2018届高三数学二轮复习第一篇专题突破专题七概率与统计第2讲概率离散型随机变量及其分布课件理
1 1 1 2 3 4
P(X 4 24
所以,随机变量X的分布列为
X P 0
1 4
1
11 24
2
1 4
3
1 24
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的 个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)
第2讲 概率、离散型随机变量及其 分布
考情分析
总纲目录
考点一 古典概型与几何概型 考点二 考点三 相互独立事件和独立重复试验（高频考点） 随机变量的分布列、均值与方差
考点一 古典概型与几何概型
1.古典概型的概率公式
m 事件A所包含的基本事件数 P(A)= = . n 基本事件总数
[说明] 关知识.
| 3k |
<1,解得-
考点二 相互独立事件和独立重复试验(高频考点)
命题点
1.条件概率. 2.相互独立事件的概率. 3.独立重复试验的概率.
1.条件概率
P ( AB ) 在A发生的条件下B发生的概率:P(B|A)= P ( A) .
2.相互独立事件同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B). 3.独立重复试验、二项分布
40 5 = .故选C. 72 9
1 2 张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m=C1 5 C 4 A2 =40,所以所求概率
P= =
(2)不等式组
0 x 2, 表示的平面区域的面积为2×4=8,不等式组 0 y 4
2 0
0 x 2, 2 2 1 x3 表示的平面区域的面积为 x d x = 0 y 4, 0 3 y x2 8 3 = 1 ,故选B. 8 3
求事件包含的基本事件数常用到计数原理与排列、组合的相
2.几何概型的概率公式 P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积) . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
典型例题
(1)(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机 抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( A.
夹角等时,应考虑使用几何概型求解.
(2)关键:寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键,有时 需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
跟踪集训
1.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)从1至9共9个自然数中任取七 个不同的数,则这七个数的平均数是5的概率为 ( )
2 3
1 3
A.
B.
C.
1 11 11 1 11 = × + × = . 4 24 24 4 48
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为 48 .
11
方法归纳 求相互独立事件和独立重复试验概率的策略 (1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化 为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时 发生的积事件,然后用概率公式求解. (2)一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事 件进行求解,对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解. (3)注意辨别独立重复试验的基本特征:①在每次试验中,试验结果只有
5 18
) B.
4 9
C.
5 9
D.
7 9
(2)(2017西安八校联考)在平面区域{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤4}内随机投入 一点P,则点P的坐标(x,y)满足y≤x2的概率为 ( A.
1 2
)
B.
1 3
C.
2 3
D.
3 4
答案 解析
m n
(1)C (2)B (1)由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=9×8=72,抽到的2
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中
恰好发生k次的概率为Pn(k)=C n pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
k
典型例题
(2017天津,16改编)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯 工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为 , , . (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解析 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
2.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)在区间[-1,1]上随机取一个 数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为 ( A.
1 2
)
B.
1 3
C.
2 4
D.
2 3
答案 C 若直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交,则圆心到直线的距离d=
2 2 < k < ,故在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k 2 4 4 1 k 2 2 (x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为P= 2 = ,选C. 4 2
= 8 ,因此所求的概率为
3
方法归纳 1.古典概型求解的关键点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常常用到 排列、组合的有关知识; (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏. 2.几何概型的适用条件及其关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、
1 1 1 1 P(X=0)= 1 2 × 1 3 × 1 4 = 4, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 P(X=1)= × 1- × 1+ 1× × 1+ 1 × 1 3 × = 24 , 3 3 2 4 2 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(X=2)= 1 × 3× 4+ 2× 1 3 × 4 + 2 × 3× 1 = 4 , 2 4
1 9
D.
1 8
7 答案 C 从1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有C9 =
98 =36种,因为1+9=2+8=3+7=4+6,所以从(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任选三 2 4 1 组,则有 C3 =4, 故这七个数的平均数是 5 的概率为 = ,故选C. 4 36 9
2018高考数学理二轮专题复习课件-第二篇 专题满分突破
4． 从 20 名男同学和 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试， 则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为 ________．(结果用最简分数表示)
5．二项分布：在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次 数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 P，则随机变量 X 服 从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 P 为成功概率． 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(x k k n－k ＝k)＝Cnp (1－p) (k＝0,1,2，„，n)，期望 E(x)＝np，D(x)＝np(1 －p)．
6．正态分布 (1)定义及表示：如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X b 满足 P(a<x≤b)＝ φ ， (x)dx， 则称随机变量服从正态分布， 记作 μ σ
X～N(μ，σ )，其中 μ 是期望，σ 是标准差． (2)正态曲线的图象关于直线 x＝μ 对称，μ 控制图象的左右 平移，σ 决定了图象的高矮胖瘦． (3)正态分布的三个数据 ①P(μ － σ<x≤μ ＋ σ) ＝ 0.6826 ②P(μ － 2σ<x≤μ ＋ 2σ) ＝ 0.9544 ③P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.9974.
