也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

合集下载

弹簧振子的振动周期表达式

弹簧振子的振动周期表达式

弹簧振子的振动周期(也称为弹簧振子的周期)可以使用下列公式表示:
T = 2π√(m/k)
其中:
T是周期,单位是秒。

m是振子的质量,单位是千克。

k是弹簧的弹性系数,单位是牛。

注意:牛是英制单位,表示弹性系数的大小。

这个公式通常用于解决单摆问题,即弹簧振子只有一个振动方向的情况。

如果有多个振动方向,则需要使用其他方法来计算周期。

在计算弹簧振子的周期时,还需要注意以下几点:
1 周期是指振子从一个极点到达另一个极点所需的时间。

极点是振
子振动范围的最大或最小值。

2 弹簧的弹性系数越大,振子的周期就越小。

这是因为弹簧的弹性
系数决定了弹簧的刚度,刚度越大,振子就越难振动。

3 振子的质量也会影响周期。

质量越大,振子就越难振动,周期就
越大。

4 弹簧振子的周期只与弹簧的弹性系数和振子的质量有关,与振子
的振幅(振动幅度)无关。

也就是说,振子的振幅越大,周
期并不会变化。

5弹簧振子的周期可以用来计算振子在一个完整周期内经过的路程。

如果知道振子的振速(每秒振动次数),也可以计算出振子的振幅。

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨(精)

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨(精)

第26卷第5期V01.26No.5周口师范学院学报JournalofZhoukouNormalUniversity2009年9月Sep.2009弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨周俊敏,王玉梅(周口师范学院物理系,河南周口466001)摘要:从能量的观点出发,分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程,并通过解微分方程,得出结论.这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值.关键词:弹簧振子;振动周期;机械能守恒;运动方程中图分类号:0326文献标识码:A文章编号:1671—9476(2009)05—0058—03弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用,而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量,因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要.在实验教学中笔者发现,大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周r‘‘—?———=7的正方向,建立坐标系如图1(b)所示.设质点的位置坐标为X,引即为质点相对于坐标原点的位移.取物体为研究对象,作用在物体上的力有两个:重力大小为mg,方向竖直向下;弹簧对物体的拉力F=一k(x+z。

),方向竖直向上.由此可知物体的合力F台一一点(z+X。

)+mg=一妇.由简谐图1期公式为T一2,r^/m+cM,学生通过实验测出fVK值的范围为0.32~0.34,但未从理论上分析c值在这一范围的原因[1-3].另外,教材中分析弹簧振子振动周期时,大都从力的观点[4_51出发得出运动方程.笔者从能量的观点出发,分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程,并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及1振动的定义“质点在线性回复力的作用下,围绕平衡位置的运动是简谐振动”可知,竖直放置的弹簧振子将作简谐振动.对于作简谐振动的振子来说,只有保守力作功,可以用机械能守恒定律来求运动方程.选取平衡位置为重力势能零点,振动物体重力势能为E,=一mgx,弹簧的弹性势能为E如=弹簧质量对振动周期的修正系数c=÷,从理论上O证明了学生的实验结果在误差范围内是正确的.11.1忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期弹簧与地面垂直弹簧的原长为L0,劲度系数为k,上端固定,下-}k(x+z。

弹簧振子振动周期的公式讨论

弹簧振子振动周期的公式讨论

弹簧振子振动周期的公式讨论陈思平西华师范大学物理与电子信息学院指导教师:罗志全四川·南充 637002摘要:本论文主要研究弹簧振子在振动过程中,如果改变弹簧振子的放置方式、不忽略弹簧质量与摩擦力、复杂的振子系统振动时以及在几种特殊情况下振子的振动周期公式。

