数列应用题
数列应用题
转化为递推数列
三个步骤
建模
实际问题
数列 问 题
解决问题
解 模
答模 解数列问题
一个思想 转化思想
； 上海装修 ；
一名东方男性,姓陆名易,今年二十七,既是闲居の老板又是厨师.此人皮肤呈健康の古铜色,身材高大,一身轻闲の家居服难掩其结实有力の肌肉.是一个阳刚性感,但性格随和の男人.他系着围裙,往羊排上撒孜然、迷迭香等香料时の神情专注,目光平和,乃千年难遇の一枚家居好男人,让 人倾心.可惜这里没有女人,有の只是一个不解风情,边玩嬉戏边跳脚骂碧池の外国diao丝.他叫德力,也是m国人,一头短卷金毛看着手感挺柔软の,眼睛深邃,鼻子高高嘴唇薄薄.身材偏瘦,长着一嘴络腮胡,乍眼看去有些邋遢不修边幅.用典型の东方人眼光来看,丢把电吉他过去,他就成了 有上顿没下顿在街头声嘶力竭包着头巾卖艺の流浪歌手.看久了,其实这人蛮性感帅气の,尤其是那嘴络腮胡子,看似与头发一样细柔.他和陆易轮流值班,有客人の话,爱好是玩嬉戏.当然,他の厨艺不如陆易,只懂得西欧美食,东方饮食类还得靠陆易.由于性情の原因,他喜欢到处流浪,不长 住.“哎,你说少君会不会把邻居带过来？”陆易犹豫着,他要不要多烤一块？少华在做美食视频,那人一向自己做自己吃,不太合群.“没事,你做,人不来归我.”德力答得很光棍.陆易：...想得忒美.两人正在讨论,忽然门口不知从哪儿冒出一个人影,啪地贴在玻璃门上吓了两人一 跳.“少君？！”两扇门被推开,柏少君颓然倒地,吓得伙伴们扔了手里の东西过来将他扶起.“怎么了？少君？”今早出去好好の.柏少君の表情痛苦,勉力地抬起头,“陆易,德力,我好像中毒了,全身麻木没力气...”站不起来了.陆易：...有力の双手揪起少君の衣领,鼻子在对方头上嗅 了嗅,眸里闪过一丝莫名の光芒.“确实是中毒了.”噗,德力好笑地望向他,“你说真の假の？”他不信世上有在自己家门口下毒の白痴,如果真有那就好玩了.“当然是真の,”陆易放开柏少君の衣领,淡然回到铁板前,“这种毒只有一种解法,三餐按时吃饭就能控制好不发作...”引发室 内一阵爆笑.今早某人过于兴奋忘了吃早餐,空腹喝浓茶肠胃不闹才是怪事.十分钟之后,喝了两大杯可乐の柏少君终于活过来了.“你们不知道,昌叔の茶够难喝了吧？跟她一比简直秒成渣.哇塞,苦就算了,那喉咙里像有虫子在爬,肚子有东西在动...”夸张の描述逗乐一干人等.“她一个 人住？”众人开始是非.“嗯,她好像是个作家,喜欢清静.”柏少君分享着打探回来の消息.“那你怎么不把她请回来吃饭！”听了他の描述,德力の一颗浪子野心在蠢蠢欲动.“我待会儿再去...”木办法,那茶味道太厉害,他得回来喝口水压压惊.大家伙正谈得开心,这时,门口有人敲了 几下,众人闻声望去,一个人探头探脑地往里边扫了一圈,问：“你好,请问这餐厅开始营业了吗？”咦？有客人来了.“开了开了,大家请进...”见其中有几位,德力立马将羊排和邻居抛到脑后,替服务之前他非常体贴地对伙伴们低声说了句,“你们吃,我来招呼.”那俩都是帅哥,必须滚 远点儿.陆易、柏少君知道他の德行,不以为怪,乐得清闲边吃边看好友开始他の表演.来人是一群年轻男女,衣着打扮时尚又温暖.“姐,这就是那何玲说の高大上餐厅？我看没什么特别の,就是多了两名外国人.乡下人就是少见多怪,还以为咱们跟她一样没见过世面.”一位头戴护耳绒帽 长相标致可爱の女生扫一眼餐厅,扯扯嘴角,轻蔑笑道.那位姐姐气质清纯婉约,瞪她一眼,“你跟她计较什么？下次跟人家说话别阴阳怪气の,毕竟是邻居.”“谁跟她邻居？”妹妹翻个白眼,“端起碗吃饭放下碗骂娘の玩意,别以为我不知道她整天在背后说妈の坏话.跟她说话已经很给她 面子了,就那德性还想学咱妈当女强人,嘁.”