3 故要求的概率为 ＝ ，故选 B. π π 4 － － 2 6 答ห้องสมุดไป่ตู้：B
π 2－0
3．已知某气象站天气预报的准确率为 80%，则 5 次预报中 至少有 2 次准确的概率为________．(结果保留到小数点后两位)
解析：“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次 预报中有 1 次准确或 5 次预报中没有准确的”，则所求概率为 1 1 4 5 －(C5×0.8×0.2 ＋0.2 )≈0.99. 答案：0.99
最新-2018高考数学二轮专题复习 概率统计文 精品
概率统计（文）【考纲解读】1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式．3.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义．5.理解随机抽样的必要性和重要性;会及简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.6.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.7.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差).8.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样体估计总体的思想.9.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题.10.会作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.11．了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基本思想、方法及其简单应用．【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图的求解.2.预计在2018年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.【要点梳理】1.随机事件的概率：（1）随机事件；（2）频率；（3）概率；（4）互斥事件的概率加法公式：()()()P A B P A P B ⋃=+,若A 与B 为对立事件,则()()1P A P B +=.2.古典概型:求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A 包含的基本事件个数;代入公式,求出()P A .3.几何概型:(1)理解几何概型与古典概型的区别;(2)几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比.4.三种抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，正确区分这三种抽样.5.用样本估计总体:(1)在频率分布直方图中,各小矩形的面积表示相应的频率;各个小矩形的面积之和为1;(2)理解众数、中位数及平均数；（3）会求一组数据的平均数、方差、标准差.6.变量间的相关关系,会求回归直线方程. 【考点在线】 考点一 古典概型例1. (2018年高考北京卷文科3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ） （A ）45 (B)35 （C ）25(D)15【答案】 D【解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b a >的有3种，故所求事件的概率为31155P ==. 【名师点睛】本题考查古典概型的概率问题，求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空间的基本事件个数，和所求事件所含的基本事件个数.【备考提示】：古典概型是高考考查的重点内容之一,必须熟练掌握.练习1: （2018年高考海南卷文科6)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34【答案】A【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为13,选A. 考点二 几何概型例2.（2018年高考福建卷文科7)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）A ．14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】C【解析】这是一几何概型,所求概率为1122AB ADAB AD ⋅⋅=⋅,故选C.【名师点睛】本小题考查几何概型的求法。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是ξ 0 2 4 P82740811781【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键. (2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2.②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为X 20 60P 1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X120 60 100P 162316X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P 162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11.②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X 012P 25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48. 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b^＝l xy l xx＝2480＝0.3， a^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷 读书迷总计 男 15 女 45 总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X ). 解 (1)完成2×2列联表如下：非读书迷 读书迷 总计 男 40 15 55 女 20 25 45 总计6040100K 2＝100×（40×25－15×20）60×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. (2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3).X 的分布列为 X0 1 2 3 P27125 54125 36125 8125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018年高考数学总复习概率及其计算(2021年整理)
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第十三章概率与统计本章知识结构图第一节概率及其计算考纲解读1。
了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3。
掌握古典概型及其概率计算公式.4。
了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义.命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下:①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.二、概率在相同条件下,做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加,摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作。
对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A μ。
2018届高考数学二轮复习第二讲大题考法——概率与统计课件(全国通用)
主要考查随机事件的概率、 古典概型、频率分布直方 图、茎叶图等的应用.
[典例感悟]
[典例1] (2016· 全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机 器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器 时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
主要考查线性回归方程的求解 与应用.
[典例感悟]
[典例2]
(2016· 全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生
活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系， 请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
i＝ 1
ti－ t yi－ y
i＝ 1
n
^ b t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^ b＝
，
ti－ t 2
i＝ 1
n
^ a ＝ y －^ b t.
