紊流力学1
河流动力学第二章 水流的紊动(1)
(y 0 )
说明：在紊流核心区（y>0），紊流流速呈对数规律分布。
在水面处 y H , u umax 代入得
umax u 1 ln H
u*
y
最大流速umax 往往未知，且该式无法反应边界粗糙情
况
紊流存在不同的壁面类型
一、光壁的流速分布
y ,u u
u 1 ln yu* A
向着波谷方向的压力
这两个垂直于流层的压力将促使这 个流层的波幅更加增大
波幅增大到一定程度后，动水压力形成的力 偶和切力产生的力偶，将促使涡体形成。
在涡体上部，旋转方向和上部流速方向一致，流速加 大而压强变小，下部则流速减小而压强增大，这样就 产生了一个压差即升力，迫使涡体从一个流层进入另 一个流层而混掺。
u
y
5.75 lg(30.2 )
u*
ks
式中 χ 为修正系数，它是 ks / 的函数，见下图。
χ与 k s / 的关系
沿水深积分可得紊流的断面平均流速 光壁条件下的断面平均流速公式
U u*
3.25 5.75 lg Ru*
糙壁条件下的断面平均流速
U u*
6.25
5.75 lg
R Ks
引进校正值 以上两式合并为
（1）忽略粘滞切应力，近壁处切应力为一常量，且 其值等于边壁处的切应力 0，即= 0 ；
（2）混合长度l随着离边壁的距离y呈线性变化，即l=y。
0
l 2 ( dux
dy
)2
2y2 ( dux
dy
)2
u*
0 y dux
dy
dux 1 dy
u* y
摩阻流速如何确定?
ux 1 ln y C
动力学和流体力学中的紊流分析
动力学和流体力学中的紊流分析动力学和流体力学是两个重要的学科，它们在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
其中一个重要的研究方向就是紊流分析。
紊流是一种无序、混沌、不可预测的流动状态，它具有很高的复杂性和多样性。
在许多科学和工程领域，紊流都是一个极具挑战性的问题，深入研究紊流的本质和机制，对于提高科学认识和技术水平具有重要的意义。
一、紊流和流体力学流体力学是研究流体运动和相应的物理现象的学科。
流体力学基于连续介质假设，认为物质是连续的，流体有连续的质量、能量和动量。
在流体力学中，通常分为牛顿流体和非牛顿流体两种情况，牛顿流体具有稳定的膜性质和扩散性质，非牛顿流体的特点是膜特性和非线性特性。
在流体力学中，流动分为层流和紊流两种状态。
层流状态下，流体的运动是有序的、稳定的，流速分布规律，流体发生的摩擦阻尼小，流体的稳定性高。
紊流状态下，流体的运动是无序的、不稳定的，流速分布不规律，流体发生的摩擦阻尼大，流体的稳定性差。
由于紊流状态下的流动机理十分复杂，因此紊流是流体力学中的一个重要研究方向。
二、紊流的特点和本质紊流的特点主要有以下几个方面：1、无序性 - 紊流的运动速度和方向都是无规律的，不能形成规律的模式。
2、混沌性 - 紊流中的流体运动是混沌的、不可预测的，小扰动可能对流体的运动状态产生极大的影响。
3、多样性 - 紊流的形态多样，流速分布和涡旋形成都十分复杂，具有高度的多样性和复杂性。
紊流本质上是由于流体运动的速度和方向的微小涨落，引起流体中的摩擦和阻力的不规律扰动和能量传递，造成流体的局部运动发生不规则变化，难以建立完整的数学模型来描述。
在现代科学研究中，紊流被认为是一个重要的复杂系统，由于其不确定性和复杂性，成为许多领域的热门研究和计算机模拟对象。
三、紊流的研究方法和应用领域紊流的研究方法通常分为理论分析、计算模拟和实验研究三种。
理论分析主要是基于数学模型和物理学原理，推导出可以描述紊流运动特征的公式和方程，如雷诺平均法和湍流模型等；计算模拟主要是利用计算机在数值上对流体的流动状态进行模拟和分析，如有限元法、网格网格方法和动力学离子法等；实验研究主要是通过实验装置观察、测量和分析流体的运动状态，如风洞实验和湍流管实验等。
第四章紊流流动
式中：
R2
