第一章行列式 线性代数
线性代数知识点总结第一章
a ii a i2、a ii 把表达式 a ii 822 - a i2 a 2i 称为a 2ia i2 所确定的二阶行列式，并记作 a 22对二元方程组ai1ai2D ib i b 2ai2aii Da2iab i3l 2aii bi D i _ b 2a22 … D 2 a 2i b 2Da ii a i2，X ^ D -a ii a i2a2ia22a2ia22对三元方程组线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组： a 11x a 2x 2= b 1a ?i X| ' a 22 X 2 =b j即D =aii a 2iai2a22=6£22 — a^a zi .结果为一个数。
冋理，把表达式Ci a 22a 33+ a i2a 23a 3i +a i3a 2〔a 32 — a ii a 23a 32 — a i2a 2〔a 33 — 3i3a 22a 3i,称为由数aii a i2 a i3 aiiai2ai3表a ?ia 22 a 23 所确定的三阶行列式，记作a 2ia 22 a 23 。
a3ia32a33a3ia32a33a ii a i2 a i3即a 2ia 22 a 23 = a ii a 22a 33*a i2a 23a 3i +a i3a 2i a 32 —aii a 23a 32 — ai2a 2i a 33 — ai3a 22a 3i.a3ia32a33a21 ai2a22a22a21'a i3X 3则x 口=bia ii X i Q2X 2 a 2ia ii ai2ai3a2i a22a 23a 3i a32a33设D二a11a i2定义：n 阶行列式D 工a21 a22IIIIIIa 1 na2n等于所有取自不同行、 不同列的n 个元素的乘积an1an2ann逆序数决定。
第一章 行列式
第一章行列式行列式是一个重要的数学工具．它广泛应用于理、工、农、医、经济等很多领域。
在线性代数中，行列式更是一种不可或缺的重要工具.本章主要介绍行列式的定义、性质、计算及其在求解线性方程组中的应用——Cramer（克莱姆）法则.§1.1 行列式定义一、数域定义1.1 设P是含有0和1的一个数集，若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中，则称P为一个数域．如果数集P中任意两个数作某一运算后的结果任在P中，则称P对这个运算封闭。
因此数域的定义也可简单叙述为：含有0和1且对加法、减法、乘法、除法（除数不为0）封闭的数集称为数域. 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域依次用Q、R、C来记。
全体整数组成的集合不是数域，因为任意两个整数的商不一定是整数.要指出的是所有的数域都包含有理数域。
这是因为如果P是一个数域，则1在P中且由于P对加法封闭，所以1+1=2，2+1=3， ，n+1全在P中，即P包含全体自然数；又因0在P中且P对减法封闭，于是 0 - n = - n在P中,所以P包含全体整数；因为任意一个有理数都可表为两个整数的商，再由P对除法的封闭性知P包含全体有理数。
即任何一个数域都包含有理数域.今后本教材中所论及的数都是指某一固定数域中的数，文中一般不再特别加以说明.二、排列为了给出n阶行列式的定义，先介绍n级排列的概念．定义1.2 由自然数1 ，2 ，…，n组成的全排列称为n级排列．记作i1 i2…i nn级排列共有n!个.n级排列中任意两个数，如果大数排在小数之前，则称这两个数构成一个逆序，否则称为顺序.一个n级排列i1 i2…i n的逆序总数称为此排列的逆序数，记作 （i1i2…i n）．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．因 τ（1 2 … n ）= 0，所以排列1 2 … n 是偶排列。
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数-行列式-PPT文档资料
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
第一章 行列式
6
λ2 ⋰
λ1
n ( n −1)
= (−1) 2 λ1λ2 ⋯λn
λn
例 1.5 计算上三角行列式
a11 a12 ⋯ a1n
D=
a22 ⋯ a2n ⋱⋮
ann
解 由于当 i > j 时， aij = 0 ，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi ，其下标应有
pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1, p2 ≥ 2, ⋯, pn ≥ n 。
（1.7）式简记为 det(aij ) ，数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素。 例 1.4 计算行列式
1 2 D= 3 4 解 这是一个四阶行列式，按定义 1.5 展开得
∑ D = (−1)τ a a 1p1 2 p2 a a 3 p3 4 p4
在展开式中应该有 4!= 24 ，注意到，当 p1 ≠ 4 时 a1p1 = 0 ，从而这一项就等
1
类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
b1a22
− a12b2
=
b1 b2
a12 a22
， a11b2
− b1a21
=
a11 a21
b1 b2
那么（1.2）式可写成
b1 a12
a11 b1
x1 =
b2 a11
a22 a12
， x2
=
a12 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
二、三阶行列式的定义
如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有τ i 个，就是说 pi 这个元素的逆序数是τ i ，
3
全体元素的逆序数的总数
就是这个排列的逆序数。
n
∑ τ = τ1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τ i
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（3）奇偶排列及其性质
奇偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列 称奇（偶）排列。 例：确定奇偶排列；幻灯片 32 对换：某两数位置互换称排列的一次对换。
定理１.１：任意一个排列经过一次对换奇偶性改变。
ij ji 证明:(1)相邻情形 逆序数增加或减少1,都改变奇偶性; (2)一般情形
故方程组的解为：
x 2 y 10 2x y 5
x
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D1
D
4,y
D2
D
3
10
（二）三阶行列式及其对角线法则
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 （1） a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
6
当D 0时，方程组（）的解记为： 1 x1 D1 D , x2 D2 D
注:即克莱姆法则 n 2 时的情形。
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2、二阶行列式计算方法：（对角线法则）
（1）D
a11a22 a12 a21 a11 a21 a12 a22
“ +” 号 （主对角线）
取
a12 a22 a32
b1 b2 b3
D2 a21 b2 a31 b3
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记：
D a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
前言
线性代数的理论和方法已成为科学研究及处理各个 领域问题的强有力工具．（线性：主要指有关变量是一
次的。）
考研数学试卷中比例已占：２２％
AX B a11 a21 其中A am1
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a12 a22 am1
amn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a1n am1 x1 am 2 x2 amn xn bm a2 n
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例
32构成一个逆序
21构成一个逆序
A. （123）=0， （132）=1； （ 213）=1， （231）=2； （312）=2， （321）=3。 （14325）=3，（ 15432）=6；go ３４
B. 逆序数计算方法： 由后往前，算大数： （14325）=0+2+1=3 由前往后，算小数： （15342） =0+3+1+1=5
，调整元素的位置，总可以使行标成为自然顺序排列！）
问：正负号如何确定？为此引进“逆序”概念。
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２．排列与逆序
（1）n级（元）排列 （前）n个自然数1、2、3、…… n的 一个有序数列称为一个n级排列。 如32415是一个5级排列;213546是一 个6级排列.
