弹簧振子振动周期的讨论
弹簧的振动与周期
弹簧的振动与周期弹簧是一种常见的机械装置，在许多领域中都有广泛的应用。
其中，弹簧的振动是一个重要的物理现象，对于了解弹簧的特性和应用具有重要的意义。
本文将探讨弹簧的振动行为，包括弹簧的周期以及影响振动周期的因素。
弹簧的振动是由于外力作用下的弹性形变引起的。
当外力作用结束后，弹簧会因恢复力而回复到原来的形状，然后再次形变，这种来回的形变称为振动。
弹簧的振动可以分为纵向振动和横向振动，这取决于振动方向与弹簧的形状。
首先讨论弹簧的纵向振动。
当一个弹簧悬挂在一定的固定点上，并拉伸或压缩后释放，弹簧会在垂直于重力方向的方向上振动。
这种振动被称为纵向弹簧振动。
纵向振动的周期取决于弹簧的劲度系数和质量。
劲度系数是指单位长度内弹簧的恢复力与形变长度之比，通常用符号k表示。
质量则是弹簧的质量。
根据胡克定律，弹簧的恢复力与形变长度成正比。
因此，我们可以得到纵向弹簧振动的周期公式：T = 2π√(m/k)其中，T表示振动周期，m表示弹簧的质量，k表示弹簧的劲度系数。
可以看出，周期与质量的平方根成反比，与劲度系数的平方根成正比。
这意味着弹簧的质量越大，周期越大；劲度系数越小，周期越大。
接下来我们讨论弹簧的横向振动。
横向振动是指当外力作用在弹簧的一侧时，弹簧沿着水平方向发生振动。
横向振动的周期同样受到弹簧的劲度系数和质量的影响。
不同之处在于，横向振动的周期还取决于弹簧的长度和横向振动的幅度。
根据实验观测，横向弹簧振动的周期近似与纵向弹簧振动的周期相等。
这是因为在横向振动中，弹簧的恢复力与形变长度成正比，而振动的幅度相对较小，所以可以近似视为线性弹簧。
因此，我们可以将横向弹簧振动的周期公式表示为：T = 2π√(m/k)其中，T表示振动周期，m表示弹簧的质量，k表示弹簧的劲度系数。
这与纵向弹簧振动的周期公式完全一致。
除了劲度系数和质量外，还有其他因素可以影响弹簧的振动周期。
首先，弹簧的材料和结构可以影响弹簧的劲度系数，从而影响振动周期。
弹簧振子的周期
弹簧振子的周期弹簧振子是物理学中经常研究的一个系统，它是由一根弹性绳或弹簧悬挂的质点组成的，质点在弹性体的作用下进行周期性地振动。
弹簧振子的周期由多种因素共同决定，包括弹簧的劲度系数、质点的质量以及振幅等等。
1. 弹簧振子的基本特点弹簧振子具有一些独特的特点，首先是它的振动是周期性的，意味着它会以一定的频率在相同的路径上来回振动。
其次，弹簧振子的周期不受振幅的影响，在相同条件下，无论振幅大小如何，周期都保持不变。
最后，弹簧振子的周期与质点的质量成反比，质量越大，周期越长。
2. 弹簧振子的周期公式弹簧振子的周期可以用以下公式来表示：T = 2π√(m/k)其中，T代表周期，m代表质点的质量，k代表弹簧的劲度系数。
根据这个公式，我们可以看出，当质点的质量增加时，周期会变长；当弹簧的劲度系数增加时，周期会变短。
这是因为质量增加会增加振动的惯性，而劲度系数增加会增大恢复力，从而改变了振子的周期。
3. 弹簧振子的影响因素除了质量和劲度系数，弹簧振子的周期还受到其他因素的影响。
首先是振幅，振幅越大，周期越长。
这是因为振幅增加会使弹簧提供更大的恢复力，从而使周期变长。
其次是重力加速度的影响，当质量较大或振幅较大时，重力对振动的影响不可忽略，会使周期发生微小的变化。
此外，弹簧的长度和形状也会对周期产生影响，但通常情况下这些因素的影响较小，可以忽略不计。
4. 弹簧振子的应用与意义弹簧振子在物理学以及其他领域有着广泛的应用。
在物理学中，弹簧振子是研究振动和波动的基础模型，可以帮助我们理解更复杂的振动现象。
在工程领域，弹簧振子的原理被用于设计和制造各种振动器、传感器和测量仪器等。
此外，弹簧振子还在其他学科中发挥着重要作用，例如声学、电子学和生物学等。
总结：弹簧振子是一种周期性振动的系统，其周期由质点的质量、弹簧的劲度系数等因素共同决定。
弹簧振子具有周期性、振幅无关性的特点。
弹簧振子的周期公式为T = 2π√(m/k)，其中m为质点的质量，k为弹簧的劲度系数。
弹簧振子实验振动周期与振幅
弹簧振子实验振动周期与振幅振动是物体在作往复运动时所表现出来的规律性变化。
在物理学中，弹簧振子是一个常见的振动系统，它由一个质点和一个弹簧组成，通过质点在弹簧上的运动来研究振动现象。
在本文中，我们将探讨弹簧振子实验中振动周期与振幅之间的关系。
一、实验原理介绍弹簧振子实验利用了弹簧的弹性和质点的重力作用来形成振动。
当质点受到外界作用力时，会在弹簧上震动，形成周期性的运动。