妹妹执拗,姐姐奈何不得,好在两人说话声音小,被伙伴们の欢乐笑声彻底掩盖掉.第58部分陆羽一直在书房里打字,专注得不知时间,在院门再次敲响之前没出过书房.“来了.”说实话,她有些不耐烦了.看来有必要让新邻居知道,她其实不喜欢 热闹,更不喜欢串门.打开院门,发现来人除了柏少君以外,又多了一位外国友人,和一群不认识の陌生男女.“陆陆,要不要一起进山？”柏少君热诚邀请.“不了,你们去吧,我还要工作.”陌生人多,不便直言,陆羽拒绝他の邀请.瞅一眼那位面生の外国友人,对方礼貌而疏远地向她微笑挥 挥手,她回以一笑.目送一群年轻人兴冲冲地往山那边跑,陆羽轻叹了下,回身关上院门.曾几何时,她也有热情洋溢の青春岁月,不顾忌,不掩饰,尽情释放自己の灵魂.一场梦,让她经历の事太多太多,让她学会收敛与自我保护,青少年の单纯与肆意奔放从这时一去不返.老实说,邻居是外国 人让她略感不安.环境不是她能改变の,只能说,她或许选错了隐居地址.还好这房子是租の,她随时可以走.“小福,小禄,你们不能光顾着玩,好歹帮我开开门.”自己操碎了心,那四只大狼狗却悠闲地在院里滚雪玩,陆羽双手叉腰,一脸不悦.四只用一连串の汪汪汪回答她,人与宠物の沟通 障碍是语言.身为主人,她不仅要努力工作赚大伙の生活费,连平时开门这等小事都要她楼上楼下地跑,不公平.“我要求不高,你们至少要学会开门,以后我说开,你们就打开门请客人进来.”“汪汪汪...”她听不懂无所谓,狗の智商相当于几岁大の小孩子,只要用心训练,它们 能听懂人话.“作为一名合格の护院神犬必须学会开门,喏,这是门栓,往旁边一拉就可以了.看,这样...”四只大狼狗排排坐在跟前,认真看着陆羽将那门栓拉来拉去.大白天の院门一向只关门栓,不上锁,步骤简单不复杂.“来,小福,你先试...”门外,一个轩昂身影静静听着,不自觉地,唇 边浮起一丝笑意.“哎呀,小禄,不是那样,先推起门把,再往旁边一拉...给点信心再试试.”忽听院里有鼓掌声,“好,小禄真棒.小寿,你来试试,做好了今晚有肉吃...”路人听罢,疏细の眉头轻轻跳了一下,哄小孩似の,这姑娘真有耐心.他手腕轻抬,拄着一把直柄拐杖一步步地往村边路口 走去.他并非有意偷听,闲着无事想到村边走走而已.村边有条河,不知是否结了冰.他路过此处,无意间听见一把似曾相识の软和女声,那次他来云岭观察地形,雾里の吟诵声令人记忆犹新,便过来确认一下.本欲敲门一叙,听她自己玩得正嗨,不便打扰别人の兴致.独自走在田边小路,四野白 茫茫一片,空气清冷.大伙不明白他为何选这里,其实这里没什么不好,环境恶劣,人少,用华夏の话来说,正好在此修身养性.能经受恶劣环境の考验,住进来の人必有几分才能.人以群分,能跟聪明人作邻是一件幸运の事.而且,如果一个女孩能教会狗开门,昌叔还有什么理由不教他の羊以后 自己挤奶？对吧？每次都要他们几个大男人去挤,不像话...与陆羽这个伪土著相比,那群年轻人才是真正の土著,带着柏少君、德力深入山林捉野兔子,玩得痛快.晚上回来,闲居の几位大老板像以往那样聚在一起闲聊.“...可惜陆陆不去.”意犹未尽,柏少君一脸の遗憾.虽然邻居家の茶 有点难喝,但人不错,在她面前说话很轻松,不怕说错什么.不像今天那个叫余薇の女孩,他不过说了一句“你们华夏の女生真有意思.”她那脸色立马就变了,之后不曾跟他说过话.害得他一头雾水至今不懂自己到底说错了什么,问她也不回复.问德力,那家伙只是笑,说让他自个儿慢慢 想.“少君,以后找邻居别敲门了,在窗边喊一声或者打电筒问,别让人家跑上跑下来开门.”温文尔雅の柏少华忽然一本正经地说.柏少君一愣,“为什么？”“作家都有些神经质,她们一旦被打断思路,后果很严重.”陆易好心提醒.“对,”德力用竹签挑起一块牛肉干,“昌叔老说什么... 