Fk R 2 P P2 1 —管道横截面积。
4 1
13
对于层流，可通过动量传输原理严格地解出管道 中的速度分布函数vx(r)，并由牛顿粘性定律： dv 0 x r R dr 准确地推导出在管壁处的粘性切应力 0 。但是由于 紊流很复杂，不易推导出严格的管中流体的速度分布， 因而也无法计算管中的流量Q及阻力Fk等。 处理管中紊流流动及摩擦阻力Fk的方法是假定存 在一无量纲的参数—摩擦系数f ，且紊流对管道的摩 擦阻力可表示为：
212kvv243122kffak?frl?v?????????????????15如果已知某紊流流体在一定的管道中的流动摩擦系数f就可由上式算出管道中的平均速度
第四章 流体的紊流流动
Chapter 4 Turbu动值
2
3
速度的时均值和脉动值
紊流时，各质点的运动复杂，没有一定的规律和方向。 但可以认为有一个平均度，附加一个脉动速度。这一脉动 速度的大小和方向变化很快。
v x v x v x 1 t v x v x dt t 0 t 1 vx 0 vx dt 0 t
4
v 式中： x —X轴方向上的平均速度； v x —是 v x 中围绕 v x 的脉动变化量。称为脉动速 度。v x 的大小和快慢由流体的紊流状态决定。且具有如
(v (强 ) ) 2 (vx ) 2 x
5
6
7
8
9
4.2 沿平板的紊流速度边界层
有一时均速度为 vx v 的束流紊流流体沿水平方向 流过一大平板，如图所示：
10
与平板接触后，由于流体的粘性作用，在平板附近 产生一很大的速度梯度(粘性应力很大)，首先产生一 层流的速度边界层。在层流边界层区，粘性应力为主。 随着沿平板流动，粘性动量传输作用。有所下降， 但很大，会产生不稳定的扰动。在边界层上都会产生 局部紊流，即，速度边界层发生分支。此过程为边界 层从层流边界层向紊流边界层过渡，称“过渡区”。
层流与紊流
层流与紊流层流科技名词定义中文名称:层流英文名称:laminar flow定义1:流体中液体质点彼此互不混杂，质点运动轨迹呈有条不紊的线状形态的流动。
在河渠流动中当雷诺数小于500,2 000时出现，而在多孔介质中流动时，在当雷诺数小于1,10时出现。
应用学科:地理学(一级学科);水文学(二级学科)定义2:黏性流体低速运动时质点的层状流动。
应用学科:电力(一级学科);通论(二级学科)定义3:黏性流体质点互不掺混，迹线有条不紊、层次分明的流动。
应用学科:航空科技(一级学科);飞行原理(二级学科)定义4:黏性流体的互不混掺的层状运动。
应用学科:水利科技(一级学科);水力学、河流动力学、海岸动力学(二级学科);水力学(水利)(三级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布求助编辑百科名片层流层流是流体的一种流动状态。
流体在管内流动时，其质点沿着与管轴平行的方向作平滑直线运动。
此种流动称为层流或滞流，亦有称为直线流动的。
流体的流速在管中心处最大，其近壁处最小。
管内流体的平均流速与最大流速之比等于0.5，根据雷诺实验，当雷诺准数引Re<2320时，流体的流动状态为层流。
粘性流体的层状运动。
在这种流动中，流体微团的轨迹没有明显的不规则脉动。
相邻流体层间只有分子热运动造成的动量交换。
常见的层流有毛细管或多孔介质中的流动、轴承润滑膜中的流动、绕流物体表面边界层中的流动等。
目录相关计算举例说明编辑本段相关计算层流只出现在雷诺数Re(Re,ρUL,μ)较小的情况中，即流体密度ρ、特征速度U和物体特征长度L都很小，或流体粘度μ很大的情况中。
当Re超过某一临界雷诺数Recr时，层流因受扰动开始向不规则的湍流过渡，同时运动阻力急剧增大。
临界雷诺数主要取决于流动形式。
对于圆管，Recr?2000，这里特征速度是圆管横截面上的平均速度，特征长度是圆管内径。
层流远比湍流简单，其流动方程大多有精确解、近似解和数值解。
紊流的脉动现象名词解释