振动周期是指振动完成一个完整往复运动所需要的时间，而振幅则表示振动过程中质点相对平衡位置的最大位移。
二、实验准备1. 实验器材：- 弹簧振子装置- 表面光滑的水平桌面- 重物- 计时器2. 实验步骤：1) 在水平桌面上放置弹簧振子装置，并将其固定。
2) 将重物挂在弹簧末端，使其形成振子系统。
3) 将质点拉离平衡位置，释放后开始计时。
4) 使用计时器记录质点完成n个完整往复运动所用的时间t。
三、实验数据处理1. 计算振动周期：振动周期T可以通过计算平均值得到。
T = t/n2. 计算振幅：振幅A可以通过测量质点离开平衡位置的最大位移得到。
四、实验结果分析实验结果表明振幅与振动周期之间存在一定的关系。
通过观察多组实验数据，我们可以发现以下规律：1. 当振幅较小时，振动周期相对较稳定，与振幅的大小没有明显的关系。
这是由于弹簧对小振幅的质点有较好的回弹能力，使得振动周期保持相对稳定。
2. 当振幅较大时，振动周期相对较不稳定，与振幅的大小呈现非线性关系。
较大的振幅会导致弹簧更容易失去弹性，使得振动周期变化较大。
结合实验结果和分析，我们可以得出结论：弹簧振子实验中，振动周期与振幅之间存在一定的关系，但并非简单的线性关系。
振幅较小时，振动周期相对较稳定；振幅较大时，振动周期相对较不稳定且难以预测。
五、实验误差分析在进行实验过程中，由于各种因素的影响，可能会产生一些误差，而导致实验结果的不准确性。
以下是一些可能存在的误差源：1. 空气阻力：在实验过程中，空气阻力会影响振子的振动，可能导致实际振动周期的偏差。
弹簧振子振动周期的公式讨论
弹簧振子振动周期的公式讨论陈思平西华师范大学物理与电子信息学院指导教师：罗志全四川·南充 637002摘要：本论文主要研究弹簧振子在振动过程中，如果改变弹簧振子的放置方式、不忽略弹簧质量与摩擦力、复杂的振子系统振动时以及在几种特殊情况下振子的振动周期公式。
关键词：弹簧振子；周期公式Th e di scu ssi on of Sprin g Vibr ation cy cl e f ormul aChen SipingDepartment of physics and electronic information, China West Normal University Instructor: Luo Zhiquan Sichuan·Nanchong 637002Abstr act:In the thesis,they are researched mainly that the spring oscillator in the vibration process, if changes in spring placement of oscillator,not ignore the spring mass and friction, the complex oscillator vibration and in some special cases, the vibration cycle oscillator formula.Key w or ds:spring oscillator; cycle formula目录摘要 (1)ABSTR ACT (1)1.引言 (2)2.理想状态下弹簧振子的相关结论 (2)3.放置方式对振子振动周期的影响 (3)4.摩擦力对振子振动周期的影响 (4)5.弹簧质量对振子振动周期的影响 (7)6.复杂弹簧振子系统的振动周期 (8)7.几种特殊情况下弹簧振子系统的周期计算 (10)结论……………………………………………………………………………………………………… (12)参考文献……………………………………………………………………………………………………… (13)致谢……………………………………………………………………………………………………… (13)1.引言振动现象在自然界中是广泛存在的，简谐运动又是最简单、最基本的振动形式。
简谐振动实验研究弹簧振子的周期和频率
简谐振动实验研究弹簧振子的周期和频率简谐振动是物理学中一个重要的研究对象，它广泛应用于各个领域。
本文将围绕简谐振动展开，重点研究弹簧振子的周期和频率，并通过实验来验证理论结果。
1. 引言简谐振动是指在恢复力的作用下，物体在平衡位置附近做往复振动的现象。
它具有周期性和定常性的特点，被广泛应用于机械、电子、光学等领域。
2. 弹簧振子的周期弹簧振子是简谐振动的一种典型实例，我们首先来研究它的周期。