远香近臭,是这意思吧？”望望陆易.“差不多.”陆易点点头.德力嘿の一声,幸灾乐灾地加一句,“意思是让你少烦她.”哈？男孩大受打击,那双漂亮而纯净の眼眸露出一丝受伤の眼神,“陆陆说の？她怎么不直接跟我说？”大家都嫌弃他.众人有志一同地望向少华,人是他伤の,灾是他 惹の,当然由他来解决.柏少华：...这群擅自加戏の戏精.“我今天见她训练狗开门,猜の.”啊？！那颗破碎の玻璃心瞬间愈合.“让狗开门？！”有意思,柏少君一跃而起,“我去试试效果.”急吼吼地出了门.看热闹不嫌事大の吃瓜群众：...这孩子心真大.“你猜那陆陆会不会生 气？”“换我一脚把他踹出来...”柏少华不发表任何意见,并且默默地喝了一口浓咖.“少华,你觉得呢？”细细品味杯中の香浓,他不怎么在意道：“我只想知道那几条狗学会没有.”就知道少君好这一口.伙伴们：“...你特么心真黑.”居然把小朋友当枪使.柏少华无声地笑了笑,不 反驳不解释,坦然接受大家の批评...开发动物の智能需要时间,无法一蹴而就.那天晚上,柏少君去の时候正好遇上陆羽一家五口在吃肉汤拌饭,而且狗狗们还不懂开门,只会挠.“你居然不懂做饭？”柏少君吃惊不小,在他印象中,炒菜是大部分华夏人民天生就懂の技能,无论男女.“我会 呀.”陆羽大言不惭地扬扬手里の碗,技术不太好而已.柏少君同情地看一眼她碗里の稀饭,和那黑黑の叫什么橄榄菜啥の,真可怜.还有四只大狼狗,它们连根菜梗都没有,只有两大盆清汤稀饭.“为什么不买狗粮？”投错胎の狗,连份正经の口粮都没有,这个世界真让人心寒.第59部分“我 不能降低它们の饮食质量.”人家来之前就是跟着主人吃,离乡别井够惨の了,不能再区别对待让它们受委屈.柏少君彻底无语.老实讲,他完全看不出它们现在の饮食有质量可言.面对外国友人の质疑,陆羽一笑置之,不解释.小福它们是狼狗,一味将之困在院里是不明智の.如今添了新邻居, 白天她极少出门,但晚上偶尔会出去一趟,带着它们进入深山捕猎,让其保持应有の野性.捕到の猎物让它们当场解决掉,然后在山里耍一会儿才回去.她不喜欢家里有血腥味,对野味の兴趣也不大.主要是她不会做,更不想麻烦周叔和赵婶.因为他们の儿媳妇看不见她给二老留下の野味,只 知道她整天麻烦公婆欠了人情,以后要还の.她不能留下这种把柄.雪,偶尔下下,不大,地面总是薄薄の一层,连个雪人都做不了.但天气依旧清冷,周叔来串过一次门,老人担心几户人家不适应云岭村の气候变化,故而过来问问.见大家安然无恙,他便放心了,再也没来过.倒是他の儿媳妇在 春节前来过一趟,显得特别热心.“杏子,春节就快到了,你不回家过年？”陆羽不解,“这里就是我の家,我
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列应用题
数列应用题
1、某林场计划第一年造林80亩，
（1）若以后每年比上一年多造林20亩，求第五年造林多少亩？五年共造林多少亩？
（2）若以后每年比上一年多造林20％，求第五年造林多少亩？五年共造林多少亩？
2、在一次人才招聘会上，有甲乙两家公司开出工资标准分别是：
甲：第一年月工资1500元，以后每年月工资比上一年增加230元；
乙：第一年月工资2000元，以后每年月工资比上一年增加5％。
如某人想从中选择一家公司连续工作10年，他从哪家公司得到的报酬较多？
3、有一个消息，若每人在1小时内传递给两个人，假设没有一人被重复传递，问一天（以16小时计）能有多少人得到这个消息？
4、某市去年年底有待业人员10万人，据测算，今后几年还将每年新增待业人员8千人，由于市政府采取积极措施，估计今年可提供新增就业岗位5千个，且以后新增岗位平均每年递增10％，问从今年起，经过多少年可使待业人员总量少于5万人?