紊流的脉动现象名词解释紊流是一种复杂的流体现象，它在许多自然和工程系统中都非常常见。
紊流的脉动现象是指在紊流中存在的波动和振荡现象，它们既包含频率较低的大尺度脉动，也包含频率较高的小尺度脉动。
这些脉动现象是紊流的重要特征之一，对于我们理解和掌握紊流的性质和行为非常关键。
在流体力学中，紊流是指流体在高速流动过程中出现的无序、混乱和不规则的现象。
与之相对的是层流，层流是流体在低速流动过程中有序排列的现象。
在一些情况下，当流体的速度达到一定阈值时，紊流现象便会突然发生。
由于紊流的复杂性，它的行为往往无法通过一种简单的数学模型完全描述，因此需要借助实验和数值模拟等手段进行研究。
紊流的脉动现象是由于紊流中存在的各种涡旋和涡动引起的。
涡旋是指流体中旋转的区域，它们类似于飓风或漩涡。
涡动是指在流体中产生和传播的扰动，它可以是由外部力量引起的，也可以是由紊流本身产生的。
涡旋和涡动的相互作用导致了紊流中的波动和振荡现象。
紊流的脉动现象具有多个尺度。
大尺度脉动是指时间和空间尺度较大的波动和振荡现象，它们常常具有明显的周期性和规律性。
小尺度脉动是指时间和空间尺度较小的波动和振荡现象，它们往往无规律可循。
这两种脉动现象相互作用并共存于紊流中，共同决定了紊流的性质和行为。
大尺度脉动和小尺度脉动在紊流中的作用不同。
大尺度脉动主要影响流动的整体结构和特征，它们可以使流体产生宏观波动和振荡。
小尺度脉动则主要影响紊流的局部性质和行为，它们可以使流体产生微观的湍动和扰动。
大尺度脉动的产生和发展受到流体的边界条件和外部作用的影响，而小尺度脉动则主要受到流体的内部湍流结构和能量转移的影响。
紊流的脉动现象对于许多领域的研究和应用具有重要意义。
在气象学中，对大气中的紊流脉动现象的研究可以帮助我们预测和理解天气现象，如风暴和气旋。
在地球科学中，对海洋和大气中的紊流脉动现象的研究可以帮助我们了解海洋循环和气候变化等重要问题。
在工程学中，对流体中的紊流脉动现象的研究可以帮助我们优化流体系统的设计和运行，例如改进飞行器、汽车和管道的设计。
第三章紊流模型知识分享
①零方程模型：常系数模型，混合长模型，剪力模型等 ②单方程模型：k方程模型
③双方程模型：k- 模型
4、评价紊流模型优劣的标准
①适用于多种类型的水流现象； ②具有足够的精度； ③人力和计算机费用适度； ④复杂程度适当。
第三章 紊流模型
五、 紊流的数学描述
紊流是满足连续性条件的，因此对于连续介质流体所导出的连续 性方程和Navier-Stokes方程组可以用于描述紊流的瞬时流态。
从20世纪40年代开始，采用一些紊动量的微分输运方程，例如 紊动动能的输运方程、雷诺应力的输运方程等。这类模型的特 点是理论严谨、概念完整，其中某些模型中提出的基本概念仍 作为目前最先进的紊流模型的理论基础。
第三章 紊流模型
在20世纪60年代中期，计算机的威力已足够强大，才有可能 求解时均流偏微分方程，也才有可能检验、应用和发展这一 类紊流模型。
涡度脉动的三维性 紊流是涡度的脉动强度很大的有
旋三维运动。
第三章 紊流模型
第三章 紊流模型
二、紊流现象及相应的研究课题
②河流中的淡水注人海洋，与 咸水混合，在河口区域内，水 中含盐量的分布规律如何？是 否影响水中动植物的生长？
①热电厂的废气排人大气层中，这 些废气在风的作用下如何运动？是 否有可能触及地面，地面上废气的 浓度如何？
第三章 紊流模型
③管流中的突然放大段，通常 在突然放大处形成涡旋，使流 态复杂，涡旋的尺寸和流速分 布如何确定？局部阻力系数如 何计算？
④溢流坝反弧段的高速水流有可 能在反弧段末端引起空蚀破坏， 如何计算反弧段紊流的速度场。 压力场，预测空泡在水中的发生、 发展和溃灭，从而寻求减免空蚀 破坏的合理措施。
作为紊流的通解，纳维埃－斯 托克斯方程描述了流体运动的 一切细节
紊流理论(紊流模型)
u v 0 x y
2
– v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