关键词:弹簧振子;周期公式Th e di scu ssi on of Sprin g Vibr ation cy cl e f ormul aChen SipingDepartment of physics and electronic information, China West Normal University Instructor: Luo Zhiquan Sichuan·Nanchong 637002Abstr act:In the thesis,they are researched mainly that the spring oscillator in the vibration process, if changes in spring placement of oscillator,not ignore the spring mass and friction, the complex oscillator vibration and in some special cases, the vibration cycle oscillator formula.Key w or ds:spring oscillator; cycle formula目录摘要 (1)ABSTR ACT (1)1.引言 (2)2.理想状态下弹簧振子的相关结论 (2)3.放置方式对振子振动周期的影响 (3)4.摩擦力对振子振动周期的影响 (4)5.弹簧质量对振子振动周期的影响 (7)6.复杂弹簧振子系统的振动周期 (8)7.几种特殊情况下弹簧振子系统的周期计算 (10)结论……………………………………………………………………………………………………… (12)参考文献……………………………………………………………………………………………………… (13)致谢……………………………………………………………………………………………………… (13)1.引言振动现象在自然界中是广泛存在的,简谐运动又是最简单、最基本的振动形式。

弹簧振子周期影响因素

弹簧振子周期影响因素

弹簧振子周期的影响因素(南京 210096)摘要:本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响,分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。

并且通过对弹簧振子研究的进一步探析,发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测,其质量对周期公式产生的影响也是不同的。

从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。

关键词:弹簧振子;周期;质量;重心Spring vibrator cycle impact factors(Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096)Abstract:This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with.key words: spring vibrator; cycle;quality;focus人们在讨论弹簧振子的振动情况时,往往忽略弹簧本身的质量。

弹簧振子了解弹簧振子的周期与频率关系

弹簧振子了解弹簧振子的周期与频率关系

弹簧振子了解弹簧振子的周期与频率关系弹簧振子:了解弹簧振子的周期与频率关系弹簧振子是物理学中一个非常重要且常见的现象,它是由一个质点与一个弹簧相连接而形成的系统。

弹簧振子可以提供关于物体振动的许多有用信息,例如振动的周期和频率。

在本文中,我将解释弹簧振子的周期与频率之间的关系以及如何计算它们。

一、弹簧振子的周期弹簧振子的周期是指从一个极值到另一个极值的时间间隔,也就是振动的完成一次往复运动所需的时间。

弹簧振子的周期与其所受的力以及弹簧的刚度有关。

根据胡克定律,弹簧所受的力与其伸长或压缩的长度成正比。

因此,我们可以得到以下公式来计算弹簧振子的周期:T = 2π√(m/k)其中,T为弹簧振子的周期,m为质点的质量,k为弹簧的劲度系数。

从公式中可以看出,周期与质量成正比,与劲度系数的平方根成反比。

这意味着质量越大,周期越长;劲度系数越小,周期越长。

二、弹簧振子的频率弹簧振子的频率是指在单位时间内完成的振动次数,也可以理解为振动的速率。

频率与周期是倒数关系,即频率f等于周期T的倒数。

因此,我们可以使用以下公式来计算弹簧振子的频率:f = 1/T = 1/(2π√(m/k))从公式中可以推导出,频率与质量成反比,与劲度系数的平方根成正比。

这意味着质量越大,频率越小;劲度系数越小,频率越大。

频率与周期是描述弹簧振子的两个重要参数,它们之间的关系是互相决定的。

当我们知道其中一个参数时,可以通过上述公式计算出另一个参数。

三、应用举例为了更好地理解弹簧振子的周期与频率关系,我们来举一个例子。

假设一个弹簧的劲度系数为100 N/m,挂在上面的质点质量为1 kg。

我们可以用上述公式计算出弹簧振子的周期和频率。

首先,计算周期:T = 2π√(1/100) ≈ 0.628 s接下来,计算频率:f = 1/T ≈ 1.59 Hz所以,这个弹簧振子的周期约为0.628秒,频率约为1.59赫兹。