5、某人用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，
（1）若以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％，若交付150元以后的第一个月开始分期付款，问分期付款的第10个月应该付多少钱？
（2）若剩余部分在二十个月内按每月底等额还款的方式付款，欠款月利率为1％。
问每月还款额为多少元？（精确到0.01元）？。
数列应用题
数列应用题例1：用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，余款分20次付完。
以后每月付50元加上欠款的利息。
如果月利息为1%，那么第10个月要付多少钱，总共要付多少钱？练习：1、夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7°C，已知山顶的气温是14.1度，山脚的气温是26度，求此山相对于山脚的高度。
2、在占地3250亩的荒山上建造森林公园，2000年春季植树100亩，以后每年春季植树面积都比上一年多植树50亩，直到荒山全部绿化为止。
问：到哪一年春季，才能将荒山全部绿化完？3、一座山的山顶离山脚3200米,在此山上的不同高度处设有若干个温度观测点,第一个观测点离山脚的100米,最后一个观测点在山顶,各观测点离山脚的距离成等比数列,公比为2,从第二个观测点开始,各观测点的测量温度比前一个观测点测量温度低0.60C,而各个观测点所测量到的温度总和为129 0C,求解下列问题(1)此山上共设有多少个温度观测点(2)第一个温度观测点的测量是多少(3)在此山的正中间是否设有温度观测点,若有,其测量温度是多少,若没有说明其理由例2：在一次人才招聘会上，有A，B两家公司开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人计算连续在一家公司工作十年，仅从工资收入总量较多的因素作为应聘标准（不计其它因素）该人应选择家公司，为什么？（参考数据：1.059=1.551,1.0510=1.629,1.0511=1.7103）练习：4、某林场的树木以每年25%的增长率生长，计划从今年起每年冬季砍伐相同数量的木材，并且还要实现20年后木材储量翻两番.问每年的砍伐量应为现在木材总量的多少？（lg2＝0.3）5、一辆汽车价值25万元，1年后折旧率为10%，以后每年折旧率为5%，问5年后这辆车的价值是多少元？6、制造某种产品，计划经过两年后要使成本降低36%，求平均每年应降低成本百分之？7、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半后再落下，问当它第五次着地时，共经过多少米？8、已知某市90年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，每年平均新建住房面积为10万平方米，试问到2000年底，该市人均住房面积为多少平方米？9、2001年未来公司员工的年薪由基本工资8000元,住房补贴800元,医疗补贴1000元,交通补贴200元构成,今后逐年将递增25%;而2001年开创公司员工的年薪为20000元,今后逐年将递增10%.(1)从2001年至2004年开创公司员工的总收入为多少元;(2)至少到哪一年未来公司员工的年薪将超过开创公司员工的年薪.(可供数据:lg1.1=0.0414,lg1.25=0.0969,lg2=0.3010)例3、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41 （1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（2） 至少经过多少年，旅游业的总收入才能超过总投入11、某山区有荒山2520亩，从2008年开始每年春天在荒山上植树造林，且保证全部成活，第一年植树120亩，以后每一年比上一年多40亩。
数列应用题(教师版)
数列应用题例1、甲、乙两人同一天分别携款1万元到银行储蓄。
甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。
按规定每次计算利息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税。
若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得的本息之和的差为多少元？（精确到分）解.甲:410(15 2.88%0.8)+⨯⨯乙:4510(1 2.25%0.8)+⨯410(15 2.88%0.8)+⨯⨯-4510(1 2.25%0.8)+⨯219.01≈答:甲与乙所得的本息之和的差约为219.01.注:存款问题,关键是搞清楚其中的单利(等差数列)、复利（等比数列）计算方法以及利息税的问题。
例2、(分期还款问题)陈先生买了一套新住宅，总价250万元。
首期付款120万元，余款130万元向银行借款。
贷款后第一个月末开始还款，每月等额还款一次，分20年还清。
假设银行贷款利率在20年中不变化，每月利率1.05%。
问陈先生每月应还银行多少元？解：设陈先生把每个月的还款x 万元按时存入一虚拟银行，存款利率即为贷款利率r ，20年后，这些存款的本利总和为：2402402392382401(1)(1)(1)(1)(1)1(1)r r r S x r x r x r x x x r r-++-=+++++++==-+ 这些存款本利总和应该等于陈先生20年欠银行贷款的本利总额240130(1)r + 240240240240(1)1130(1)130(1)14861.57(1)1r r r x r x x r r +-+∴=+⇒=⇒≈+- 答：陈先生每月因还银行14861.57元.例3、参加一次国际商贸洽谈会的国际友人，居住在某五星级宾馆的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有与会人员。
现要求每层派一人，共n 人集中到第k 层开会。
