矩形的判定证明题
矩形的判定相关习题及其详解
矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．下列说法正确的是(D)A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC 的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．知识点2对角线相等的平行四边形是矩形4．能判断四边形是矩形的条件是(C)A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由．解：四边形EFGH是矩形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO.∴AO＝CO＝BO＝DO.∵点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH.∴四边形EFGH是平行四边形．又∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．知识点3有三个角是直角的四边形是矩形7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D) A．OA＝OC，OB＝ODB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°8．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝12∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．02中档题9．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC ＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A) A．2 3 B．33C．4 D．43第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)∵四边形ABCF 是矩形，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.∴∠DAF ＝90°－∠D ，∠CGF ＝90°－∠ECD.∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠DAF ＝∠CGF.又∵∠EGA ＝∠CGF ，∴∠DAF ＝∠EGA.∴EA ＝EG.14．如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB ＝BE ，连接BD ，DE ，EC ，DE 交BC 于点O.(1)求证：△ABD ≌△BEC ；(2)若∠BOD ＝2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ，∴∠A ＝∠EBC.在△ABD 和△BEC 中，⎩⎨⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形．∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED. ∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED.∴四边形BECD 是矩形．03 综合题15．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE.∴OE ＝OF.(2)由(1)，知∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ， ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.∵(∠OCF ＋∠OCE)＋(∠OFC ＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°.∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.又∵OE ＝OF ，∴OC ＝12EF ＝132. (3)当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形． 理由：连接AE ，AF.当点O 移动到AC 中点时，OA ＝OC ，又∵OE ＝OF ，∴四边形AECF 为平行四边形．又∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 为矩形．。
矩形的判定试题及答案
矩形的判定试题及答案一、选择题1. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）。
A. AB∥CD，AD∥BCB. ∠A=∠B=∠C=∠D=90°C. 对角线AC=BD且互相平分D. AB=CD且AD=BC答案：D2. 如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形一定是（）。
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形答案：C二、填空题3. 在矩形ABCD中，若∠BAC=90°，AB=3cm，BC=4cm，则对角线AC的长度为_________。
答案：5cm（根据勾股定理）4. 若矩形的长为8cm，宽为6cm，则其周长为_________。
答案：28cm（周长=2*（长+宽））三、解答题5. 已知平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，∠B=90°，求证：ABCD是矩形。
证明：由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。
又因为∠B=90°，根据平行四边形的性质，对应的角也相等，即∠A=∠C=∠D=90°。
因此，ABCD是一个矩形。
6. 如图所示，矩形EFGH中，EF=6cm，FH=8cm，求对角线EH的长度。
解：由于EFGH是矩形，所以EH是FH的对角线，并且EH=GF。
根据矩形的性质，对角线相等，所以EH=FH。
又因为FH=8cm，所以EH=8cm。
四、综合题7. 在矩形PQMN中，已知PQ=10cm，QM=4cm，求证：对角线PN的长度为√41cm。
证明：由于PQMN是矩形，所以PQ∥MN，PM∥QN，且∠PQM=∠QMN=90°。
根据勾股定理，PN² = PM² + QM²。
由于PM=QN=PQ=10cm，QM=4cm，所以PN² = 10² + 4² = 100 + 16 = 116。
因此，PN = √116 = √41cm。
答案：对角线PN的长度为√41cm。
20.2 矩形的判定(第1课时)
B
C
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A D
O
B
C
知识链：
有一个角是直角
平行四边形 四边形
矩形
有三个角是直角
矩形的判定口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。
想一想
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做 成的门框是否是矩形？说说你的想法.
B A D
O
C
课堂小结 这节课你有什么收获？
A D
ABCD AC = BD
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD 是矩形
B
O
四边形ABCD 是矩形
C
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH
AD=CD=BD,DE、DF分别是∠BDC、 ∠ADC的平分线.四边形FDEC是矩形 吗?为什么?