du u v l dy
' ' 2
du 2 du du l t u v l dy dy dy
du du t uv t t dy dy
ui u j t - uiuj t x j xi
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
ui u j t - uiuj t ptij x j xi
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。 – 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
概述
• DNS之外的其他方法
– 求解时均N－S方程（即雷诺方程）。 – 作为紊流的通解， N－S方程描述了流体运动的一 切细节，但在实际工程中具有重要意义的并不是紊 流的一切细节，而是紊流对于时间的平均效应。 – 雷诺（Osborne Reynolds）建议用统计方法将N －S方程取时间平均。但取平均的过程产生了新问 题：方程增加了新未知项，时均方程组不再封闭， 因此各种类型的紊流模型应运而生。 – 紊流模型可定义为一组方程，这组方程确定时均流 方程中的紊动输运项，从而封闭时均流动方程组 （零方程、单方程、双方程）。
第十章紊流
2017/9/30
西安交通大学流体力学课程组
8
时均法运算性质
设 f,
f ，g g 为紊流时均参数，
脉动参数， f ， g 为瞬时参数
(1)
f f
1 f T
T 2 T t 2 t
1 fd f T
T 2 T t 2 t
d f
时均值的时均值仍为原时均值
(2) f g f g
ui ui ui ui 2ui 1 p uj uj uj uiuj t x j x j x j x j xi x j x j
2017/9/30 西安交通大学流体力学课程组 21
脉动速度方程
瞬时量方程
ui ui 2 ui 1 p uj t x j xi x j x j
ui u 1 p uj i t x j xi x j ui u u i j x j
fg f g f g
f f x x
u j x j 0
ui ui ui 2 ui 1 p uj uj t x j x j xi x j x j
ui uj ( uiuj ) ui (u iuj ) x j x j x j x j
f f f
如
2017/9/30
u u u
p p p
7
西安交通大学流体力学课程组
紊流的时间平均法
严格来说，时均平均法只适用定常紊流，实际上已推广 用于非定常紊流 定常紊流是指时均特性不随时间变化的紊流流动 将紊流流动分为两部分，即：时均流动和脉动运动
时均流动代表主流，关注的重点是时均流动特性 脉动流动反映紊流的实质，对时均流动一切特性都产生 影响
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紊流数值计算基础理论
紊流运动的数值模拟，主要包括两方面，一是建立紊流数学模型，二是进行数值计算。
紊流数学模型主要包括零方程模型，单方程模型，双方程模型，雷诺应力模型（微分、代数）和近壁区模拟等，本文主要就最近所学内容，介绍紊流数值计算的相关基础理论。
一、 紊流数值计算概述
一般情况下，紊流数学模型是一组偏微分方程。
方程中的自变量包括三个空间坐标和时间坐标，微分方程的最高阶数为二阶，所以属于四元二阶偏微分方程。
方程组中偏微分方程的个数，即基本待求变量的个数，少的有五个，如二元ε-K 模型（连续方程，两个方向的动量方程，K 的方程及ε的方程），多的从八九个到十六七个不等，视具体问题而定。
待求变量的个数总是和方程式的个数相一致的。
除基本变量外，方程式中还会有其它非独立变量，它们一般通过代数关系式和基本变量联系起来。
实际应用中计算最多的是二元问题，空间一维非恒定流实际也是二元问题：
