矩形的判定证明题

1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．

2.已知：点O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由．（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．

3.已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。

4.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．

5.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．

6.如图，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．

7.如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD =5，BD =8，计算tan∠DCE的值．

8.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE 相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形；（2）若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．

1.考点：矩形的性质和判定全等三角形的判定

试题解析：（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AB∥DE，AB=DE，

∴∠B=∠EDC

又∵AB=AC，

∴AC=DE

∴∠EDC=∠ACD

在△ACD和△EDC中

∴△ACD≌△EDC

（2)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴BD∥AE，BD=AE，

∴AE∥CD

∵点D是BC中点，

∴BD=CD，

∴AE=CD，

∴四边形ADCE是平行四边形

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴四边形ADCE是矩形

2.考点：矩形的性质和判定菱形的性质与判定

试题解析：（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答；

（2）根据菱形的对角线互相平分求出OC、OD，再根据勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对角线相等求解．

解：（1）四边形OCED是矩形．

理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠COD=90°，

∴四边形OCED是矩形；

（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，

∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，

∴CD===5，

在矩形OCED中，OE=CD=5．

3.考点：菱形的性质与判定矩形的性质和判定

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠MDO=∠NBO

∵MN是BD的中垂线，

∴DO=BO ,BD⊥MN,MD=MB

在△MOD和△NOB中，∠MDO=∠NBO，DO=BO, ∠MOD=∠NOB ∴△MOD≌△NOB（ASA）

∴MD=NB

又∵MD∥NB

∴四边形BMDN是平行四边形

∵MD=MB

∴平行四边形BMDN是菱形

（2）解：根据（1）可知：

设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8-x

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

答：MD长为5。

4.考点：矩形的性质和判定

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∵BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形；（6分）

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC=FC²+FB²=32+42=5，∴AD=BC=DF=5，

∴∠DAF=∠DFA，

∴∠DAF=∠FAB，

即AF平分∠DAB．

5..考点：全等三角形的判定矩形的性质和判定

试题解析：证明：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，

∴∠BAE=∠CAD，

∵在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD（SAS），

∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，

∵DE=CB，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵AE=AD，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠BEA=∠CDA，

∴∠BED=∠CDE，

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∴∠CDE+∠BED=180°，

∴∠BED=∠CDE=90°，

∴四边形BCDE是矩形．

7.考点：菱形的性质与判定

试题解析：（1）∵DE∥AC，CE∥BD

∴四边形是平行四边形．

∵四边形是菱形,

∴．

∴．

∴平行四边形是矩形．

（2）∵四边形是菱形，BD=8,

∴，CD=AD=5．

∴．

∵四边形是矩形,

∴DE=OC=3，CE=OD=4．

∵,

∴在Rt△中，

15.考点：矩形的性质和判定菱形的性质与判定

试题解析：（1）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠COD=90°；而CE∥BD，DE∥AC，

∴∠OCE=∠ODE=90°，

∴四边形CODE是矩形．

（2）∵四边形ABCD为菱形，