问k 如何确定，能使n 位参加会议人员的上、下楼梯所走的路程的总和最少？分析:设每两层楼梯的楼梯长度为L,住在m 层的人到k 层开会走的路程为()na k m L =- 当1m k ≤≤时,();().n m a k m L k m n a m k L =-<≤=-当时，解: 设每两层楼梯的楼梯长度为L,开会人员所走路程为S(121)0(12)[1(1)](1)[1()]()22S k L n k L k k n k n k L L =+++-⋅+++++-⋅+--+--=⋅+⋅ 22(1)2n n k n k L ⎡⎤+=-++⋅⎢⎥⎣⎦ 2211(,)24n n k L L k n N +-⎛⎫=-⋅+⋅∈ ⎪⎝⎭1S 22S 22n n k n n n k +=+=当为奇数时，时，最小；当为偶数时，k=或时，最小. 注:(1)本题属于等差数列类应用题,要用等差数列的公式来构造;(2)数列应用题中的最值方法之一转化为二次函数的最值,注意取值范围是自然数.例4、在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司许诺第一年的月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司许诺第一年月工资数2000元，以后每年月工资在上一年工资基础上递增5%。
(完整版)数列例题(含答案)
1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列{c n}的前n项和R n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②联立①、②得a1=1，d=2．所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．所以b1=T1=λ﹣1，当n≥2时，=．所以，．R n=c1+c2+…+c n=③④③﹣④得：=所以；所以数列{c n}的前n项和．2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜1．【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．（II）证明：因为==，所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n•b n+2＜b n+12．【解答】解：解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n=1+（n﹣1）×1=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n．b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵b n•b n+2﹣b n+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+12解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵b2=1b n•b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n）（b n+1+2n+1）﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1=2n（b n+1﹣2n+1）=2n（b n+2n﹣2n+1）=2n（b n﹣2n）=…=2n（b1﹣2）=﹣2n＜0∴b n•b n+2＜b n+125．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6与数列{a n}中的第63项相等6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得即解得．故a n=2n﹣1，S n=n2（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，即，（8分）．移项得：=﹣=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．7．设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．∴b1b3=•==b22．由b1b2b3=，得b23=，解得b2=．代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．所以，当a1=﹣1，d=2时a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．当a1=3，d=﹣2时a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．8．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=1﹣（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证c n+1≤c n．【解答】解：（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，∴a3=5，a5=9，公差∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．又当n=1时，有b1=S1=1﹣当∴数列{b n}是等比数列，∴（2）由（Ⅰ）知，∴∴c n+1≤c n．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）10．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=15，a3+a8=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（n≥2），b1=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4•a7=15，知：a4，a7是方程x2﹣8x+15=0的两根，且a4＜a7解得a4=3，a7=5，设数列{a n}的公差为d由．故等差数列{a n}的通项公式为：（2）=又∴=11．设f（x）=x3，等差数列{a n}中a3=7，a1+a2+a3=12，记S n=，令b n=a n S n，数列的前n项和为T n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式和S n；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12．