二元问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
恒定流沿宽度平均的立面二维恒定流沿水深平均的平面二维
立面二维恒定流平面二维恒定流
三元问题 ⎩⎨⎧空间三维恒定流空间二维非恒定流
三元问题已有了不少工程算例，而三维空间的非恒定流，除少量理论性研究外，工程应用算例很少。
流体运动微分方程仅能描述流体运动的一般规律，还不能确定运动的具体状态，因此称为泛定方程，确定具体的运动状态，还需根据运动方程的类型给出定解条件，即初始条件和边界条件。
给定的条件适当，方程才有解，才能保证解是存在的，唯一的和连续的。
求解微分方程，首先要给定定解条件，紊流模拟的定解条件多数是在建立紊流模型的同时，结合流体运动的物理边界条件提出处理办法，有些要在数值计算中结合计算方法来解决。
二、 偏微分方程的性质及其分类
微分方程转化为差分方程进行数值求解时，对于不同类型的方程，其求解方法不同。
流体力学中的微分方程通常分为双曲型、抛物型和椭圆型三类。
不同类型方程在数学上具有不同的特点，反映了物理上不同的流动特征。
二元二阶线性偏微分方程是各种流体力学偏微分方程的典型代表，其一般形式为：
),(y x g f e d c b a y x yy xy xx =+++++φφφφφφ
式中：a 、b 、c 、d 、e 及f 是x 、y 的函数
对于求解域内的一点）（00,P y x ，方程式在该点划分如下三种类型：
当042>-ac b 时，方程为双曲型
当042=-ac b 时，方程为抛物型
当042<-ac b 时，方程为椭圆型
这一定义是就计算域内的一点而言的。
如果仅在计算域内的某一部分满足某一条件，而在另一部分满足另一条件，则微分方程在全计算域内为混合型。
研究流动问题时，区别控制方程或坐标的类型具有重要意义。
数学上的所谓抛物型，意味着坐标轴的单向性质，而椭圆型则意味坐标轴的双向性质。
对于水流运动，抛物型常称为边界层型流动，而椭圆型常称为回流型流动。
双曲型问题的坐标具有单向性质，但其单向性质不是沿着坐标轴的方向，而是沿着特殊的曲线――特征线。
特征线法是求解双曲型问题的经典方法，它具有既迅速又准确的好处，但仅限于求解双曲型方程。
流体力学的微分方程往往属于混合型，表现复杂。
例如，在超音速流动中，流动在远离固体边界处呈波动型特征，运动方程属于双曲型；在固壁附近黏性影响大，当边界层未分离时运动方程属于抛物型，当边界层分离时，在分离区运动方程为椭圆型。
利用坐标的单向性，合理选用计算方法，可以大大地节省计算机内存容量和计算时间。
三、 微分方程组的迭代解法
不同于单个方程，偏微分方程组的解需同时满足方程组的每一个方程式。
其求解要采用迭代法，实际就是从某一假定解向正解逐次逼近。
具体的求解步聚是：在求解前，对所有待求变量都要选给出初估值（常常取为零），然后通过求解某一方程，解得与之相应的某个未知变量。
在求解方程时认为其他未知变量都是已知的。
逐个求解每一方程，就求出相应的每一个变量。
求解一遍为一次迭代。
如此循环下去，直到相邻两次迭代的差值小于规定的要求，即可认为获得收敛解。
对于每个微分方程式的求解，现在的方法是把所有方程写成一个统一的形式，对这一通用方程，采用一定的差分格式离散，将微分方程转变成代数方程，然后求解代数方程。
采用数值求解，计算域必须先划分成细密的计算网格，微分方程中的连续函数用离散化的各个网格节点上的值来表征。
数值求解的任务就是给出每个节点上
所有待求变量的数值，使这些值同时满足方程组的每个方程式。
数值求解中关键问题在于：第一，保证计算过程逐渐向真值逼近；第二，计算方法应保证尽快逼近真值。
因此，数值模拟又被称作是技艺科学（art of science ），它既包括理论知识，也包括了很多具体的处理技巧。
通过实践，现已总结出不少行之有效的数值模拟方法，但与之相关的收敛性、稳定性等理论问题，至今仍没解决。
四、 微分方程的离散化方法