C F A D
例1 如图,在△ABC中,点D在AB上,且
E
B
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
矩形的性质与判定典型例题
矩形的证明题目一．选择题（共5小题）1．（2016春•巴南区校级月考）如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的,其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16,…,则第⑧个矩形的周长为（)A．168 B．170 C．178 D．1882．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8,矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF,则△BDF的面积是( ）A．32 B．16 C．8 D．16+a23．(2016•深圳模拟)如图所示，矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形;②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2015•十堰一模）如图,在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A．8B．8 C．4D．65．（2015•天台县模拟)如图，矩形ABCD中，BC=1，连接AC与BD交于点E1，过E1作E1F1⊥BC于F1，连接AF1交BD于E2，过E2作E2F2⊥BC于F2，连接AF2交BD于E3，过E3作E3F3⊥BC于F3，…，以此类推，则BF n （其中n为正整数）的长为( ）A． B． C． D．二．解答题(共25小题)6．（2015•龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．(1）求证：AE=DC;（2）已知DC=，求BE的长．7．(2015•玉林)如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长;（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．8．（2015•石家庄二模）已知：如图所示,四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD,点E在矩形上方,点F在矩形内部，连接AE、EF．（1）求∠ECF的度数;（2)求证:AE=FE．9．（2015春•巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；(2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．10．（2015秋•开江县期末）已知，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点,CF交AB于点E，G是CF 上一点，且AG=AC，∠ACG=2∠GAF．（1）若∠ACB=60°，求∠ECB的度数．（2）若AF=12cm，AG=6。
19.2.2矩形的判定
△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线 MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 ∠BCA的外角平分线于点F，(1)找出图形中相等 的线段，并证明.（2）试说明EO=OF的理由。
（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并说明你的结论。
A
M E O F
解：∵四边形ABCD是平行四边形 B ∴AC = 2OA，BD = 2OB ∵ △AOB是等边三角形∴OA = OB ∴AC =BD ∴ ABCD是矩形∴∠ ABC=90° 在Rt△ABC中， ∵AB = 4cm，AC=2OA=8cm ∴BC= 8 2 4 2 4 3 (cm)
∴S BC ABCD =AB· = 4×4 3 =16 3 cm
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
按照画“边—直角、边—直角、边—直角、 边”这样四步画出一个四边形。
② ①
③
④
判断它是一个矩形吗？你的理由是什么？
矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 。
A D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
C
情境二：工人师傅为了检
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
D
C
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD （或OA=OC=OB=OD）
矩形的判定(5种题型)(解析版)
矩形的判定（5种题型）【知识梳理】一、矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）要点诠释：②证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】题型一：矩形的判定定理的理解例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D．∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．【变式】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC BD⊥时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【答案】C【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形ABCD的对角线相等，则可得平行四边形ABCD是矩形．【总结】考察矩形的证明方法．题型二：添加一个条件使四边形是矩形例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件，使▱ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加的条件是AC＝BD．【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决本题的关键．题型三：证明四边形是矩形例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC AECF是矩形？请写出证明过程．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，则AE∥CF，再由全等三角形的性质得AE＝CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE ，BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，AO ＝OC ，∵E ，F 分别为AO ，OC 的中点，∴EO ＝OA ，OF ＝OC ，∴EO ＝FO ，∵BO ＝OD ，EO ＝FO ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF ；（2）解：当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形；理由如下：当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形，∴当OD ＝OE 时，四边形DEBF 是矩形，∵AE ＝OE ，∴AC ＝2BD ，∴当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．