[解]
7 2
(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t ＝4，
i＝1
(ti－ t ) ＝28,
7 7
i＝1
yi－ y ＝0.55， (ti－ t )(yi－ y )＝
参考数据： yi＝9.32， tiyi＝40.17,
i＝ 1 i＝ 1 7 7
yi－ y 2＝0.55，
i＝ 1
7
7≈2.646.
参考公式：相关系数r＝
ti－ t yi－ y
2018届高考数学二轮复习重点保分专题课件 专题(10)概率与统计、随机变量及其分布列
保分专题（10） 概率与统计、随机变量及其 分布列
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 数学文化、有关面积的几何概型·T2 正态分布、二项分布的性质及概率、方差·T19
2017
卷Ⅱ
二项分布的方差计算·T13
频率分布直方图、独立性检七个不同的数的取法共有 9×8 7 2 C 9 ＝C 9 ＝ ＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以 2
3 从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选三组，则有C 4 ＝4，故这七
4 1 个数的平均数是5的概率P＝ ＝ . 36 9
答案：C
3 ． (2017· 贵州适应性考试 ) 已知区域 Ω ＝ {(x ， y)||x|≤ 2 ， π π 0≤y≤ 2}，由直线 x＝－ ，x＝ ，曲线 y＝cos x 与 x 轴 3 3 围成的封闭图形所表示的区域记为 A.若在区域 Ω 内随机 取一点 P，则点 P 在区域 A 的概率为 2 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 6 D. 4 ( )
π 1 π B. C. D. 8 2 4 不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为
4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由题意，得S黑＝ π 2 π 1 π S圆＝ ，故此点取自黑色部分的概率P＝ ＝ . [答案] 2 2 4 8
B
[类题通法]
1．利用古典概型求概率的关键及注意点 (1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这 常常用到排列、组合的有关知识． (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． 2．几何概型的适用条件及应用关键 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑 使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域 和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需 要的区域．
2018_2019学年高中数学第2章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布
1234
所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P
2 7
14 77
课堂小结 1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一 切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小， 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2.两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布 的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪 一个量.
1234
1234
3.某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示 1次投篮的z命中次数，则P(X＝1)＝________. 解析 设不命中的概率为 p，则命中的概率为 3p，p＋3p＝1，
p＝41.
1234
P(X＝1)是 1 次投篮中命中的概率，即投篮命中率 P(X＝1)
＝34.
答案
3 4
要点三 两点分布 例3 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关 心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满 足两点分布，并求分布列. 解 从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随 机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义 随机变量如下：
0，两球非全红， X＝
因此，ξ的分布列为
ξ0
1
2
3
P
14 55
28 55
12 55
1 55
规律方法 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具 体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率 知识求出ξ取各个值的概率.即必须解决好两个问题，一 是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.
跟踪演练4 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋 中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小 球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大 数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； 解 “取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A， 则 P(A)＝C35CC12C13012C12＝23.
2018届高三数学二轮复习专题七概率与统计第2讲概率离散型随机变量及其分布课件理
<1,解得- <k< ,故在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=k
2 2 (x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为P= 2 = ,选C. 4 2
2 4
2 4
考点二 相互独立事件和独立重复试验(高频考点)
命题点
1.条件概率. 2.相互独立事件的概率. 3.独立重复试验的概率.
