11弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显着的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 ? 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有： 将l ∆代入得：显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。
弹性力学复习题---有答案-知识归纳整理
知识归纳整理一、挑选题1. 下列材料中，（ D ）属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
2 对于弹性力学的正确认识是（A ）。
A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
3. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ）。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究想法；D. 基本假设。
4. 所谓“彻底弹性体”是指（ A ）。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时光历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
5. 所谓“应力状态”是指（ B ）。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，所以应力矢量是不可确定的。
6. 变形协调方程说明（ B ）。
A. 几何方程是根据运动学关系确定的，所以对于弹性体的变形描述是不正确的；B. 微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束；C. 变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件；D. 变形是由应变分量和转动分量共同组成的。
7. 下列对于弹性力学基本方程描述正确的是（ A ）。
A. 几何方程适用小变形条件；B. 物理方程与材料性质无关；C. 平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件；D. 变形协调方程是确定弹性体位移单值延续的唯一条件；8、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最终需结合（ B ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．几何方程B ．边界条件C ．数值想法D ．附加假定9、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系 （ B ）。
弹性力学100题
一、单项选择题1.弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程 B．近似方法 C．边界条件 D．附加假定2.根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．几何上等效 B．静力上等效 C．平衡 D．任意3.弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同4.不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A.①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5.如下图1所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I单元的整体编码为162② II单元的整体编码为426③ II单元的整体编码为246④ III单元的整体编码为243⑤ IV单元的整体编码为564图1A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤6.平面应变问题的微元体处于（ C ）A.单向应力状态B.双向应力状态是一主应力 D.纯剪切应力状态C.三向应力状态，且z7.圆弧曲梁纯弯时，（ C ）A.应力分量和位移分量都是轴对称的B.应力分量和位移分量都不是轴对称的C.应力分量是轴对称的，位移分量不是轴对称的D.位移分量是轴对称的，应力分量不是轴对称的8.下左图2中所示密度为ρ的矩形截面柱，应力分量为：0,,0=+==xy y x B Ay τσσ对图（a ）和图(b)两种情况由边界条件确定的常数A 及B 的关系是（ C ）A.A 相同，B 也相同B.A 不相同，B 也不相同C.A 相同，B 不相同D.A 不相同，B 相同图 2 图 39、上右图3示单元体剪应变γ应该表示为（ B ）10、设有平面应力状态x ay dx dy cx by ax xy y x γτσσ---=+=+=,,，其中，d c b a ,,,均为常数，γ为容重。
弹性力学教材习题及解答(供参考)
1 —1.选择题a. 下列材料中，_D_属于各向同性材料。
A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。
b. 关于弹性力学的正确认识是_A_。
A•计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设;C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。
c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于_B_。
A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。
d. 所谓完全弹性体”是指_B_。
A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。
2—1.选择题a. 所谓应力状态”是指_B_。
A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。
2—2.梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA', AB, BB'的面力边界条件。
在AA1,叭=一砂卫*刁0,在AB ±3 aaj十z趴豹=-jy sin. a、在2—3.作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。
根据材料力学分析结果，该梁er, = —y r^.=—横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
由此，只有当仃卩确罡.材料力学中所得轲的解答才能满足平衡方程和边界 条件’即芮満足弹性力学基本方程的解. 2 - 4.单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。
试~ a x cos os - sin a,~ cos tz - tr^ sin tz y^y sin a 0 cos /? - sm 0=6 厂期cos 』一 cr 尸血厅=0.2- 5.已知球体的半径为r ，材料的密度为 1,球体在密度为 i （ 1 > 1）的液体中漂浮，如沉入複体割分 yj 面力F = -p 3g （z 0 - z ） 1边界条件为舌匕一卩”严严+ @ 一厂）％ = 0-X% 十丁〔巧-51） +（z-f ）r v = 0.肚迄+严疋*（"尸）（务一耳）a 也来沉人液郎中的部分（珂 < 立< 2尸），边畀条件为开T ■*■尸欣斗仗一町％ = °, f 十十住-尸打中=①6 +y^ 十仗“门口丁 550*写出楔形体的边界条件。
弹性力学100题
一、单项选择题1.弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．相容方程B ．近似方法C ．边界条件D ．附加假定2.根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A ．几何上等效B ．静力上等效C ．平衡D ．任意3.弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同4.不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5.如下图1所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I 单元的整体编码为162② II 单元的整体编码为426③ II 单元的整体编码为246④ III 单元的整体编码为243⑤ IV 单元的整体编码为564图1A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤ 6.平面应变问题的微元体处于（ C ）A.单向应力状态B.双向应力状态C.三向应力状态，且z 是一主应力D.纯剪切应力状态7.圆弧曲梁纯弯时，（ C ）A.应力分量和位移分量都是轴对称的 463521I III II IVB.应力分量和位移分量都不是轴对称的C.应力分量是轴对称的，位移分量不是轴对称的D.位移分量是轴对称的，应力分量不是轴对称的8.下左图2中所示密度为ρ的矩形截面柱，应力分量为：0,,0=+==xy y x B Ay τσσ对图（a ）和图(b)两种情况由边界条件确定的常数A 及B 的关系是（ C ）A.A 相同，B 也相同B.A 不相同，B 也不相同C.A 相同，B 不相同D.A 不相同，B 相同图 2 图 39、上右图3示单元体剪应变γ应该表示为（ B ）10、设有平面应力状态x ay dx dy cx by ax xy y x γτσσ---=+=+=,,，其中，d c b a ,,,均为常数，γ为容重。
弹性力学试题及答案讲解
弹性⼒学试题及答案讲解弹性⼒学与有限元分析复习题及其答案⼀、填空题1、弹性⼒学研究弹性体由于受外⼒作⽤、边界约束或温度改变等原因⽽发⽣的应⼒、形变和位移。
_2、在弹性⼒学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应⼒的正负号规定相适应。
3、在弹性⼒学中规定，切应变以直⾓变⼩时为正，变⼤时为负，与切应⼒的正负号规定相适应。
4、物体受外⼒以后，其内部将发⽣内⼒，它的集度称为应⼒。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应⼒在其作⽤截⾯的法线⽅向和切线⽅向的分量, 也就是正应⼒和切应⼒。
应⼒及其分量的量纲是L-1MT-2。
5、弹性⼒学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性_________6、平⾯问题分为平⾯应⼒问题和平⾯应变问题。
7、已知⼀点处的应⼒分量⼕x =100 MPa，⼆y =50 MPa，X^1O 50 MPa，则主应⼒G = 150MPa，35 16 。
~2 = 0MPa，-冷=&已知⼀点处的应⼒分量，⼆x=200 MPa,⼆y=0MPa ,“*400 MPa，则主应⼒G = 512 MPa，⼆2 =-312 MPa，： 1 = -37° 57'。
9、已知⼀点处的应⼒分量，；「x=：-2000MPa，⼕y =1000 MPa, xy*400 MPa，则主应⼒⼕⼫1052MPa，⼕2⼆-2052 MPa ,：计-82° 32'。