题型四：矩形的性质与判定求线段长 例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF E =，连接DF ，AF 与DE 交于点O ．(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．【答案】(1)见解析 (2)125【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC EF =，根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AD BC =，即可得出AD EF =，可证明四边形AEFD 为平行四边形，根据AE BC ⊥即可得结论；（2）根据矩形的性质可得AF DE =，可得BAF 为直角三角形，利用“面积法”可求出AE 的长，即可得答案．【详解】（1）BE CF =，BE CE CF CE ∴+=+，即BC EF =， ABCD 是平行四边形，AD ∴∥BC ，AD BC =，AD EF ∴=， AD ∥EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，AE BC ⊥，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 为矩形．（2）四边形AEFD 为矩形，AF DE ∴=，DF AE =，2OE =，∴4DE =，∵3AB =，5BF =，∴222AB AF BF +=，BAF ∴为直角三角形，90BAF ∠=︒，∴1122ABFS AB AF BF AE=⨯=⨯，∴125 AE=，∴125 DF AE==．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．【答案】（1）证明：AE=BE=EP，∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，∴∠EAB+∠EAP=90°，∴∠BAD=90°，∵平行四边形ABCD∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=∠D=∠PMC=90°，∴四边形PMCD为矩形，同理四边形ABMP为矩形，∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，∵BE=EP，EN∥PM，∴BN=NM ，∴EN=12PM=2， ∵12·BF ·EN=5，∴BF=5，∵EF ⊥BP ，BE=EP∴PF=BF=5，∴FM=3，∴AP=BM=8，∴BC=BP=∴CF=BC-BF=．题型五：矩形的性质与判定求面积例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF ＝90°．（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD ＝5，DF ＝3，求四边形ABCF 的面积S ．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，得∠BAE ＝∠FDE ，而点E 是AD 的中点，可得△BEA ≌△FED （ASA ），即知EF ＝EB ，从而四边形ABDF 是平行四边形，又∠BDF ＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；（2）由∠AFD ＝90°，AB ＝DF ＝3，AF ＝BD ，得AF ＝＝＝4，S 矩形ABDF ＝DF •AF ＝12，四边形ABCD 是平行四边形，得CD ＝AB ＝3，从而S △BCD ＝BD •CD ＝6，即可得四边形ABCF 的面积S 为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．【变式1】已知ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个平行四边形的面积.【答案】 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形.∴△ABO ≌△DCO又∵△ABO 是等边三角形∴△DCO 也是等边三角形，即AO ＝BO ＝CO ＝DO∴AC ＝BD∴ ABCD 为矩形.∵AB ＝4，AC ＝AO ＋CO∴AC ＝8在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC ＝∴矩形ABCD 的面积为：AB BC ＝16 【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）先根据矩形的性质可得OA OC =，AD BC ∥，再根据ASA 定理证出AOE COF ≌，根据全等cm cm cm cm 2cm三角形的性质可得OE OF =，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形AFCE 的边长为x ，则12BF x =−，在Rt ABF 中，利用勾股定理求出x 的值，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，AD BC ∥，OAE OCF ∴∠=∠，∵O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，∴OA OC =，在AOE △和COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA AOE COF ∴≌， OE OF ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．（2）解：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，设菱形AFCE 的边长为x ，则AF CF x ==，12BC =，12BF BC CF x ∴=−=−，在Rt ABF 中，222AB BF AF +=，即()222612x x +−=，解得7.5x =， 7.5CF ∴=，则四边形AFCE 的面积为7.5645CF AB ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD 是矩形，则添加的数据是（ ）A ．4CD =B ．2CD =C ．2OD = D ．4OD =【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．【详解】解：当4OD =时，由题意可知，4AO CO ==，4BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵8AC BD ==,∴四边形ABCD 是矩形，故选：D【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，则四边形CEDF 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF 是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解： 点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，11//,3,//,4,22DE BC DE BC DF AC DF AC ∴====∴ 四边形DECF 是平行四边形，90,C ∠=︒∴ 四边形DECF 是矩形，3412.DECF S ∴=⨯=矩形故选：.B【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键. A ．3B ．【答案】A 【分析】连接AC ，由菱形的性质可证ABC 和ACD 是等边三角形，从而求得2AC =，根据点E 、F 是AB 、CD 的中点可得CE AB ⊥，AF CD ⊥，进而证明四边形AECF 是矩形，再利用勾股定理求出=EC 即可求出结果．