根据弹簧的胡克定律，弹簧的恢复力与位移成正比，可以表示为：F =-kx，其中F为恢复力，k为弹簧的劲度系数，x为位移。
根据牛顿第二定律，我们可以得出弹簧振子的运动方程：m(d²x/dt²) = -kx，其中m为振子的质量。
将振子位置的变化表示为函数形式：x = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
带入运动方程，可以得到：mω²A*cos(ωt+φ) = -kA*cos(ωt+φ)。
由上式可知，振子的角频率与角位移的关系式为：ω = sqrt(k/m)。
因此，振子的周期T = 2π/ω，即T = 2π*sqrt(m/k)。
3. 弹簧振子的频率频率是指单位时间内振动的次数，可以用来描述简谐振动的快慢程度。
振子的频率f与周期T的关系为：f = 1/T。
将周期的表达式代入其中，可以得到：f = 1/(2π*sqrt(m/k))。
由此可见，弹簧振子的频率与振子的质量和劲度系数有关。
4. 实验步骤为了验证弹簧振子周期和频率的理论结果，我们可以进行如下实验。
材料和装置：- 弹簧振子装置- 秒表- 测量尺子实验步骤：1) 将弹簧挂在固定支架上，使其垂直向下悬挂。
2) 调整弹簧振子的初位移，并释放振子，开始振动。
3) 使用秒表记录振子完成若干个完整振动的时间，并计算平均时间。
4) 通过测量尺子测量弹簧振子的质量和劲度系数。
5. 数据处理与结果分析根据实验所得数据，可以计算出弹簧振子的周期和频率。
简谐振动弹簧振子的周期和频率
简谐振动弹簧振子的周期和频率简谐振动弹簧振子是物理学中经典的振动系统，它具有较为简单的运动规律，周期和频率是描述其运动性质的两个重要参数。
一、简谐振动弹簧振子的周期简谐振动弹簧振子的周期是指它从一个振动极值到另一个振动极值所需的时间，通常用字母T表示。
在理想情况下，简谐振动弹簧振子的周期与振子的质量m以及弹簧的劲度系数k有关。
根据经典力学理论，简谐振动弹簧振子的周期可以通过以下公式计算得到：T = 2π√(m/k)其中，π为圆周率，√为开方运算。
根据该公式，我们可以看出，简谐振动弹簧振子的周期与振子的质量成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比。
换言之，质量越大，周期越大；劲度系数越大，周期越小。
二、简谐振动弹簧振子的频率简谐振动弹簧振子的频率是指它单位时间内完成的振动次数，通常用字母f表示。
频率与周期有以下关系：f = 1/T也就是说，频率是周期的倒数。
在理想情况下，简谐振动弹簧振子的频率与振子的质量m以及弹簧的劲度系数k有关。
根据经典力学理论，简谐振动弹簧振子的频率可以通过以下公式计算得到：f = 1/2π√(k/m)其中，π为圆周率，√为开方运算。
根据该公式，我们可以看出，简谐振动弹簧振子的频率与振子的质量成反比，与弹簧的劲度系数的平方根成正比。
换言之，质量越大，频率越小；劲度系数越大，频率越大。
三、简谐振动弹簧振子的特点简谐振动弹簧振子具有以下特点：1. 平衡位置：在没有外力作用时，弹簧振子处于平衡位置，即不发生振动。
2. 反弹力：当弹簧振子离开平衡位置，沿着正方向运动时，弹簧对振子产生向负方向的反弹力，反之亦然。
这种力的方向与振子的偏离方向相反，且与偏离大小成正比。
3. 振动频率稳定：在理想情况下，简谐振动弹簧振子的频率不受振动的幅度和初相的影响，只与质量和劲度系数有关。
因此，频率是一个固有特征，也称为固有频率。
四、总结简谐振动弹簧振子的周期和频率是描述其运动规律的重要参数，通过质量和劲度系数可计算得到。
弹簧振子的周期与振动频率之间的关系
弹簧振子的周期与振动频率之间的关系弹簧振子是物理学中经常研究的一个重要问题，它的周期与振动频率之间存在着密切的关系。
下面将从物理学的角度对这一关系进行探讨。
首先，我们需要了解弹簧振子的基本特征。
弹簧振子由一根弹簧和一质点组成，当质点受到外力作用时，弹簧会产生恢复力使质点向平衡位置回归。
在振动过程中，质点来回作周期性运动，称为振动周期。
振动周期是指质点从一个极值位置到另一个极值位置所需要的时间。
在实际观察中，我们可以发现，弹簧振动的周期与质点的质量和弹簧的劲度系数有关。
首先让我们来看看质量对振动周期的影响。
根据牛顿第二定律F=ma，质点所受到的合力与质量成正比。
当质点质量增加时，合力也随之增加，弹簧恢复力的作用也随之增强。
由于弹簧的劲度系数不变，质量越大，质点的加速度越小，运动的速度就越慢，那么振动周期自然就变长了。
因此，质量增大会使振动周期变长。
