极坐标与直角坐标的互化ppt课件
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湘教版高中数学选修4-4课件--1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
解:
因为点在第三象限， 所以 因此， 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标， 求它们 的极坐标.
例3 已知两点(2，π )，(3，π )
求两点间的距离.3 B 2
解：∠AOB = π
用余弦定理求6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1
),
其中
2、点 M(ρ，θ) 关于极点的对称点的一个坐标为(-ρ， θ) 或(ρ，π+θ) ；
3、点 M(ρ，θ) 关于极轴的对称点的一个坐标为(ρ， -θ) 或(-ρ，π-θ) ；
4、点 M(ρ，θ) 关于直线
的对称点的一个
坐标为(-ρ，-θ) 或(ρ，π-θ) ；
极坐标系与直角坐标的互化
问题：若点M的直角坐标为
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
点的极坐标和直角坐标的互化公开课获奖课件
解: ( 3)2 （ 1）2 2
tan 1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 7
6
所以, 点M极坐标为 (2, 7 )
6
第12页
练习: 已知点直角坐标, 求它们 极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
第13页
2
1长、度已。知A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB
1
第7页
极坐标与直角坐标互化关系式:
设点M直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
互化公式三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系原点重叠; 2. 极轴与直角坐标系x轴正半轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相似.
y
M
ρ
θ
y
Ox
x
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
第8页
知识回忆
正弦、余弦、正切三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ
0 64
01
2
22
132
22
0
3 3
1
2 3 5
32 3 4 6
31
2
32
2
2
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
第9页
例题分析
例1. 将点M (5, 2 )极坐标化成直角坐标.
3
解:
x 5cos 2 5
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
tan 1 3
3 3
因为点在第三象限, 所以 7
6
所以, 点M极坐标为 (2, 7 )
6
第12页
练习: 已知点直角坐标, 求它们 极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
第13页
2
1长、度已。知A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB
1
第7页
极坐标与直角坐标互化关系式:
设点M直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
互化公式三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系原点重叠; 2. 极轴与直角坐标系x轴正半轴重叠; 3. 两种坐标系单位长度相似.
y
M
ρ
θ
y
Ox
x
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
第8页
知识回忆
正弦、余弦、正切三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ
0 64
01
2
22
132
22
0
3 3
1
2 3 5
32 3 4 6
31
2
32
2
2
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
第9页
例题分析
例1. 将点M (5, 2 )极坐标化成直角坐标.
3
解:
x 5cos 2 5
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的 极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知， ∠AOB=
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2
2 6
2
3
所以|AB|= 2 2 =1,
2
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
6 6 3
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|=2.
5.（2010·营口模拟）极坐标系中，极坐标为（3，-6）的点
在( ) （B）第二象限 （D）第四象限
2
（A）第一象限 （C）第三象限
【解析】选A.∵ 3 ＜6＜2π，
∴6为第四象限角，故-6为第一象限角.
所以极坐标为（3，-6）的点在第一象限.
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
6.在极坐标系中，点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) ，则线段AB中点的 极坐标为( )
2 6 2 3
【解析】选A.方法一：由点 A( 2 , ),B( 2 , 2 ) 知， ∠AOB=
，于是△AOB为等腰直角三角形， 2
2 6
2
3
所以|AB|= 2 2 =1,
2
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
6 6 3
于是△AOB为等边三角形，所以|AB|=2.
5.（2010·营口模拟）极坐标系中，极坐标为（3，-6）的点
在( ) （B）第二象限 （D）第四象限
2
（A）第一象限 （C）第三象限
【解析】选A.∵ 3 ＜6＜2π，
∴6为第四象限角，故-6为第一象限角.
所以极坐标为（3，-6）的点在第一象限.
一、选择题（每小题6分，共36分） 1.极坐标系中，点(1,-π )的直角坐标为( （A）(1，0) （B）(0,1) （C）(-1,0) ) （D）(0 ，-1)
【解析】选C.∵x=ρcosθ=cos（-π）=-1，
y=ρsinθ=sin（-π）=0.
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
极坐标和直角坐标的互化优秀教学课件
例1 把下列点的极坐标化成直角坐标：
A 2, 3
4
B 4,14
3
C 5, D 3,
6
分析
x 5 cos 5 3
6
2
y 5sin 5
6
2
（ ， （2k 1） ) （，）
cos( （2k 1） ) cos sin( （2k 1） ) sin
思路:利用x=ρcosθ, y=ρsinθ计算
笛卡尔法国著名哲学家、 物理学家、数学家、神 学家。他对现代数学的 发展做出了重要的贡献， 因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何
之父。
r=a（1-sinθ）
平面内的一个点既可以用直角坐
标表示，也可以用极坐标表示
？ y
x M x, y
?
M ,
y
o
x
Oo
xx
平面直角坐标系
平面极坐标系
2.2点的极坐标与直角坐标的互化
互化前提:把直角坐标系的原点作为极点，
x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系
中取相同的长度单位。 0, 0,2
y
M x, y
M ,
y
o
x
x
思考1 平面内的一个点的直角坐标是A(1, 1),则该
点极坐标为____2_, 4_
思考2 平面内的一个点的极坐标B(2, )则该点直
角坐标为____3_,1_
3
3
则 AB ____,SAOB _____.