【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，ABC ∠︒=60，2AB =，==60B D ∴∠∠︒ ，====2AB BC CD AD ，==120BAD BCD ∠∠︒，==60BAC BCA ∴∠∠︒，==60DAC DCA ∠∠︒，∴ABC 和ACD 是等边三角形，2AC AB ==，∵点E 、F 是AB 、CD 的中点，CE AB ∴⊥，AF CD ⊥，==30CAF ACE ∠∠︒，==90BAF DCE ∴∠∠︒，∴四边形AECF 是矩形， 1==12AE AB ，∴在Rt AEC 中，EC∴矩形AECF 的面积为：=1AE EC ⨯故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质及等边三角形的判定和性质和勾股定理，熟练运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． A ．232−B ．2【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出AD BC ∥，得出DEC BCE ∠=∠，证明45ABE AEB ∠==︒，得出2AB AE ==，根据勾股定理求出BE =【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵EC 平分DEB ∠，∴DEC BEC ∠=∠，∴BEC ECB ∠=∠，∴BE BC =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∵=45ABE ∠︒，∴45ABE AEB ∠=∠=︒，∴2AB AE ==.∵由勾股定理得：BE ===，∴BC BE ==∴2DE AD AE BC AB =−=−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能证明ABCD Y 是菱形的是（ ）A ．ABD ADB ∠=∠ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【答案】D 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意，D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，∴ABCD Y 是矩形，故选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．【答案】C【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A 、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；B 、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C 、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；如图所示，在菱形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD AD 、、、的中点，∴EH 是ABD △的中位线，∴12EH BD EH BD =，∥，同理得111222EF AC EF AC FG BD GH AC ===，∥，，， ∴EH FG EF GH ==，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴EH EF ⊥，∴四边形EFGH 是矩形；D 、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．【答案】C【分析】连接CM ，先证四边形PCQM 是矩形，得PQ CM =，再由勾股定理得3BD =，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小，然后由面积法求出CM 的长，即可得出结论．【详解】解：如图，连接CM ，MP CD ⊥于点P ，MQ BC ⊥于点Q ，90CPM CQM ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8CD AB ==，90BCD ∠=︒，∴四边形PCQM 是矩形，PQ CM ∴=，由勾股定理得：10BD ==，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小， 此时，1122BCD S BD CM BC CD =⋅=⋅△， 即11106822CM ⨯⨯=⨯⨯，245CM ∴=， PQ ∴的最小值为245，故选：C ．【点睛】勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点，EF BC ∥，则BF DE +最小值是（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】B 【分析】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，根据全等三角形的判定得到ADE DMF ≌，得到DE MF =，故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，即为BM 的值．【详解】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，如图∵EF BC ∥，四边形ABCD 是矩形∴四边形AEFD 和四边形EBCF 是矩形∵AD DM =，AE DF =，90EAD FDM ==︒∠∠∴ADE DMF ≌∴DE MF =∴=BF DE BF FM ++∵点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，且BF DE +的值等于BM 的值在Rt BAM △中，10BM ===故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，做出辅助线，构建DMF 使得ADE DMF ≌是解决本题的关键．二、填空题 9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE ≌△COF ，得△AOE 、△COF 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD 的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；又∵∠AOE ＝∠COF ，在△AOE 和△COF 中，∵AEO CFO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △BCD ；∵S △BCD ＝12BC•CD ＝6，∴S 阴影＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 11．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在ABCD Y 中AC BD 、相交于点O ，8AC =，当OD =______时，ABCD Y 是矩形．【答案】4【分析】根据矩形的判定与性质即可解答．