接下来我们看看弹簧的劲度系数对振动周期的影响。
弹簧的劲度系数是描述弹簧刚度的参数，表示弹簧单位变形时恢复力的大小。
当劲度系数增大时，弹簧的刚度增加，恢复力也会相应增大。
这时，给质点作用的弹簧恢复力比较大，质点加速度增大，速度增加，振动周期减小。
反之，劲度系数减小会使振动周期增大。
所以，弹簧的劲度系数增大会使振动周期变短。
除了质量和劲度系数之外，振动的频率还与振动周期有密切的关系。
振动频率是指单位时间内振动的次数，是振动周期的倒数。
即，频率等于1除以周期。
所以振动频率的大小与振动周期成反比。
物理学中有一个重要的结论，即振动频率与弹簧振子的劲度系数和质量无关。
这意味着，无论质量如何改变，劲度系数如何变化，弹簧振子的频率都保持不变。
这个结论可以通过利用振动方程来证明，但在此就不再详述。
总的来说，弹簧振子的周期与振动频率之间存在着紧密的关系，周期受到质量和劲度系数的影响，而振动频率与这两个因素无关。
这种关系在实际应用中有着广泛的应用，例如弹簧悬挂的钟摆、弹簧隔振器等。
弹簧振子的简谐振动与周期
弹簧振子的简谐振动与周期弹簧振子是物理学中经常研究的一种振动系统，它的简谐振动与周期成为许多学生研究的重点。
在学习弹簧振子的过程中，我们需要了解弹簧振动的基本概念和相关定律，深入探究它的周期与振动的关系。
首先，我们来了解一下弹簧振子的基本情况。
弹簧振子由悬挂物体和弹簧组成，当悬挂物体受到外力作用后，会发生振动。
弹簧振子的振动可以分为简谐振动和非简谐振动两种。
简谐振动是最基本的一种振动形式，它的特点是振幅恒定、周期固定，振动方式规律性强。
非简谐振动则是指在振动过程中，振幅和周期都可能发生变化，振动方式不规律。
本文将重点讨论简谐振动。
简谐振动的周期取决于弹簧的劲度系数和悬挂物体的质量。
劲度系数是衡量弹簧刚度的物理量，用符号k表示，单位是牛顿/米。
悬挂物体的质量用符号m表示，单位是千克。
根据振动力学定律，简谐振动的周期T与劲度系数和质量之间的关系可以通过公式T=2π√(m/k)来表示。
从上述公式可以看出，周期T与质量的平方根成正比，与劲度系数的平方根成反比。
这意味着当弹簧的劲度系数增大时，周期将减小；而当悬挂物体的质量增加时，周期将增大。
这种关系使得我们可以通过调整弹簧的刚度或者悬挂物体的质量来改变振动的周期。
弹簧振子的周期还受到摩擦力的影响。
在实际的振动过程中，摩擦力会阻碍振动的进行，使得周期变长。
根据振动力学的研究，摩擦力对于弹簧振子的影响可以通过引入阻尼系数来描述。
阻尼系数用符号b表示，单位是牛顿秒/米。
当阻尼系数增大时，摩擦力的作用就越大，振动的周期也会变长。
除了周期，弹簧振子的振幅也是我们关注的重点之一。
振幅是指振动物体从平衡位置到达最大位移的最大距离。
在简谐振动中，振幅是恒定的，不受其他因素的影响。
然而，当振幅超过一定限制时，弹簧会失去弹性，振动不再符合简谐振动的规律，这种现象称为超调。
弹簧振子的简谐振动与周期是许多物理学实验和应用中的基础内容。
它不仅具有理论价值，还有着广泛的实用价值。
例如，在钟表制造中，利用弹簧振子的周期稳定特性，可以精确地测量时间。
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弹簧振子周期公式的探究梅丹兵（21610115）（东南大学交通学院，南京市，210000）摘 要： 基于本学期在“弹簧振子周期”实验中出现的实验数据和理论数据相差较大的缘故，本文探究了在“弹簧振子周期”实验中弹簧质量对系统周期的影响，并利用数学知识推导出了一个符合实验数据的合理公式。
关键词： 振动周期；弹簧振子；有效质量；非线性改变A discussion on the cycle of vibration of springsMei Danbing(Transportation Institute of SEU , Nanjing 210000)Abstract: Based on the reason that the big difference between the experimental data and the theoretical data in the experimentabout “the cycle of vibration of springs “,the article explored the influence of the quality of springs on the vibration cycle ,and made full use of the mathematical knowledge to derive a rational formula in line with experimental data. key words: Vibration cycle ; springs ;effective quality ; Non-linear change引言在本学期的“简谐振动”一章中我们学习了弹簧振子周期公式，并做了相关的物理实验。