四、总结通过上述分析,我们了解到弹簧振子的周期与频率之间存在着确定的关系。

弹簧振子的频率和周期的计算

弹簧振子的频率和周期的计算

弹簧振子的频率和周期的计算弹簧振子是物理学中常见的一个模型,它能够帮助我们理解振动现象。

在这篇文章中,我们将探讨弹簧振子的频率和周期的计算方法。

首先,让我们从弹簧振子的定义开始。

弹簧振子是由一个质点和一个弹簧组成的系统。

当质点受到外力作用时,它会在弹簧的作用下发生振动。

弹簧的劲度系数k决定了弹簧的刚度,而质点的质量m则决定了振动的惯性。

弹簧振子的频率和周期与弹簧的劲度系数和质点的质量密切相关。

频率指的是单位时间内振动的次数,而周期则是完成一次完整振动所需的时间。

我们首先来计算弹簧振子的频率。

根据牛顿第二定律,质点所受的合力等于质量乘以加速度。

在弹簧振子中,质点所受的合力由弹簧的弹力和质点的重力共同决定。

根据胡克定律,弹簧的弹力与弹簧伸长的长度成正比。

因此,我们可以得到以下方程:kx = mg其中,k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的伸长长度,m是质点的质量,g是重力加速度。

我们可以将上述方程改写为:x = mg/k接下来,我们考虑质点的运动方程。

根据牛顿第二定律,质点的加速度与合力成正比。

在弹簧振子中,合力等于质点所受的弹力除以质量。

因此,我们可以得到以下方程:a = F/m = -kx/m其中,a是质点的加速度,F是质点所受的合力。

我们可以将上述方程改写为:a = -(k/m)x这是一个关于质点位移x的二阶线性微分方程。

我们可以假设解为x =A*cos(ωt + φ),其中A是振幅,ω是角频率,t是时间,φ是初相位。

将上述解代入微分方程中,我们可以得到:-Aω^2*cos(ωt + φ) = -(k/m)A*cos(ωt + φ)通过对比系数,我们可以得到ω的值:ω = sqrt(k/m)因此,弹簧振子的频率f等于角频率ω除以2π:f = ω/2π = sqrt(k/4π^2m)接下来,我们来计算弹簧振子的周期T。

周期是指完成一次完整振动所需的时间。

周期T等于频率f的倒数:T = 1/f = 2π/ω = 2π*sqrt(m/k)通过上述计算,我们可以得到弹簧振子的频率和周期的计算公式。

弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响

也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响金彪(浙江省上虞市春晖中学,浙江 上虞 312353)贵刊(《物理教师》)2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文,指出了贵刊(同上)2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误,认为“一质量为m 的弹簧与物体M (视为质点)组成的一个‘弹簧振子’,弹簧振子的振动周期为kmM T 22+=π。

”的结论是错误的,并经过计算后得出:一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的“弹簧振子”震动周期为:kmM T 32+=π。

而笔者认为此结论同样是错误的,我们可以先假设0=M ,即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动,振动稳定时,振动的周期由上式得kmT 32π=。

这个结论是否正确呢?总长度为L ,质量为m ,劲度系数为k 的弹簧一端固定,另一端自由(如图1所示),其振动的固有周期到底为多少呢?设另有一根弹簧的总长度很长,质量均匀分布,且弹簧单位长度的质量为Lm=η,劲度系数为k 。

让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来,稳定后必然在弹簧上形成驻波。

调节波源频率,使长弹簧的波长恰好为4L ,则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。

由于驻波的波节振幅为零,与图1弹簧的固定点O 一样;驻波的波腹振幅最大,与自由点P 一样,可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。

由于固体中弹性纵波的波速ρYv =(1)其中Y 为杨氏模量,ρ为密度,对于上述弹簧来说,等效密度和杨氏模量分别为:SkLY LS m ==,ρ,代入(1)式得: mkL v 2=(2) 欲使弹簧波波长为4L ,则图1弹簧的固有周期为:kmmkL L vT 442===λ(3) 由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。