偏微分方程的数值计算，按其不同的离散化方法分为两类：有限差分法和有限元法。
美籍华人陈景仁教授所创立的有限分析法和当前在紊流工程计算中广泛采用的有限容积法是在分析了有限差分法和有限元法各自的优缺点的基础上提出来的。
微分方程的离散化，首先要对所研究流场的空间区域进行离散，还要解决如何选用差分格式、如何求解离散化后所得代数方程组、如何处理边界条件等诸多问题。
流体力学方程数值解法中广泛应用的是有限差分法（陆金甫，1988），就是在离散的网格节点上把微分方程的各阶偏导数用差商取代，如用差商x y ∆∆取代微分dx dy ，使微分方程变为代数方程。
但是，有限差分法绝不是简单地把dx dy 或x y δ换成x y ∆∆就可以了，还要懂得并遵循基本差分规律，才能求解得到正确的结果。
有限元方法最早是由飞机结构的应力分析发展起来的。
该方法把计算域划分为互相连结的子区域（单元体），每个单元体内包括几个特征点（节点），名个节点上待求变量的变化规律用插值函数表达，从而把所求解的微分方程组离散化成代数方程组。
有限元法与有限差分法的根本区别在于后者是“点近似”，而前者是“点组”的近似，是分段逼近。
在单元体上建立守恒关系式的方法主要有变分法和加权余量法两大类，变分法要利用变分原理，求泛函极值。
加权余量法的实质是试函数法。
例如，为了在区域Ｄ中求解微分方程
0)(=φL
不妨先引入近似解a φ
∑=+=n i i
i a a 10φφφ 式中：i φ为试函数，通常是已知的解析函数；0φ为适当选取的能满足边界条
件和初始条件的函数。
加权余量法的基本思想就是在计算域通过使余量Ｒ的加权平均值为零求出试函数的待求系数i a 。
有限元法的单元体可以做成任意形状，因而它可以适应边界几何形状复杂的计算域，这是有限元法的突出优点。
有限差分法是计算网格是矩形，遇到几何形状复杂的计算域，往往对计算精度有较大影响。
用有限元法或有限差分法求解时，由于产生数值黏性、数值扩散等伪物理效应，数值模拟往往得不到正确结果。
为了克服这些困难，美籍华人陈景仁教授于1977年提出了有限分析法。
其基本思想是：在微小的控制容积上求得微分方程的分析解，由些建立控制容积中心点值和周围节点值关系，即离散化方程。
各个微小单元的离散化方程组合成大型代数方程组，求解后可得全计算域的数值解。
有限分析法可以比较好地保持原有问题的物理性质，在求解一个节点待求变量时可以同时考虑周边的八个点的影响，克服伪物理效应，提高计算精度。
紊流数值模拟中用得最多的是有限容积法，也称为控制容积法、控制体积法或有限体积法。
它的基本思想是：把计算域划分为许多互不重叠的控制容积，使每个控制容积内都包含有一个网格结点（仅有一个），对每个控制容积积分微分方程，就可以得到一组包含有网格节点上待求变量值的离散化方程。
控制容积法的一个突出特点是物理守恒定律在每一个控制容积上都能比较准确地得到满足，各控制容积的体积可以大小不同，这样有利于建立非均匀网格。
其它一些离散方法，如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限容积法即使在粗网格情况下，也满足准确的积分守恒。
五、总结
综上所述，控制体积法是有限差分法和有限元法相互结合的产物。
有限元必须假定待求变量φ值在网格之间变化规律（即插值函数），有限差分法只考虑网格点上的φ值，而不考虑它们在网格点之间的变化规律。
有限容积法只求解节点值，这一点与有限差分法类似；但有限容积法在沿控制体积做积分时，要假定φ值在网格之间的分布，这又与有限元法类似。
在有限容积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，一旦得出离散化方程，便可忘掉这些事先假定的插值函数，有必要的话，甚至可以对微分方程中的不同项采用不同的插值函数。
有限差分法、有限元法，有限分析法及有限容积法都各有优缺点，原则上，具体如何选用，取决于所要求解的问题的特点。