1.极坐标与直角坐标互化的前提
2.点M的直角坐标 (x, y)与极坐标 (ρ,θ)的互化关系
x cos y sin
坐标思想 数形结合
转化与化归
在极坐标系中，已知点A(2, ), B(3, 2 ),
点的极坐标与直角坐标的互化课件
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
6)．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
① ②
①＋②并化简得 ρ2＝12， 由于 ρ>0，解得 ρ＝2 3， 再代入①得 cos(θ－π4)＝0， ∴θ－4π＝π2＋kπ，k∈Z， ∴θ＝34π＋kπ，k∈Z， 由于 0≤θ<2π，令 k＝0,1 分别得 θ＝34π或74π， ∴点 C 的极坐标为(2 3，34π)或(2 3，74π)．
设点 C 的直角坐标为(x，y)，由于△ABC 为等边三角形，
故有|BC|＝|AC|＝|AB|.
∴(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2
＝(x－ 2)2＋(y－ 2)2
极坐标和直角坐标的互化 课件
极坐标和直角坐标的互化
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
如图所示，平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可 以用极坐标表示，如果平面内的一个点的直角坐标是 M(1， 3)．
那么这个点的极坐标是什么样的呢？
点的极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为___极__点__，x轴的正 半轴作为_极__轴__，并在两种坐标系中取相同的长__度__单__位___，如图 所示．
76π＝－ 76π＝－1
3
故 A 的直角坐标为(－ 3，－1)． 答案： C
2．已知点A的极坐标为(2，－2)，则点A在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－π<－2<－π2，
∴－2 为第三象限角，故点 A 在第三象限．
答案： C
3．极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为________． 解析： 由y＝ρsin θ知y＝3×sin(－4)＝－3sin 4 故极坐标为(3，－4)的点到极轴的距离为－3sin 4. 答案： －3sin 4
4．完成下列点的坐标的转化． (1)将极坐标(2,0)化为直角坐标； (2)将直角坐标(－2,0)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)． 解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0， ∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． (2)∵ρ＝ －22＋02＝2，tan θ＝－02＝0， 由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的象
限取最小正角．
1．点 A 的极坐标是2，76π，则点 A 的直角坐标为(
数学：1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件(新人教选修4-4)
重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
3 3 1 3） 2 tan （ 1
2 2
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
互化公式的三个前提件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴
问题: 极坐标系是怎样定义的?
极坐标系与直角坐标系有何异同? 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 3
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位 (1, 3) 点M的直角坐标为 (1, 3)
y
M (1, 3)
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ,θ)
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2 在极坐标系中，若等边三角形的两顶 点是A（2，π/4），B（2， 5π/4 ），那 么顶点C的坐标可能是（ ）B
A（ 4， 3）B ， （ 2 3， 3）或 2 3（ ， ）
4
4
4
C（ 2 3， ）D ， （ 3， ）
极坐标与直角坐标的互化
课堂小结
一、极坐标与直角坐标互化的三个前提条件是 （1）极点与直角坐标系的原点重合； （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合； （3）两坐标系中的长度单位相同.
y
ρ θ Ox
极坐标与直角坐标的互化
M y Nx
y
㈠ x=ρcosθ y=ρsinθ
㈡ ρ2=x2+y2
ρ
θ Ox
tanθ=y/x （x≠0）
M y Nx
பைடு நூலகம்
极坐标与直角坐标的互化
例题讲解
例1 将点M的极坐标（5，2π/3）化 成直角坐标.
例2 将点M的直角坐标（ 3，1）化
成极坐标.
把直角坐标转化为极坐标时，通常有不 同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一 般只要取θ∈[0，2π)就可以了.
极坐标与直角坐标的互化
课堂练习
1 将点M的极坐标（2，2π/3）化成 直角坐标.
2、将点M的直角坐标（-2，2 3 ）化
成极坐标.
极坐标与直角坐标的互化
例题讲解
例3 设点M的极坐标（5，π/3），直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 M关于直线l、极点的对称点的极坐标.
A
M
O
x
B
C
极坐标与直角坐标的互化
二、极坐标与直角坐标互化公式
㈠ x=ρcosθ y=ρsinθ
㈡ ρ2=x2+y2 tanθ=y/x （x≠0）
极坐标与直角坐标的互化
课后作业：
P.12习题 1.2：4，5.
极坐标与直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化
思 考：
平面内的一个点既可以用 直角坐标表示，也可以用极坐 标表示.那么，这两种坐标之间 有什么关系呢？
极坐标与直角坐标的互化
探究：
把直角坐标系的原点作 为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐 标系中取相同的长度单 位.设M是平面内任意 一点，它的直角坐标是 （x，y），极坐标是 （ ρ， θ ）试用你所学 知识写出它们之间的关 系.