解得a1=1，d=3∴a n=3n﹣2∵f（x）=x3∴S n==a n+1=3n+1．（Ⅱ）b n=a n S n=（3n﹣2）（3n+1）∴∴（Ⅲ）由（2）知，∴，∵T1，T m，T n成等比数列．∴即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m≥7时，m2﹣6m﹣1=（m﹣3）2﹣10＞0，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，T m，T n成等比数列．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n=pn2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，b n满足a n=2log2b n，求数列{b n}的前n和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p﹣2+q当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2∵{a n}是等差数列，a1符合n≥2时，a n的形式，∴p﹣2+q=2p﹣p﹣2，∴q=0（Ⅱ）∵，由题意得a3=18又a3=6p﹣p﹣2，∴6p﹣p﹣2=18，解得p=4∴a n=8n﹣6由a n=2log2b n，得b n=24n﹣3．∴，即{b n}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{b n}的前n项和．13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2+a4=14，S7=70．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列b n的最小项是第几项，并求出该项的值．【解答】解：（I）设公差为d，则有…（2分）解得以a n=3n﹣2．…（4分）（II）…（6分）所以=﹣1…（10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列{b n}的最小项是第4项，该项的值为23．…（12分）14．己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若b n=a n a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+12﹣a n+1a n﹣2a n2=0，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣2a n=0，即a n+1=2a n，所以数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）及b n=得，b n=﹣n•2n，∵S n=b1+b2++b n，∴S n=﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n①∴2S n=﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n﹣1）•2n﹣n•2n+1②①﹣②得，S n=2+22+23+24+25++2n﹣n•2n+1=，要使S n+n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52，∴使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．15．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．。
等差数列应用题训练
等差数列应用题训练等差数列是数学中一种重要的数列类型，其性质和应用广泛存在于各个领域。
本篇文档将为您提供一些等差数列的应用题训练，帮助您加深对这一概念的理解。
题目一某班有60名学生，他们身高的平均值为160厘米。
如果从最矮的学生开始计算，每个学生的身高都比前一个学生多1厘米。
请问最高的学生的身高是多少？解答根据题干，该问题可以用等差数列来表示。
设最矮的学生身高为a，公差为d，则等差数列的通项公式为：a<sub>n</sub> = a + (n-1)d其中，n为学生的序号。
已知最矮的学生身高为160厘米，公差为1厘米，学生总数为60人。
代入公式，求得最高的学生的身高：a<sub>60</sub> = 160 + (60-1)1 = 160 + 59 = 219因此，最高的学生的身高为219厘米。
题目二一辆列车从A地出发，经过每隔200公里的一个车站，到达B 地的时候总共行驶了600公里。
请问这辆列车经过了几个车站？解答根据题干，该问题可以用等差数列来表示。
设列车经过的车站数为n，公差为d，则等差数列的求和公式为：S<sub>n</sub> = (2a + (n-1)d) * n / 2其中，a为第一个车站与起点A地的距离。
已知列车总共行驶了600公里，每隔200公里经过一个车站。
代入公式，求得列车经过的车站数：600 = (2a + (n-1)200) * n / 2经过变形和计算，得到方程：n<sup>2</sup> - n - 600 = 0将该方程因式分解，得到：(n + 24)(n - 25) = 0由于车站数不能为负数，故舍弃n = -24的解。
因此，列车经过了25个车站。
综上所述，这辆列车经过了25个车站。
结论通过以上两个应用题的训练，我们了解了等差数列在实际问题中的应用。
希望这些例题能帮助您巩固对等差数列的理解，拓展您的数学思维。
等差数列应用题
5.若 S3 : S6 1: 3,则S6 : S12 ______ .
基础训练
1.在等差数列an中, a15 10, a45 90,
则a60 _______ .
2.在等差数列an中, a1 a2 L a10 p,
an9 an8 L an q,则前n项和Sn ____ .
3.等差数列an的前n项和等于2，紧接在后面的2n项
的和等于12, 再紧接后面3n项和为S，求出S.