根据课本上简谐运动的周期公式可推导出弹簧振子的振动周期公式为KMT π2= （1） 其中M 为振子质量，K 为弹簧劲度系数。
而我们发现由（1）式计算出得的理论值0T 与实验测得的测量值1T 之间的偏差达到了2.58%，其中固然有测量误差和阻力误差，但不可排除的是（1）式中的M 仅指振子的质量，而没有考虑弹簧的质量。
由于本实验中弹簧劲度系数K 与振子质量M 都很小，这时弹簧自身的质量已不能忽略。
那么如何考虑弹簧质量对系统周期的影响呢？假如弹簧的质量为m ，可以肯定KmM T +≠π2，因为弹簧虽参与振动，但其上各点的振动情况是不一样的。
通过查阅相关文献我们得知此时系统的振动周期为KM T m312+=π（2） 于是在原实验基础上，我们测量了弹簧的质量m ，并再次将相关数据代入（2）式，计算得出的理论值0T 与实际测量值1T 之间还是有近1.93%的偏差，这一结果的得出不得不引起我对（2）式的质疑。
带着疑惑我再次详细的查看了相关文献中（2）式的推导过程，发现了可能造成偏差的主要原因——线弹性变化。
通过咨询老师和查阅相关资料，发现弹簧的变化严格意义上不是均匀的，所以（2）式的推导过程严格意义上是不精确的。
但我们有理由相信，通过物理模型和相关数学知识，会得到比（2）式更为精确的公式。
梅丹兵，男，1991年11月2日生于湖北黄冈，现就读于东南大学交通学院，主修岩土工程。
E-amil :meidanbing@弹簧振子系统周期公式的理论推导首先来探讨当弹簧末端不加任何物体时其振动周期的表达式。
设有一总长度为L ，质量为m ，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？此处我们通过物理学驻波模型来解决此问题。
设另有一根总长度很长的弹簧，其质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为Lm=η，劲度系数为k （查阅相关文献知影响弹簧劲度系数K 的因素很多，此处可以通过改变不同的因素来达到目的）。
让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。
调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L ，则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。
由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O 一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P 一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样（因周期只与M 和K 有关，弹簧长度的不同不影响结果）。
下面从驻波行程条件来求解周期T由于固体中纵波的波速为ρEv =（3）其中E 为弹簧弹性模量，ρ为密度，对于长度为L 的上述弹簧，通过查阅资料得其等效密度和弹性模量分别为：SKL LS FL E LS m =∆==ρ 其中S 为弹簧横截面积。
将其代入（3）式得：mkL v 2=（4） 欲使弹簧波波长为4L ，则图1弹簧的固有周期为：kmmkL L vT 442===λ（5） 由此可知KmT 32π=的结论是错误的。
（2）式之所以会出错，是因为其在考虑振动速度时，直接认为速度是线性变化的。
但事实上当弹簧的质量不能忽略时，其形变量是不均匀的，离固定点O 越近的地方由于受到的弹力越大，形变量也就越大（示意图如图2所示）。
那么“一质量为m 的弹簧与一质量为M 的振子组成的‘弹簧振子’振动周期”为多少呢？设某时刻物体M 离开其平衡位置的位移为M x ，速度为M v ，加速度为M a ；而距O 点为l 的一小段弹簧l d 离开其平衡位置的位移为x ，速度为v ，加速度为a 。
由于所有质点的振动情况都同相，则可以得出：MM M x xv v a a ==。