10、在弹性⼒学⾥分析问题，要考虑静⼒学、⼏何学和物理学三⽅⾯条件，分别建⽴三套⽅程。
11、表⽰应⼒分量与体⼒分量之间关系的⽅程为平衡微分⽅程。
12、边界条件表⽰边界上位移与约束，或应⼒与⾯⼒之间的关系式。
分为位移边界条件、应⼒边界________________条件和混合边界条件。
13、按应⼒求解平⾯问题时常采⽤逆解法和半逆解法。
14、有限单元法⾸先将连续体变换成为离散化结构，然后再⽤结构⼒学位移法讲⾏求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
弹性力学试题及答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是12。
5、弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、一点处的应力分量100=x σ，50=y σ，5010=xy τ ，那么主应力=1σ150，=2σ0，=1α6135' 。
8、一点处的应力分量， 200=x σ，0=y σ，400-=xy τ ，那么主应力=1σ512 ，=2σ-312 ，=1α-37°57′。
9、一点处的应力分量，2000-=x σ，1000=y σ，400-=xy τ ，那么主应力=1σ1052 ，=2σ-2052 ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化构造，然后再用构造力学位移法进展求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两局部。
15、每个单元的位移一般总是包含着两局部：一局部是由本单元的形变引起的，另一局部是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两局部：一局部是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不一样的，即所谓变量应变；另一局部是与位置坐标无关的，是各点一样的，即所谓常量应变。
弹性力学试题及标准答案
弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量，200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
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2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案(绝密试题)一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135'ο。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。
17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。
18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。
20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”） 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（√） 5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。
（√）6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。
（√） 9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
（√） 10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
（√） 14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。
（√） 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。
（√ ）四、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。
（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。
解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy x xy y yxx τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s fl m s f m l y s xy y xs yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。
（1）此组应力分量满足相容方程。
为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。
此外还应满足应力边界条件。
（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。
上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。
2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xyC y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。
试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。
解：将所给应力分量代入平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x yy xxy y yxx τστσ 得⎩⎨⎧=--=--+-023033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即()()()⎩⎨⎧=+=+--0230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，23QC = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。
解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xyy yxx τστσ可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。
按应力求解平面应力问题的相容方程：y x xy xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ22222)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。
按应力求解平面应变问题的相容方程：y x xy xyx y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2222212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。
4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。
（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ； （2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ； （3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ； 其中，A ，B ，C ，D 为常数。
解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。
（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。
（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。
5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠b ）。
解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y y x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为b yx 222=∂∂=ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕτ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；下边，2hy =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2===h y y y f σ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2=-=-=l x xy y f τ；右边，2lx =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2===l x xy y f τ。
可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。
因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。
6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0≠a ）。
解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yy x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。
由于不计体力，对应的应力分量为022=∂∂=yx ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，a y x xy -=∂∂∂-=ϕτ2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2=-=-=h y y y f σ；下边，2hy =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ；左边，2lx -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2)(τ；右边，2lx =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2)(τ。
可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。
因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。
7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。