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴要使四边形ABCD 为矩形，则8BD AC ==，142OD BD ∴==，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A′B′C′=S △ABC ，BC=B′C′，BC ∥B′C′，∴四边形B′C′CB 为平行四边形，∵BB′⊥BC ，∴四边形B′C′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A′B′C′+S 矩形B′C′CB-S △ABC=S 矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【答案】14【分析】有矩形的性质和勾股定理分别求出EJ FJ =AK BK ==【详解】解：在矩形ABCD 中，∵4590BAF ABF ∠=︒∠=︒，，∴45454ABG AFB AB BF ∠=︒∠=︒==，，，∵6BC =，∴2BE CF AH DG ====，∴2HG EF ==，∴EJ FJ =∵4AB =，∴AK BK ===∴(24614S ⎡⎤=⨯−=⎢⎥⎣⎦阴影．故答案为：14．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并理解题意是解题的关键． 统考一模）如图，ABC 的边，将ABC 平移得到A B C '''，且 【答案】62【分析】利用平行的性质可得2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCC B ''是平行四边形，同时可证得ABC A B C S S '''=△△，再证明四边形BCC B ''是矩形，由此可得阴影部分的面积等于矩形BCC B ''的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算．【详解】解：∵将ABC 平移2cm 得到A B C '''，∴2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△， ∴四边形BCC B ''是平行四边形，∵BB BC '⊥，90B BC ∴='∠︒，∴四边形BCC B ''是矩形，∴22BCC B S S ''==⨯=阴影，故答案为：【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平移的性质，证明四边形BCC B ''是矩形是解题的关键．三、解答题 分别是ABC 各边的中点． 请你为ABC 添加一个条件，使得四边形【答案】(1)四边形ADEF 为平行四边形，证明见解析(2)90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE AC EF AB ∥，∥，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理证明．【详解】（1）解：四边形ADEF 为平行四边形，理由如下：∵D ，E ，F 分别是ABC 各边的中点，∴DE AC EF AB ∥，∥，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，理由如下：由（1）得：四边形ADEF 为平行四边形，又∵90DAF ∠=°，∴平行四边形ADEF 是矩形．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． (1)求证：四边形ABCF (2)若ED EC =，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据,AB DC FC AB =∥，可得四边形ABCF 是平行四边形，再由90BCD ∠=︒，即可求证；（2）根据四边形ABCF 是矩形，90AFD AFC ∠=∠=︒，从而得到90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠，再由ED EC =，可得D ECD ∠=∠，从而得到DAF CGF ∠=∠，进而得到EAG EGA ∠=∠，即可求证．【详解】（1）证明：∵,AB DC FC AB =∥，∴四边形ABCF 是平行四边形．∵90BCD ∠=︒，∴四边形ABCF 是矩形．（2）证明：∵四边形ABCF 是矩形，∴90AFD AFC ∠=∠=︒，∴90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠．∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠．∴DAF CGF ∠=∠．∵EGA CGF ∠=∠，∴EAG EGA ∠=∠．∴EA EG =．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．【答案】见解析【分析】首先证明四边形ABCD 是平行四边形，得出OA OC =，OB OD =，根据OA OD =，得出AC BD =，即可证明．【详解】解：证明：∵AB CD =，AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，OB OD =．又∵OA OD =，∴AC BD =，∴平行四边形ABCD 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 18．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,BD AC 相交于点,,O AE BD BF AC ⊥⊥，垂足分别为,E F ．若CF DE =，求证：四边形ABCD 为矩形．【答案】见解析【分析】利用HL 证明ADE BCF ≌，得出AE BF =，利用AAS 证明AOE BOF △≌△，得出AO BO =，结合平行四边形的性质可得出AC BD =，然后利用矩形的判定即可证明．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，2AC AO =，2BD BO =，∵,AE BD BF AC ⊥⊥，∴90AED AEO BFC BFO ∠=∠=∠=∠=︒，又CF DE =∴()Rt Rt HL ADE BCF ≌，∴AE BF =，又AOE BOF ∠=∠，∴()AAS AOE BOF ≌，∴AO BO =，又2AC AO =，2BD BO =，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，证明AO BO =是解题的关键． 19．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，ABC 中，D 是BC 中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连接BF ．请从以下三个条件：①AB AC =；②FB AD =；③E 是AD 的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形AFBD 为矩形．(1)你添加的条件是 ；（填序号）(2)添加条件后，请证明四边形AFBD 为矩形．【答案】(1)①(2)见解析【分析】（1）根据已知可得四边形AFBD 是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解；（2）先证明四边形AFBD 是平行四边形，①根据三线合一得出AD BD ⊥，能证明四边形是矩形；②只能证明四边形为平行四边形；③证明AFE DCE △≌△，可得AF DC =，进而根据已知得出BD AF =，不能证明四边形是矩形．【详解】（1）解：添加的条件是①故答案为：①．