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14
行列 式引 入图
a11 D a21 a31
a13 a23 a33 a11
a12 a22 a32
b1 a13 a23 a33
a13 a23 a33
a11 D3 a21 a31
x1 的系数列
换为常数列
x2 的系数列 换为常数列
x3 的系数列 换为常数列
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a11 a21 Dn an1
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a12 a22 an 2
a1n a2 n (1) ( j j j ) a1 j a2 j anj j j j
1 2 n 1 2 1 2 n
1.消元法解线性方程组
注意写 法规律！ 消元法
哇！好简洁啊！
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Dx1 D1 Dx2 D2 Dx D 3 3
11
D a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 其中： a11a23a32 a12 a21a33 a13a22 a31 D1 b1a22 a33 a12 a23b3 a13b2 a32 b1a23 a32 a12b2 a33 a13 a22b3 D2 a11b2 a33 b1a23a31 a13a21b3 a11a23b3 b1a21a33 a13b2 a31 D3 a11a22b3 a12b2 a31 b1a21a32 a11b2 a32 a12 a21b3 b1a22 a31
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当D 0时，方程组（2）的解为： D3 D1 D2 x1 , x2 ，x3 D D D
注:克莱姆法则 n 3 时情形.
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2.三阶行列式的引入
a11 令D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
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（一）n阶行列式的定义
1.2 n阶行列式
1.观察三阶(二阶)行列式的特点 Go 17 （1） 表示一个数。一般项：取自不同行不同列 的3 元素之积，共3！=6项（二阶：2！=2项）。
（2）各项下标：某一个三级排列（6种） （3）各项符号：三项正三项负．正负号与行标自 然顺序排列时的列标排列顺序有关.（注意：在各项乘积中
“+”号 （主对角线及平行线）
取
“-”号 （副对角线及平行线）
取
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Go 21
16
例：解三元线性方程组
2 x1 4 x2 x3 1 3x1 x2 5 x3 0 x x x 2 1 2 3 2 解D 3 1
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4 1 1 5 18 0 1 1
jn对换到j1前的逆序数为 n 1; jn1对换到j1前的逆序数为 n 2, , 依此类推，得到逆序数 为
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1 jn jn 1 j1） （ n(n 1) 2 而 （j1 j2 jn ) s，
对换后，顺序将变逆序 ，逆序将变顺序， 1 故 （jn , jn 1 , , j1） n(n 1) s 2
第一章 行列式 要求: 1.了解行列式的概念，掌握行列式 的性质． 2.会应用行列式的性质和行列式按 行（列）展开定理计算行列式． 3、会用克莱姆法则解线性方程组．
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(一)二阶＼三阶行列式
1.１ 二阶、三阶行列式
1.消元法解线性方程组，引入二行列式
a11 x1 a12 x2 b1 消元法 1（ a21 x1 a22 x2 b2 (a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 b2 a12 (a11a22 a12 a21 ) x2 b2 a11 b1a21
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Dx1 D1 Dx2 D2 a11 D a11a22 a12 a21 a21 b1 D1 b1a22 b2 a12 b2 a11 D2 b2 a11 b1a21 a21
简记为
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பைடு நூலகம்
其中
a12 a22 a12 a22 b1 b2
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Ｃ．逆序数计算例 1. （4123 ） 111 3 2. （263145 ） 11 3 1 0 6 （n(n 1) 321 ） 3.
(n 1) (n 2) 3 2 1 1 n(n 1) 2
有了逆序数及奇偶排列的概念,再来 分析三阶行列式各项的符号与列标排 列的关系.
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D a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31 a11 a21 a31
取
a12 a22 a32
n
ann
请：用一阶、二阶和三阶行列式验证
30
请问a11a22a32a43a55是否是五阶行列式中的元素?
例题：计算上三角行列式
a11 0 D 0 a12 a22 0 a1n a2 n ann
解：根据定义，从每一项元素取自不同行列 入手，可知其值等于主对角线元素之积。 D (1) ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
17
1 4 1 D1 0 1 5 36 2 1 1 2 1 1 D2 3 0 5 18 1 2 1 2 4 1 D3 3 1 0 18
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1
1 2
18
36 x1 2， D 18 18 D2 x2 1， D 18 18 D3 x3 1 D 18 D1
8
“-”号 （副对角线）
取
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（2）
x1 的系数列 换为常数列
D
a11
a12
x2 的系数列 换为常数列
a21 a22
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11
b1
a21 b2
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（3）例题：解线性方程组
解：
1 2 D [1 （ 1 ） ] [2 2] 5 0， 2 1 10 2 1 10 D1 20，D2 15 5 1 2 5