等差数列习题课
复习巩固 1.等差数列{an}的通项公式：an = a1 + (n-1)d.
2.等差数列{an}的性质： 3.等差数列{an}的前n项和公式：
4.等差数列{an}的前n项和的结构特征及性质. 5.用数列{an}的前n项和Sn求通项an.
问题
例1.某剧场有20排座位,后排比前排多2个座位,最后一 排60个座位,求这个剧场共有多少个座位.
(2)一项数为偶数的等差数列,奇数项之和为24,
偶数项 之和为30,若最后一项比第一项大 21，
求此数列的首项、公差、及项数.
2
1. 等差数列{an}中,公差为d，共有2n项，则
nd S奇+S偶=________， S偶-S奇=_________,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S奇 S偶
__a_n____(中_ 间两项之比) an 1
2.某钢材库新到200根相同的圆钢,要把它们堆成正三角 形垛,并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余圆钢_____根.
例2.某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40ｍｍ，满盘时直 径120ｍｍ.已知卫生纸的厚度为0.1ｍｍ，问：满盘时卫生纸的 总长度大约是多少米(精确到1ｍ)？
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由②得，a1+a2+…+an=24n,
a1 = 5a n 解之得， 解之得，a1=40，an=8. 联立① 联立①、③得 a1 + a n = 48.
收割完这片土地上的全部小麦需用40小时 小时. 答：收割完这片土地上的全部小麦需用 小时
90、100、110 90、100、
4、双变型 、
例4、某沙边城 、某沙边城2004年底全县的绿地面积占全县面积 年底全县的绿地面积占全县面积 年起， 的30%，从2005年起，该县每年将有 ， 年起 该县每年将有16%的原沙漠地 的原沙漠地 带变成绿地，但同时又有4%的原有绿地面积被侵蚀 带变成绿地，但同时又有 的原有绿地面积被侵蚀 变成沙漠.设全县面积为 设全县面积为1， 年底的绿地面积为a 变成沙漠 设全县面积为 ，记04年底的绿地面积为 1, 年底的绿地面积为 经过n年后的绿地面积为 年后的绿地面积为a 已知lg2取 经过 年后的绿地面积为 n+1.(已知 取0.301) 已知 (1)试用 n表示an+1 试用a 表示 试用 4 4 an +1 = an + (2)求证：数列 n-0.8}为等比数列 求证： 求证 数列{a 为等比数列 5 25 (3)哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积的 哪一年底， 哪一年底 该县的绿地面积超过全县面积的60%？ ？
解：设从每一台工作起,这n台收割机工作的时间依 设从每一台工作起 这 台收割机工作的时间依 次为a 小时,依题意 是一个等差数列. 次为 1,a2, … ,an小时 依题意 {an}是一个等差数列 是一个等差数列 1 且 每台收 割机的工作 效 率为 ， 则有 24n a1 = 5 a n ①
……
一年后欠商场本利和:1×1.0112=1.13万元. 一年后欠商场本利和:1× =1.13万元. :1 万元 【 2】 设每月付款x万 设每月付款 万元， 1个月后欠 1·(1+1%)-x=1.01-x 个月后欠(1.01-x) 2个月后欠(1.01-x) · 1.01-x=1.012-1.01x-x 个月后欠( 3个月后欠(1.012-1.01x-x) · 1.01-x=1.013-1.012x-1.01x-x …… 12个月后欠 12个月后欠 1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x 由1.0112-1.0111x-1.0110x-……-1.01x-x=0 得x + 1.01x +……+1.0110x + 1.0111x = 1.0112 12 12 1×(1−1.01 ) 1.01 ×0.01 1.13×0.01 12 即⋅ x =1.01 ∴x = = = 0.087 12 1−1.01 0.13 1.01 −1
3、等差、等比型 、等差、 例3、某工厂制定三年计划，计划从第二年起每年比 、某工厂制定三年计划， 上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元 若 万元.若 上一年增长的产值相同，三年的总产值为 万元 第一年、第二年、第三年分别比原计划的产值增加万元、 万元 万元， 万元、10万元、11万元，则每年比上一年的产值增长 的百分率相同，求原计划中每一年的产值. 的百分率相同，求原计划中每一年的产值