（2）证明：∵AF BC ∥，AF BD =，∴四边形AFBD 是平行四边形，①AB AC =；∵ABC 中，D 是BC 中点，∴四边形AFBD 是矩形；②添加FB AD =；四边形AFBD 是平行四边形，不能证明四边形AFBD 是矩形；③E 是AD 的中点∴AE DE =，∵AF BC ∥，∴FAE DCE ∠=∠，又AEF DEC ∠=∠，∴()AAS AFE DCE ≌，∴DC AF =，又BD CD =，∴BD AF =，∴③不能证明四边形AFBD 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． (1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)设AC ＝12，BD ＝16，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明平行四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，通过CE BD ∥，DE AC ∥证明四边形OCED 为平行四边形，结合AC BD ⊥即可证明；（2）由（1）可得平行四边形ABCD 为菱形，故12OC AO AC ==，12OB DO BD ==，结合四边形OCED 是矩形，运用勾股定理即可求得OE 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ＝，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵CE BD ∥，DE AC ∥，∴四边形OCED 为平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形．（2）∵=12AC ，16BD =， ∴162OC AC ==，182DO BD ==，在Rt COD 中，10CD =，由（1）知四边形OCED 为矩形，∴10OE CD ==．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键． 21．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，过点D 作∥DE A C 交BC 的延长线于点E ，点M 为AB 的中点，连接CM ．(1)求证：四边形ADEC 是矩形；(2)若5CM =，且8AC =，求四边形ADEB 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，由∥DE A C 即可证明四边形ADEC 是平行四边形，再由AC BC ⊥即可证明平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出10AB =，进而利用勾股定理求出6BC =，再利用平行四边形的性质得到6AD =，由此即可利用矩形周长公式求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∵∥DE A C ， ∴四边形ADEC 是平行四边形，∵AC BC ⊥，即A C C E ⊥，∴平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）解：∵AC BC ⊥，点M 为AB 的中点，5CM =，∴210AB CM ==，在Rt ABC △中，由勾股定理得6BC ==， ∵四边形ABCD 是平行四边形，四边形ADEC 是矩形∴6AD BC CE ===，8DE AC ==∴四边形ADEB 的周长68661036AD DE CE CB AB =++++=++++=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 22．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，DF ⊥AC 于点F ． 求证：AE ＝DF ．【答案】见解析【分析】根据矩形的性质得到OA ＝OC ＝OB ＝OD ，再根据AE ⊥BD ，DF ⊥AC 得出∠AEO ＝∠DFO ，从而证明出△AOE ≌△DOF 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵AE ⊥BD ，DF ⊥AC ，∴∠AEO ＝∠DFO ＝90°，在△AOE 和△DOF 中，AEO DFO AOE DOFAO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△DOF （AAS ），∴AE ＝DF ．【点睛】本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明． 八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，在ABC 中，点(1)求证：四边形ADFE 为矩形；(2)若30C ∠=︒，2AF =，写出矩形【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接DE ，先根据三角形的中位线的性质证明四边形ADFE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可；（2）根据矩形的性质得出90BAC FEC ∠=∠=︒，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出4BC =，2CF =，然后解直角三角形求出矩形的边长即可得出矩形的周长．【详解】（1）连接DE ，如图，∵点E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =．∵点D 是边AB 的中点， ∴12AD AB =．∴AD EF =．∴四边形ADFE 是平行四边形．∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴12DE BC =． ∵2BC AF =，∴AF DE =．∴平行四边形ADFE 是矩形．（2）∵四边形ADFE 为矩形，∴90BAC FEC ∠=∠=︒．∵2AF =，点F 是边BC 的中点，∴24BC AF ==，2CF AF ==．∵30C ∠=︒，∴1EF =，CE∴AE CE ==∴矩形ADFE 的周长为：())2212AE EF +==．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质以及解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．。
矩形判定练习题
CBA D矩形的判定一.选择题1．下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．内角都相等的四边形是矩形 2．下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相垂直且相等D. 对角线互相平分且相等 3．下列给出的条件中，不能判断一个四边形是矩形的是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等．且两条对角线相等 B. 有三个角都是直角C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形D. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角4．四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180° C ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD5．若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A ．一般平行四边形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．矩形 6．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）． A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90° C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90° 7.如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上一点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂足分别为点D 、E ，则DE = ．8.如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=60°则重叠部分的面积是cm 2．三、综合提高1．已知：如图，在ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ． 求证：ABCD 是矩形．BACDOOMDB ANMD C BA FE C B A ODA CB 2．已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．3．已知：如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．4.中，以AC 为斜边作Rt △AMC ，且∠BMD 为直角.求证：四边形ABCD 是矩形.5．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 是等边三角形， AB=4cm.(1)平行四边形ABCD 是矩形吗？说明理由。