那么为什么会引起这样的错误呢?该文认为:“对距O 点为l 的一小段弹簧l ∆,其振动速度可表示为O P图1l L v v A =。

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨

弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨

弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响摘 要:从能量的观点出发,通过对有弹簧质量弹簧振子的振动实验进行研究,分析弹簧振子振动周期与弹簧质量的关系。

关 键 词:弹簧振子;弹簧质量;振动周期振动作为自然界中最为普遍的运动形式之一, 在物理学的基础理论研究中具有显著地位, 正确理解与掌握振动的客观规律对于深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有十分重要的理论意义和实践意义。

作为自然界各种振动形式中最简单的一个抽象物理模型——简谐振子, 由一质量为m 的质点和一劲度系数为k 的无质量理想弹簧所组成, 其振动周期为2T = (1)在高中和大学物理中,弹簧质量对振动的影响往往被忽略。

显然,这在弹簧质量远小于振子质量的情况下是可行的。

但在一些实际问题中,人们往往会用弹簧的有效质量来对理想的弹簧振子振动周期公式进行修正。

查阅相关资料可知,由机械能守恒定律计算出有效质量为031m (其中0m 为弹簧质量);进一步由质心运动定理却得出有效质量为021m ,从而得到 “弹簧振子佯谬”;而利用数值计算解超越方程的方法,得出“有效质量随振子与弹簧质量比的增大而减小”,“当振子与弹簧质量比较大时,有效质量可小于031m ”,“不能简单地认为有效质量介于031m 和021m 之间”等结论。

理论繁杂冗乱,令人眼花缭乱。

本文通过对弹簧振子垂直地面放置的模型进行分析,并通过解微分方程,得出最终的周期公式。

考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期(弹簧与地面垂直情况)查阅资料可知,弹簧振子的周期T 与劲度系数k 、振子质量m 有关,在弹簧质量不可忽略时,还要考虑弹簧自身质量0m 的影响,则弹簧振子的振动周期公式可写为:k Cm m T 02+=π(2)式中0Cm 即为弹簧的有效质量,C 为待定系数,在下文中称为“有效质量系数”。

为了验证该公式并分析在弹簧与地面垂直情况下有效质量系数的大小,可以对该模型进行进一步分析。

设弹簧质量为M ,劲度系数为k ,振动物体质量为m ,在平衡位置时弹簧长度为L ,平衡时弹簧的拉伸量为x2,此时由于受力平衡,则20kx mg Mg -++=,则2mg Mg kx +=。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响
金彪
(浙江省上虞市春晖中学,浙江 上虞 312353) 贵刊(《物理教师》)2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文,指出了贵刊(同上)2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误,认为“一质量为m 的弹簧与物体M (视为质点)组成的一个‘弹簧振子’,弹簧振子的振
动周期为k m
M T 2
2+=π。

”的结论是错误的,
并经过计算后得出:一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的“弹簧振子”震动周
期为:k m M T 3
2+=π。

而笔者认为此结论同样是错误的,我们可
以先假设0=M ,即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动,振动稳定时,振动的周期由上式得k
m T
32π
=。

这个结论是否正确
呢?总长度为L ,质量为m ,劲度系数为k 的弹簧一端固定,另一端自由(如图1所示),其振动的固有周期到底为多少呢?
设另有一根弹簧的总长度很长,质量均匀分布,且弹簧单位长度的质量为L
m
=
η,劲度系数为k 。

让这根弹簧两端以相同的振O P
图1
幅和频率沿弹簧方向振动起来,稳定后必然在弹簧上形成驻波。

调节波源频率,使长弹簧的波长恰好为4L ,则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。

由于驻波的波节振幅为零,与图1弹簧的固定点O 一样;驻波的波腹振幅最大,与自由点P 一样,可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。