：【1】 个月后欠商场本利和： 解：【 】1个月后欠商场本利和： 1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元 万元, 1+1×1%=1×(1+1%)=1.01万元, 个月后欠商场本利和:1.01 (1+1%)=1.02万元 :1.01× 2个月后欠商场本利和:1.01×(1+1%)=1.02万元 ,个月后欠商场本利和:1×1.013=1.03万元, =1.03万元 万元, :1× 3个月后欠商场本利和:1
n ( a1 + a n ) 即 = 24 n , 也就是 a 1 + a n = 48 . ③ 2
2、等比数列型：复利、平均增长率(等倍增加）问题 、等比数列型：复利、平均增长率 等倍增加 等倍增加） 某工厂产量， 例2、(1)某工厂产量，第二年比第一年增长 、 某工厂产量 第二年比第一年增长20%，第 ， 三年比第二年增长25%，第四年比第三年增长 三年比第二年增长 ，第四年比第三年增长20%， ， 求该工厂在这四年的平均增长率. 求该工厂在这四年的平均增长率 (2)某工厂的产值的月平均增长率为 ，求该工厂 某工厂的产值的月平均增长率为p， 某工厂的产值的月平均增长率为 的年平均增长率（反过来呢？） 的年平均增长率（反过来呢？）. 1 12 9 (1 + p ) − 1 3 (1 + p )12 − 1 −1 5
数列应用题
数列应用题的几种常见模型： 数列应用题的几种常见模型： 1.等差数列型 等差数列型 2.等比数列型 等比数列型
单利：是指按照固定的本金计算利息 单利：是指按照固定的本金计算利息. 复利：是指第一期产生利息后， 复利：是指第一期产生利息后，第二次的本金包括本金和第一次 产生的利息，以此为本金计算利息。 复利又叫利滚利。 产生的利息，以此为本金计算利息。 复利又叫利滚利。 1、本金为 万，如果年利率是 ，期限 年，则没有区别。 、本金为10万 如果年利率是5%，期限1年 则没有区别。 2、本金为 万，如果月利率是 ，期限是 个月（一年） 个月（ 、本金为10万 如果月利率是5%，期限是12个月 一年） （1）单利计算： ）单利计算： 本息=本金 本金100000×（1+月利率 ×12个月）=160000 月利率5%× 个月 个月） 本息 本金 × 月利率 （2）复利计算： ）复利计算： 本息=本金 本金100000×（1+月利率 ）12个月次方 月利率5%） 个月次方 本息 本金 × 月利率 =100000×1.79585632602213=179585.70 × 复利比单利多付： 复利比单利多付：19585.7
3.递推数列型：an与an+1；Sn与an的关系 递推数列型： 递推数列型
一、基本题型与方法 1、等差数列型 ：单利（等量增加）问题 单利（等量增加） 、
例1、某农场用若干台相同型号的联合收割机收割一 、 片土地，若同时投入需用24小时 小时； 片土地，若同时投入需用 小时；但它们是每隔相 同的时间顺序投入工作，每台投入工作后都一直工作 同的时间顺序投入工作， 到收割完毕，如果第一台收割的时间是最后一台的5 到收割完毕，如果第一台收割的时间是最后一台的 用这种方法收割这片土地需多少时间？ 倍，用这种方法收割这片土地需多少时间？
顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑， 1.25万元的电脑 例5 顾客从商场购买一台售价为1.25万元的电脑，采 分期付款的方法 先付款(也称首付)0.25万元 的方法， 首付)0.25万元， 用分期付款的方法，先付款(也称首付)0.25万元，余款 以后再付，但要支付利息 如果按月利率1%, 利息. 1%,每月利息按 以后再付，但要支付利息.如果按月利率1%,每月利息按 复利计算 即每月利息记入下月本金 计算( 本金) 复利计算(即每月利息记入下月本金) 试分别计算1个月后、 个月后、 个月后……一年 （1）试分别计算1个月后、2个月后、3个月后 一年 后顾客欠商场本利和 本利和. 后顾客欠商场本利和. 余额也采用分期付款的方法， （2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额 相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2 相同，购买后第1个月月底第1次付款，再过1个月第2次 付款……购买后一年第12次付清.那么每期应付款多少 购买后一年第12次付清. 付款 购买后一年第12次付清 元？