1 9
考点三 随机变量的分布列、均值与方差
1.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为实数). (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为实数). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
典型例题
(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量
相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高 气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气 温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200 瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温 数据,得下面的频数分布表:
方法归纳 1.古典概型求解的关键点
(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常常用到
排列、组合的有关知识; (2)对于较复杂的题目计数时要正确分类,分类时应不重不漏. 2.几何概型的适用条件及其关键 (1)适用条件:当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、 夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (2)关键:寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键,有时 需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列
专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明第二讲 概率、随机变量及其分布列高考导航1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容．2．综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题.1．(2017·济南模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[解析] 设“一天的空气质量为优良”为事件A ，“连续两天为优良”为事件AB ，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P (B |A )．由条件概率可知，P (B |A )＝＝P (AB )P (A )＝＝0.8，故选A.0.60.7545[答案] A2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部色和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. 14π8C.D.12π4[解析] 设正方形的边长为2，则正方形的内切圆半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P ＝π2＝，故选B.π22×2π8[答案] B3．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.[解析] 由题意知，X ～B (100,0.02)，∴D (X )＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96.[答案] 1.964．(2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望E (X )．[解] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝＝.C48C 510518(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝＝，C56C 510142P (X ＝1)＝＝，C46C14C 510521P (X ＝2)＝＝，C36C24C 5101021P (X ＝3)＝＝，C26C34C 510521P (X ＝4)＝＝.C16C44C 510142因此X 的分布列为X 01234P1425211021521142X 的数学期望是E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.5211021521142考点一 古典概型、几何概型、条件概率1．古典概型的概率公式P (A )＝＝.mn 事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数2．几何概型的概率公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)3．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝＝.P (AB )P (A )n (AB )n (A )[对点训练]1．(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. 51849.D.5979[解析] 由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n ＝9×8＝72，抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基本事件个数m ＝C C A ＝40，所以所求概率P ＝＝＝.故选C.15142mn 407259[答案] C2．在区间上随机取一个数x ，则cosπx 的值介于与[－12，12]22之间的概率为( )32 A. B. 1314C.D.1516[解析] 区间的长度为1，满足cosπx 的值介于与之[－12，12]2232间的x ∈∪，区间长度为，由几何概型概率公式得(－14，－16)(16，14)16P ＝＝.16116[答案] D3．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为________．[解析] 解法一：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得P (AB )＝＝，P (A )＝＝，3×24×3123×34×334所以P (B |A )＝＝＝.P (AB )P (A )123423解法二：记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到的是合格高尔夫球}．由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝3×2＝6种，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝3×3＝9，所以P (B |A )＝＝＝.n (AB )n (A )6923[答案] 234．(2017·郑州一模)某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．[解析] 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝＝.4×85×845[答案] 45 解答几何概型、古典概型、条件概率的关键(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(4)求条件概率时，关键弄清在哪种条件下发生的概率，以便正确使用公式求解．【易错提醒】 在几何概型模型中，当问题中涉及两个变量时，可以考虑构造坐标平面上的区域解决．考点二 相互独立事件与独立重复试验概型特点概率求法相互独立事件同时发生事件互相独立P (AB )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)独立重复试验一次试验重复n 次P (X ＝k )＝C p k (1－p )n －k (p 为发k n 生的概率)角度1：相互独立事件同时发生的概率问题[思维流程] (1)―→―→判断事件关系确定X 的取值―→利用公式计算X 各值概率求分布列与E (X )(2)―→―→分析事件特征求互斥事件概率问题求解[解] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝××＝，(1－12)(1－13)(1－14)14P (X ＝1)＝××＋××＋×12(1－13)(1－14)(1－12)13(1－14)(1－12)×＝.(1－13)141124P (X ＝2)＝××＋××＋××＝，(1－12)131412(1－13)141213(1－14)14P (X ＝3)＝××＝.121314124所以随机变量X 的分布列为X 0123P14112414124随机变量X 的数学期望E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＝.141124141241312(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)＝×＋×141124112414＝.1148所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.1148角度2：独立重复试验概率问题[思维流程] (1)―→―→判断事件关系判断概率类型利用公式求解(2)―→―→―→弄清X 的含义确定X 的取值符合二项分布特征利用公式求解[解] 记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立．则P (A i )＝＝，P (B i )＝＝，P (C i )＝＝，i ＝1,2,3，306012206013106016(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P 1＝A P (A 1B 2C 3)＝6×××＝.312131616(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P 2＝＝，30＋106023由X ～B ，(3，23)得P (X ＝k )＝C k3－k (k ＝0,1,2,3)，k 3(23)(1－23)∴X 的分布列为X 0123P1272949827∴X 的数学期望E (X )＝3×＝2.23 求复杂事件概率的2种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解，对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．[对点训练]1．