由于固体中弹性纵波的波速
ρ
Y
v =
(1)
其中Y 为杨氏模量,ρ为密度,对于上述弹簧来说,等效密度和杨氏模量分别为:
S
kL
Y LS m =
=
,ρ,代入(1)式得: m
kL v 2
=
(2)
欲使弹簧波波长为4L ,则图1弹簧的固有周期为:
k
m m
kL L v
T 4
42
==
=
λ
(3)
由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。

那么为什么会引起这样的错误呢?该文认为:“对距O 点为l 的一小段弹簧l ∆,其振动速度可表示为l L
v v A
=。

”并且“弹簧的弹性势能22
1
kx ”,这两个关系式的前提都是弹簧的形
变量是均匀的。

事实上当弹簧的质量不能忽略时,弹簧的形变量是不均匀的,离固定点O 越近的地方受到的弹力越大,形变量也就越大(示意图如图2所示)。

这是该文结论为什么会错的原因。

那么“一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的‘弹簧振子’震动周期”为多少呢?
设某时刻物体M 离开其平衡位置的位移为M x ,速度为M v ,加速度为M a ;而平衡位置距O 点为l 的一小段弹簧l d 离开其平
衡位置的位移为x ,速度为v ,加速度为a 。

由于所有质点的振动都同相,则有:
M
M M x x
v v a a ==。

又由于每一段弹簧离开平衡位置
的位移都等于它左侧所有小段的伸长量之和,则距O 点为l 的一小段弹簧l d 的伸长量为x d ,劲度系数为l kL d ,则其弹力为l
x kL d d ⋅,质量为
L
l
m d ⋅。

其与相邻小段弹簧的弹力差,即其所受合力为
L x l
xm a L l am l x kL f M M d d d d d ==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=。

化简可得: x kL
x m a l x
M M 2
22d d = 由于M 物体振动时的M a 与M x 反向,即
M
M
x a 为负值,则根据常
微分方程的理论,上面微分方程的解可写作)sin(2
θ+-
=l kL
x m
a A x M M 。

图2
其中A 为与M 离开平衡位置的位移有关的变量,由于O 点附近的质元离其平衡位置的位移趋向于零,可得θ=0。

即:l kL
x m
a A x M M 2
sin -
= (4) 则每一小段弹簧的形变量为
l l kL x m
a kL x m a A x M M M M d cos d 2
2⋅-⋅-
=
相应的小段弹簧弹力为
l kL
x m a x mk a A l kL
x F M M M M 2cos d d -⋅-=⋅=
(5) 对于连接M 物体的那小段弹簧,L l =,代入(5)式得
M M M M M Ma k
x m
a x mk a A F =-⋅-
=cos (6) 当0=M 时,即没有物体M 时:
0=F
由(6)式得:
2
π=-
k x m a M M M M M x x m k
a 224ωπ-=-
= (7) k
m
T 4
2==
ω
π
(8)
得到与(3)式相同的结论。

而当0=m 时,即弹簧质量忽略。

0d d 2
2=l
x
则每一小段弹簧的形变量x d 都相等,即弹簧的形变是均匀的,此时的弹簧振子即我们平时看到的弹簧质量可忽略的理想弹簧振子,其周期为k
M
T
π
2= 当00≠≠m ,M 时,由(6)式得:mk
x a A
M
k x m a M
M M M -
=-cos
(9)
由(4)得:
k
x m
a A x M M M -
=sin (10)
设M M
x a ⋅-=2ω,将之与(10)式一起代入(9)式得:
)sin()cos(
ωωωωk
m
k m m M
k m mA x M k m M ⋅=⋅= M
m k m k m =⋅ωω)tan(
(11)
上式中M 、m 、k 为定值,ω为我们所求弹簧振子的圆频率。

显然只有当
M
m
为特殊值时,该超越方程才有精确解,否则只能
是近似解。

例如:

0→M
m
,即0→m 时, M m
k m k m k m =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅2
)tan(ωωω。

相关文档
最新文档