弹性力学试题及答案

弹性力学试题及答案处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。

20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（√） 5、如果某一问题中，0===zy zx zττσ，只存在平面应力分量xσ，yσ，xyτ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y的函数，此问题是平面应力问题。

（√） 6、如果某一问题中，0===zy zx zγγε，只存在平面应变分量xε，yε，xyγ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y的函数，此问题是平面应变问题。

（√） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

（√）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

（√）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

（√）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√ ）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）ByAx x+=σ，DyCx y+=σ，FyEx xy+=τ； （2）)(22y x A x+=σ，)(22y x B y+=σ，Cxyxy=τ；其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s fm l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。

此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x+-=σ，2223xyC y-=σ，yx C y C xy2332--=τ，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC =3、已知应力分量qx-=σ，qy-=σ，0=xyτ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

解：将已知应力分量qx-=σ，qy-=σ，0=xyτ，代入平衡微分方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xyy yxx τστσ 可知，已知应力分量qx-=σ，qy-=σ，0=xyτ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：y x xy xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ22222)1(2)()(将已知应力分量qx-=σ，qy-=σ，0=xyτ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：y x xy xyx y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2222212)1()1(将已知应力分量qx-=σ，qy-=σ，0=xyτ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（1）Axy x=ε，3By y=ε，2Dy C xy-=γ；（2）2Ay x =ε，yBx y2=ε，Cxyxy=γ；（3）0=xε，0=yε，Cxyxy=γ；其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=xε，0=yε，0=xyγ（1分）。

5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x ϕϕϕ可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为byx 222=∂∂=ϕσ，22=∂∂=xy ϕσ，2=∂∂∂-=yx xy ϕτ对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2h y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy xfτ，0)(2=-=-=h y y yfσ；下边，2h y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy xfτ，0)(2===h y y yfσ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，bf l x x x2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy yfτ；右边，2l x =，1=l ，0=m ，bflx x x2)(2===σ，0)(2===l x xy yfτ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠a ）。

解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为22=∂∂=yx ϕσ，22=∂∂=xy ϕσ，ayx xy -=∂∂∂-=ϕτ2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2h y -=，0=l ，1-=m ，afh y xy x=-=-=2)(τ，0)(2=-=-=h y y yfσ；下边，2h y =，0=l ，1=m ，afh y xy x-===2)(τ，0)(2===h y y yfσ；x左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=lx x xf σ，afl x xy y=-=-=2)(τ；右边，2l x =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x xfσ，afl x xy y-===2)(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。

因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0=xσ。

由此可知22∂∂=yx ϕσ将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式())()(,21x f y x f y x +=ϕ将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414=+dx x f d dx x f d y这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即0)(414=dxx f d ，0)(424=dxx f d这两个方程要求ICx Bx Ax x f +++=231)(，KJx Ex Dx x f +++=232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=ϕ对应应力分量为22=∂∂=yx ϕσgyE Dx B Ax y xy ρϕσ-+++=∂∂=26)26(22CBx Ax yx xy ---=∂∂∂-=2322ϕτ以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有0)(0==-=C x xyτ右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有qBb Ab b x xy =--==23)(2τ上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xyτ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即)(00==⎰dx y bxyτ将xyτ的表达式代入，并考虑到C =0，则有0)23(23232=--=--=--⎰Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b而00)(00=⋅=⎰dx y b xyτ自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求yσ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即)(00==⎰dx y b y σ， 0)(00==⎰xdx y byσ 将yσ的表达式代入，则有2323)26(202=+=+=+⎰Eb Db Ex Dxdx E Dx b b22)26(230230=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx xdx E Dx b b由此可得2b q A -=，b qB =，0=C ，0=D ，0=E应力分量为=x σ, gy b x b y q yρσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312, ⎪⎭⎫⎝⎛-=23b x b x q xyτ虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为xVfx ∂∂-=，yV fy ∂∂-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，Vyx +∂∂=22ϕσ，Vxy +∂∂=22ϕσ，yx xy ∂∂∂-=ϕτ2，试导出相应的相容方程。