又由于每一段弹簧离开平衡位图2O P图1置的位移都等于它左侧所有小段的伸长量之和，则距O 点为l 的一小段弹簧l d 的伸长量为x d ，劲度系数为l kL d ，则其弹力为l x kL d d ⋅，质量为Ll m d ⋅。
其与相邻小段弹簧的弹力差，即其所受合力L x lxm a L l am l x kL f M M d d d d d ==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅= 化简可得：x kLx m a l x M M 222d d = 由于M 物体振动时的M a 与M x 反向，即MM x a 为负值，则根据常微分方程的理论，上面微分方程的解可写作)sin(2ϕ+-=l kL x ma A x M M 。
其中A 为与M 离开平衡位置的位移有关的变量，由于O 点附近的质元离其平衡位置的位移趋向于零，可得0=ϕ。
即：l kLx ma A x M M 2sin -= （6）则每一小段弹簧的形变量为l l kLx ma kL x m a A x M M M M d cos d 22⋅-⋅-= 相应的小段弹簧弹力为l kLx m a x mk a A l kLx F M M M M 2cos d d -⋅-=⋅=（7）对于连接M 物体的那小段弹簧，L l =，代入（7）式得M M M M M Ma kx ma x mk a A F =-⋅-=cos （8）下面分三种情况对（8）式进行导论 Ⅰ. 当0=M 时，即没有物体M 时：0=F由（8）式得：2π=-k x m a M M 解得M M M x x mka 224ωπ-=-= （9）于是：kmT 42==ωπ（10） 得到与（5）式相同的结论。
Ⅱ. 当0=m 时，即弹簧质量忽略时，0d d 22=l x则每一小段弹簧的形变量x d 都相等，即弹簧的形变是均匀的，此时的弹簧振子即我们平时看到的弹簧质量可忽略的理想弹簧振子，其振动周期为kM T π2= 得到与（1）式相同的结论。
Ⅲ. 当00≠≠m ,M 时，由（8）式得：mkx a AMk x m a MM M M -=-cos （11） 由（6）式得：kx ma A x M M M -=sin （12） 设M M x a ⋅-=2ω，将之与（12）式一起代入（11）式得：)sin()cos(ωωωωkmk m m Mk m mA x M k mM ⋅=⋅=从而得到：Mm k m k m =⋅ωω)tan(（13） 上式中M 、m 、k 为定值，ω为我们所求弹簧振子的圆频率。
显然只有当Mm为特殊值时，该超越方程才有精确解，否则只能是近似解。
例如： 当0→Mm，即0→m 时， M mk m k mk m =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅2)tan(ωωω （14） 化简得：M k =ω 从而得到 kM T π2= 此即理想弹簧振子的圆频率。
当0→mM，即0→M 时， 2πω=k m kmT 42==ωπ 即可得与（10）式一样的结论。
当4π=M m ，mk 4πω=还有等等…结果分析在推导出（13）式之后，我重新将各数据代入到公式中，计算得出的近似理论值0T 与测量值1T 的偏差缩小到了1.52%.虽然较之前只减小了不到0.4%，但这样的数据还是更为合理。
结论本文的论述过程是建立在弹簧的非线性形变基础和微积分公式之上，因此推理过程有些复杂，但，思路较为清晰、缜密，不失为一种好的论证过程。
同时由推导过程知，在振子质量M 和劲度系数K 不变的前提下，弹簧质量m 越大，采用（13）式与采用（2）式计算得出的理论值0T 之间的偏差越大。
因此，我们在处理弹簧振子周期问题时，当弹簧的质量与振子的质量相比基本可以忽略时，计算系统振动周期，可以近似的采用公式KM T m312+=π；但当弹簧的质量不可忽略且对实验的要求较高时，采用公式ωωkmk m M m tan ⋅= 所求出的结果更为精确。
参考文献：[1] 马文蔚等，物理学.第五版，高等教育出版社，2006，3（5）：1-6，64-69[2] 钱锋，潘人培. 大学物理实验.修订版 ，高等教育出版，2005,11. 73-76[3] 徐滔滔，《大学物理实验》期刊，1998年6月，第11卷，第2期：《关于弹簧振子振动周期的讨论》 [4] 杨桂通，弹性力学简明教程，清华大学出版社，2006,9:48-51[5] 陈学志，罗莹，《中国现代教育装备》，2011年08期：《探究弹簧劲度系数的影响因素》。