x y +=，即240x y +-=. 故存在使ABO 面积最小的直线l ，直线l 方程为240x y +-=.。
高考数学专题《函数与导数》解读
从新高考的考查情况来看，函数与导数一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查。
一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。
通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面①二次项系数讨论；②根的有无讨论；③根的大小讨论；④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．2、研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点:①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 3、求与函数零点有关的参数范围的方法： 方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类讨论法. 4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点()0f x =()y f x =x ()y f x =重难点06 函数与导数和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x) ⇒m≥f(x) min(2) 存在m≤f(x) ⇒m≤f(x) max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.6、函数性质综合问题函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：（1）函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用单调性比较大小、解不等式、研究函数的最值、函数单调性的讨论（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要注意极值点偏移、双变量等热点问题。
直线的交点坐标及距离公式习题(含答案)
直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题1．已知 满足时, 的最大值为 ,则直线 过定点（）A ．B ．C ．D ．2．椭圆上的点到直线 的最大距离为( )．A ．B ．C ．D ．3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 ，则顶点 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 4．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3 C ．1或 D ．-3或5．已知直线 和 互相平行，则实数m 的取值为（ ） A ．—1或3 B ．—1 C ．—3 D ．1或—36．在空间直角坐标系 中，若点 ， ，点 是点 关于 平面的对称点，则 A ． B ． C ． D ．7．已知直线 与直线 互相平行，则 （） A ．6 B ．7 C ．8 D ．98．已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足，则 的离心率 满足（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知点 在直线 上运动，则 的最小值为（） A ．B ．C ．D ．5二、填空题10．已知直线 的倾斜角为，直线 ： ，若 ，则实数 的值为__________． 11．经过点()2,1M 且与直线380x y -+=垂直的直线方程为__________．12．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____. 13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．已知直线和直线互相垂直，则实数的值为__________；15．直线与直线的距离是________．16．已知直线，直线，则过定点_____________；当________时，与平行．17．已知实数满足，则的最大值为____________18．点关于直线的对称点是______.三、解答题19．如图：已知是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为（1）若点坐标为，求直线的方程；（2）求证：直线过定点.20．已知椭圆，、 是其左右焦点，、 为其左右顶点，、 为其上下顶点，若，(1)求椭圆的方程；(2)过、 分别作轴的垂线、 ，椭圆的一条切线，与、 交于、 二点，求证：．21．已知的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．22．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.(1)求点关于直线对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．已知直线1:220l x y ++=；2:40l mx y n ++=． （1）若12l l ⊥，求m 的值．（2）若12//l l ，且他们的距离为，求,m n 的值． 24．选修 :坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 中,曲线 :( 为参数).以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 的极坐标方程为( ). (Ⅰ) 求曲线 的极坐标方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ) 若直线 与 , 在第一象限分别交于 , 两点, 为 上的动点,求 面积的最大值. 25．如图，在平面直角坐标系 中，圆 ： 与 轴的正半轴交于点 ，以点 为圆心的圆 ： 与圆 交于 ， 两点. （1）当 时，求 的长； （2）当 变化时，求 的最小值；（3）过点 的直线 与圆A 切于点 ，与圆 分别交于点 ， ，若点 是 的中点，试求直线 的方程.26．已知直线l 经过点()P 2,5-，且斜率为 （1）求直线l 的方程．（2）求与直线l 平行，且过点()2,3的直线方程． （3）求与直线l 垂直，且过点()2,3的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A (2,4)，B (0，－2)，C (－2,3)，求： (1)直线AB 的方程；(2)AB 边上的高所在直线的方程； (3)AB 的中位线所在的直线方程．参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到，的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．2．D【解析】椭圆方程为可设椭圆上的任意一点坐标为到直线的距离，的最大值为，故选D.3．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①AB的中点为（1，2），AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴﹣ （ ﹣ ）解得 m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知，，则，．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算。
【高中数学必修二】3.3直线的交点坐标与距离公式(1)
第一课时
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
讨论下列二元一次方程组解的情况:
x y 1 0 1 x y 1 0
x y 1 0 2 x y 1 0
x y 1 0
7 x 2 y 5 2
即：
, 故直线恒过 7 5 2 2
例3.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2： 令m=1，m= -3代入方程，得：
4 y 10 0 4x 14 0
一组解 x0 y 1 无数组 无解
相交
(0,1)
重合 平行
x y 1 0 3 x y 1 0
几何元素及关系
代数表示
点A
直线 l
A(a, b)
l : Ax By C 0
点 A在直线 l上
Aa Bb C 0
A a B b C 0 A x B y C 0 1 1 1 1 1 1 直线 l1与直线 l2的交点 A A a B B b C2 0 0 2x A 2 22y C2
x 2 y 4 ( x y 2) 0
(1 ) x ( 2) y (4 2 ) 0
31 4 2 0 11
所以直线的方程为： 4x 3 y 6 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线l的方程。 (3)和直线2x-y+6=0平行
高三数学总复习直线的交点坐标与距离公式PPT课件
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0， 即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0. ∵l与l3垂直， ∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－13. ∴直线l的方程为23x＋43y＝0，即x＋2y＝0.