矩形的判定
求证: 四边形ABCD是矩形 证明： 在 ABCD中， AB=DC,BD=CA,AD=DA。 所以△BAD≌△CDA(SSS)。
所以∠BAD=∠CDA。 因为AB∥CD， 所以∠BAD＝90°。 所以∠BAD +∠CDA=180°。 所以四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边 形是矩形）
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
变式一: 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
A E H D
O F B G C
找一找 如图,四边形ABCD的对角线相交于点O, 给出下列条件:①AB∥CD ②AB=CD ③ AC=BD ④∠ABC=90°⑤OA=OC ⑥OB=OD 请从这6个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩 形,并说明理由. 可以说明平行四边形的有: ①② ⑤⑥ ①⑤ ①⑥ ①②③ ①②④ ⑤⑥③ ①⑤③ ①⑥③ ⑤⑥④ ①⑤④ ①⑥④
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
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1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．
2.已知：点O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由．（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．
3.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。
4.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
5.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．
6.如图，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．
7.如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD =5，BD =8，计算tan∠DCE的值．
8.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE 相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形；（2）若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．
1.考点：矩形的性质和判定全等三角形的判定
试题解析：（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴∠B=∠EDC
又∵AB=AC，
∴AC=DE
∴∠EDC=∠ACD
在△ACD和△EDC中
∴△ACD≌△EDC
（2)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE，
∴AE∥CD
∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
2.考点：矩形的性质和判定菱形的性质与判定
试题解析：（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答；
（2）根据菱形的对角线互相平分求出OC、OD，再根据勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对角线相等求解．
解：（1）四边形OCED是矩形．
理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，
∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，
∴CD===5，
在矩形OCED中，OE=CD=5．
3.考点：菱形的性质与判定矩形的性质和判定
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MDO=∠NBO
∵MN是BD的中垂线，
∴DO=BO ,BD⊥MN,MD=MB
在△MOD和△NOB中，∠MDO=∠NBO，DO=BO, ∠MOD=∠NOB ∴△MOD≌△NOB（ASA）
∴MD=NB
又∵MD∥NB
∴四边形BMDN是平行四边形
∵MD=MB
∴平行四边形BMDN是菱形
（2）解：根据（1）可知：
设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8-x
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
答：MD长为5。
4.考点：矩形的性质和判定
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；（6分）
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC=FC²+FB²=32+42=5，∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
5..考点：全等三角形的判定矩形的性质和判定
试题解析：证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=CB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
7.考点：菱形的性质与判定
试题解析：（1）∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形,
∴．
∴．
∴平行四边形是矩形．
（2）∵四边形是菱形，BD=8,
∴，CD=AD=5．
∴．
∵四边形是矩形,
∴DE=OC=3，CE=OD=4．
∵,
∴在Rt△中，
15.考点：矩形的性质和判定菱形的性质与判定
试题解析：（1）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠COD=90°；而CE∥BD，DE∥AC，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
∴四边形CODE是矩形．
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=OC=AC=3，OD=OB，∠AOB=90°，由勾股定理得：
BO2=AB2﹣AO2，而AB=5，
∴DO=BO=4，
∴四边形CODE的周长=2（3+4）=14．。