[角度1](2017·湖北黄冈模拟)已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA 来确定是否感染，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止，方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验．(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率；(2)首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？[解] (1)方案乙中所需化验次数恰为2次有两种情况：①先化验一组，结果不含病毒DNA ，再从另一组任取一个进行化验，则恰含有病毒的概率为×＝.C35C361C1316②先化验一组，结果含有病毒DNA ，再从中逐个化验．恰第一个样品含有病毒的概率为×＝.C25C361C1316∴依据方案乙所需化验恰好为2次的概率为＋＝.161613(3)设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能取值为1,2,3,4,5，对应的化验费为η元．则P (ξ＝1)＝P (η＝10)＝.16P (ξ＝2)＝P (η＝18)＝×＝.561516P (ξ＝3)＝P (η＝24)＝××＝.56451416P (ξ＝4)＝P (η＝30)＝×××＝.5645341316P (ξ＝5)＝P (η＝36)＝×××＝.5645342313∴η的分布列为η1018243036P1616161613用方案甲平均需要化验费E (η)＝10×＋18×＋24×＋30×＋36×＝(元)．16161616137732．[角度2](2017·湖北省七市(州)高三联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X 表示2人中进入决赛的人数，求X 的分布列及数学期望；(3)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．[解] (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴总人数为＝50.70.14由题图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2，∵进入决赛的概率为＝，∴X ～，36501825(2，1825)P (X ＝0)＝C ×2＝，02(725)49625P (X ＝1)＝C ××＝，127251825252625P (X ＝2)＝C ×2＝.2(1825)324625∴X 的分布列为X 012P 49625252625324625∴E (X )＝2×＝，即X 的数学期望为.182536253625(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足Error!设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示，∴由几何概型得P (A )＝＝，即甲比乙跳得远的概12×12×121×2116率为.116考点三 随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为实数)．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例2】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．[思维流程] (1)―→判断概率类型利用古典概型公式求解(2)―→―→―→弄清x 含义确定x 取值利用古典概型求概率求分布列和E (ξ)(3)―→观察图形的离散程度确定结果[解] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.1550(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C .所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝＝，P (ξ＝1)＝＝，C22C2416C12C12C2423P (ξ＝2)＝＝.C22C2416所以ξ的分布列为ξ012P 162316故ξ的期望E (ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.162316(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 求解随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．[对点训练] (2017·武汉二模)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率121838购买基金：投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率p13q(1)当p ＝时，求q 的值；14(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p 的取45值范围；(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝，q ＝，那么丙1216选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？结合结果并说明理由．[解] (1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋＋q ＝1.13又因为p ＝，所以q ＝.14512(2)记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝A ∪B ∪AB ，且A ，B 独立．B － A－由题表可知，P (A )＝，P (B )＝p .12所以P (C )＝P (A )＋P (B )＋P (AB )B － A－＝·(1－p )＋p ＋p 121212＝＋p .1212因为P (C )＝＋p >，121245所以p >.35又因为p ＋＋q ＝1，q ≥0，13所以p ≤.所以<p ≤.233523(3)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为X 40－2P121838则E (X )＝4×＋0×＋(－2)×＝.12183854假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y 的分布列为Y 20－1P121316则E (Y )＝2×＋0×＋(－1)×＝.12131656因为E (X )>E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．热点课题22 求离散型随机变量的分布列与均值[感悟体验] (2016·甘肃张掖一诊)近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米的空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．张掖市2015年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．(1)在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)某游客在此期间有2天在张掖市旅游，这2天张掖市的PM2.5监测数据均未超标，请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)从所给10天的数据中任意抽取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．[解] (1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，P(A)＝＝.2＋41035(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P(B)＝＝.C12·C14C26815(3)ξ的可能值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)C36C31016C26·C14C31012＝＝，P(ξ＝3)＝＝.C16·C24C310310C34C310130其分布列为ξ0123P1612310130E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.161231013065。
2018届高三数学文二轮新课标专题复习课件：1.7.2概率及其与统计的综合应用 精品
A. 3
B. 1
C. 1
D. 1
10
5
10
20
【解析】选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有(1, 2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5), (2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种,其中 (3,4,5)为一组勾股数,共一种,所以3个数构成一组勾 股数的概率为 1 .
求概率为P= 答案: 2
3
4 2. 63
6.(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地 从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择 相同颜色运动服的概率为________. 【解题提示】将“相同颜色”的情况分清楚,利用独立 事件的概率求法求解.
【解析】因为甲、乙均选择红色的概率为 1× .1同理,均
10
5.(2014·全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书 在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 ________.
【解析】设数学书为A,B,语文书为C,则不同的排法共
有(A,B,C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B), (C,B,A)
共6种排列方法,其中2本数学书相邻的情况有4种,故所
【规律方法】求解几何概型的关注点 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时, 应考虑使用几何概型求解. (2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构 成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量, 在坐标系中表示所需要的区域.
【题组过关】
1.(2016·洛阳一模)已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任
使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2相切的