(2)l1与l2的直线方程联立得kkxy－－yx＝＝k2－k，1， 解方程得xy＝＝k2k－k－k－11，1. 又∵0<k<0.5，所以x＝k－k 1<0，y＝2kk－－11>0，故l1与l2的交 点在第二象限． [答案] (1)x＋2y＝0 (2)二
(2)设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋my＝0 和过定点 B 的
动直线 mx－y－m＋3＝0 交于点 P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值
范围是( )
A．[ 5，2 5 ]
B．[ 10，2 5 ]
C．[ 10，4 5 ]
D．[2 5，4 5 ]
(3)l1，l2 是分别经过 A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线， 当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是____________．
(2)(2014·温州模拟)当0<k<0.5时，直线l1：kx－y＝k －1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限．
[自主解答] (1)法一：由方程组xx－＋yy＋＋31＝＝00，，
解得yx＝＝1－，2， 即点P(－2,1)， 设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)， ∵l3⊥l，∴k＝－12， ∴直线l的方程为y－1＝－12(x＋2)，即x＋2y＝0.
设对称点M′(a，b)，则
2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－－02×23＝－1，
解得ab＝＝1316303，，
第10讲 直线的交点坐标与距离公式(九大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
得 1或 6 .
3
7
所以直线方程为 x y 1 0 或 3x 4 y 0 .
故选：C.
例 7．(2023·高二课时练习)过两直线 l1 : x 3y 4 0 和 l2 : 2x y 5 0 的交点和原点的直线方程为
A．19x 9 y 0
B． 9x 19 y 0
C．19x 3y 0
联立方程
kx ky
y x
k 2k
1 ，解得
x
y
k k 1 2k 1 k 1
，即交点坐标
k
k
1
,
2k 1 k 1
，
由题意可得：
k 0 k 1
2k 1 k 1
0
，解得
0
k
1 2
；
综上所述：k
的取值范围为
0,
1 2
.
故选：C.
例 12．(2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习)直线 3x (k 2) y k 5 0 与直线
(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．
知识点五：两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一
条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线 Ax By C1 0 与直线 Ax By C2 0 的距离为 d C2 C1 ．
中 x ， y 的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例题】
题型一：判断两直线的位置关系
例 1．(2023·高二课时练习)曲线 y x 与 y kx 1的交点的情况是( )
A．最多有两个交点
B．两个交点
【高考数学】高考解析几何解答题题型分析及解答策略(学生).doc
高考解析几何解答题题型分析及解答策略。
©归纳・・1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化，直线或曲线都经过某一个定点.(2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点，就是要求的定点.2.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.4.圆锥曲线中的范围问题(1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系.(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.5.圆锥曲线中的存在性问题(1)所谓存在性问题，就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题.(2)这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值；若不存在，则要求说明理由.6.圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).7.圆锥曲线与三角、向量的交汇问题8.圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题9.圆锥曲线与函数、导数的交汇问题.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交.于(不同于点A的)M, N两点，试判断直线与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.［例2］.已知椭圆C：务+相=1(泓＞0)的离心率e=斗,左、右焦点分别为Fi，F2,点F(2, 茶)，点％在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆。